2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：重難點(diǎn)突破 向量中的隱圓問題（五大題型）（學(xué)生版+解析）

重難點(diǎn)突破02向量中的隱圓問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................3

題型一：數(shù)量積隱圓.............................................................3

題型二：平方和隱圓.............................................................3

題型三：定幕方和隱圓...........................................................4

題型四：與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓...................................................4

題型五：線段比定值隱圓（阿氏圓）..............................................16

03過關(guān)測試.....................................................................5

方法技巧與總結(jié)

技巧一.向量極化恒等式推出的隱圓

乘積型：~PAPB=A

定理：平面內(nèi)，若A,3為定點(diǎn)，且后?麗=2,則P的軌跡是以M為圓心，為半徑的圓

證明：由9?麗=彳，根據(jù)極化恒等式可知，PM2-^AB2=A,所以PM=/：4爐+幾，2的軌跡

是以〃為圓心j/l+；AB：為半徑的圓.

技巧二.極化恒等式和型：PA2+PB2=2

\A--AB2

定理：若A,B為定點(diǎn),尸滿足叢2+尸g2=a,則p的軌跡是以4s中點(diǎn)M為圓心，J_2——為半

徑的圓。>。)

L--AB2

證明：PA2+PB~=21PM~+AB)2]=2,所以——1——,即P的軌跡是以AB中點(diǎn)M為圓

L--AB2

心，V—2——為半徑的圓.

技巧三.定幕方和型

mPA2+PB2=n

若為定點(diǎn)，<尸笛+成郎=〃,則尸的軌跡為圓.

mPA2+nPB2=A

證明：mPA2+PB2m[(x+c)2+^2]+[(x-c)2+y2]-n

=>(m+l)(x2+y2)+2c(m-l)x+(m+l)c2一〃=0

一2?2?2(m-l)cc2(m+l)-n_

m+1m+1

技巧四.與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓

坐標(biāo)法妙解

技巧五.阿氏圓

一般地，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比為常數(shù)〃2>0,的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被叫做阿氏圓.當(dāng)

4=1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是線段A8的中垂線.

題型一：數(shù)量積隱圓

【典例1-1】已知平面向量a,6,c滿足同=忖=人6=2,（?！?僅-2姆=1,則1-c|的最小值為（）

A"-二B―—石C--亞D6-1

,-2-'-2---2-'2

【典例1-2】（2024.遼寧鞍山.一模）已知平面向量°,b，c滿足同=回='=1,若。為=）,貝I

（2a+c）.僅-c）的最小值為（）

A.-2B.-石C.-1D.0

【變式1-1]設(shè)平面向量a,4c滿足忖=1,%=2,a與0的夾角為手且-j僅-c）=。，則/的最小值為

（）

A.73-1B.用C.73+1D.2y/3

——~'1->

【變式1-2]（?遼寧沈陽?二模）己知平面向量W，

2024二。^VxeR,a-xb>a--Ab,

a=2,a-Z?=4,1a_c}[^_2c）=6,則a-c的最小值為（）

A.1B.?+"C.3D.近-2

32

題型二：平方和隱圓

【典例2-1】已知是單位向量，滿足a_LA,加=a+2b,|加一of+|加一]|2=20,則|c-d|的最大值為

UUVUUVr"d

【典例2-2】已知平面向量總、M滿足PA『+PB|2=4,|幅2=2,設(shè)用=2PA+PB,則|PC|e

【變式2-1]在平面直角坐標(biāo)系中，己知點(diǎn)4（2,0）,5（0,2）,圓C:（x-ay+y2=l,若圓C上存在點(diǎn)M,

使得|M4「+|MB「=12,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.[1,1+2叫B.[1-272,1+272]

C.[1,1+2叫D.[1-^,1+5/2]

【變式2-2]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線/：x+y+a=。與點(diǎn)A。2）,若直線/上存在點(diǎn)“滿足

\M^+\Md\=10（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-布-1,下-1）B.[―\/5—1,>/5-1]

C.卜20-1,2忘-1）D.[-2>/2-1,2A/2-1J

題型三：定幕方和隱圓

【典例3-1】已知點(diǎn)A（-LO）,3（2,0）,直線/：辰7-5左=0上存在點(diǎn)尸，使得尸&+2P3?=9成立，則實(shí)

數(shù)上的取值范圍是.

