2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的應(yīng)用（練習(xí)）（解析版）

考點13.二次函數(shù)的應(yīng)用（精練）

限時檢測1:最新各地模擬試題（50分鐘）

1.（2023?廣東深圳??？寄M預(yù)測）某池塘的截面如圖所示，池底呈拋物線形，在圖中建立平面直角坐標

系，并標出相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：m）.有下列結(jié)論：

①AB=30m；②池底所在拋物線的解析式為y=**-5；③池塘最深處到水面CD的距離為1.8m；

④若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，則最深處到水面的距離減少為原來的!.

其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【分析】根據(jù)圖象可以判斷①；設(shè)出池底所在拋物線的解析式為，=62-5,再把（15,0）代入解析式求出

0即可判斷②；把x=12代入解析式求出y=-L8,再用5-1.8即可判斷③；把尤=6代入解析式即可判斷

④.

【詳解】解：①觀察圖形可知，AB=30m,故①正確；

②設(shè)池底所在拋物線的解析式為＞=以2-5,

將（15,0）代入，可得故拋物線的解析式為y=5必一5；故②正確；

③.,.當(dāng)x=12時，y=-1.8,

故池塘最深處到水面C。的距離為5-L8=3.2（m）,故③錯誤；

④當(dāng)池塘中水面的寬度減少為原來的一半，即水面寬度為12m時，

將x=6代入＞=*尤2-5,得＞=＜2,可矢口此時最深處至IJ水面的距離為5-4.2=0.8（m）,

即為原來的:，故④正確.故選：B.

【點睛】本題考查拋物線的實際應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

2.（2023?山西大同?校聯(lián)考模擬預(yù)測）生物學(xué)研究表明，在一定的溫度范圍內(nèi)，酶的活性會隨溫度的升高

逐漸增強；在最適溫度時，酶的活性最強；超過一定溫度范圍，酶的活性又隨溫度的開高逐漸減弱，甚至

會失去活性?現(xiàn)已知某種酶的活性值y（單位：iu）與溫度x（單位：℃）的關(guān)系可以近似用二次函數(shù)

y=-g尤?+14x+142來表示，則當(dāng)溫度為最適宜溫度時，該種酶的活性值為IU.

【答案】240

【分析】化為頂點式求解即可.

【詳解】解：y=x2+14%+142=-1（x-14）2+240,

0-1<0,回拋物線開口向下，.?.當(dāng)x=14時，y的最大值為240,

故當(dāng)溫度為14。（2時，該種酶的活性值為240IU.故答案為：240.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)>=。（》-/02+左的性質(zhì)是解答本題的關(guān)

鍵.對于二次函數(shù)y=a（x-〃y+1fc（°,h,左為常數(shù)，awO）,當(dāng)。>0時，拋物線開口向上，在對稱軸的左

側(cè)y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大，此時函數(shù)有最小值；當(dāng)a<0時，拋物線開口

向下，在對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而減小，此時函數(shù)有最大值.

3.（2023?廣東深圳??？寄M預(yù)測）某公園內(nèi)人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度A2為4

米.在距點A水平距離為d米的地點，拱橋距離水面的高度為人米.小紅根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對"和/7

之間的關(guān)系進行了探究.

下面是小紅的探究過程，請補充完整：

⑴經(jīng)過測量，得出了d和6的幾組對應(yīng)值，如下表.

d/米00.611.82.433.64

4米0.881.902.382.862.802.381.600.88

在d和/7這兩個變量中，是自變量，是這個變量的函數(shù)；

⑵在下面的平面直角坐標系x0y中，畫出（1）中所確定的函數(shù)的圖象；

⑶結(jié)合表格數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象，解決問題：①求該函數(shù)的解析式：②公園欲開設(shè)游船項目，現(xiàn)有長為3.5

米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船.為安全起見，公園要在水面上的C,。兩處設(shè)置警戒線，

并且CE=D/，要求游船能從C,O兩點之間安全通過，則C處距橋墩的距離CE至少為多少米?

（A/2?1.4B精確到01米）

fy

i-T…1-T—'T

~O-12345%

【答案】（l）d,九⑵見解析⑶①〃=-0.5相+24+0.88；②C處距橋墩的距離CE至少為0.7米

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義進行判斷作答即可（2）①待定系數(shù)法求解析式即可；②令%=2,代入求解即

可.

