2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：解三角形（九大題型）（講義）（學(xué)生版+解析）

第04講解三角形

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識點(diǎn)1：基本定理公式..........................................................4

知識點(diǎn)2：相關(guān)應(yīng)用..............................................................4

知識點(diǎn)3：實(shí)際應(yīng)用..............................................................5

解題方法總結(jié)....................................................................6

題型一：正弦定理的應(yīng)用..........................................................7

題型二：余弦定理的應(yīng)用..........................................................8

題型三：判斷三角形的形狀........................................................9

題型四：正、余弦定理的綜合運(yùn)用.................................................10

題型五：正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用...................................11

題型六：解三角形的實(shí)際應(yīng)用.....................................................13

題型七：倍角關(guān)系...............................................................16

題型八：三角形解的個數(shù).........................................................17

題型九：三角形中的面積與周長問題...............................................18

04真題練習(xí)?命題洞見...........................................................19

05課本典例?高考素材...........................................................20

06易錯分析?答題模板...........................................................22

易錯點(diǎn)：忽視三角形三角間的聯(lián)系與范圍限制.......................................22

答題模板：利用邊角關(guān)系解三角形.................................................22

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計考情分析

2024年I卷第15題，13分

(1)正弦定理、余2024年n卷第15題，13分高考對本節(jié)的考查不會有大的變化，仍

弦定理及其變形2024年甲卷第11題，5分將以考查正余弦定理的基本使用、面積公式

(2)三角形的面積2023年I卷n卷第17題，10分的應(yīng)用為主.從近五年的全國卷的考查情況

公式并能應(yīng)用2023年甲卷第16題，5分來看，本節(jié)是高考的熱點(diǎn)，主要以考查正余

(3)實(shí)際應(yīng)用2023年乙卷第18題，12分弦定理的應(yīng)用和面積公式為主.

2022年I卷n卷第18題，12分

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)掌握正弦定理、余弦定理及其變形.

(2)能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題.

(3)能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實(shí)際問題.

匐2

〃二知識導(dǎo)圖?思維引航\\

老占突曲?題理探密

-------------H-H-c

知識JJ

知識點(diǎn)1:基本定理公式

(1)正余弦定理：在AABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為AA8C外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2Z?ccosA；

公式=工=2Rb2=c2+a2—2QCCOSB；

sinAsinBsinC

c2=6^+b2—2abcosC.

b1+C1—a

cosA=---------------；

(1)a—27?sinA,b=27?sinB,c=27?sinC；2bc

「c2+?2-b2

常見變形(2)sinA=—,sinB=—,sinC=—；cosB=---------------；

2R2R2Rlac

「a1+b2-c2

cosC=---------------.

lab

(2)面積公式:

SABC=|aZ?sinC=

A—bcsinA=—acsmB

22

SAABC=$=：(“+8+C)/(r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計算R,心)

【診斷自測】在AABC中，若BC=?,AC=下,B=J,貝|sinA=()

6

A.叵B.巫

C.—D.—

105105

知識點(diǎn)2：相關(guān)應(yīng)用

(1)正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊oa:Z?:c=sinA:sin5:sinC

②大邊對大角大角對大邊

a>boA>5osinA>sin3ocosA<cosB

③八分比a+b+c_a+b_b+c_a+c_?_b_c

sinA+sinB+sinCsinA+sinBsinB+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)AABC內(nèi)角和定理：A+6+C=?

①sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin6oc=acosB+Z2cosA

同理有：Q=〃cosC+ccos6,b=ccosA-\-acosC.

②—cosC=cos(A+5)=cosAcosB—sinAsinB；

③斜三角形中，一tanC=tan(A+3)=-------------------otanA+tan5+tanC=tanA?tan歷tanC

1-tanA-tanB

公..A+B.C/A+B、.C

M)sin(-------)=cos—；cos(--------)=sin—

2222

⑤在AABC中，內(nèi)角AB,C成等差數(shù)列=B=(,A+C=g.

【診斷自測】(2024?四川眉山?三模)在"IBC中，。也c分別是角ABC所對的邊，若％…人丁〃

則C=()

7i一2兀一3兀-5兀

A.—B.—C.—D.—

3346

知識點(diǎn)3：實(shí)際應(yīng)用

1、仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）.