【典例3-2】（2024?浙江?高三期末）已如平面向量°、b、c，滿足忖=3百，欠=2,卜|=2,b-c=2,則

（a-b）.（a-c）_[（￡_孫卜_切的最大值為（）

A.192石B.192C.48D.4出

【變式3-1]（2024?河北衡水?高三河北衡水中學(xué)校考期中）已知平面單位向量一,e2的夾角為60。，向量c

滿足42-（26+6）"+3=0,若對任意的teR,記|。-的|的最小值為則M的最大值為

A.』+3B.C.1+空D.1+73

2424

【變式3-2】已知°,6是兩個(gè)單位向量，與“，方共面的向量C滿足c?-（a+b>c+。/=0,則，的最大

值為（）

A.2A/2B.2C.V2D.1

題型四：與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓

【典例4-1】已知平面向量a，b，且口=忖=1,分6=；，向量c滿足1-2a-20=6目，則

卜朗QeR）的最小值為（）

A.73-1B.72-1C.百D.四

IUUTI|ULDI|

【典例4-2】已知向量。4。8滿足|04|=1,|。8卜2,且向量OB在。4方向上的投影向量為OA.若動(dòng)點(diǎn)C滿

足|瓦卜;，則C4CB的最小值為（）

1.已知平面向量〃也C滿足H=l,cos(a,c)=；,Z?2-4。必+3=0,則卜-4的最小值是()

A.與1B,…D.73-1

若向量滿足?僅一)則同的最大值是(

2.已知a,6是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量,d(a-c)C=0,)

A.72B.2A/2

C.6D.2

3.(2024.高三.黑龍江哈爾濱?期中)已知向量d,6是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量4滿足

(a-c)?僅一2c)=。，貝l]|c|的最大值是()

A.0B.好C.BD.—

225

4.已知a,6是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量)滿足(a-c)-(2b-c)=0,則卜|的最大值是()

A.72B.2C.75D.與

5.已知a,b,c是平面內(nèi)的三個(gè)單位向量，若a_Lb，貝！J|。+2&+|3a+26的最小值為()

A.729-372B.V29C.V29-2A/3D.5

6.(2024.北京朝陽?一模)在4ABe中，AB=AC=2,BC=2?,點(diǎn)尸在線段BC上.當(dāng)叢.pg取得最小

值時(shí)，PA=()

A.且B.立C.-D.-

2244

7.(2024?高三.重慶?開學(xué)考試)在同一直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)0(0,0),4(2,0)1(0,2),點(diǎn)尸滿足

PAPB=0，則0P08的最小值為()

A.2-2及B.20-2

C.2拒+2D.一20-2

8.已知向量a,b,c滿足卜|=4,卜卜2,(a-c)?26-c)=0,則a.c的最小值等于()

A.12-6A/3B.12-4如C.4D.4夜

9.已知a,b,e是平面向量，e是單位向量，若非零向量』與e的夾角為:，向量心滿足/_6"e+8=0，

則的最小值是()

33

A.—V2—1B.-y/2+1C.—V2+1D.2—V2

10.(2024.全國.模擬預(yù)測)已知向量0,0滿足a%=l，｛a,b)=^,則卜+.+2卜叫的最小值為()

A.V6+2A/2B.V6+V2C.8D.2

11.已知。也c是平面內(nèi)的三個(gè)單位向量，若則卜+2c|+|3a+26-2d的最小值是.

12.已知a,4c是平面中的三個(gè)單位向量，且4%=0，則|2c-a|+的最小值是

13.在平面內(nèi)，己知非零向量a與單位向量e的夾角為若向量b滿足62—6e.6+8=O,則|。-6|的最

小值為.

14.(2024.高三.浙江?開學(xué)考試)平面中存在三個(gè)向量a,b，c,若|a|=4,g|=4,且“m=0，且c滿

足/-22N+15=0,則|c|+41a+6-c|的最小值___.