【詳解】（［）解：由題意知，在d和〃這兩個變量中，d是自變量，場是這個變量的函數(shù)

故答案為:d,h-

（2）解：描點，連線，作圖如下；

O12345X

（3）①解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為/1=0/+即+0.88,

把(/1238、),(/3238)、代入得：f2.38用=1+636++0.。8.88'解得“］々=b-=02.5'

回二次函數(shù)的解析式為介=一0.5屋+2/+0.88；

②解：令h=2,得：一0.5屋+2d+0.88=2,^^d=2±JlJ5

4。0.7或d=3.3,回則C處距橋墩的距離CE至少為0.7米.

【點睛】本題考查了函數(shù)的定義，二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵在于

正確的求二次函數(shù)解析式.

4.（2023?山東臨沂?統(tǒng)考一模）如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度為1.5m.可以把

灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形

DEFG,其水平寬度DE=3m,豎直高度EF=0.5m.下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上

邊拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2m、高出噴水口0.5m,灌溉車到綠化帶的距離。。為d（單

位：m）

⑴求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC;⑵求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點8

的坐標；⑶要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，直接寫出d的取值范圍

1L

【答案】⑴）==（尤-22?+2,OC=6米（2）（2,0）（3）24^426一1

O

【分析】（1）由頂點42,2）得，設(shè)y=°（x-2）2+2,再根據(jù)拋物線過點QL5）,可得。的值，從而解決問

題；（2）過點//作碗〃彳軸，交上邊緣拋物線于點當(dāng)y=L5時，貝卜g（尤-2）2+2=1.5

O

解得：%=4,x2=0,則M（4,L5）,則下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，可得點8的

坐標；（3）根據(jù)歷=0.5,求出點尸的坐標，利用增減性可得d的最大值為最小值，從而得出答案.

【詳解】（1）解：由題意得42,2）是上邊緣拋物線的頂點，設(shè)，=。。-2）2+2,

11

又???拋物線過點（0,L5）,??.L5=4a+2,.?.〃=-7，，上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為丁=-三（％-2尸9+2；

OO

1

令）=0,則_《（兀一2）29+2=0解得：玉=6,%=_2團0C=6米.

O

（2）解：如圖，過點//作軸，交上邊緣拋物線于點

則-：(X-2)2+2=1.5解得：%=4,x2=0,則/(4,1.5),

O

團下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到

???下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，回點3是點C向左平移4m得到，

由(1)知。C=6米,團03=6—4=2(米).?.點B的坐標為(2,0)；

(3)解：-.-EF=0.5,.?.點F的縱坐標為0.5,.?.0.5=-1(^-2)2+2,解得x=2±2百，

vx>0,x=2+2y/3,當(dāng)x>2時，y隨X的增大而減小，

...當(dāng)2VxV6時，要使y20.5,則尤42+2石，

???當(dāng)04x42時，y隨x的增大而增大，且無=0時，>=1.5>。.5,

.?.當(dāng)0Wx46時，要使y20.5,則04尤42+26,

?；DE=3,灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，."的最大值為2+2百-3=26-1,

再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是&NO5,.?"的最小值為2,

綜上所述，d的取值范圍是2VdV26-L

【點睛】本題是二次函數(shù)實際應(yīng)用，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，二

次函數(shù)的圖象的平移，二次函數(shù)與方程的關(guān)系等知識，讀懂題意，建立二次函數(shù)模型是解題關(guān)鍵.

5.(2023?浙江溫州?校聯(lián)考三模)根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

如何設(shè)置"綠波帶”？

素材1：某市為新路段設(shè)置"綠波帶”，車輛駛?cè)刖G波帶后，若以一定速度行駛，到達下個路口時會遇到綠

燈，可節(jié)約能源.如圖，A,5兩路口停車線之間距離為900米，兩個交通信號燈的綠燈持續(xù)時間均為。

秒，A處綠燈亮起53秒后8處綠燈第一次亮起.

素材2：第1輛車的車頭與停車線平齊，后面相鄰兩車的車頭相距5米，綠燈亮起時第一輛車立即啟動,

后面每一輛車在前一輛車啟動2秒后再啟動.車輛啟動后，先加速，到一定速度后勻速行駛.在加速階

段，汽車的速度3）與時間⑺的關(guān)系如下表所示，行駛路程H）與速度、時間的關(guān)系滿足§=^.

t（秒）01234

V（米/秒）036912

素材3：A路口車流量顯示：綠燈持續(xù)時間。應(yīng)少于25秒（。為整數(shù)），每一次綠燈一個車道內(nèi)能通過的

等候車輛數(shù)為1。輛（車頭超過停車線即為通過），且每輛車加速通過A路口.