2、方位角

從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如8點(diǎn)的方位角為a（如圖②）.

3、方向角：相對于某一正方向的水平角.

（1）北偏東a,即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）.

（2）北偏西a,即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向.

（3）南偏西等其他方向角類似.

4、坡角與坡度

（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角。為坡角）.

（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，i為坡度）.坡度又稱為坡比.

【診斷自測】（2024?福建漳州?模擬預(yù)測）如圖，某城市有一條公路從正西方向40通過路口。后轉(zhuǎn)向西北

方向03,圍繞道路04,08打造了一個半徑為2km的扇形景區(qū)，現(xiàn)要修一條與扇形景區(qū)相切的觀光道"N,

解題方法總結(jié)

1、方法技巧：解三角形多解情況

在△ABC中，已知a,b和A時，解的情況如下:

A為銳角A為鈍角或直角

c

c-....Ac

X

圖形

AB；?.…，'BA..'B八'B

AB

bsinA<a<ba>b

關(guān)系式a=bsinAa>ba<b

解的個

一解兩解一解一解無解

數(shù)

2、在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,

要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：

（1）若式子含有sinx的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；

（2）若式子含有。，"c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；

（3）若式子含有cosx的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；

（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；

（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；

（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到A+3+C=?.

3、三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

題型一：正弦定理的應(yīng)用

【典例1-1】（2024.浙江?模擬預(yù)測）在AA8C中，凡瓦。分別為角481的對邊，若tanA=3,B=~,

4

be=2710,則。=（）

A.2B.3C.2A/2D.3V2

【典例1-2】（2024?江西九江?三模）在AABC中，角AB,C所對的邊分別為a,4c,已知

2c-a=2bcosA,則8=（）

,71r兀c2兀一5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【方法技巧】

（1）已知兩角及一邊求解三角形；

（2）已知兩邊一對角；

'大角求小角一解（銳）

"兩解一sinA<1（一銳角、一鈍角）

小角求大角一〈一解一sinA=l（直角）

無解一sinA>1

（3）兩邊一對角，求第三邊.

【變式1-1］（2024?廣東東莞?模擬預(yù)測）在AABC中，A,B,C的對邊分別為a,b,c,若8=g,

c=2,2ABe=6,則.”「的值為_.

△smB+sinC

22

【變式1-2］（2024?河南信陽?模擬預(yù)測）已知“1BC中，4,81對應(yīng)邊分別是.力,。，^a-b=bc,

則，

【變式1-3］（2024?湖北黃石?三模）若44BC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,

sinA+sinB-sinC

B+C=60°,a=3,則

a+b-c

c

A.2A/3B-T-1D.6

【變式1-4］（2024?高三?江西贛州?期中）在AABC中，角A8,C所對的邊分別為a,0,c,若

TT

=4,A=-,C=—,則%=()

a412

A.2A/3B.2A/5C.2A/6D.6

7rg

【變式1?5】在△ABC中，內(nèi)角4所對的邊分別為〃也c,若3=彳，b2=-ac貝!JsinA+sinC=

34f

)

A2739Ry/39「4n3V13

1313213

題型二：余弦定理的應(yīng)用

【典例2-1]在AABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，＞?(cosB-l)-&(cosA-l)=0.若

a=4,貝！JZ?=()

A.1B.2C.3D.4

^22_2

【典例2-2】在△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,已知匕-----------=2〃cos5cosC,

lb

其中，Cw],角8=.

【方法技巧】

(1)已知兩邊一夾角或兩邊及一對角，求第三邊.

(2)已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，

〉0,則AABC為銳角三角形

若余弦值，=0,則AABC為直角三角形.

<0,則AABC為鈍角三角形

【變式2-1]已知a也c分別為AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊，且c(acos3-Z?sinA)=Y.角

【變式2-2](2024.全國?模擬預(yù)測)在AABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若

2tanAtanB

a2+b2=2024c2,貝!)

tanC(tanA+tanB)

【變式2?3】（2024.江西宜春.模擬預(yù)測）在AABC中，角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,若

（〃2+c2-Z;2）tanB=6ac,則cos56=（）

A.1B.土昱C.同D.±-

2222

【變式2-4】在銳角三角形ABC中，角AB,C所對的邊分別為a,b,c,若

cos2B+cos2C+2sinBsinC=1+cos2A,則角A=.

