2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：雙曲線(xiàn)及其性質(zhì)（十一大題型）（講義）（學(xué)生版+解析）

第06講雙曲線(xiàn)及其性質(zhì)

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航.............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航.............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究.............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：雙曲線(xiàn)的定義..........................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：雙曲線(xiàn)的方程'圖形及性質(zhì)..............................................4

解題方法總結(jié)....................................................................7

題型一：雙曲線(xiàn)的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程..................................................7

題型二：雙曲線(xiàn)方程的充要條件...................................................10

題型三：雙曲線(xiàn)中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問(wèn)題...............................11

題型四：雙曲線(xiàn)上兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題.............................................13

題型五：雙曲線(xiàn)上兩線(xiàn)段的和差最值問(wèn)題...........................................14

題型六：離心率的值及取值范圍...................................................16

方向1：利用雙曲線(xiàn)定義去轉(zhuǎn)換...................................................16

方向2：建立關(guān)于a和c的一次或二次方程與不等式.................................17

方向3：利用e=|j,其中2c為焦距長(zhǎng)，2°=|阿卜|尸聞..............................18

方向4：坐標(biāo)法.................................................................18

方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理...............................................19

方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理...............................................20

方向7：利用基本不等式.........................................................21

方向8:利用漸近線(xiàn)的斜率求離心率...............................................22

方向9：利用雙曲線(xiàn)第三定義.....................................................23

方向10:利用對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)焦半徑的取值范圍［c-a,+8)...................................................................24

題型七：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問(wèn)題..............................................25

題型八：利用第一定義求解軌跡...................................................27

題型九：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn).........................................................30

題型十：共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線(xiàn)...................................................32

題型十一：雙曲線(xiàn)的實(shí)際應(yīng)用.....................................................35

04真題練習(xí)?命題洞見(jiàn)............................................................37

05課本典例?高考素材............................................................38

06易錯(cuò)分析?答題模板............................................................40

易錯(cuò)點(diǎn)：雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)位置考慮不周全...............................................40

答題模板：求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程...................................................40

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

雙曲線(xiàn)是圓雉曲線(xiàn)的重要內(nèi)容，但從總體上

2024年天津卷第8題，5分

看，雙曲線(xiàn)的考試要求要比橢圓和拋物線(xiàn)低，在

2024年甲卷(理)第5題，5分

(1)雙曲線(xiàn)的定義與標(biāo)高考中雙曲線(xiàn)的試題以選填題為主，解答題考查

2023年甲卷(文)第8題，5分

準(zhǔn)方程雙曲線(xiàn)的可能性不大.在雙曲線(xiàn)的試題中，離不

2023年天津卷第9題，5分

(2)雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)開(kāi)漸近線(xiàn)的考查，幾乎所有雙曲線(xiàn)試題均涉及漸

2023年北京卷第12題，5分

近線(xiàn)，因此雙曲線(xiàn)的試題中，最為重要的是三

2023年I卷第16題，5分

點(diǎn)：方程、漸近線(xiàn)、離心率.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)了解雙曲線(xiàn)的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)掌握雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線(xiàn)).

(3)了解雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

倒2

屈1世屈圖?更雉弘瓦、

雙曲線(xiàn)及其性質(zhì)

------

知識(shí)J

知識(shí)點(diǎn)1：雙曲線(xiàn)的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)￡,用的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于陽(yáng)1|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn)

（這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)）.用集合表示為｛⑼周|=2°（0<2°<用磯）｝

注意：（1）若定義式中去掉絕對(duì)值，則曲線(xiàn)僅為雙曲線(xiàn)中的一支.

（2）當(dāng)2°=寓閭時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以耳和耳為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)；當(dāng)24=0時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段耳耳的

垂直平分線(xiàn).

（3）2a>|耳閭時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.

在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)注意以下兩點(diǎn)：

①條件"閨g|>2a”是否成立；②要先定型（焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上），再定量（確定"，/的值），注意

。2+〃=，2的應(yīng)用.