任務(wù)L用含1的代數(shù)式表示丫，并求$關(guān)于，的函數(shù)表達式：

任務(wù)2：求第10輛車從啟動到車頭到達停車線1的時間以及綠燈持續(xù)時間。的值.

任務(wù)3：A路口綠燈亮起后，第一輛車的勻速車速處于什么范圍時，可在8路口綠燈第一次亮起期間通過

停車線2?

3—

【答案】任務(wù)1：v=3t,s=5/；任務(wù)2：第10輛車從啟動到車頭到達停車線1的時間為聞秒，綠燈持

續(xù)時間。的值為24；任務(wù)3：當(dāng)12<vV18米/秒時，可在8路口綠燈第一次亮起期間通過停車線2

【分析】任務(wù)1：根據(jù)題意可知v=3f,代入s=3進行計算即可：

任務(wù)2：s=T產(chǎn)=5x9,求出t的值，再計算總時間即可；

任務(wù)3：設(shè)加速階段時用為/秒，則勻速階段速度為允米/秒，令l產(chǎn)+3/（53—）=900,以及

3產(chǎn)+3/（77-。=900,分別求解即可求出.

【詳解】任務(wù)L解：由表格可知，v=3t,團s=3=g產(chǎn).

任務(wù)2：解：5=5廠=5x9,回加速時間f=5/§^秒（?>0）,

回。為整數(shù)，病<6，團總時間為6+9x2=24秒<25秒，回。=24,

團第10輛車從啟動到車頭到達停車線1的時間為病秒，綠燈持續(xù)時間。的值為24.

任務(wù)3：解：由題意，第一輛車啟動至到達B綠燈所需時間f滿足534"77秒

設(shè)加速階段用時為f秒，則勻速階段速度為小米/秒

3

令萬產(chǎn)+3r（53_f）=900,解得:t,=100（舍去），12=6,

團勻速階段速度為3t=18米/秒令,2+3乂77-）=900,

解得：4=150（舍去），4團勻速階段速度為3r=12米/秒

國當(dāng)12<vV18米/秒時，可在B路口綠燈第一次亮起期間通過停車線2.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的求解，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?河南周口?校聯(lián)考二模）放風(fēng)箏是人們喜愛的戶外運動，我國很多城市有風(fēng)箏節(jié).濰坊風(fēng)箏節(jié)上

放飛中國空間站并實現(xiàn)神舟號與空間站的對接讓渺渺震撼不已，并打算仿制一個水母風(fēng)箏.如圖所示，水

母的頭部是一個近似的拋物線，渺渺以白紙的左下角為原點。建立了一個直角坐標系并在其中繪制了連

續(xù)的幾個水母頭部.若最左側(cè)的拋物線可以用、=內(nèi)2+/（4x0）表示.拋物線上8、C兩點到紙的最底端

313

距離均為W機，到紙的左側(cè)0A的距離分別為5犯5根.

⑴求第一個拋物線的函數(shù)關(guān)系式并求出圖案最高點到紙的最底端距離；

⑵如果這張紙長為10m,渺渺最多可以連續(xù)繪制幾個水母頭部的圖案？

【答案】（1）第一個拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-f+2x,圖案最高點到紙的最底端距離為1m

（2）渺渺最多可以連續(xù)繪制5個水母頭部的圖案

【分析】（1）根據(jù)題意求得8（J,I）,C（|,|）,解方程組求得拋物線的函數(shù)關(guān)系式為

y=—*+2x；根據(jù)拋物線的頂點坐標公式得到結(jié)果；

（2）令y=。，即-尤?+2x=0,解方程得到占=o,X2=2,即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）根據(jù)題意得：B（）,［）,C（1,［）,把8,c代入>=依2+法

2424

44?

