高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修四）第20講1114棱錐與棱臺(tái)

11.1.4棱錐與棱臺(tái)TOC\o"13"\h\u題型1棱錐概念辨析 ⑶特征：側(cè)面都全等，而且都是等腰三角形，斜高也相等.注意：底面為正多邊形的棱錐叫做正棱錐，如正三棱錐，正四棱錐……….知識(shí)點(diǎn)二.棱臺(tái)1.定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺(tái).2.圖形及表示：可記作：棱臺(tái)A’B’C’D’ABCD3.相關(guān)概念（1）底面：原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上底面;（2）側(cè)面：其他各面叫做棱臺(tái)的側(cè)面;（3）側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱臺(tái)的側(cè)棱;（4）頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱臺(tái)的頂點(diǎn).（5）棱臺(tái)的高:過棱臺(tái)一個(gè)底面上的任意一個(gè)頂點(diǎn)，作另一個(gè)底面的垂線所得到的線段（或它的長(zhǎng)度）.（6）棱臺(tái)的側(cè)面積:棱臺(tái)所有側(cè)面的面積之和．4.棱臺(tái)的分類：由三棱錐、四棱錐、五棱錐…截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……5.正棱臺(tái)（1）定義：由正棱錐截得的棱臺(tái).（2）高：上下兩底面中心的連線.（3）斜高：側(cè)面等腰梯形的高.（4）特征：側(cè)面都全等，而且都是等腰梯形，斜高也相等.題型1棱錐概念辨析【方法總結(jié)】棱錐的圖形1.底面：如圖中的多邊形ABCD2.側(cè)面：如圖中的三角形SAB，SBC，SCD，SAD等3.側(cè)棱：如圖中的線段SA，SB，SC，SD等4.頂點(diǎn)：如圖中的點(diǎn)S.【例題1】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）有兩個(gè)面平行的多面體不可能是A．棱柱 B．棱錐C．棱臺(tái) D．以上都錯(cuò)【答案】B【分析】由棱柱、棱臺(tái)、棱錐的定義判斷即可.【詳解】棱柱、棱臺(tái)的上、下底面是平行的，而棱錐的任意兩面均不平行．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查棱柱、棱臺(tái)、棱錐的定義，屬基礎(chǔ)題.【變式11】（2022春·江蘇蘇州·高一江蘇省沙溪高級(jí)中學(xué)校考期中）下列說法中，正確的個(gè)數(shù)為（

）（1）有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱（2）有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)；（3）底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；（4）棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是正六棱錐.A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)棱柱的概念可判斷（1）；根據(jù)棱臺(tái)的概念可判斷（2）；根據(jù)正三棱錐的概念可判斷（3）；根據(jù)正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)一定大于底面邊長(zhǎng)可判斷（4）.【詳解】(1)中,有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形,且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行的幾何體一定是棱柱.故（1）不正確；（2）中，有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體不一定是棱臺(tái)，只有當(dāng)四個(gè)等腰梯形的腰延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)時(shí)，這個(gè)六面體才是棱臺(tái).故（2）不正確；（3）中，底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐不一定是正三棱錐，只有當(dāng)三棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心時(shí)，才是正三棱錐.故（3）不正確；（4）中，因?yàn)檎忮F的底面是正六邊形，側(cè)棱在底面內(nèi)的射影與底面邊長(zhǎng)相等，所以正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)一定大于底面邊長(zhǎng)，故（4）不正確.故選：A題型2棱錐的結(jié)構(gòu)特征【方法總結(jié)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征：1.僅有一個(gè)底面且是多邊形（三角形、四邊形……）2.側(cè)面都是三角形3.