15.已知圓。:/+/=16,點(diǎn)尸(1,2),M、N為圓。上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且PM-PN=0若PQ=PM+PN,則

|尸。|的最小值為—.

16.已知，ABC是邊長為2的正三角形，點(diǎn)。在平面A3C內(nèi)且DV￡)2=0，則DADC的最大值

為，最小值為.

17.已知為單位向量，S.\2a-b\=//,則|3a-d+M-c|的最小值為.

18.設(shè)向量a,6,c滿足=卜|=2,a?=—2,^一。與/>_(■的夾角為60°,則,的最大值為

19.設(shè)日4是單位向量，且&心=；,向量滿足(c-a)-(c-2b)=：,則向的取值范圍是.

20.已知平面向量a,b，c滿足忖=1,W=2,卜,?=；且(c-a).(c-b)=0,貝必。的最大值為一.

21.已知向量b,c滿足卜|=4,慟=2,=(a-c>(26-c)=0,則的取值范圍為___.

22.已知向量￡,b,c滿足忖=4,|32四，”與人的夾角為%(a-c)\b-c)=0,則。的最大值

為.

23.在平面內(nèi)，若有口=2,W=a-6=4,(c-a)-(2c-a-b)=0,則0b的最大值為一.

重難點(diǎn)突破02向量中的隱圓問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................3

題型一：數(shù)量積隱圓.............................................................3

題型二：平方和隱圓.............................................................3

題型三：定幕方和隱圓...........................................................4

題型四：與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓...................................................4

題型五：線段比定值隱圓（阿氏圓）..............................................16

03過關(guān)測試.....................................................................5

方法技巧與總結(jié)

技巧一.向量極化恒等式推出的隱圓

乘積型：~PAPB=A

定理：平面內(nèi)，若A,3為定點(diǎn)，且后?麗=2,則P的軌跡是以M為圓心，為半徑的圓

證明：由9?麗=彳，根據(jù)極化恒等式可知，PM2-^AB2=A,所以PM=/：4爐+幾，2的軌跡

是以〃為圓心j/l+；AB：為半徑的圓.

技巧二.極化恒等式和型：PA2+PB2=2

\A--AB2

定理：若A,B為定點(diǎn),尸滿足叢2+尸g2=a,則p的軌跡是以4s中點(diǎn)M為圓心，J_2——為半

徑的圓。>。)

L--AB2

證明：PA2+PB~=21PM~+AB)2]=2,所以——1——,即P的軌跡是以AB中點(diǎn)M為圓

L--AB2

心，V—2——為半徑的圓.

技巧三.定幕方和型

mPA2+PB2=n

若為定點(diǎn)，<尸笛+成郎=〃,則尸的軌跡為圓.

mPA2+nPB2=A

證明：mPA2+PB2m[(x+c)2+^2]+[(x-c)2+y2]-n

=>(m+l)(x2+y2)+2c(m-l)x+(m+l)c2一〃=0

一2?2?2(m-l)cc2(m+l)-n_

m+1m+1

技巧四.與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓

坐標(biāo)法妙解

技巧五.阿氏圓

一般地，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比為常數(shù)〃2>0,的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被叫做阿氏圓.當(dāng)

4=1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是線段A8的中垂線.

題型一：數(shù)量積隱圓

【典例1-1】已知平面向量a,6,c滿足同=W=e6=2,（a-c）e-2c）=l,貝的最小值為（）

AV7-V5口A/7-73「蕊-MnV3-1

A.-----------D.-----------C.------------D.--------

2222

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，易知a與人的夾角為60。，設(shè)5=（1,石），6=（2,0）,c=（x,y）,由（a-c”6-2c）=1,

可得尤2+丁_2工一石y+g=0,所以原問題等價(jià)于，圓產(chǎn)+/一2彳-7^+3=0上一動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)（2,0）之間距