得393J解得：.?比物線的函數(shù)關(guān)系式為「42盯

—=—a+—b

〔442

-22

，圖案最高點到地面的距離=7K=1m;

4x（-1）

（2）令y=。，HP—x2+2x=0,.，.匕=。，&=2,r.10+2=5,

最多可以連續(xù)繪制5個水母頭部的圖案.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2023?安徽?統(tǒng)考模擬預(yù)測）行駛中的汽車，在剎車后由于慣性，還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停

止，這段距離稱為"剎車距離為了了解制造車間某型號汽車的剎車性能，工程師進行了大量模擬測試,

得出汽車A剎車后剎車距離y（單位：〃z）與剎車時的速度x（單位：m/s）滿足二次函數(shù)

y^0.08x2+bx+c.測得部分數(shù)據(jù)如下表:

剎車時車速（m/s）0510152025

剎車距離（m）06.51731.55072.5

⑴求剎車距離關(guān)于剎車時的速度的函數(shù)表達式（不必寫自變量的取值范圍）；

⑵有一輛該型號汽車A在公路上（限速100km/h）發(fā)生了交通事故，現(xiàn)場測得剎車距離為99m,請問司機

是否因為超速行駛導(dǎo)致了交通事故？請說明理由；⑶制造車間生產(chǎn)另一型號汽車2,其剎車距離y（單

位：利）與剎車速度x（單位：m/s）滿足：y=0.12x2+/3x,若剎車時車速滿足在10WxW20范圍內(nèi)某一

數(shù)值，兩種型號汽車的剎車距離相等，求0的取值范圍.

【答案】⑴V=008/+0.9X⑵該司機是因為超速行駛導(dǎo)致了交通事故，理由見解析⑶身處；

【分析】（1）把（0，。），（5,6.5）代入丁=0.08/+如+?？傻脛x車距離關(guān)于剎車時的速度的函數(shù)表達式為

y=0.08x2+0.9x；（2）結(jié)合（1）令y=99得：彳=3?；蜥?-?（舍去），根據(jù)

30m/s=108knVh>100knVh,即可得到答案；⑶由題意得；?！?><2。2+2?！?。+0.9x2?！山?/p>

得答案.

c=06=0.9

【詳解】(1)把(0,0),(5,6.5)代入y=0.08Y+a+c得:2+5b+c=6.5,解得

c=0

國剎車距離關(guān)于剎車時的速度的函數(shù)表達式為y=0.08/+0.9x；

（2）該司機是因為超速行駛導(dǎo)致了交通事故，理由如下：

在、=。.08丁+0.9工中，令y=99得：99=0.08x2+0.9%,解得：x=30或彳=-乎（舍去）,

03Om/s=lO8knVh>lOOknVh,回該司機是因為超速行駛導(dǎo)致了交通事故；

（3）00.12>0.08,汽車2剎車距離的函數(shù)圖象更靠近y軸,

由題意得4小1。：+1。公0-。8*1。7。.9><1。

[0.12x202+20/7>0.08x202+0.9x20解得：小4

【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式.

8.（2023?河南洛陽?校聯(lián)考一模）如圖，是某水上樂園為親子游樂區(qū)新設(shè)滑梯的示意圖，其中線段上4是豎

直高度為6米的平臺，滑道分為兩部分，其中段是雙曲線y=U,BCD段是拋物線的一部分，兩滑道

的連接點B為拋物線的頂點，8點的豎直高度為2米，滑道與水平面的交點。距尸O的水平距離為8米，

以點O為坐標原點建立平面直角坐標系，距直線尸。的水平距離為x.

⑴請求出滑道38段y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)滑行者滑到C點時，距地面的距離為1米，求滑行

者此時距滑道起點A的水平距離；⑶在建模實驗中發(fā)現(xiàn)，為保證滑行者的安全，滑道BCD落地點。與最

OP1

高點B連線與水平面夾角應(yīng)不大于45。，—求OD長度的取值范圍.

19

【答案】（1）滑道段y與尤之間函數(shù)關(guān)系式為y=-5（尤一6）一+2

（2）滑行者距滑道起點的水平距離為（4+忘）米⑶8<OD<12

【分析】（1）由2在雙曲線>=?上，且根據(jù)題意為=2,得到3（6,2）,由2為拋物線BCD的最高點,

可設(shè)拋物線3CQ的解析式為y=a（x-6y+2,滑道與水平面的交點。距P。的水平距離為8米，得到點D

的坐標為（8,0）,把（8,0）代入y=a（x-6y+2得，0=a（8-6）2+2,解得a=-；,即可得到拋物線的解析

式；（2）依據(jù)前面的解析式求出A、C的橫坐標，它們的差距即為所經(jīng)過的水平距離;

（3）先判斷。。的最小值，再根據(jù)已知求出0。最大值即可.

