2025年中考數(shù)學(xué)教材考點復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的面積問題（二階）（學(xué)生版+教師版）

2025年山東濟南中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教材考點復(fù)習(xí)

二次函數(shù)的面積問題(二階)學(xué)生版

考法探究突破

考法一表示三角形面積

平面直角坐標(biāo)系中的面積問題，方法見提分微專題2.

考法二表示四邊形面積

1.求四邊形面積，通常利用割補法將四邊形轉(zhuǎn)化為幾個三角形面積的

和.

2.當(dāng)四邊形的兩邊在坐標(biāo)軸上，常見的求面積的方法有：

(1)如圖1,連接0尸，S四邊形OCP~\~SkOBP；

(2)如圖2,連接BC,過點尸作x軸的垂線交于點。,S四邊形05PC

=S&OBC~\~SABCP=S&OBC+SACPD~\~S&BPD,

題型分類?過關(guān),

類型一面積求值

1.(2023歷下三模節(jié)選)如圖1,拋物線C：y=%2+"+c過A(6,

0),B(0,-3)兩點，將拋物線。繞點O旋轉(zhuǎn)180°,得到新的

拋物線C,拋物線。交入軸的負半軸于點。，作直線3D

(1)求拋物線。的表達式和點。的坐標(biāo)；

(2)如圖2,過點O作EE〃BD,交拋物線。于點E和尸，交拋物

線。于點？和一,求尸5的面積.

類型二面積平分

2.（2024天橋二模節(jié)選）已知拋物線G：y=—%2一m；+6M交工軸

于點4,B,交y軸于點C

TTV

（1）如圖，當(dāng)點4坐標(biāo)為（一3,0）時，求拋物線的表達式；

（2）在（1）的條件下，點。是第二象限內(nèi)拋物線上的一點，連接

BD,若5。將四邊形平分成面積相等的兩部分，求點。的橫

坐標(biāo).

類型三面積最值

3.(2024長清一模節(jié)選)如圖，直線尸一權(quán)+3交y軸于點A,交％

軸于點C,拋物線y=—9+〃%+c經(jīng)過點A,點C,且交工軸于另一

點B.

(1)求拋物線的表達式;

(2)在直線AC上方的拋物線上有一點求四邊形A5cM面積的

最大值及此時點M的坐標(biāo).

類型四面積比值定值

4.(2023長清東片區(qū)一模節(jié)選)已知拋物線>=以2+加;+3經(jīng)過點A

(1,0)和點8(-3,0),與y軸交于點。，點P為第二象限內(nèi)拋

物線上動點.

(1)拋物線的表達式為y=—%2—2%+3=—(％+1)2+4,拋物

線的頂點坐標(biāo)為(一1,4)；

(2)如圖1,是否存在點P,使四邊形50C尸的面積為8?若存在，

請求出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(3)如圖2,連接OP交于點Q,當(dāng):SABPD=1:2時，請

求出點。的坐標(biāo).

類型五面積比值最值

5.(2024章丘二模節(jié)選)拋物線y=a%2+2%+c與％軸交于A(—1,

0),5兩點，與y軸交于點。(0,3).

(1)求拋物線的表達式.

(2)點尸為第一象限拋物線上的一點，連接0尸，交5。于點。，連

接CP,求^CPQ與4OCQ面積的比值的最大值.

達標(biāo)演練檢測

1.(2023歷城一模)拋物線,=依2+匕%+3過點A(―1,0),點8

(3,0),頂點為C,與y軸相交于點D.點尸是該拋物線上一動點,

設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為機(0<m<3).

(1)求拋物線的表達式及點。的坐標(biāo)；

(2)如圖，連接瓦)，PB,PD,若△P8。的面積為3,求小的值.

2.(2023歷下九校聯(lián)考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a%2

+bx~A(QWO)與次軸交于點A(-1,0),B(4,0),與y軸交

于點C.

(1)求該拋物線的表達式；

(2)直線/為該拋物線的對稱軸，點。與點。關(guān)于直線/對稱，點

廠為直線下方拋物線上一動點，連接E4,FD,求△E4O面積的

最大值.