各側(cè)面有且只有一個(gè)公共頂點(diǎn)?！纠}2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，E,F【答案】幾何體A1EF?ABC是三棱臺(tái).面ABC是下底面，面A1EF是上底面，面【解析】根據(jù)題意以及三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，可以猜想幾何體A1【詳解】∵E,F分別是A1B1,∴A∴△A1EF又面A1B1∴幾何體A1其中面ABC是下底面，面A1EF是上底面，面ABEA1，面【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，以及利用三棱臺(tái)定義判斷幾何體的形狀，屬于基礎(chǔ)題．【變式21】1．（多選）（2022·全國(guó)·高一假期作業(yè)）在正棱錐中，側(cè)面可為正三角形的是（

）A．正四棱錐 B．正五棱錐 C．正六棱錐 D．正八棱錐【答案】AB【分析】根據(jù)正棱錐底面多邊形的特點(diǎn)，假設(shè)側(cè)面都是正三角形，分別求出底面外接圓的半徑，再求出相應(yīng)的棱錐的高，即可判斷是否成立.【詳解】對(duì)于A正四棱錐，側(cè)面為正三角形，所以側(cè)棱長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)相等，設(shè)底邊長(zhǎng)為a,則底面外接圓半徑為22a，高為滿足要求，所以A正確；對(duì)于B正五棱錐，側(cè)面為正三角形，所以側(cè)棱長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)相等，設(shè)底邊長(zhǎng)為a，底面正五邊形每個(gè)內(nèi)角為108o則底面外接圓半徑為r=高為?2對(duì)于C正六棱錐，側(cè)面為正三角形，所以側(cè)棱長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)相等，設(shè)底邊長(zhǎng)為a，底面正六邊形每個(gè)內(nèi)角為120o高為?=對(duì)于D正八棱錐，側(cè)面為正三角形，所以側(cè)棱長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)相等，設(shè)底邊長(zhǎng)為a，底面正八邊形每個(gè)內(nèi)角為135o，則底面外接圓半徑為r高為?不滿足條件，所以D不正確故選：AB【變式21】2．（2021春·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的有()個(gè).①有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；②正棱錐的側(cè)面是等邊三角形；③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐.【答案】0【解析】根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征逐一判斷：①根據(jù)棱錐的定義，“其余各面都是三角形”并不等價(jià)于“其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形”，故此說法是錯(cuò)誤的；②正棱錐的側(cè)面都是等腰三角形，不一定是等邊三角形，故錯(cuò)誤；③由已知條件知，此三棱錐的三個(gè)側(cè)面未必全等，所以不一定是正三棱錐，故錯(cuò)誤.【詳解】①錯(cuò)誤，根據(jù)棱錐的定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形而“其余各面都是三角形”并不等價(jià)于“其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形”，故此說法是錯(cuò)誤的；②錯(cuò)誤，正棱錐的側(cè)面都是等腰三角形，不一定是等邊三角形，故錯(cuò)誤；③錯(cuò)誤，由已知條件知，此三棱錐的三個(gè)側(cè)面未必全等，所以不一定是正三棱錐.如圖所示的三棱錐中有AB=滿足底面△BCD三個(gè)側(cè)面△ABD，ΔABC，ΔACD但AC長(zhǎng)度不一定，三個(gè)側(cè)面不一定全等，故錯(cuò)誤.故答案為：0.【點(diǎn)睛】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查對(duì)棱錐的特征的熟練掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.【變式21】3．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，P是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，若P為四棱錐的頂點(diǎn)，四棱錐的底面為長(zhǎng)方體的一個(gè)面，則這樣的四棱錐有()A．3個(gè) B．4個(gè)C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】C【分析】表示出四棱錐，推出結(jié)果即可．【詳解】由題意可知四棱錐分別為：PABB′A′；PBB′C′C；PABCD；PCC′D′D；PDD′A′A；共5個(gè)；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，排列組合的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．【變式21】4．（2021春·河北·高一校聯(lián)考期中）《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.若陽馬以如圖所示的正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，以正六棱柱的側(cè)棱為垂直于四棱錐底面的側(cè)棱，則陽馬的個(gè)數(shù)為（

