2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)求整點個數(shù)專項練習(xí)

二次函數(shù)求整點個數(shù)專項練習(xí)

方法突破練

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點.求直線y=-%+4與坐標(biāo)軸圍成的區(qū)

域內(nèi)（不包括邊界）整點的個數(shù).

?r

JTx

I

-T

第1題圖

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點.已知拋物線y=x2+2招當(dāng)-8WxW

8時，求拋物線上整點的個數(shù).

第2題圖

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點.已知拋物線y=%2-2,將該拋物線與

x軸圍成的區(qū)域（含邊界）記作W,求區(qū)域W內(nèi)整點的個數(shù).

第3題圖

4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點，把直線y=久與拋物線y=/—%—

3圍成的封閉區(qū)域（不包含邊界）記作W,求區(qū)域W內(nèi)整點的個數(shù).

_Tr_-_^-4一

I—

—

+—

_._1-_1-3一

J141

_+_I-.1--

±JI412

_l_I-一;-1-

—

x

第4題圖

5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點.把雙曲線y=|與拋物線y=-x2+

2x+3圍成的封閉區(qū)域（包含邊界）記為W,求區(qū)域W內(nèi)整點的個數(shù).

1111

卜|-j

lilt

112!3

第5題圖

設(shè)問進(jìn)階練

例在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=/-4%+3.我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點.

⑴將該拋物線與直線y=%+ll所圍成的封閉區(qū)域（不含邊界）記為Wi,求Wi內(nèi)整點的個數(shù)；

⑵將拋物線沿X軸翻折得到新的拋物線yi,將原拋物線與新人,拋物線圍成的封閉區(qū)域（包含邊界）記為加2,求

內(nèi)整點的個數(shù)；

例題圖②

（3）創(chuàng)新題?拋物線平移求整點將拋物線向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度后，得到一個新拋物

線y2.將以.新拋物線y2與雙曲線y2y=2直線y=3（%<1））圍成的封閉區(qū)域（不含邊界）記為皿。求皿3內(nèi)整點的

個數(shù)

例題圖③

綜合強(qiáng)化練

L在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a/+法+3與x軸交于4(-1，0)?B兩點，且經(jīng)過點C(l,4).

⑴求拋物線的解析式及點B的坐標(biāo)；

⑵設(shè)點M(x,y)為拋物線上一點，當(dāng)-3<%<8時,m<y<n,求代數(shù)式n-m的值；n一m

(3)(三種圖象圍成的區(qū)域)我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點記為整點，拋物線與直線丫=x的上方部分和反比例

函數(shù)y=扣勺圖象在第一象限圍成的封閉圖形中(不含邊界)有多少個整點?并寫出這些整點的坐標(biāo).

作圖區(qū)答題區(qū)

y

5

4

3

2

1

呼23456

4-2-

-2

-3

-4

第

圖

題

▲7V

5F

4I-

3I-

2I-

1I-

-4-3-2-10123456x

-1

-2

-3

-4

備用圖①

y

5

4

3

2

1

-4-3-2-10123456,

-1

備用圖②

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線（C］的解析式為y=——（%.我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為整點.

⑴求拋物線（品與x軸圍成的封閉區(qū)域（包含邊界）內(nèi)整點的個數(shù)；

（2）（兩條拋物線圍成的區(qū)域）若拋物線Q關(guān)于原點對稱的拋物線為（C2.

①求拋物線（C2的函數(shù)表達(dá)式；

②直線y=-1分別與Cl,G圍成兩個封閉的區(qū)域W和G,求封閉區(qū)域w和G（不含邊界）內(nèi)整點個數(shù)的比.

作圖區(qū)答題區(qū)

y

5

4

3

2

1

123456x

第2題圖

y

5

4

3

2

1

123456%

備用圖①

y

5

4

3

2

1

-4-3-2-10123456人

-1

-2

-3

-4

備用圖⑵

一階方法突破練

1.解:令x=0,得y=4,令y=0,得x=4,

.■直線y=-x+4與坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域內(nèi)(不包括邊界)整點的個數(shù)，即為0<x<4的范圍內(nèi)，直線y=-x+4下方的整

點個數(shù)，易知當(dāng)x=l時，y=3,

，橫坐標(biāo)為1的整點(不包括邊界)有2個，同理橫坐標(biāo)為2的整點(不包括邊界)有1個，橫坐標(biāo)為3的整點

(不包括邊界)沒有，

，直線與坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域內(nèi)(不包括邊界)共有3個整點.