離的最小值，利用圓心和點(diǎn)（2,0）的距離與半徑的差，即可求出結(jié)果.因?yàn)橄?利=＞力=2,所以a與方的

夾角為60。，設(shè)「=（1,出），6=（2,0）,c=（%,,

因?yàn)椋╭一4＞（6-2c）=1,所以尤2+J_2x_Wy+g=0,

又1一'=J（x_2『+y2,

所以原問題等價(jià)于，圓—+y2-2x-石y+g=0上一動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)（2,0）之間距離的最小值，

又圓/+/_2尤-若y+：=0的圓心坐標(biāo)為［1,岑），半徑為哼，所以點(diǎn)（2,0）與圓

/+/一2犬一后y+g=0上一動(dòng)點(diǎn)距離的最小值為J（2-1）2+［曰］_與=布丁.

故選：A.

【典例1-2］（2024?遼寧鞍山?一模）已知平面向量°,6，°滿足問=同=|。|=1，若貝I

（2a+c）?伍-c）的最小值為（）

A.-2B.一6C.-1D.0

【答案】B

【解析】因?yàn)槠矫嫦蛄縜，b，"滿足向=也卜1。|=1，

J.

cos(a,b\=,a=-2-=—,:.@\=60,

\/\a［\b\1x12'/

設(shè)OA=&=(1,0),OB-b-，c=(cos6,sin9),

=(2+cos6)1g-cos6

-sin。sin8=

7

所以（2a+c）?僅-c）的最小值為—g.

故選B.

【變式1-1]設(shè)平面向量a,6,c滿足忖=l，W=2,a與6的夾角為手且卜-；，僅-c）=。，則。的最小值為

()

A.-\/3—1B.y/3C.V3+1D.2A/3

【答案】A

【解析】依題意建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,

不妨令@=。4=（1,0）,因?yàn)殁?l，W=2,a與6的夾角為

所以/=2cos曰=-l,%=2sin,=石，所以6=03=(-1,退)，

設(shè)c=OC=(x,y),則a—3c=11_/羽_5，),Z?-c=^-1-X,A/3—yj,

即_2_了+/+/_百/=0,即［x-工］+L--=3,

I2)I2

即c點(diǎn)表示以日,用為圓心，目為半徑的圓，又3|=（口+1]=1

所以,=|oc26_|。M=若_1；

故選：A

—>—>—>1—>

【變式］(?遼寧沈陽?二模)己知平面向量W，

1-22024L4tz。^VxeR,a-xb>a--Ab

q=2,〃?Z?=4,a-cH^-2c=6,則a-c的最小值為()

口V2+A/676-2

A.1C.3

32

【答案】A

【解析】因?yàn)?—…>一小加口,f->

eR,H==4,

所以4+/62-8%24+，82一2,620,；.[尤2-—\b2Sx+2>0,

16j

-21-2

所以Z?x2-8x+2-----bNO對任意1都恒成立,

16

[ff[f]ff

所以△=64+—|b--816|2<0,.-.(-|Z?|2-8)2<0,.'.-|Z?|2=8,...網(wǎng)=4.

422

不妨設(shè)a—(2,0),b=(m,n),2m=4,m=2,又|6|=4,4+n2=16,;.zi=±2^/3?

當(dāng)6=(2,23)，設(shè)c=(x,y)，

所以］a-c=(2-x,-y),[b-2c\=(2-2x,2y/3-2y),

所以(2-x)(2-2x)+(一y)(2若一2y)=6,

所以小9+⑶考』，

所以［對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(3,3)為圓心，以2為半徑的圓,

所以=7(x-2)2+(y-0)2可以看成是(x,y)到(2,0)的距離,

所以a-c的最小值為2-1(：-2)2+(9-CO?=2-1=1.

當(dāng)7=(2,-2代)時(shí)，同理可得a-c的最小值為1.