題型三：判斷三角形的形狀

【典例3-1］（2024.河北秦皇島.三模）在"LBC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,c,且

B=2C,b=缶，貝U（）

A.AASC為直角三角形B.為銳角三角形

C.AABC為鈍角三角形D.AA6C的形狀無法確定

【典例3-2］在AABC中，內(nèi)角ABC的對邊分別為a,6,c,若滿足2acos3=c,則該三角形為（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.不能確定

【方法技巧】

（1）求最大角的余弦，判斷AABC是銳角、直角還是鈍角三角形.

（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形.

【變式3-1］在AABC中，若（a-acosB）sinB=（人-ccosC）sinA,則這個三角形是.

【變式3-2］（2024.陜西渭南?三模）已知AABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若

bcosC+ccosB=b,且4=。8$3,則AABC是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【變式3-3］在AA8C中，室33則AABC的形狀是（）

a-b呼sin（A*-B）

A.等腰三角形但一定不是直角三角形

B.等腰直角三角形

C.直角三角形但一定不是等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

【變式3-4］在AABC中，角A、B、C所對的邊為服b、。若匕=曬且，則AABC的形狀是（）

ctanC

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【變式3-5］（2024?內(nèi)蒙古赤峰.一模）已知44BC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿

足2a+6=2ccos5,且sinA+sin3=1,則AABC的形狀為（）

A.等邊三角形B.頂角為120。的等腰三角形

C.頂角為150。的等腰三角形D.等腰直角三角形

題型四：正、余弦定理的綜合運(yùn)用

7rQ

【典例4-1】在AASC中內(nèi)角A所對邊分別為"c,若？=1，b2=-ac,貝ijsinA+sinC=（）

A.-B.后C.立D.也

222

【典例4-2】（2024.山東.模擬預(yù)測）記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,c,已知

tanA_

a2=3b2+c29則

tanC--

【方法技巧】

先利用平面向量的有關(guān)知識如向量數(shù)量積將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解.

【變式4-1］（2024?四川綿陽?一模）AABC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c,若

25

sinCsin（A-B）=sinBsin（C-A）,d!=5,cosA=一,則△ABC的周長為.

【變式4-2］（2024?新疆?一模）在JlBC中，角A,B,C的對應(yīng)邊是。，及c,cosC=-!，且

4

2sinA+sinB=，貝!JsinB=（）

2

A375口屈「岳n1

16848

【變式4-3】AABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若a2-b2=bc,且sinA=^sin8,則

角A=

【變式4-4](2024.四川攀枝花.二模)AABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且

"——-——5/3csinB=a,貝!IB=.

題型五：正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用

【典例5-1】已知向量〃?=

⑴求網(wǎng)2+|中的取值范圍；

⑵記〃x)=正工，在AABC中，角A,8,C的對邊分別為a,6,c且滿足(24-c)cos3=ZwsC,求函數(shù)/(A)

的值域.

【典例5-2】(2024?浙江?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=sin2x—2百sin?x+27^.

7171

(1)當(dāng)尤e時，求廣⑴的取值范圍；

(2)已知銳角三角形A3C的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。,6,c,且滿足/(A)=6,sinB=|,匕=2,求

△ABC的面積.

【方法技巧】

正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用，主要體現(xiàn)在解三角形問題中。通過利用正弦定理和余弦定

理，可以方便地求解三角形的邊長和角度。同時，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，如和差化積、積化和差等，可以

進(jìn)一步簡化計算過程，提高解題效率。

【變式5-1](2024?浙江?模擬預(yù)測)已知函數(shù)"x)=sin1-f+根，將y=/(x)的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵?/p>

來的二縱坐標(biāo)不變，再向左平移?個單位后得到g(x)的圖象，且'=8(力在區(qū)間內(nèi)的最大值為

2643_

昱

2,

(1)求加的值；

(2)在銳角AABC中，若=等，求tanA+tanB的取值范圍.

【變式5-2］已知函數(shù)=sin?■|—6sin3coS'1+l.

⑴求函數(shù)y=〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足片=accosB-；6c,求的取值范

圍.