3.如圖，二次函數(shù)yuV+Zur+c的圖象與％軸交于A,5兩點，與y

軸交于點C,其中5(1,0),C(0,3).

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點尸，使得S"AC=&ABC?若存在,

請求出點尸坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2025年山東濟南中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教材考點復(fù)習(xí)

二次函數(shù)的面積問題(二階)教師版

考法探究突破

考法一表示三角形面積

平面直角坐標(biāo)系中的面積問題，方法見提分微專題2.

考法二表示四邊形面積

1.求四邊形面積，通常利用割補法將四邊形轉(zhuǎn)化為幾個三角形面積的

和.

2.當(dāng)四邊形的兩邊在坐標(biāo)軸上，常見的求面積的方法有：

(1)如圖1,連接0尸，S四邊形OCP~\~SkOBP；

(2)如圖2,連接BC,過點尸作x軸的垂線交于點。,S四邊形05PC

=S&OBC~\~SABCP=S&OBC+SACPD~\~S&BPD,

題型分類?過關(guān),

類型一面積求值

1.(2023歷下三模節(jié)選)如圖1,拋物線C：y=%2+"+c過A(6,

0),B(0,-3)兩點，將拋物線。繞點O旋轉(zhuǎn)180°,得到新的

拋物線C,拋物線。交入軸的負半軸于點。，作直線3D

(1)求拋物線。的表達式和點。的坐標(biāo)；

(2)如圖2,過點O作EE〃BD,交拋物線。于點E和尸，交拋物

線。于點？和一,求尸5的面積.

解：（1）二?拋物線丁=42+法+。經(jīng)過4和兩

-4(6,0)5(0,-3)

-f9+6b+c=0,（b=一1,

點，解得，

、c=13,、c=13,

???拋物線。的表達式為y=%2—x—3.

???拋物線。繞點。旋轉(zhuǎn)180。，得到新的拋物線C,

..?點A與點。關(guān)于原點對稱，.?.點。的坐標(biāo)是（一6,0）.

（2）設(shè)直線BD的表達式為y=H+”.

將5(0,—3),0(—6,0)分別代入得

-3=n,Egk=1L,i

斛得

、0=—6k~\~n,

'.'EE7/BD,直線即的表達式為尸一%.

y-x2—x—3,

4=

聯(lián)立1解得Xl=l+V13,%21—V13?=%?=1+

—?

y2

V13,XF,=1—y[13.

\.拋物線。繞點。旋轉(zhuǎn)180°,得到新的拋物線C,

'.XE=-1—V13>5AEF'B=S&EOB-S&F'OB=|OJ?-QXF，一XE)

iX3X（1-VT3+1+V13）=3.

類型二面積平分

2.（2024天橋二模節(jié)選）已知拋物線。1：y=一/―小+6相交工軸

于點A,B,交y軸于點C

AO\

II

(1)如圖，當(dāng)點A坐標(biāo)為(一3,0)時，求拋物線的表達式；

(2)在(1)的條件下，點。是第二象限內(nèi)拋物線上的一點，連接

BD,若50將四邊形平分成面積相等的兩部分，求點。的橫

坐標(biāo).

解：(1)將A(—3,0)代入y=一必一7nx+6加中，得-9+3加+

6m—0,解得m=1,.'.y=—x2—%+6.

(2)設(shè)。(a,一屋一。+6),y軸與直線BD交于點石，

當(dāng)y=0時，0=-/—4+6,

解得％=—3(舍去)，x—2,

：.B(2,0).

設(shè)直線BD的表達式為y=kx-\-b,

,(2k+b=0,

(fca+b=—a2~a+6,

解得尸一(。+3),

力=2a+6,

???直線8D的表達式為y=—(a+3)x~\~2a~\~6.

令％=0得，y=2a+6,：.E(0,2a+6),

CE=6-2a—6=-2a.

-i-1

=2

***5ABCD5AABD9/.-X(一2a)X(2—a)=-X5X(一a—a+6),

:.ct=2或a=——?

丁。是第二象限內(nèi)拋物線上的一點，，。=2(舍去)，，點。的橫

坐標(biāo)是一，.