【診斷自測(cè)】雙曲線(xiàn):-看=1的左右焦點(diǎn)分別是片與耳,胡是雙曲線(xiàn)左支上的一點(diǎn)，且恢用|=7,則

|5|=（）

A.IB.13C.1或13D.3

知識(shí)點(diǎn)2：雙曲線(xiàn)的方程、圖形及性質(zhì)

雙曲線(xiàn)的方程、圖形及性質(zhì)

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程/一第=1(。>0,b>0)?…6>0)

圖形

"a

焦點(diǎn)坐標(biāo)耳(-c,0),F2(C,O)6(0,-c),F2(0,C)

對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x,y軸成軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)

頂點(diǎn)坐標(biāo)4（一名0）,4（。,0）4(0,〃)，4(0,-a)

范圍|x|>aea

實(shí)軸、虛軸實(shí)軸T￡為2。，虛軸長(zhǎng)為2b

c

離心率卜

令=Ony=±",人/fa

令———-=0^>y=±—x,

漸近線(xiàn)方程abaa2b2b

焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為b焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為b

>1,點(diǎn)Oo/o）在雙曲線(xiàn)內(nèi)

>1,點(diǎn)（X。,%）在雙曲線(xiàn)內(nèi)

x2y2（含焦點(diǎn)部分）

點(diǎn)和雙曲線(xiàn)-------《（含焦點(diǎn)部分）

a2b2=1,點(diǎn)（X。,九）在雙曲線(xiàn)上--------

的位置關(guān)系a2b2=1,點(diǎn)（%,%）在雙曲線(xiàn)上

<1,點(diǎn)（X。,％）在雙曲線(xiàn)外

<1,點(diǎn)（%,%）在雙曲線(xiàn)外

共焦點(diǎn)的雙2222

,J.=1(a2<k<b')22

22,,2,=1(a<k<b)

曲線(xiàn)方程a+kb-ka+kb-k

共漸近線(xiàn)的22

十…5臺(tái)冷…

雙曲線(xiàn)方程

=x

切線(xiàn)方程一號(hào)一碧^二l,（x（）/o）為切點(diǎn)^2~~~7Tt(o^o)為切點(diǎn)

abab

對(duì)于雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)所在的切線(xiàn)方程，只需將雙曲線(xiàn)方程中/換為七X,/換成

切線(xiàn)方程

JV便得?

切點(diǎn)弦所在竽一年山"0）為雙曲線(xiàn)

岑-等=1,（%,%）為雙曲線(xiàn)外一點(diǎn)

直線(xiàn)方程ab

外一點(diǎn)

點(diǎn)（X。,%）為雙曲線(xiàn)與兩漸近線(xiàn)之間的點(diǎn)

設(shè)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)兩交點(diǎn)為4網(wǎng),必），3（馬,先），

2

則弦長(zhǎng)|力同=A/1+k?|xj—x2|=

弦長(zhǎng)公式

忖-司=’（%+Z）2-4%馬=杏，其中是消"y"后關(guān)于“x”的一元二次方程

\a\

的“%2，，系數(shù).

2b之

通徑通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于￡￡的弦）是同支中的最短弦，其長(zhǎng)為竺

a

雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)尸（%,%）與兩焦點(diǎn)耳耳構(gòu)成的KPFE成為焦點(diǎn)三角形，

2b2

設(shè)組PF1=e,\PF\=rx,\PF2\=r2,貝Ucos6=l,

r\r2

yh^（wo）

焦點(diǎn)三角形

c1.?sin。b2|c|%,焦點(diǎn)在X軸上

Sf=2^m9=X-c9bj2=‘a(chǎn)n二品，焦點(diǎn)在例上，

2

焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是

[^PF1\-\PF2^=2a（2a>2c）

]閨凡上附「+1時(shí)「_2附歸用cosN/PE

等軸雙曲線(xiàn)滿(mǎn)足如下充要條件：雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)=離心率

等軸雙曲線(xiàn)e=4^o兩漸近線(xiàn)互相垂直=漸近線(xiàn)方程為尸±xo方程可設(shè)為

x2—y2=2（2w0）

【診斷自測(cè)】（2024?山東濟(jì)南?三模）已知雙曲線(xiàn)G過(guò)點(diǎn)/（一加,1）,且與雙曲線(xiàn)。2：/-3/=1有相同的

漸近線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)G的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

B/*-1

124

c.D.