【變式5-3](2024?高三?北京昌平?期末)已知/(x)=7^cos2x+2sin]]+x]sin(>r-x),XER,

(1)求/(x)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)已知銳角AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為〃,0,c,且/(4)=-括，。=4,求BC邊上的高的最大值.

【變式5-4](2024?北京?三模)已知函數(shù)/(x)=26sinGxcos公r+2cos2Gx,(。>0)的最小正周期為兀.

⑴求①的值；

JT

(2)在銳角融。中，角A,B,C所對的邊分別為。，4cc為在0,-上的最大值，再從條件①、條

件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求1-人的取值范圍.條件①：acosB+Z?cosA=2ccosC；

條件②：2asinAcosB+Z?sin2A=y/3a；條件③：△ABC的面積為S,且5=石("——注：如果選

4

擇多個條件分別解答，按第一個條件計分.

題型六：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

【典例6-1】中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運(yùn)城市永濟(jì)市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作

《登鸛雀樓》而流芳后世.如圖，某同學(xué)為測量鸛雀樓的高度MN,在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物

AB,高約為37m,在地面上點(diǎn)C處（B,C,N三點(diǎn)共線）測得建筑物頂部A,鸛雀樓頂部M的仰角分

別為30。和45。，在A處測得樓頂部M的仰角為15。，則鸛雀樓的高度約為—m.

【典例6-2】（2024.全國?模擬預(yù)測）如圖，為測量山高肱V,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測

點(diǎn)，從點(diǎn)A測得點(diǎn)M的仰角NMAN=45。，點(diǎn)C的仰角=60。，以及4c=75。.從點(diǎn)C測得

/A/C4=45°,已知山IWJ8c=300m,則山IWJ朋N=m.

【方法技巧】

根據(jù)題意畫出圖形，將題設(shè)已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關(guān)系，利用三角知識求解.

【變式（2024.寧夏銀川.三模）某同學(xué)為測量塔的高度選取了與塔底5在同一水平面內(nèi)的兩

個測量基點(diǎn)C與。，現(xiàn)測得NBCD=15°,ZBDC=135。,CO=20m,在點(diǎn)。測得塔頂A的仰角為60°,則塔高

AB=m.

A

D

【變式6?2】（2024.寧夏銀川?二模）如圖，在山腳A測得山頂尸的仰角為。，沿傾斜角為夕的斜坡向

上走。米到3,在3出測得山頂尸得仰角為乙

（1）若夕=15°,求坡面的坡比.（坡比是坡面的垂直高度與水平寬度的比值）

Qsinasin(7一，)

（2）求證;山高力=

sin(7-a)

【變式6-3］（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）在100m高的樓頂A處，測得正西方向地面上3、C兩點(diǎn)

（B、C與樓底在同一水平面上）的俯角分別是75。和15。，則&C兩點(diǎn)之間的距離為（）.

C2

80D.01

【變式6-4】如圖所示，A氏P,Q在同一個鉛垂面，在山腳A測得山頂尸的仰角NQAP為

60,^QAB=3Q°,斜坡A8長為機(jī)，在B處測得山頂尸的仰角NC3尸為a,則山的高度為（）

6/nsin(a+30°)a—30°

B.

2sin(a+60。)2sin

g/nsin(a+3(T)^msin^-30°)

D.

2sin(a-60°)2sin\a-

【變式6?5】如圖，某人在垂直于水平地面A3C的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的

距離為A石，某目標(biāo)點(diǎn)尸沿墻面的射擊線CN移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P,需計算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)尸

的仰角。的大?。ㄑ鼋恰橹本€.與平面A5c所成角）.若AB=15m,AC=25m,N5cM=30。，則tan?

的最大值（）

c,史5下1

9,~9~

【變式6-6］（2024.廣東.二模）在一堂數(shù)學(xué)實(shí)踐探究課中，同學(xué)們用鏡而反射法測量學(xué)校鐘樓的高度.