）A．16 B．24 C．12 D．4【答案】B【分析】根據(jù)陽馬的定義，分別找出以上底面的頂點(diǎn)為四棱錐底面的個(gè)數(shù)和以下底面的頂點(diǎn)為四棱錐底面的個(gè)數(shù)，即可求得.【詳解】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，以正六棱柱下底面的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的內(nèi)接矩形共3個(gè)，而每個(gè)矩形可以形成4個(gè)不同的陽馬，所以陽馬的個(gè)數(shù)是12.同理，以上底面中的矩形為底面的情況下也有12個(gè)陽馬，因此共有24個(gè)不同的陽馬.故選：B【變式21】5．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）將一個(gè)正方體切一刀，可能得到的以下幾何體中的種類數(shù)為（

）①四面體；②四棱錐；③四棱柱；④五棱錐；⑤五棱柱；⑥六棱錐；⑦七面體A．3種 B．4種 C．5種 D．以上均不正確【答案】B【分析】可能出現(xiàn)①③⑤⑦這四種情況．【詳解】如圖，平面A1EF截正方體，可得到四面體如圖，平面EFGH截正方體，可得到四棱柱ADHE?如圖，平面EFGH截正方體，可得到五棱柱ABB故選：B.個(gè)，故選A.【變式21】6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．底面是正多邊形的棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影一定是底面正多邊形的中心B．如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐不可能為六棱錐C．有兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)D．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐【答案】B【分析】對(duì)于A：舉反例：有一條側(cè)棱和底面垂直的棱錐，否定結(jié)論；對(duì)于B：直接證明即可；對(duì)于C：舉反例：把兩個(gè)相同的棱臺(tái)底面重合在一起,就不是棱臺(tái)，否定結(jié)論；對(duì)于D：由棱錐的定義，直接判斷.【詳解】對(duì)于A：底面是正多邊形的棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影不一定是底面正多邊形的中心,比如：有一條側(cè)棱和底面垂直的棱錐.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)棱錐的各個(gè)側(cè)面的頂角之和是360度時(shí),各側(cè)面構(gòu)成平面圖形,構(gòu)不成棱錐,由此推導(dǎo)出如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形,那么這個(gè)棱錐不可能為六棱錐,故B正確；對(duì)于C：把兩個(gè)相同的棱臺(tái)底面重合在一起,就不是棱臺(tái),故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由棱錐的定義，如果一個(gè)多面體的一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,才是棱錐.故D錯(cuò)誤.故選：B【變式21】7．（2022春·浙江寧波·高一效實(shí)中學(xué)?？计谥校┮韵抡f法錯(cuò)誤的是（

）A．平行六面體是四棱柱； B．底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；C．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐； D．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形.【答案】C【分析】根據(jù)平行六面體的定義，即可判斷A,B;根據(jù)正棱錐的定義以及結(jié)構(gòu)特征可判斷C,D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榈酌媸瞧叫兴倪呅蔚乃睦庵瞧叫辛骟w，故平行六面體是四棱柱，A正確；對(duì)于B,底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體,符合平行六面體的定義，故B正確；對(duì)于C，底面是正多邊形的棱錐，不能保證頂點(diǎn)在底面上的射影為底面正多邊形的中心，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形,符合正棱錐的結(jié)構(gòu)特征，D正確；故選：C題型3正棱錐的有關(guān)計(jì)算【例題3】（2022春·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其底面正方形的邊長(zhǎng)與其側(cè)面三角形底邊上的高的比值為（