解題方法總結(jié)

(1)雙曲線(xiàn)的通徑

2

過(guò)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)且與雙曲線(xiàn)實(shí)軸垂直的直線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段，稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的通徑.通徑長(zhǎng)為2生A.

a

(2)點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系

對(duì)于雙曲線(xiàn)］/=1(穌6>0),點(diǎn)尸(七,%)在雙曲線(xiàn)內(nèi)部，等價(jià)于可一￡>1.

abab

點(diǎn)尸(X。，%)在雙曲線(xiàn)外部，等價(jià)于鳥(niǎo)-條<1結(jié)合線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析.

ab

(3)雙曲線(xiàn)常考性質(zhì)

ab

性質(zhì)1：雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到兩條漸近線(xiàn)的距離為常數(shù)6；頂點(diǎn)到兩條漸近線(xiàn)的距離為常數(shù)

性質(zhì)2：雙曲線(xiàn)上的任意點(diǎn)尸到雙曲線(xiàn)。的兩條漸近線(xiàn)的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)彳；

c

(4)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)三角形面積為三(可以這樣理解，頂點(diǎn)越高，張角越小，分母越小，面積越大)

ta/

2

(5)雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)

22

點(diǎn)〃(%,%)在雙曲線(xiàn)與=1(°>0,6>0)上，過(guò)點(diǎn)M作雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為誓-顰=1.若點(diǎn)

abab

在雙曲線(xiàn)4=1(°>0,6>0)外，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)切點(diǎn)弦方程為誓一程=1

abab

題型一：雙曲線(xiàn)的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

【典例1-1】已知片，E是平面內(nèi)兩個(gè)不同的定點(diǎn)，則TI即|-|崢||為定值”是“動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以月,

月為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【典例1-2】（2024?北京門(mén)頭溝?一模）已知雙曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1）,離心率為2,則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

v2

A.尤2-J_=iB.—=1

33

,2,2

c.戶(hù)上D.--x2=l

3

【方法技巧］

求雙曲線(xiàn)的方程問(wèn)題，一般有如下兩種解決途徑:

（1）在已知方程類(lèi)型的前提下，根據(jù)題目中的條件求出方程中的參數(shù)a,b,c,即利用待定系數(shù)法

求方程.

（2）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)軌跡滿(mǎn)足的條件，來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線(xiàn)，然后求解方程中的參數(shù)，即利用定義

法求方程.

【變式1-1】已知雙曲線(xiàn)中心在原點(diǎn)，一頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,4）,且漸近線(xiàn)方程為x=±2y,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為

()

B.--x2=1

166416

C.X2-^=1D/「I

166416

【變式1-2】化簡(jiǎn)方程X-5)2+y2=8的結(jié)果是（）

2222

A___-=\B.土-匕=1

-43916

DY/

C.u.----------1

2516169

22

【變式1-3】雙曲線(xiàn)C：會(huì)一方=1（。>0/>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為片、F2,點(diǎn)N（/l）在雙曲線(xiàn)。上，且滿(mǎn)足

麗?碧=0,則雙曲線(xiàn)。的標(biāo)準(zhǔn)方程為一.

2222

【變式1-4］（2024?西藏拉薩?二模）已知雙曲線(xiàn)C:2唾=1（。>0/>0）與5-：=1有相同的漸近線(xiàn)，

且直線(xiàn)工-2^-嶼=0過(guò)雙曲線(xiàn)61的焦點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

22

【變式1-5】若雙曲線(xiàn)。與雙曲線(xiàn)3-工=1有相同的漸近線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2后,后），則雙曲線(xiàn)。的標(biāo)準(zhǔn)

方程是

【變式1-6】已知雙曲線(xiàn)r：1-<=l（a>0,b>0）,四點(diǎn)/（6,e）、d4,孚;C（5,2）、D（-5,-2）中恰

有三點(diǎn)在：T上，則雙曲線(xiàn)「的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【變式1-7］（202牛江西南昌?一模）已知中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)E的離心率為2,右頂點(diǎn)為A,過(guò)E的左焦

點(diǎn)F作x軸的垂線(xiàn)/,且/與E交于M,N兩點(diǎn)，若AN九W的面積為9,則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【變式1-81（1）若雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（3,9近），離心率e=平，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)若雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)尸(2,-1),漸近線(xiàn)方程是y=±3x,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為