類型三面積最值

3.(2024長清一模節(jié)選)如圖，直線y=—%+3交y軸于點A,交工

軸于點C,拋物線yu—k+fot+c經(jīng)過點A,點C,且交工軸于另一

點B.

(1)求拋物線的表達式;

(2)在直線AC上方的拋物線上有一點V,求四邊形A5cM面積的

最大值及此時點M的坐標(biāo).

解：(1)令X=0,得丁=一］XO+3=3,AA(0,3),令y=0,得

y=—|x+3=0,解得，x=6,.,.C(6,0),把A,。兩點代入產(chǎn)

c=3,5=1

2

--x+Z?x+c得,1解得???拋物線的

4--X36+6&+3=0,。=3

4

表達式為y=—"+%+3.

(2)連接OM,如圖,

設(shè)M^x,—1%2+x+3),

令y=0,得y=—%2+%+3=0,解得％=—2,或％=6,

：.B(—2,0).

貝I1S四邊形ABo+SAAO"+SAOCM

=-X3X2+-X3x+-X6xf-i%2+%+3)

222\4J

=--x2+-x+12=--(%—3)2+—.

4244

???—：＜0,.?.當(dāng)％=—/=3時，四邊形A5CM的面積最大，其最大

42a

值為,，此時一%2+x+3=f,...止匕時點M的坐標(biāo)為(3,Y)-

類型四面積比值定值

4.(2023長清東片區(qū)一模節(jié)選)已知拋物線y=Qf+fct+3經(jīng)過點A

(1,0)和點5(-3,0),與y軸交于點。，點尸為第二象限內(nèi)拋

物線上動點.

(1)拋物線的表達式為y=—2%+3=—(%+1)2+4,拋物

線的頂點坐標(biāo)為(一1,4)；

(2)如圖1,是否存在點P,使四邊形50C0的面積為8?若存在，

請求出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(3)如圖2,連接OP交5。于點。，當(dāng)SACPD:SABPD=1：2時，請

求出點。的坐標(biāo).

解：(2)不存在，理由：如圖，連接5C,過點尸作y軸的平行線交

5C于點”.令二次函數(shù)X=0,解得y=3,(0,3).設(shè)直線

’3=5

的表達式為y="+b,把C(0,3),5(—3,0)代入得

、0=-3/c+b,

解得｛,3：?.?直線3c的表達式為尸葉3.

設(shè)點尸(工,—x1—2%+3),點、H(%,%+3),則S四邊形BOCP=S八OBC

+SAPSC=|X3X3+|(-^-2X+3-X-3)X3=8,整理，得3_?

+9x+7=0,A<0,故方程無解，則不存在滿足條件的點P.

(3)，：OB=OC,：.ZCBO=45°,：.BC=JBO2+CO2=

3V2.VSACPD:SxBPD=1：2,：.BD=-BC=-X3y[2=242,：.y=

33,D

BDsinZCBO=2V2X^=2,代入直線5。得2=%+3,解得％=—1,

：.D(-1,2).

類型五面積比值最值

5.(2024章丘二模節(jié)選)拋物線y=aX2+2x+c與X軸交于A(—1,

0),5兩點，與y軸交于點。(0,3).

(1)求拋物線的表達式.

(2)點尸為第一象限拋物線上的一點，連接0尸，交5。于點。,連

接CP,求^CPQ與AOCQ面積的比值的最大值.

解：(1)\,拋物線y=a%2+2%+c與x軸交于A(―1,0),5兩點，

與y軸交于點C(0,3),

a-2+c=0,

...把A(—1,0)，C(0,3)代入y=a%2+2%+c,得，

、c=3,

(n=—1

解得’.??拋物線的表達式為y=—%2+2%+3.