故選：A

V

題型二：平方和隱圓

【典例2-1］已知a,b,c,d是單位向量，滿足〃_L。,m=〃+2。/加一+1加一d20,貝！J|c-d|的最大值為

【答案】竿

【解析】依題意，可為與x軸、y軸同向的單位向量，設(shè)

?=(1,0),&=(0,l),c=(cosx,sinx),J=(cosy,siny)

/.m=(l,2),.\|m—c|2+\m—d|2=20=(cosx—l)2+(sinx—2)2+(cosy—l)2+(siny—2)2

化簡得：4=cos尢+2sinx+cosy+2siny

運(yùn)用輔助角公式得：4=J^sin(x+e)+J^sin(y+e),tane=g，9w

=sin(x+0)+sin(y+o)=2sinJcos~~~~,

x-y2

cos_=_______________

即得：2氐M丫+臼，

cos2^2=—/——

故25sin2f￡±2+^5；

卜一="cosi-cosy)2+(sinx-sinyj=^2-2cos(x-y)=J"”

,L,42A/5

W』4-4x—=-----.

V55

故答案為：子

【典例2-2】已知平面向量玄、尸3滿足1PAlz+|產(chǎn)例2=4,?購、2,設(shè)用=2筋+泓，貝心牛

【答案】

2，2

【解析】因?yàn)榫W(wǎng)°=|AP+哨=|PA|2+網(wǎng)：2PA.PB=2且網(wǎng),+|Pfi|2=4,所以加總=1；

又因?yàn)閨PA+PB『=|PA『+|PB『+2尸4PB=6,所以pA+P,=#；

由|AB『=|尸8_如j=pa_pB『=2,所以|尸4_尸@=夜；

根據(jù)尸C=2PA+尸8=；(PA+PB)+g(PA—尸8)可知：

|||PA+PB|-1|PA-PB|<|PC|<||PA+PB|+||PA-PB|,

左端取等號(hào)時(shí)：P,A,B三點(diǎn)共線且尸在線段AB外且尸靠近8點(diǎn)；右端取等號(hào)時(shí)，P,4,3三點(diǎn)共線且P在

線段錨外且P靠近A點(diǎn)，

所以中小3面；忘,所以|尸。上士丁1,*^1.

故答案為：]域產(chǎn)，遙產(chǎn).

【變式2-1]在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(2,0),5(0,2),圓C：(x-a『+y2=l,若圓C上存在點(diǎn)Af,

使得|M4「+|MB「=12,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.[1,1+2回B.[1-2也1+20]

C.[1,1+2夜]D.[1-72,1+72]

【答案】B

【解析】先求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓D,再根據(jù)圓D和圓C相交或相切，得到a的取值范圍.設(shè)"(x,y),則

(x-2)2+/+x2+(y-2)2=12,

所以(x-l)2+(y-iy=4,

所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)圓D,

由題得圓C和圓D相交或相切，

所以14Ja-qf+F43,

所以1-2&<“〈1+2夜.

故選：B

【變式2-2]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線//+y+，=。與點(diǎn)A(0,2),若直線/上存在點(diǎn)M滿足

|M4|2+|MO|2=IO(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.—1,A/5—ljB.[-\/5—1,\/5-1]

C.2-\/2—1,2\/2—ijD.[-2>/2-l,2>/2-lJ

【答案】D

【解析】設(shè)M(x,-x-。)，

?.?直線/：x+y+a=O與點(diǎn)A(0,2),直線/上存在點(diǎn)M滿足|雙4「+眼0[=10,

「?X2+(%+[)+%2+(—%—a—2)—10,

整理，得4%2+2(2。+2)%+〃+(。+2)2_10=0①，

???直線/上存在點(diǎn)M,滿足|以4『+四0『=]0,

方程①有解，

解得：-272-1<?<272-1-

故選D.

題型三：定幕方和隱圓

【典例3-1】已知點(diǎn)A(-1,0),3(2,0),直線/：區(qū)-廣5左=0上存在點(diǎn)P,使得尸發(fā)=9成立，則實(shí)

數(shù)上的取值范圍是.

-

【…答案、~-A虧/15下A/15]

【解析】由題意得：直線/：>=左(》-5),

因此直線/經(jīng)過定點(diǎn)(5,0)；

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(％,%);PA2+2PB2=9,

2

「?%2+(x0+1)+2%2+2(x0+2)2=9

化簡得：%()2+為2—2%=0,

因此點(diǎn)2為兀2+丁2-2元=0與直線/：,=左(％一5)的交點(diǎn).