22

(3)若雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)乙-土=1有共同的漸近線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)加(3,-2),則其標(biāo)準(zhǔn)方程為

43

題型二：雙曲線(xiàn)方程的充要條件

22

【典例2-1】雙曲線(xiàn)方程為一+占=1,則無(wú)的取值范圍是()

陶一25-K

A.k>5B.2<k<5C.-2<k<2D.一2〈左<2或左>5

22

【典例2-2】(2024?河北石家莊?二模)已知曲線(xiàn)匕=1?！?),貝上加?(0,6)”是“曲線(xiàn)。的焦點(diǎn)在x

6m

軸上”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

【方法技巧】

22

土+匕=1表示橢圓的充要條件為：m>0,n>0,m^n；

mn

工+匕=1表示雙曲線(xiàn)方程的充要條件為：加"<0；

mn

二+廣=1表示圓方程的充要條件為：加=〃>0.

mn

22

【變式2-1】方程^+工=1表示雙曲線(xiàn)的必要不充分條件可以是()

m+3m-\

A.me(-3,1)B.me(-3,-l)u(-l,l)

C.加G(—3,+8)D.me(-3,-1)

【變式2-2]（2024?廣東佛山?二模）已知方程孫+m+幼+尸=0,其中

A>B>C>D>E>F.現(xiàn)有四位同學(xué)對(duì)該方程進(jìn)行了判斷，提出了四個(gè)命題：

甲：可以是圓的方程；乙：可以是拋物線(xiàn)的方程；

丙：可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；?。嚎梢允请p曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

其中，真命題有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式2-3]“0<〃<2，堤“方程工+工=1表示雙曲線(xiàn)”的（）

〃+1〃一3

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

題型三：雙曲線(xiàn)中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問(wèn)題

22

【典例3』】⑵24?高三重慶?開(kāi)學(xué)考試）設(shè)叱為雙曲線(xiàn)土卜1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)尸是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn),

且/RPR=90°,則△耳尸區(qū)的面積為.

【典例3-2】已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為6耳，過(guò)片的直線(xiàn)與左支交于48兩點(diǎn)，若|Z月=5,且雙曲

線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為8,則△/叫的周長(zhǎng)為

【方法技巧】

對(duì)于題中涉及雙曲線(xiàn)上點(diǎn)到雙曲線(xiàn)兩焦點(diǎn)距離問(wèn)題常用定義，即||「片|-|「工||=2。，在焦點(diǎn)三角形

面積問(wèn)題中若已知角，則用5.何=50/訃|尸尸2卜由6，儼片|-|「工||=2口及余弦定理等知識(shí)；若未知

角，則用5Ap尸低=Q.2c?1丹卜

fL

【變式3-1】已知雙曲線(xiàn)1-V=1（。＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,實(shí)軸長(zhǎng)為2百，P為雙曲線(xiàn)右支上

a

一點(diǎn)，且滿(mǎn)足|尸印2_1尸印2=4小，貝?。荨魇兜闹荛L(zhǎng)為.

22

【變式3-2】已知雙曲線(xiàn)1_一2_=1的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,過(guò)用的直線(xiàn)交該雙曲線(xiàn)于點(diǎn)A、B,且

福.麗=0,可+2項(xiàng)=0,則A片的面積為_(kāi).

2

【變式3-3】已知不g是雙曲線(xiàn)X?-匕=1的左右焦點(diǎn)，過(guò)月的直線(xiàn)/交雙曲線(xiàn)右支于48兩點(diǎn)，不々分別

3一

是片片和△姐片的內(nèi)切圓半徑，則馬的取值范圍是.

【變式3-4］（2024?廣東珠海?一模）已知點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C:片-匕=1上，R,用分別是雙曲線(xiàn)C的左、右

6436

焦點(diǎn)，若△尸石月的面積為45,則歸國(guó)+|尸不上—.

22

【變式3-5］（2024?廣西?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)。的方程為土—匕=1,其左右焦點(diǎn)分別為耳，耳，已知

169

西?西逝?西

點(diǎn)尸坐標(biāo)為（4,2）,雙曲線(xiàn)C上的點(diǎn)。（%,%）（x0>0,為>0）滿(mǎn)足，設(shè)△西鳥(niǎo)的內(nèi)

切圓半徑為z貝什=__，S4F[PQ_SAF^PQ+S/\PF\F2二

題型四：雙曲線(xiàn)上兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題

22

【典例4-1】（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）已知。是雙曲線(xiàn)=上任意一點(diǎn)，若。到。的兩

條漸近線(xiàn)的距離之積為。2，則。上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為.