）A．5+1 B．5?1 C．5+1【答案】B【分析】由已知，畫出正四棱錐的圖像，根據(jù)題意條件，找到正四棱錐的高?，側(cè)面三角形的斜高?'，底面邊長(zhǎng)a之間的等量關(guān)系，然后帶入Rt△POH【詳解】由已知，可畫出正四棱錐的圖像，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，頂點(diǎn)P在底面的投影為O，OP=?，H為BC中點(diǎn)，PH為側(cè)面△PBC?2=12·則1?a24a?'=故選：B.【變式31】1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）華裔建筑師貝聿銘為盧浮宮設(shè)計(jì)的玻璃金字塔是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為30米的正四棱錐，其四個(gè)玻璃側(cè)面的面積約1500平方米，則塔高約為______米．【答案】20【分析】做PO⊥底面ABCD于點(diǎn)O，取AB的中點(diǎn)E，可得OE⊥AB、PE⊥AB【詳解】如圖，做PO⊥正四棱錐底面ABCD于點(diǎn)O，則O為底面ABCD的中心，取AB的中點(diǎn)E連接PE、OE，則OE⊥AB，因?yàn)镻A=PB，所以因?yàn)樗膫€(gè)玻璃側(cè)面的面積約1500平方米，所以S△由12×AB所以PO=則塔高約為20米，故答案為：20.【變式31】2．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）益陽市“一園兩中心”項(xiàng)目是益陽市委市政府推進(jìn)“大益陽城市圈”建設(shè)、實(shí)現(xiàn)益陽“東接?xùn)|進(jìn)”戰(zhàn)略作出的重大決策.“兩中心”是指益陽市文化中心、益陽市政務(wù)中心.其中圖書館是益陽市文化中心的重要場(chǎng)館之一，市政府決定在圖書館頂上安裝太陽能板發(fā)電，要測(cè)量頂部的面積，將圖書館看成一個(gè)長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1與一個(gè)等底的正四棱錐PA．576m2 B．624m2 C．688m2【答案】B【分析】根據(jù)給定條件求出正四棱錐P?【詳解】依題意，正四棱錐P?A1B1因OO1//CC1，且OO而AB=24，即有O1C1=122，又取B1C1中點(diǎn)E，連接PE,O1E正四棱錐P?A1所以圖書館頂部的面積為624m故選：B題型4棱臺(tái)概念辨析【方法總結(jié)】棱臺(tái)的圖形1.底面：如圖中的多邊形ABCD，多邊形A'B'C'D'2.側(cè)面：如圖中的梯形A'B'BA，B'C'CB，C'D'DC等3.側(cè)棱：如圖中的線段A'A，B'B，C'C，D'D4頂點(diǎn)：如圖中的點(diǎn)A’，B’，C’，D’，A，B，C，D【例題4】（2020·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中正確的是A．用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)B．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形C．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱D．正方形的直觀圖是正方形【答案】B【詳解】分析：根據(jù)棱臺(tái)與棱柱定義可判斷A,C真假，根據(jù)直觀圖的畫法可得B,C真假.詳解：用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)；平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊行的幾何體不一定是棱柱；正方形的直觀圖是平行四邊形，所以正確的是B.點(diǎn)睛：本題考查學(xué)生對(duì)棱臺(tái)與棱柱定義，以及直觀圖的畫法的理解，考查學(xué)生識(shí)別知識(shí)能力.【變式41】1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下面四個(gè)幾何體中，是棱臺(tái)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)臺(tái)體、錐體概念逐一分析，即可得結(jié)果.【詳解】A是圓臺(tái)，D是棱錐，C側(cè)棱延長(zhǎng)沒有交于一點(diǎn)，故不是四棱臺(tái)，B是三棱臺(tái)．故選：B【變式41】2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下面兩個(gè)空間圖形是棱臺(tái)嗎？簡(jiǎn)述理由.【答案】詳見解析.【分析】利用棱臺(tái)的概念即得.【詳解】?jī)蓚€(gè)空間圖形都不是棱臺(tái)，因?yàn)樽髠?cè)圖形雖然兩底面平行，但側(cè)棱延長(zhǎng)后不能相交于一點(diǎn)；右側(cè)圖形雖然側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)，但兩底面不平行，所以兩個(gè)圖形都不是棱臺(tái).【變式41】3．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，能推斷這個(gè)幾何體可能是三棱臺(tái)的是（