所以應(yīng)當(dāng)滿足圓心(1,0)到直線的距離小于等于半徑

1-4^1

解得：ke[-咎，吟]

故答案為左e[一嚓，嚓]

【典例3-2】(2024?浙江?高三期末)已如平面向量°、b、C，滿足忖=35W=2/d=2,b-c=2,則

（?-石）-@_［（￡_孫（2一@］的最大值為（）

A.1926B.192C.48D.473

【答案】B

【解析】如下圖所示，作。4=a，0B=b，0C=c，取3C的中點(diǎn)。，連接。。,

以點(diǎn)。為圓心，。為半徑作圓。，

cosNBOC=cos<b,c>=^^=<，0<ZBOC<TT,：.ZBOC=-,

W-Icl23

所以，20c為等邊三角形，

。為8C的中點(diǎn)，ODL8C,所以，H9C的底邊BC上的高為|o4=2sin（=若，

iiUULUUUUU

a—b=OA—OB=BA，a-c=OA-OC=CA9

所以，=BA-CA=AB-AC=|AB|-|AC|cosZBAC,

所以，（〃_〃）?（〃_（?）_［（〃一萬）（〃一。］=|AB|,|^C，|-,|cosABACj

=（網(wǎng)?國sin44寸=（2%^）2,

由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)A、。、。三點(diǎn)共線且。為線段AZ）上的點(diǎn)時(shí)，

ABC的面積取得最大值，此時(shí)，ABC的底邊8C上的高〃取最大值，即％1aX=|AO|+|O4=4G,則

（工.）3=白2義46=45

因此，（a-4.（a-c）-的最大值為4乂（4月）=192.

故選：B.

【變式3?1】（2024.河北衡水.高三河北衡水中學(xué)?？计谥校┮阎矫鎲挝幌蛄浚?的夾角為60。，向量

滿足片-（24+92卜。+：=0,若對任意的/eR,記|工-多|的最小值為則M的最大值為

A.L且B.C.1+祖D.1+73

2424

【答案】A

【解析】由c2-(2q+eJ-c+[=0推出Q-=_』+色±4_=J_,所以2,+41上p

=~，如圖,

,，2(2J244-2~

c終點(diǎn)的軌跡是以I■為半徑的圓，設(shè)。4=6，OB=e2,OC=c，OD=tex,所以I。-矽I表示8的距離,

顯然當(dāng)CD_LQ4時(shí)I。T,I最小，M的最大值為圓心到Q4的距離加半徑，即A^ax=—,sin60°+—=+，

max224

故選：A

【變式3-2］已知a，b是兩個(gè)單位向量，與a，方共面的向量C滿足c?一（°+b>c+。包=o,則的最大

值為（）

A.2-72B.2C.72D.1

【答案】C

【解析】由平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算得（。-。），（。-方），設(shè)ZM=a,OC=6,Z）C=c,

則c-a=AC,c-b=BC,則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓。周上運(yùn)動(dòng)，由圖知：當(dāng)。C14B時(shí)，|￡>C|>|DC|,

ZADC=0,利用三角函數(shù)求的最值.由<?2-（a+b>c+a吆=0得：（c-a>（c-b）=0,即

(c-a)-L(c-b),

設(shè)m==b,z)c=c,

則c-a=AC,c—Z?=BC,

則點(diǎn)。在以AB為直徑的圓。上運(yùn)動(dòng),

由圖知：當(dāng)￡)C±AB時(shí)，IDCI4D。,

設(shè)/ADC=e,

貝！||DC|=|DO\+\AO\=sin0+cose=7^sine+?,

trr

所以當(dāng)6=1時(shí)，|DC|取最大值0,

故選：C.