22

【典例4-2】雙曲線(xiàn)土-匕=1（機(jī)>0/>0）的離心率是2,左右焦點(diǎn)分別為耳后,P為雙曲線(xiàn)左支上一點(diǎn),

mn

則國(guó)的最大值是（）

3

A.-B.2C.3D.4

2

【方法技巧】

利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

22

【變式4-1】已知雙曲線(xiàn)C：（■啖=1的左焦點(diǎn)為尸，且P是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，則附的最小值為

22

【變式4-2］（2024?高三?浙江臺(tái)州?期中）已知雙曲線(xiàn)C:=-匕=l（a>0）,尸為左焦點(diǎn)，若。=2,則雙曲

a3

線(xiàn)離心率為；若對(duì)于雙曲線(xiàn)。上任意一點(diǎn)尸，線(xiàn)段尸尸長(zhǎng)度的最小值為1,則實(shí)數(shù)a的值為

【變式4-3】已知片、鳥(niǎo)為雙曲線(xiàn)J-/=i的左、右焦點(diǎn)，尸為雙曲線(xiàn)右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若

4'

△也月內(nèi)切圓的圓心為/,則圓心/到圓/+3_1)2=1上任意一點(diǎn)的距離的最小值為.

題型五：雙曲線(xiàn)上兩線(xiàn)段的和差最值問(wèn)題

【典例5-1】若點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)C：二-且=1右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)A是圓E:/+(y-5『=1上的一點(diǎn)，點(diǎn)3是

169v'

圓尸:(x+5)2+必=1上的一點(diǎn)，則陽(yáng)|+|尸耳的最小值為

22

【典例5-2】尸是雙曲線(xiàn)之一5=1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓卜+5『+必=4和(無(wú)一5)2+/=1上的

點(diǎn)，則|》叨_|尸'的最大值為()

A.6B.7C.8D.9

【方法技巧】

在解析幾何中，我們會(huì)遇到最值問(wèn)題，這種問(wèn)題，往往是考察我們定義.求解最值問(wèn)題的過(guò)程中，如

果發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)P在圓錐曲線(xiàn)上，要思考并用上圓錐曲線(xiàn)的定義，往往問(wèn)題能迎刃而解.

【變式5-1】過(guò)雙曲線(xiàn)V-5=1的右支上一點(diǎn)P,分別向圓G:(x+W+/=4和圓G:(x-4『+V=1作

切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為M，N,則「的最小值為—；此時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo)為一.

【變式5-2】尸是雙曲線(xiàn)C：X-^=1的左焦點(diǎn)，P是C右支上一點(diǎn)，過(guò)P作與直線(xiàn)/：4x-3y=0夾角為

45

45。的直線(xiàn)，并與/相交于點(diǎn)。，則2|尸目+后忸。|的最小值為一.

22

【變式5-3］（2024?貴州遵義?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)C：三一2=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，鳥(niǎo)，點(diǎn)/在

1620

雙曲線(xiàn)C的右支上，若3（-1,-2）,則+M國(guó)的最小值為.

【變式5-4】已知點(diǎn)河0,2）,點(diǎn)尸是雙曲線(xiàn)C：土仁=1左支上的動(dòng)點(diǎn)，月為其右焦點(diǎn)，N是圓

916

。:（x+5）z+y2=l的動(dòng)點(diǎn),則歸的最小值為

【變式5-51P為雙曲線(xiàn)/-（=1右支上一點(diǎn)，M,N分別是圓卜+盯+必=4和（x-4『+/=l上的點(diǎn),

貝”尸川日尸川的最大值為.

【變式5-6】已知雙曲線(xiàn)的方程為=1,點(diǎn)與，鳥(niǎo)是其左右焦點(diǎn)，A是圓/+（了-5『=4上的一點(diǎn),

點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)的右支上，則|孫|+］初4|的最小值是.

22

【變式5-7】P是雙曲線(xiàn)亍-3=1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓（x+3『+r=2和（》-3丫+/=1上的

點(diǎn)，則FM一下川的最大值為.