）A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4，AC＝3，A1C1＝4B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1【答案】C【分析】本題主要考查棱臺(tái)的定義，根據(jù)棱臺(tái)的上下底面互相平行，故兩個(gè)底面對(duì)應(yīng)邊之間的比值是相等的，此條件是構(gòu)成棱臺(tái)的必要條件，逐個(gè)分析可得答案.【詳解】解：棱臺(tái)是由棱錐截成的，上下兩個(gè)底面互相平行，且對(duì)應(yīng)邊之間的比值相等.A：A1B：B1C：A1D：滿足這個(gè)條件的是一個(gè)三棱柱，不是棱臺(tái)，D不正確；故選：C【變式41】4．（多選）（2022春·河北衡水·高一?？计谥校┫铝忻}中正確的是（

）A．兩個(gè)底面平行且相似，其余各面是梯形的多面體是棱臺(tái)B．正三棱柱的側(cè)面為矩形C．棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后一定交于一點(diǎn)D．棱錐的側(cè)面和底面可以都是三角形【答案】BCD【分析】對(duì)于AC，利用棱臺(tái)的定義判斷即可，對(duì)于B，由正棱柱的定義判斷，對(duì)于D，舉例判斷即可【詳解】對(duì)于A，兩個(gè)底面平行且相似，其余各面是梯形的多面體，其側(cè)棱的延長(zhǎng)不一定交于一點(diǎn)，所以此多面體不一定是棱臺(tái)，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由正棱柱的定義可知正三棱柱的側(cè)面為矩形，所以B正確，對(duì)于C，由棱臺(tái)的定義可知，棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后一定交于一點(diǎn)，所以C正確，對(duì)于D，三棱錐的側(cè)面和底面都是三角形，所以D正確，故選：BCD【變式41】5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列說法正確的有（

）①有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．②有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)．③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；④棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是正六棱錐A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】A【分析】利用棱錐的定義和性質(zhì)，結(jié)合圖形即可得到答案.【詳解】解析①不正確．棱錐的定義是：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐．②如圖1，不正確，側(cè)棱延長(zhǎng)線可能不交于一點(diǎn).③錯(cuò)誤．不一定是正三棱錐,如圖2所示：三棱錐中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD．滿足底面△BCD為等邊三角形．三個(gè)側(cè)面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC長(zhǎng)度不一定等于AD，即三條側(cè)棱不一定全部相等．④不正確，不存在這樣的正六棱錐.極限考慮，如圖3的正六邊形ABCDEF分割成了6個(gè)全等的小正三角形，三角形所有邊長(zhǎng)相等，從而不存在答案所說的正六棱錐.故選：A.題型5棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征【方法總結(jié)】棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征1.上下底面是互相平行且相似的多邊形2.側(cè)面都是梯形3.各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)【例題5】（2020·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．棱臺(tái)的側(cè)面可以是平行四邊形B．兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C．棱臺(tái)的底面是兩個(gè)相似的正方形D．棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)【答案】D【分析】用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺(tái),結(jié)合選項(xiàng)逐一驗(yàn)證得出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A,棱臺(tái)的側(cè)面是梯形,錯(cuò)誤;對(duì)于B,兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體，若側(cè)棱的延長(zhǎng)線不能交于一點(diǎn)，則該幾何體不是棱臺(tái),錯(cuò)誤;對(duì)于C,棱臺(tái)的底面是兩個(gè)相似的多邊形,錯(cuò)誤;對(duì)于D,由棱臺(tái)的性質(zhì)得棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn),正確;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意棱臺(tái)的定義及性質(zhì)的合理運(yùn)用．