如圖所示，將小鏡子放在操場的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時測量人和小鏡

子的距離為％=L00m,之后將小鏡子前移6.00m,重復(fù)之前的操作，再次測量人與小鏡子的距離為

a2=0.60m,已知人的眼睛距離地面的高度為〃=L75m,則鐘樓的高度大約是（）

■>

A.27.75mB.27.25mC.26.75mD.26.25m

題型七：倍角關(guān)系

【典例7-1】記AABC的內(nèi)角A&C的對邊分別為a,dc,已知acosB=b(l+cosA).

(1)證明：4=23；

⑵若c=2b,a=拒,求AABC的面積.

【典例7-2】(2024?全國?模擬預(yù)測)在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c(a,b,c互不相

等)，且滿足bcosC=(26-c)cosB.

(1)求證：A=28；

(2)若°=夜4，求cosB.

【方法技巧】

解三角形中的倍角關(guān)系，主要涉及到正弦、余弦等三角函數(shù)的倍角公式。這些公式允許我們通過已知

的一個角的大小，來求解其兩倍角的大小所對應(yīng)的三角函數(shù)值，從而在解三角形問題時提供更多的信息和

靈活性。

【變式7-1](2024.吉林長春.模擬預(yù)測)AABC的內(nèi)角A&C所對的邊分別為

a、b、c,a==1,A=2B,則。=()

A.2B.73C.V2D.1

【變式7-2]在AABC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c,若4=23.

(1)求證：a2-及=bc;

23

(2)若cos8=§,點(diǎn)。為邊A8上一點(diǎn)，AD=~DB,CD=2娓,求邊長b.

【變式7-3］（2024?福建三明?高三統(tǒng)考期末）非等腰△ABC的內(nèi)角A、B、。的對應(yīng)邊分別為。、b、

口a-cosBsinB

且二^

sinC

⑴證明：a2=b+c;

2

(2)若3=2C,證明：b>-.

題型八：三角形解的個數(shù)

【典例8-1］設(shè)在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,若滿足。=也力=〃2,8=￡的

6

△ABC不唯一，則相的取值范圍為（）

TT

【典例8-2］在AABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，若6=10,A=-,且AABC有唯一解,

6

則。的取值范圍是.

【方法技巧】

三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對

角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷.

7T

【變式8-1］在AABC中，已知A=：,a=2,若AABC有兩解，則邊b的取值范圍為一.

【變式8-2］在AABC中，a=x,b=3,B=3Q°,若該三角形有兩解，則尤的取值范圍是.

JT

【變式8-3］在AASC中，已知4?=尤，BC=2WC=-,若存在兩個這樣的三角形ABC,則x的

取值范圍是.

TT

【變式8-4］若滿足加C="AC=6,比=%的融。恰有一個’則實(shí)數(shù)人的取值范圍是

題型九：三角形中的面積與周長問題

【典例9-1】（2024.重慶.模擬預(yù)測）已知AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,6,c,滿足

sinB-sinC42b-a...<2］用心心〃一

------；---------=-----------,sinAsin8n=——,且n,c△ABC=1,貝U邊。.

sinAb+c5

【典例9-2】記△ABC的內(nèi)角A3,C的對邊分別為a,,且QCOSC+J3asinC-b-c=0.

⑴求A；

（2）若a=2后，AABC的面積為26，求“IBC的周長

【方法技巧】

解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦

或邊的一次式時，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.

【變式9-1］（2024.山東青島?三模）設(shè)三角形ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c且

LA

sin（B+C）=2APsin2y.

（1）求角A的大??；

（2）若6=3,3c邊上的高為主旦，求三角形ABC的周長.

7

【變式9-2］（2024?重慶?三模）已知函數(shù)〃x）=△sin［20x+|j（0>O）的最小正周期為兀

⑴求函數(shù)“X）的單調(diào)遞增區(qū)間；

3____

⑵已知AABC的三邊長分別為a,b,c,其所對應(yīng)的角為A,B,C,且〃A）=j,AB-AC=2sf3,

a=y/5,求該三角形的周長.

【變式9-3](2024.西藏?模擬預(yù)測)已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

2bsin[A+￡)-2a=c.

(1)求B;

(2)若/ABC的平分線交AC于點(diǎn)。，且㈤=2,。=3,求"LBC的面積.

【變式9-4](2024?安徽滁州?三模)在44BC中，角A,B,C的對邊分別為a,6,c,26cosc-c=2a.