題型六：離心率的值及取值范圍

方向1:利用雙曲線(xiàn)定義去轉(zhuǎn)換

【典例6-1】已知雙曲線(xiàn)4一/=1（。>0乃>0）的左、右焦點(diǎn)分別為大,鳥(niǎo)，焦距為2c（c>0）.若雙曲線(xiàn)C

右支上存在點(diǎn)P,使得戶(hù)閭=4a,且凡兩與=12",則雙曲線(xiàn)C的離心率6=（）.

A.V5B.-C.>/6+1D.A/13

22

【典例6-2】（2024?河南周口?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)C:0-2=1（。>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，鳥(niǎo),

ab

/___,___,\

過(guò)點(diǎn)不作傾斜角為30。的直線(xiàn)/與C的左、右兩支分別交于點(diǎn)尸，Q,若昌+昌.（京-月0）=0,則

UMIMJ

C的離心率為（）

A.6B.V3C.2D.V5

【變式6-1］（2024?高三?河北邢臺(tái)?開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線(xiàn)M的左、右焦點(diǎn)分別為6月，過(guò)點(diǎn)片且與實(shí)軸垂

直的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)M于48兩點(diǎn).若與為等邊三角形，則雙曲線(xiàn)M的離心率為（）

A.V3B.V2C.2D.V3+1

方向2：建立關(guān)于a和c的一次或二次方程與不等式

22

【典例7-1】已知雙曲線(xiàn)C:，-右=1（〃>0/〉0）的右焦點(diǎn)為尸（。,0）,若a,b,。成等比數(shù)列，則C的離

ab

心率為（）

AA/3—1RV5—10V5+1八V3+1

2222

22

【典例7-2】若雙曲線(xiàn)C：十方=l（a>0]>0）的漸近線(xiàn)與圓（x-2y+j?=3沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)C

的離心率的取值范圍為（）

B.(2,+oo)C.(1,2)

【變式7-1】已知雙曲線(xiàn)C：一衛(wèi)=1（。>0,6>0）的上、下焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,尸是C上支上的一點(diǎn)

ab

（不在y軸上），*與x軸交于點(diǎn)/,VR4耳的內(nèi)切圓在邊/片上的切點(diǎn)為8,若|/邳>26,則C的離心

率的取值范圍是（）

A.（1,亨9B.C.（1,-）D.（―,+℃）

方向3：利用e=,，其中2c為焦距長(zhǎng)，2a=回|一|明|

【典例8-1】已知耳鳥(niǎo)分別是雙曲線(xiàn)C:1-4=1（4〉0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，斜率為a的直線(xiàn)/過(guò)耳，交

C的右支于點(diǎn)B,交V軸于點(diǎn)A,且/胡月=//廖，則C的離心率為（）

A.拽B.逋C.V3D.V5

33

22a

【典例8-2】已知雙曲線(xiàn)C:'-a=1（°>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳,月，過(guò)耳斜率為二的直線(xiàn)與C的右

ab4

支交于點(diǎn)P,若線(xiàn)段冏恰被〉軸平分，則C的離心率為（）

A.vB.—C.2D.3

23

22

【變式8-1】己知耳（-c,0）,巴（c,0）分別是雙曲線(xiàn)C三一==1（a>0,b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為雙曲

ab

線(xiàn)c上一點(diǎn)，尸耳，尸E且/尸匕耳=三，那么雙曲線(xiàn)c的離心率為（）

A.手B.百C.2D.73+1

方向4：坐標(biāo)法

22

【典例9-1】已知雙曲線(xiàn)C:二-與=1（。>0,6>0）的左焦點(diǎn)為￡8為雙曲線(xiàn)C的虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，直線(xiàn)

ab

EB與雙曲線(xiàn)C交于點(diǎn)尸，若麗=而，則雙曲線(xiàn)C的離心率為.