1?

【詳解】（1）解：3在雙曲線y上，且根據(jù)題意為=2,團3（6,2）,

為拋物線BCD的最高點，則設(shè)拋物線BCD的解析式為y=a（x-6）2+2,

回滑道與水平面的交點。距尸。的水平距離為8米，回點D的坐標為（8,0）,

把（8,0）代入y=o（x-6『+2得，0=4/（8-6）2+2,解得a=-；,

19

回滑道段y與x之間函數(shù)關(guān)系式為y=-Q（x-6）-+2；

（2）令上式，=1時，則l=-：（x-6『+2,解得x,=6+0,x,=6-V2（不合題意，舍去），

團C（6+后,1）,將》=6代入y=,中得x=2,E1A（2,6）,

06+A/2-2=4+A/2,此時滑行者距滑道起點的水平距離為（4+應(yīng)）米；

⑶解：根據(jù)上面所得3（6,2）,當(dāng)。（8,0）時，ZBED=9Q°,BE=DE=2,止匕時々">=45。，

則D點不可往左，可往右，的最小值為8,

OP1

X0—>-,0（9D<2OP=12,08<OZ）<12.回0。長度的取值范圍為84ODV12.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)和反比例函數(shù)的實際應(yīng)用，用到了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、求函

數(shù)圖象上點的坐標等知識，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

9.（2023?安徽滁州??？级＃┍本┒瑠W會的召開激起了人們對冰雪運動的極大熱情，如圖是某小型跳臺

滑雪訓(xùn)練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺終點A做水平線的垂線為y軸，建立平

面直角坐標系，圖中的拋物線6：>=-卷/+4彳+1近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某滑雪愛好者小劉

從點。正上方A點滑出，滑出后沿一段拋物線C?：y=-：V+6x+c運動.

O

⑴小山坡最高處的高度是—米；⑵小劉在某次訓(xùn)練中，滑到離A處的水平距離為6米時，達到滑行的

最大高度了米（相對于水平線），在這次訓(xùn)練中，當(dāng)小劉滑出后離A的水平距離為多少米時，他滑行高度

與小山坡的豎直距離為工米？⑶小劉若想滑行到最大高度時恰好在坡頂正上方，且與坡頂距離不低于3

米，求跳臺滑出點的最小高度.

【答案】（1）7（2）運動員與小山坡的豎直距離為'米⑶跳臺滑出點的最小高度為2米

145

【分析】（1）由＞=-五/+耳升|的頂點為（8,7）,即可解得答案.（2）設(shè)運動員運動的水平距離為機米

時，運動員與小山坡的豎直距離為1米，依題意列出方程，解出加即可；（3）先求出6,再根據(jù)與坡頂距

離不低于3米列出關(guān)于。的不等式，即可解得答案.

【詳解】（1）y=-'/+；欠+[=-卷（N-16x）+g=-4（刀-8）2+4*64+|=-4（x-8）2+7故答案為：7；

17

（2）V小劉滑到離A處的水平距離為6米時，其滑行高度最大為[米，

b

???丁=-7工2+云+。的頂點為（6,，），c=4,2x（八-6,解得。=彳，

82,（一？2

設(shè)運動員運動的水平距離為加米時，運動員與小山坡的豎直距離為二米，

24

依題意得：+-|m+4）-（--i-m2+^m+!）=^i,

OZ1Z33Z4

整理得：（根+5）（〃-8）=0,解得：叫=8,m2=-5（舍去）,

■.運動員運動的水平距離為9米時，運動員與小山坡的豎直距離為三米;

24

I451

（3）拋物線￡:，=一丘/+耳％+§=_/（1_8）2+7,

?________=9Q1o

2

當(dāng)x=9時，運動員到達坡頂，“2x(=.-.C2-.y=--x+-x+c,

與坡頂距離不低于3米,解得：C22..?.跳臺滑出點的最小高度為2米.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，并能將實際

問題與二次函數(shù)模型相結(jié)合.