(1)求B的大小;

⑵若。=3,且AC邊上的中線長為也，求AASC的面積.

2

【變式%5](2024.安徽蕪湖?三模)已知。，4c分別為AABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊，且

bcosA+yfibsinA=a+c

⑴求B；

(2)若人=2,Z\A3C的面積為。為AC邊上一點(diǎn)，滿足CD=2AO,求3。的長.

3

1.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)在國。中，內(nèi)角A氏C所對的邊分別為a,b,c,若△=?，

b1=—ac,貝ljsinA+sin。=()

4

A2aR回「手n3岳

A?----D.---C.D.----------

1313213

2.（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）在AABC中，（a+c）（sinA-sinC）=6（sinA—sinB）,則NC=（）

,兀e兀-2兀_571

A.-B.-C.——D.—

6336

3.（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）在此。中，內(nèi)角A氏。的對邊分別是名"c,若

JI

acosB-bcosA=c,且。=5，則NB=（）

7i，?！猚2兀

A.—B.—C.—D.—

105105

4.（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在AABC中，NBAC=60°,AB=2,BC=娓，/BAC的角平分

線交BC于。，則AD=.

5.（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，

他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白.如果把這個方法寫成公式，就是

?I1F22（02+〃一七2]自一

S=4ca12，其中〃，b,C/H二角形的二邊,S是三角形的面積.設(shè)某三角形的三邊

a=&,b=g,c=2,則該三角形的面積S=_____.

㈤5

豫本典例二F基考素材\\

1.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若acosC+6asinC-b-c=0.

⑴求A;

⑵若a=2,AABC的面積為百，求b,c的值.

2.為了測量兩山頂N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A,B兩點(diǎn)進(jìn)行測量，A,B,M,N在同一個鉛垂

平面內(nèi)(如示意圖)，飛機(jī)能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A,8間的距離，請設(shè)計一個方案，包括：①指出需要

測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；②用文字和公式寫出計算N間的距離的步驟.

3.已知AABC的三個角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設(shè)p=g(a+6+c),求證:

(1)三角形的面積S=[p(p-a)(p-b)(p-c)；

(2)若r為三角形的內(nèi)切圈半徑，貝卜

VP

2__________________

⑶把邊8C,AC.A3上的高分別記為％如初則(…(j)Qc),

2__________________2___________________

飽=『Jp(p_a)(p_6)(p_c),hc=7P(P-a)(P-b)(p-c).

bc

4.△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別記為”利用余弦定理證明

5.一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250M，河水的速度為向東26初7//?.一艘小貨船準(zhǔn)備從河的這一

邊的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對岸8(45與河的方向垂直)的正西方向并且與8相距250打〃的碼頭

C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6初”〃，則當(dāng)小貨船的航程最短時，求合速

度的方向，并求此時小貨船航行速度的大小.

㈤6

〃易錯分析-答題模板\\

易錯點(diǎn)：忽視三角形三角間的聯(lián)系與范圍限制

易錯分析：在解答過程中易忽視三角形中三內(nèi)角的聯(lián)系及三角形各內(nèi)角大小范圍的限制，易使思路受

阻或解答出現(xiàn)增解現(xiàn)象.

【易錯題1】在中，B=30°,b=2,c=2y/2，則角A的大小為()

A.45°B.135?；?5。C.15°D.105?；?5。

JT

【易錯題2】在AABC中，已知“=后，b=3,B=—，則角C=.

3

答題模板：利用邊角關(guān)系解三角形

1、模板解決思路

如果遇到的式子含角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子含角的正弦或邊的一

次式，則考慮用正弦定理.

2、模板解決步驟

第一步：結(jié)合正弦定理、余弦定理將關(guān)系式中的角化邊或者邊化角.

第二步：化簡上一步所得的式子，結(jié)合已知條件和余弦定理與正弦定理來進(jìn)一步求解.

【經(jīng)典例題1】AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,C,若6cosc+J拓sinC-a-c=0.

(1)求B；

(2)若C=(且AABC的面積為3+6,求邊長J

【經(jīng)典例題2】AABC中，角A,B,C所對應(yīng)的邊分別是a,b,c,且acosC+WasinC=6+c.

⑴求A;

⑵若a=2,求8C邊上高的最大值.

第04講解三角形