題型四：與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓

【典例4-1】已知平面向量。，b，且W=H=1,a-b=^,向量工滿足卜一2a-26卜卜一@,則

卜朗(六對的最小值為()

A.73-1B.72-1C.目D.72

【答案】A

【解析】因?yàn)閃=W=1，a-b=^,

I

所以/7\a-b21

、/硼12

因?yàn)?a,6)e[0,萬|,所以(a,=q,

UUL1UUUi—

如圖，令OA=a,OB=b,貝UOD=a+6，OC=2(a+6),

所以|。4=退，OC=2y/3,

因?yàn)椴?0=正-2./+■=Jl-2x1+l=l,|c-2a-2Z?|\a-b\

所以k-24-26卜1,即k-2（a+6）|=l,

設(shè)。尸=c，則點(diǎn)尸的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，

11UUUUUUUUU

令。。=2。，則c-Xb=OP—OQ=Q尸，

所以當(dāng)CQLOQ,且C,P,。三點(diǎn)共線時(shí)，E-X,UeR）取最小值,

貝=|0C|sin3O°—l=石一1,

Imin

故選：A

lUurilULmi

【典例4?2】已知向量04,05滿足國=1,陽=2,且向量在。4方向上的投影向量為。4.若動(dòng)點(diǎn)。滿

足口。卜；，則C4C3的最小值為（）

_1_B.±1^5-2占

A.C"不nLJ.------------------

23,24

【答案】D

【解析】如圖,

根據(jù)投影向量，OA±AB,則ZAOB=60°,且A8=6,

因?yàn)閨oc|=；,所以點(diǎn)C在以0為圓心，半徑的圓上運(yùn)動(dòng).

.21-21|23

設(shè)〃是A5的中點(diǎn)，由極化恒等式得：CBCA=CM--AB=\CM\

4114

因?yàn)?\OM\-r=J^-,此時(shí)，加『_」=8_2近_［_52>/7,

IImin112II4444

即圓.ci的最小值為三M,

4

故選：D.

【變式4-1］（2024?高三?浙江?期末）已知4,6是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量2滿足

\c-a\=^,貝”a+b-c|+2|c-b|最小值為.

【答案】|

【解析】如圖，4（1,0）,3（0，1），O（U），設(shè)OA=a,OB=6,則向量2滿足1：一。1=，設(shè)OC=c，所以點(diǎn)C

為以A為圓心，以g為半徑的圓上的一點(diǎn)，

所以|a+6-c|=|OD-OC|=|C￡>|,同理21c-b|=218C|,

取點(diǎn)則裝=空，又因/C4E=/D4C,

14；ACAD

所以AAECSAACD,

所以C卷F=31,即CD=2CE,

所以卜+6-c|+2|c-可m+ZBCuZCE+ZBCuZlBC+CE),

由三角形的三邊關(guān)系知2（BC+CE）N2BE=2

故填：

【變式4-2］已知0、b、c、d都是平面向量，且|a|=|2"6|=|5a-c|=l,若則

|b-d|+|c-d|的最小值為.

【答案】729-2

【解析】

因?yàn)閨2。-可=1,所以6起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)在以8為圓心，1為半徑的圓上；

同理，\5a-c\=l,所以,起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)在以C為圓心，1為半徑的圓上，

所以|/-?|黎|?|的最小值則為（忸"+|8|）向「2,

因?yàn)殁睢?忸Z>|,當(dāng)B\D,C三點(diǎn)共線時(shí)，（忸￡>|+|cq）min=忸'。|=斤兩=回，所以

（即+3%-2=回一2.

故答案為：>/29-2.

【變式4-3】已知是單位向量，。為=0.若向量c滿足|c-a-b|=l,則|c|的最大值是.

【答案】V2+1/1+V2

【解析】法一由夕6=0，得a_1八

如圖所示，分別作04=々,。2=。,作,。。=。+匕，

由于是單位向量，則四邊形OACB是邊長為1的正方形，所以|OC|=6;

作OP=c，貝”c-a-b|=|OP-OC|=|CP|=l,

所以點(diǎn)尸在以C為圓心，1為半徑的圓上.