10.（2023?江蘇泰州??？级＃┤鐖D，已知拋物線y=&+"+c與x軸分別交于A（-l,0）、3（3,0）兩

點，與y軸交于點c,且O3=oc.⑴求拋物線的函數(shù)表達式：⑵如圖1,點。是拋物線頂點，點

是在第二象限拋物線上的一點，分別連接3D、BC、BP,若NCBD=NABP,求加的值；⑶如

圖2,若N54C的角平分線交>軸于點G,過點G的直線分別交射線43、AC于點E、F(不與點A重

圖1圖2

【答案】⑴y=/-2x-3；⑵一:；⑶不變，J。；臚.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式即可；(2)如圖，過尸作PKJLM于K,連接C。，

先求頂點。。,一4),證明/BCD=90。，tan/D2C=g=：,則tan/CB。=tanZABP=：,再列方程求解

BCJ3

即可；(3)過G作MG||x軸交AC于M,過尸作FT〃彳軸交AG于T,過C作CQ〃x軸交4G于。，證

明△CQ4SACGM,AACQSAAMG,可得上+工=與，同理可得：工+上=與，從而可得答

OAACGMAEAFGM

案.

【詳解】(])解：：拋物線y=?^+bx+c與X、y軸分別交于A(TO)、3(3。)兩點

,設(shè)拋物線為：j=a(x+l)(a-3),-.-OB=OC=3,；.C(0,—3),

把點C(0,-3)代入y=a(x+l)(a-3),..3a=-3,解得q=l

所以拋物線解析式為y=a(x+l)(x-3)=d—2x—3；

*.*y=x2—2x—3=（x—I）2—4,頂點"D（L—4）,

.\CD2=（l-0）2+（-4+3）2=2,5c2=32+32=18,BD2=（3-l）2+（0+4）2=20,

CD1

:.CD2+BC2=BD2,CD=6，BC=36，-^BCD=90°tanZDBC=-=-,

nC5

?.?ZCBD=ZABP/.tanZCBD=tanZABP=-

3

m2-2m-31

P（m,ri）,m<0,n>0BK=3-m,PK=n=rri1—2m—3

3-m3

444

..?加=-g,經(jīng)檢驗加=-§是方程的解且符合題意；即加的值為-

（3）解：不變，求解過程如下:

過G作MG||x軸交AC于M,過/作FT〃x軸交AG于T,過。作。。〃工軸，如圖:

團MG||x軸，F(xiàn)T〃x軸，CQ〃x軸，：.MG//FT//CQ//OAf

GM_CMGM_AM

回△^ACQ^^AMG,

COA^&CGM,~AO~^C'~CQ~^C

_G_M_?_G__M=_C_M_?_A_M_=]1,--I-1--I-=--I-

OACQACAC9'AOCQGM

?.?AG平分NB4C,ZCAG=ZBAG=ZAQC,/.AC=CQ,

---1---=---,同理可得：----1---=---

AOACGMjAEAFGM

由（1）可知：A（-I,O）,c（o,-3）,...OA=I，

11111,Vio10+Vio,11在占法10+質(zhì)丁

—+——=——=—+——=i+--=——-—，——--不變71V?

AEAFGMAOAC1010AEAF10

【點睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理及其逆定理

的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

11.（2023?福建寧德?統(tǒng)考一模）如圖1,拋物線y=與直線丫=根（加是常數(shù)）交于A,B兩點（點

A在點8的左邊），且AOR是直角三角形.⑴求機的值；⑵如圖2,將拋物線y=：/向下平移，得到

拋物線y=Jx2-左，若拋物線>=</-左與直線y=m交于c,。兩點（點C在點。的左邊），與無軸正半軸

44

交于點E.求證：ACDE是直角三角形；（3）如圖3,若拋物線y=a（x-〃y-4（a>0）與直線y=5交于

M,N兩點（點M在點N的左邊），點K在拋物線y=o（x-%）2-4上，當(dāng)△MVK是直角三角形時，直接寫

出點K的坐標.（用含。，力的代數(shù)式表示）

aaaa

【分析】（1）設(shè)AB與y軸的交點為P.可得AOAB是等腰直角三角形，進而可得點8的坐標為（皿〃?）.將

其代入y=J/即可求解；（2）分別過點C,。作軸于點H,OQ,X軸于點Q.可通過證

VC8ESVE0D求證，也可通過勾股定理的逆定理求證；（3）設(shè)平移后得到.過點K'作

x軸的平行線B分別過點AT,N作MZ，。于點3NTL%于點、「證Rt&WZKsRt^KTM即可求解.

【詳解】（[）解：如圖1,設(shè)AB與y軸的交點為P.

團丫=機平行于x軸，y=的圖象關(guān)于y軸對稱，SOP1AB,OA^OB.