、c=3,

(2)如圖，過點尸作尸交于點。,

Q

/)f\

,拋物線的表達式為yu—f+Zx+B,與x軸交于A(—1,0)、B

兩點，，令y=0,則一%2+2%+3=0,解得％i=—1(為點A橫坐標(biāo))，

X2=3,：.B(3,0),OB=3,設(shè)直線5。的表達式為丁=履+。，把

QZz—I-h—Q'k-1

解得’

{b=3,(5=3,

直線BC的表達式為y=—%+3...?點P為第一象限拋物線上的一點,

29

，設(shè)點尸(根，-m+2m+3)(0<m<3).：PD//OB9交5C于點

D,?*yD=yp=-m2+2m+3???不巴>=-m2+2m+3代入y=—x+3,

得—x+3=一根？+2根+3,整理，得工=加2-2m??\xo=m2—2m,；?PD

=xp—XD=m—(m2—2m)=—蘇+3zn.丁△CPQ的邊P。上的高與

△OC0的邊0。上的高相同，.-.￡-^=￡￡,-PD//OB,ZPDQ=

SQOCQ°Q

ZOBQ,ZDPQ=ZBOQ,：.^PDQ^/\OBQ,?嚼=*=一.13nl

—"+加,；?寰=一刎+加,；.當(dāng)加

。尸。與△OC。面積的比值

達標(biāo)演練檢測

1.(2023歷城一模)拋物線丁=以2+"+3過點A(-1,0),點B

(3,0),頂點為。，與y軸相交于點D.點尸是該拋物線上一動點,

設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為機(0<m<3).

(1)求拋物線的表達式及點。的坐標(biāo)；

(2)如圖，連接5。，PB,PD,若△尸瓦)的面積為3,求加的值.

解：(1)將點A(-1,0),點5(3,0)代入丁=依2+旅+3,得

a~b+3=0,(a=—1,

解得

、9a+3b+3=0,{,b=2,

拋物線的表達式為＞=—??+2x+3.

=

y—X2+2%+3=—(x—1)2+4,J頂點。(1,4).

(2)設(shè)直線的表達式為y=H+A.

b=3

?.?點O(0,3),點5(3,0),代入表達式，得

、3k+b=0,

(k=—1

解得直線BD表達式為y=-x+3.過點尸作尸?！▂軸

、b=3,

交BD于點。，設(shè)點尸(m,—m2+2m+3),點。(加，—m+3),

1

PBD=~XPQXOB

-1

=-X3(——3)

2

=1△PBD的面積為3,12

22-2m~\-2-m=3,m\=l,

根2=2.

2.(2023歷下九校聯(lián)考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a%2

+法一4(aWO)與龍軸交于點A(-1,0),B(4,0),與y軸交

于點C.

(1)求該拋物線的表達式；

(2)直線/為該拋物線的對稱軸，點。與點。關(guān)于直線/對稱，點

廠為直線AD下方拋物線上一動點，連接E4,FD,求AFA。面積的

最大值.

解：(1)將A(-1,0),B(4,0)代入丁=加+法一4,得

(a—b—4=0,

\??y—AJ人r?

116a+4b—4=0,lb=13,

(2)當(dāng)％=0時，丁=一4,.,.點。(0,-4),

二?點。與點C關(guān)于直線/對稱，且對稱軸為直線％=|，

：.D(3,-4).

VA(-1,0),.??直線AZ)的函數(shù)關(guān)系式為y=一%—1.

設(shè)方(m,m2—3m—4),

作FH//y軸交直線AD于點H,

:?H(m,—m—1)，

/.FH=-m—1—(m2—3m-4)=-m2+2m+3,

1c

SAAFD=SAAFH+SAFHX4=2(—m2+2m+3)=—2m2+

4m+6=—2(m—1)2+8,當(dāng)機=1時，SAAFD最大為8.

3.如圖，二次函數(shù)丁=_?+法+。的圖象與％軸交于4,5兩點，與y

軸交于點C,其中5(1,0),C(0,3).

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點尸，使得SV=&ABC?若存在,

請求出點尸坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

1A—I—r*=Q

解:⑴將點5—(03代入『入+c得-

解得f=一%

、c=3,

???拋物線表達式為y=/—4x+3.

(2)\'y=x2—4x+3=(%—2)1,頂點坐標(biāo)為(2,—1).

當(dāng)y=0時，%2—4x+3=0,解得％i=l,%2=3,

AA(3,0),則OA=3.

VC(0,3),則OC=3,...△