22

【典例9-2】（2024?四川雅安?三模）設(shè)片，鳥(niǎo)分別為雙曲線(xiàn)。：3-4=1（。＞0力＞0）的左右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)月的

ab

直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)右支于點(diǎn)M,交V軸于點(diǎn)N,且月為線(xiàn)段的中點(diǎn)，并滿(mǎn)足而，麗，則雙曲線(xiàn)。的離

心率為（）

A.B.73+1C.2D.V5+1

2

2

【變式9-1］（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)C:尤2一a=1伍＞0）的左焦點(diǎn)為凡過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。作C的

一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)/,直線(xiàn)/與C交于43兩點(diǎn)，若尸的面積為拽，則C的離心率為（）.

3

A.3B.VsC.2D.G

方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理

【典例10-1】已知雙曲線(xiàn)C：^-^=1（0＞0,6＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,。為原點(diǎn)，若以

出閶為直徑的圓與C的漸近線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為尸，且出刊=百|(zhì)。尸|,則C的離心率為.

22

【典例10-21已知雙曲線(xiàn)C:0-4=l（。＞0,6＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是6耳，過(guò)點(diǎn)耳的直線(xiàn)與。交于

ab

43兩點(diǎn)，且/BL耳片，現(xiàn)將平面AF；巴沿耳鳥(niǎo)所在直線(xiàn)折起，點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)尸處，使面尸片￡，面理月,

若cos/PF/1,則雙曲線(xiàn)C的離心率為.

22

【變式10-1】（2024?高三?湖南?開(kāi)學(xué)考試）已知片為雙曲線(xiàn)C:\-4=1（。>0,6>0）的左焦點(diǎn)，。為雙曲

ab

22

線(xiàn)C左支上一點(diǎn)，ZOFiQ=^2\QFi\=^a+b,則雙曲線(xiàn)。的離心率為（）

3

22

【變式10-2】已知耳、鳥(niǎo)是雙曲線(xiàn)C:二-2=1（。>0,6>0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)尸是雙曲線(xiàn)。上的動(dòng)點(diǎn)，若

ab

PF\=2PF?,/￡尸笈=60°,則雙曲線(xiàn)。的離心率為一

方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理

22

【典例11-1］（多選題）已知雙曲線(xiàn)C：q一看=l（6>a>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳,巴，雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)尸

ab

（點(diǎn)P不與左、右頂點(diǎn)重合），使得/尸乙￡=3/尸片與，則雙曲線(xiàn)C的離心率的可能取值為（）

A.—B.V3C.—D.2

22

22

【典例11-21已知雙曲線(xiàn)二-方=1（°>0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為用月，M為雙曲線(xiàn)右支上的一點(diǎn)，若

M在以閨閭為直徑的圓上，且,則該雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為（）

A.(1,行]B.["+可C.(1,A/3+1)D.[V2,V3+lj

22

【變式11-1】已知耳、片分別為雙曲線(xiàn)c：「-4=1（。>0）>0）的左、右焦點(diǎn)，。為原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)上的

ab

??sin/尸7M_——

點(diǎn)尸滿(mǎn)足I。尸|=6,且一^^=3,則該雙曲線(xiàn)。的離心率為（）

sin^—L.x,ri

A.V2B.—C.2D.73

2

方向7：利用基本不等式

【典例12-1】已知雙曲線(xiàn)。:=-4=1（°>0,6>0）,尸為右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)歹作功，x軸交雙曲線(xiàn)于第一象限

02b2'J

內(nèi)的點(diǎn)4點(diǎn)8與點(diǎn)4關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，連接BF,當(dāng)N/3尸取得最大值時(shí)，雙曲線(xiàn)的離率為.

22

【典例12-2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知雙曲線(xiàn)1r-方=l（a>0,6>0）的左、右頂點(diǎn)為A、B,若該

雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)P,使得直線(xiàn)P4、尸8的斜率之和為1,則該雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為

【變式12-1］如圖為陜西博物館收藏的國(guó)寶——唐?金筐寶鈿團(tuán)化紋金杯，杯身曲線(xiàn)內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪

天工，是唐朝金銀細(xì)作的典范之作.該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線(xiàn)。：5-，=1（4>0,6>0）的部

分的旋轉(zhuǎn)體.若該雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)尸，使得直線(xiàn)為，PB（點(diǎn)4,3為雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)）的斜率之和為

4,則該雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為

方向8：利用漸近線(xiàn)的斜率求離心率

22

【典例13-1］（2024?四川德陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)/：1-4=1（。>0力>0）的焦距為2c,右頂點(diǎn)為力