回AQW是等腰直角三角形.團NABO=NB49=45。.^\OP=PB.回點B的坐標為（加,機）.

團點3（帆,帆）在拋物線y二上，回加=[加2.團羽。0,回根=4.

44

（2）證明：如圖2,分別過點C,。作CH,無軸于點“，QQLx軸于點Q.

_.y=^-x2-k,[%=2〃+4,[%=-2〃+4,

2

聯(lián)立/4解得]44

y=4.〔％=4.[%=4.

團點C的坐標為卜24Tz,4），點D的坐標為（2^/^^,4）

將）=0代入y=；%2—左，解得石=2jl,巧=—2荻（舍去）.

團點E的坐標為（2j^,0）團EQ=2A/^+4—2y/k,QD=4,EH=2y/k+2〃+4,CH=4.

CHEH

證法一：團—2女)(2a+27TT7)=4a+4)—4左=16,^\EQEH=QDCH.0—=—.

￡QQD

團ACHE=NEQD=90°,回VCJffi^VEQD.回ACEH=ZEDQ.

^ZDEQ+ZEDQ=90°.^ZDEQ+ZCEH=90°.0ZDEC=90°.回ACDE是直角三角形.

證法二：在Rt^CHE中，根據(jù)勾股定理，得EC。=C尸+HE。=42+(2次+=32+8后+8也(4+后).

同理可得即2=32+8)-8)左(4+公.SEC2+ED2=64+i6k.

(HCD2=[2-Jk+4-(-27TF4)]2=64+16fc13EC2+ED2=CD2.EIACDE是直角三角形.

(3)解：點K的坐標為①+叵三,5」)，或①-叵三,5」).

aaaa

將拋物線y=a(x-li)2-4向左平移h個單位得到拋物線y=ax2-4.設(shè)AMNK平移后得到△加'<,

如圖3.過點K作x軸的平行線耳分別過點M',N作于點3NT上％于點、T.

W

城一心

3y

聯(lián)立a

Ji=5;

回點M'的坐標為(-區(qū)，5),點V的坐標為(2①,5).

設(shè)K'的坐標為(加，am2-4),MrL=t.回，=5-(。/-4)=9一劭？.

易證RtAMZKsRtATTTV，.RLK?KT=NT-MI.

222

gpf=+m)(^^-m)=--m=—(9-am),^\t=-t,

aaaaa

團,wO,Bt=—.回點K'的縱坐標為5-工，即點K的縱坐標為5-工.

aaa

解方程“(x-/7)2-4=5—工，得x=〃±^El.團點K的坐標為(4+或(無一

aaaaaa

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用.需要學(xué)生熟練掌握二次函數(shù)的各項性質(zhì).

2,

12.(2023?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考一模)如圖，拋物線＞廠+灰+。與x軸交于點A和點2(3,0),與y軸交于

點C(0,2),點。是拋物線上一動點.(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1,當(dāng)點。在直線8C上方時，作

小，x軸于點E交直線BC于點E,當(dāng)=時，求點。的坐標；⑶點P在拋物線的對稱軸/

上，點。是平面直角坐標系內(nèi)一點，當(dāng)四邊形為正方形時，請直接寫出點。的坐標.

。3(1，-2),<2,(6.5,-2)

【分析】(1)將2,C兩點坐標代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求解即可;

(2)根據(jù)題意可求出直線BC的解析式，由=可證明CD=CE,作CHLDE于則

DH=HE,設(shè)點。的橫坐標為f,分別表達?！焙虷E,建立方程即可得出結(jié)論;

(3)若四邊形BPR2為正方形，則△BPD是等腰直角三角形，且ZBPD=90。，根據(jù)題意畫出對應(yīng)圖形，利

用全等三角形建立方程，即可得出結(jié)論.