【變式51】1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）對(duì)有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體，以下說法正確的是(

)A．棱柱 B．棱錐C．棱臺(tái) D．一定不是棱柱、棱錐【答案】D【分析】由棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義判斷【詳解】根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的特征，一定不是棱柱、棱錐．故選：D【變式51】2．（2021春·高一課時(shí)練習(xí)）①有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體的側(cè)棱一定不相交于一點(diǎn)，故一定不是棱臺(tái)；②兩個(gè)互相平行的面是平行四邊形，其余各面是四邊形的幾何體不一定是棱臺(tái)；③兩個(gè)互相平行的面是正方形，其余各面是四邊形的幾何體一定是棱臺(tái)．其中正確說法的個(gè)數(shù)為________．【答案】2【詳解】①正確，因?yàn)榫哂羞@些特征的幾何體的側(cè)棱一定不相交于一點(diǎn)，故一定不是棱臺(tái)；②正確；③不正確，當(dāng)兩個(gè)平行的正方形完全相等時(shí)，一定不是棱臺(tái)．故填：2.點(diǎn)睛：多面體的學(xué)習(xí)中，一定要把握住棱柱、棱錐、棱臺(tái)的特征，特別是棱柱，要有兩個(gè)面平行，其余面的交線互相平行，否則就不是棱柱，棱臺(tái)一定要聯(lián)系棱錐，因?yàn)槔馀_(tái)是棱錐截取出來的，所以應(yīng)該能還原為棱錐,側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn).【變式51】3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下列空間圖形中是棱臺(tái)的為_____.(填序號(hào))【答案】③【分析】根據(jù)棱臺(tái)的定義和性質(zhì)判定.【詳解】由棱臺(tái)的定義知，棱臺(tái)的上底面必須與下底面平行，且側(cè)棱延長(zhǎng)后交于同一點(diǎn).圖①中側(cè)棱延長(zhǎng)后不能交于同一點(diǎn)，圖②中上底面不平行于下底面，故圖①和圖②都不是棱臺(tái).圖③符合棱臺(tái)的定義與結(jié)構(gòu)特征.故答案為：③【變式51】4．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在一個(gè)長(zhǎng)方體的容器中裝有少量水，現(xiàn)在將容器繞著其底部的一條棱傾斜，在傾斜的過程中：（1）水面的形狀不斷變化，可能是矩形，也可能變成不是矩形的平行四邊形，對(duì)嗎？（2）水的形狀也不斷變化，可以是棱柱，也可能變?yōu)槔馀_(tái)或棱錐，對(duì)嗎？（3）如果傾斜時(shí)，不是繞著底部的一條棱，而是繞著其底部的一個(gè)頂點(diǎn)，試著討論水面和水的形狀.【答案】（1）不對(duì)；（2）不對(duì)；（3）答案見解析【分析】根據(jù)繞著棱旋轉(zhuǎn)和繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體被相應(yīng)平面所截形成的截面形狀.【詳解】（1）不對(duì)，水面的形狀就是用一個(gè)與棱（傾斜時(shí)固定不動(dòng)的棱）平行的平面截長(zhǎng)方體時(shí)截面的形狀，因而是矩形，不可能是其他非矩形的平行四邊形.（2）不對(duì)，水的形狀就是用與棱（將長(zhǎng)方體傾斜時(shí)固定不動(dòng)的棱）平行的平面將長(zhǎng)方體截去一部分后，剩余部分的幾何體是棱柱，不可能是棱臺(tái)或棱錐.（3）用任意一個(gè)平面去截長(zhǎng)方體，其截面形狀可以是三角形，四邊形，五邊形，六邊形，因而水面的形狀可以是三角形，四邊形，五邊形，六邊形；水的形狀可以是棱錐，棱柱，但不可能是棱臺(tái).【變式51】5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法中，正確的個(gè)數(shù)為（