由圖可知，當(dāng)點(diǎn)。，C,P三點(diǎn)共線且點(diǎn)尸在點(diǎn)尸/處時(shí)，10戶|取得最大值0+1,

故Icl的最大值是應(yīng)+1,

故答案為：V2+1

法二由a-b=0，得a_Lb,

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則0A=a=（1,0）,OB=b=（0,1）,

設(shè)c=OC=(x,y),由|c-a-b|=l,

^(x-l)2+(y-l)2=l,

所以點(diǎn)C在以(1,1)為圓心，1為半徑的圓上.

所以同儂=夜+1

故答案為：72+1

題型五：線段比定值隱圓(阿氏圓)

【典例5-1】已知平面向量a,b,c，滿足卜|=卜|=2，且|。+加=20,\a+b+c\=l,貝！,+c|+|a+c

的最小值為()

A.巫B.V15C.叵D.VT7

22

【答案】C

【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：

依題意設(shè)MO=a=（2,0）,NO=6=（0,2）,OC=c=（x,y）,M（-2,0）,N（0,—2）,

貝山+6+c|=ln（尤+2y+（y+2）2=l,故C在以。（一2,-2）為圓心，半徑為1的圓上,

（3、_￡￡=1=2DN2

如圖，取點(diǎn)￡一十一2,則ZJE一1,—7=7=2>旦NCDE=ZNDC,

\2）—ZJC1

2

CNDC

因止匕"EC,故|GV|二2|EC|,

ECDE1111

又;J/?+c|+|tZ+c|=—J/+（y+2）+J（尤+2）2+y2=^\CN\+\CM\=\CE\+\CM\,

由于|CE|+|C*EM|=J出+2、乎,

當(dāng)￡,M,。三點(diǎn)共線且點(diǎn)。在線段ME上時(shí)，等號(hào)取到,

因止匕;1+0|+卜+4之一^.

故選:C.

【典例5?2】(2024.全國.模擬預(yù)測)已知平面向量Q,b，c滿足aJ_),且代第=2,/+。+囚=1,則

卜+,+2產(chǎn)+’的最小值為()

A.姮B.V15C.叵D.后

22

【答案】D

【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)。=(2,0)力=(0,2),OC=c=(x,y),M(—2,0),N(0,-2)

貝小+。+4=1=>(尤+2F+(y+2)2=l,故點(diǎn)C在以(一2,-2)為圓心，半徑為1的圓上，

3_

如圖：取點(diǎn)E(—不―2),則OE_2_1DC_1,且NCDE=NNDC,

2而=7=5，麗=5

CN

因止匕DCN。石C,所以一=2,故CN=2EC,

EC

|c+Z?|+2|c+a|=jY+(y+2)2+2&x+2++y?=CN+2CM=2CE+2CM=2(CE+CM)由于

以+。02加=41+22=姮,當(dāng)瓦”,。三點(diǎn)共線且點(diǎn)。在線段“石上時(shí)，等號(hào)取到，

V22

因止匕卜+0+2卜+々卜2(CE+CM)zg,

故選：D

y

【變式5-1】已知平面向量°,b,c滿足"，八且|a|=M|=2,|c-a-b|=l,則|c-。|+2|d-b|的最小值為

A.反B.V15C.叵D.717

22

【答案】D

【解析】建立如圖所示直角坐標(biāo)系，由題意可設(shè)。4=。=(2,0),OB=b=[0,2),OC=c=(x,y),

則c-a=(x-2,y)=AC,c-a-b=(x-2,y-2),c-b=(x,y—2)=5C,

由|c—切=1得(％—2『+(y—2『=1,故C在以0(2,2)為圓心，半徑為1的圓上,

取々2：),則E在AD上,DEDC_1EC_1

貝I----又NCDE=ZADC,:.EDCCDA即

DCDA~2AC~2

|AC|=2|EC|,

??■|C-47|+2|C-M=\AC\+2|BC|=2(|￡C|+|BC|)>2\EB\=2J(2-0)2+[|-2j=歷.

【變式5-2](2024.高三.山東日照?期中)已知平面向量a,b,滿足。1方，且問=忖=4,卜+6-c|=2,

則忖-日+2卜-4的最小值為()

A.4乖B.2屈