2

【詳解】(I).?.y=—灰+c經(jīng)過點5(3,0),點c(o,2)

2~二3二拋物線的函數(shù)解析式為：y=

一二x9+3b+c=024

3解得----X2H—x+2

33

c=2c=2

(2)???。b_Lx軸，二。b〃y軸，,\ZDEC=ZBCO,-.-ZD=ZBCO,:.ZD=ZDECf:.CD=CE,

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m,將3(3,0),C(0,2)代入得其解析式得,

3k+m=0k=--]+2

,解得，3,回直線3C的解析式為y=-

m=2

772=2

作CH_Lr)E于"，如圖，則。7=

設(shè)點0的橫坐標為心則—+g%+2],H(t,2),+2j

:.DH=[--t2+L+21—2=—2/+±HE=2-(--t+2]=-t

I.33)33I.3J3

242(8、

產(chǎn)+y=不解得4=0t2=l:.Dh,-\

24?,8

(3)回>=一耳/+3彳+2=_§(無一iy+耳，回拋物線的對稱軸為x=l,

若四邊形BP。。為正方形，則△BPD是等腰直角三角形，且ZBPQ=9O。，

設(shè)點D的橫坐標為小則毛,-，+?！?2),

如圖2,過點。作于點設(shè)直線/與x軸交于點N,

則Nr>Aff>=N37VP=N3P￡)=90。，PD=BP,N(l,0),0ZDPM+ZMDP=ZBPN+ZDPM,

04MDP=4BPN,MPDM玨BPN(A^),BDM=PN=n-l,BN=PM=2,

243

^\MN=n+\,0n+l=--n2+—n+2,角星得〃=一1或〃=5,

33乙

當(dāng)，=—1時,點。與點A重合，如圖3,尸(1,2),則。。,一2)或尸(1,一2),則。(1,2)；

當(dāng)〃時心則Q(352)；

如圖4,過點。作于點M,設(shè)直線/與無軸交于點N,

同理可證，L.PDM^AfiPMAAS),^\DM=PN=n-l,BN=PM=2,

<2,4>9

0W=zz+l,0?+l=-|--?~+-?+2I,解得〃=_]或〃=],

當(dāng)〃=T時，點。與點A重合，同上；當(dāng)w=|時，一￡|，則0(65-2)；

綜上，點。的坐標為:。(352)或&(1,2)或03(1，-2)或Q(6.5,-2)

【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定等

相關(guān)知識，解題關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化思想對已知信息進行轉(zhuǎn)化，將=轉(zhuǎn)化為CD=CE,將正方形的

存在性轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形的存在性.

13.(2023,廣東茂名?統(tǒng)考二模)如圖，在直角坐標系中有一直角三角形AO3,。為坐標原點，04=1,

tanZBAO=3,將此三角形繞原點0逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△DOC,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、

8、C.⑴求拋物線的解析式；⑵若點P是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，其橫坐標為3

①是否存在一點尸，使APCD的面積最大？若存在，求出APCD的面積的最大值；若不存在，請說明理

由.②設(shè)拋物線對稱軸/與x軸交于一點E,連接尸E,交CD于F,直接寫出當(dāng)△CE尸與△CO。相似

時，點尸的坐標.

【答案】⑴y=f2-2x+3⑵①存在，最大值為N，理由見解析；②尸(—1,4)或(—2,3)

【分析】(1)根據(jù)正切函數(shù)，可得03=3,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OC=03=3,據(jù)此求出A、B、C的坐

標，再利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式；

(2)①可求得直線。的解析式，過尸作軸于點N,交。于點可用/表示出的長，當(dāng)

尸河取最大值時，貝gPCD的面積最大，可求得其最大值；②當(dāng)NCFE=90。時，^CFE^COD,過點尸

FMFFOD1

作尸河Lx軸于〃點，證明AEFCSAHWP,得到=進而推出MP=3ME,貝ij

MPCFCO3

-r2-2r+3=3(-l-r),解方程即可；當(dāng)NCEF=90。時，ACEFS^COD,此時，PELx軸，則尸(-1,4).

【詳解】(1)解：在中，OA=1,tanZBAO=—=3,..05=304=3,

0A

?「△DOC是由AAOB繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。而得到的，.?。。=。3=3.

.'.A,B,C的坐標分別為(1,0),(0,3),(-3,0),

a+b+c=0a=-l

代入解析式得：9〃-3b+c=0,解得：。=-2,.?.拋物線的解析式為＞=-/_2%+3；

c=3c=3

121

(2)解：①存在點尸使APCD的面積最大，APCD的面積有最大值為五.

理由如下：設(shè)直線CZ)解析式為y=

—3k+m=0k=-???直線CD解析式為y=；x+1,

把。兩點坐標代入可得:

Cm=l,解得：3

如圖2,過尸作PNJ_尤軸，交X軸于點N,交直線CO于點

???P點橫坐標為f,.?.PN=f2-2f+3,MN=5+1,點在第二象限，點在M點上方,

-_PM=PN