2.解：1?橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點，

，當(dāng)x=l時,y=3,當(dāng)x=2時,y=8,...,即當(dāng)X取整數(shù)時，y都為整數(shù)，，當(dāng)-84x48時》拋物線上的整點有8-(-8)

+1=17個

3.解：；拋物線的解析式為y=%2-2,

令Y=°，解得Xi=魚,尢2=-V2,X

如解圖，當(dāng)-&Wx<魚時，在x軸上有(-1,0),9,0),(L0)三個整點；

在區(qū)域W內(nèi)部有(0,-1)一個整點；

第3題解圖

在拋物線上有(口,-1),(0,-2),(1,-1)三個整點

，區(qū)域W內(nèi)(含邊界)整點的個數(shù)為7個.

4.解:聯(lián)立L_7:R,解得-U，如解圖，畫出直線y=x與拋物線y=%2-%-3,在區(qū)域W

vy—x-1-J—s172--1

內(nèi)有。-2),

(0,-1),(1,0),(1,-1),

(l,-2),(2,0),(2,l)±t7個整點，

二區(qū)域W內(nèi)(不包含邊界)整點的個數(shù)為7個.

第4題解圖

5.解：如解圖，畫出雙曲線y=:與拋物線y=-運+2%+3,拋物線上有(1,4),(2,3)兩個整點;雙曲線上有(1,2),

(2,1)兩個整點;在區(qū)域W內(nèi)有(1,3),(2,2)兩個整點；區(qū)域W內(nèi)(包含邊界)整點的個數(shù)為6個.

二階設(shè)問進(jìn)階練

例解：(1)畫出拋物線y=x^-4x+3與直線y=x+l如解圖①所示，

此時,Wi內(nèi)(不含邊界)的整點有Q,1),(2,0),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4)共8個;

X

例題解圖①

⑵拋物線y=返_以+3沿x軸翻折得到新的拋物線為=—運+4x-3,

畫出拋物線y與拋物線九如解圖②所示，兩拋物線交點為(L0),(3,0),止匕時,Wz內(nèi)(包含邊界)的整點有(1,0),(2,-

1),(2,0),(2,1),(3,0)共5個

例題解圖②

(3)拋物線y=大一4x+3向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度后得到新拋物線"=0-1)2

-3,畫出新拋物線yz與雙曲線y=：及直線y=3(x41),如解圖③所示，

6一Ir-T-

—

5-—T-

2--

--l--

-L—-

s

-

-t.4S

lMX

--「

——

；

「

十-

—T

+-1

J.

例題解圖③

此時,W3內(nèi)(不含邊界)的整點為(-L2),(0,2),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,-2),(L-1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,1),(2,0),(2,-1)共1

3個.

三階綜合強(qiáng)化練

1.解：(1),.拋物線y=ax2++3與x軸交于A(-l,0),B兩點，且經(jīng)過點C(l,4),

二將A,C兩點的坐標(biāo)代入，

得(a—b+3=0解得儼=—1

型la+b+3=4'蝌守Ib=2'

，拋物線的解析式為y=-x2+2%+3,

令y=0,解得x=-l或x=3,

二點B的坐標(biāo)為(3,0);

(2)由(1)知拋物線的解析式為y=一/+2久+3,

拋物線的對稱軸為直線x=l,-l<0,

,.點M(x,y)為拋物線上一點當(dāng)-34x48時,msysn,.,.當(dāng)x=l時,y取得最大值,，n=4,

.,.當(dāng)x=8時,y取得最小值",.m=-45,.1n-m=49;

⑶如解圖，畫出拋物線y=-x2+2x+3與直線y=x,反比例函數(shù)y=和圖象(根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)

圖象)，在封閉區(qū)域內(nèi)有(1,2),(1,3)兩個整點(選區(qū)域內(nèi)為整數(shù)的橫坐