）（1）有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)（2）由若干個(gè)平面多邊形所圍成的幾何體是多面體（3）棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是正六棱錐（4）底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0【答案】C【分析】利用棱臺(tái)的定義判斷（1），利用多面體的定義判斷（2），利用正六棱錐的定義判斷（3），利用正三棱錐的定義判斷（4）【詳解】（1）如圖，側(cè)棱延長(zhǎng)線可能不交于一點(diǎn)，故（1）錯(cuò)誤（2）正確，符合多面體的定義（3）不正確，不存在這樣的正六棱錐，正六邊形中心與各個(gè)頂點(diǎn)連線，構(gòu)成了6個(gè)全等的小正三角，所以正六棱錐棱長(zhǎng)不可能與底邊相等，故（3）錯(cuò)誤.（4）錯(cuò)誤.不一定是正三棱錐,如圖所示:三棱錐中有AB=AD=BD=BC=CD.滿足底面△BCD為等邊三角形.三個(gè)側(cè)面△故選：C題型6正棱臺(tái)的有關(guān)計(jì)算【例題6】（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，ABC?A．63 B．332 C．6【答案】C【分析】首先還原為三棱錐，再計(jì)算小棱錐的高，再根據(jù)相似關(guān)系，即可計(jì)算三棱臺(tái)的高.【詳解】如圖1，將正三棱臺(tái)，還原為正三棱錐，由相似關(guān)系可知，三棱錐P?A1B1C1的棱長(zhǎng)都是3，如圖2，點(diǎn)P故選：C【變式61】1．（2022春·河南開封·高一?？计谥校┮粋€(gè)正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為10，底面邊長(zhǎng)為62A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根據(jù)原正四棱錐的幾何關(guān)系求得其高，再結(jié)合正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)即可求得其高.【詳解】根據(jù)題意，正四棱臺(tái)是由原正四棱錐過側(cè)棱的中點(diǎn)且與底面平面的平面截得的，如下所示：對(duì)原正四棱錐，BD=2BC又△PO1B1~△POB故選：B.【變式61】2．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）已知正四棱臺(tái)側(cè)棱長(zhǎng)為5，上底面邊長(zhǎng)和下底面邊長(zhǎng)分別為2和5，求該四樓臺(tái)的高和斜高．【答案】高是552，斜高是91【分析】取上底A1B1C1D1的中心O1和下底ABCD的中心O，連結(jié)OO1，過O1作O1F⊥A1B1，交A1B1于F，過O作OE⊥AB，交AB于E，過F作FN⊥OE，交OE于N，正四棱臺(tái)的斜高B1K，正四棱臺(tái)的高OO1＝FN，由此能求出正四棱臺(tái)的高和斜高．【詳解】解：取上底A1B1C1D1的中心O1和下底ABCD的中心O，連結(jié)OO1，過O1作O1F⊥A1B1，交A1B1于F，過O作OE⊥AB，交AB于E，過F作FN⊥OE，交OE于N，正四棱臺(tái)的斜高B1K＝EF＝BB12?(則正四棱臺(tái)的高OO1＝FN＝EF2?(OE∴正四棱臺(tái)的高是552，斜高是91【變式61】3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在正三棱臺(tái)ABC?A1B1C1中，已知AB=10，棱臺(tái)一個(gè)側(cè)面的面積為2033，【答案】2【分析】根據(jù)正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，用上下底面邊長(zhǎng)表示出正三棱臺(tái)的斜高，進(jìn)而得側(cè)面積表達(dá)式即可得解.【詳解】依題意，AB=10，則AD設(shè)上底面的邊長(zhǎng)為x(x>0)如圖所示，連接O1O，過D1作D1H于是得DH=OD?OH=因四邊形B1C1CB的面積為12B1所以上底面的邊長(zhǎng)為215【變式61】4．（2021春·高一課時(shí)練習(xí)）若正三棱臺(tái)的高為3，上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，求這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高.【答案】棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為933，斜高為【解析】正棱臺(tái)兩底面中心分別為O和O1，AB和A1B1的中點(diǎn)分別是E，E1【詳解】如圖，正三棱臺(tái)ABC?A1B1C1中，兩底面中心分別為O和O1，AB和A1B1的中點(diǎn)分別是E，E1，連接在等邊ΔABC中，AB=4，則OA=4在等邊ΔA1B1C1中，在直角梯形OAA1O所以AA即棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為933在直角梯形OEEEE即棱臺(tái)的斜高為221【點(diǎn)睛】本題考查求正棱臺(tái)的斜高，解題關(guān)鍵是掌握正棱臺(tái)中的兩個(gè)直角梯形：兩底面中心與一條側(cè)棱的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成直角梯形，兩底面中心與在同一側(cè)面的上下底兩邊的中點(diǎn)構(gòu)成直角梯形．【變式61】5．（2022春·廣東珠?！じ咭唤y(tǒng)考期末）正四棱臺(tái)的上?下底面邊長(zhǎng)分別為2cm,3cm，側(cè)棱長(zhǎng)為2cmA．4cm2 B．57cm2 【答案】B【分析】先求棱臺(tái)的斜高，然后利用側(cè)面積公式進(jìn)行求解.【詳解】由題意，正四棱臺(tái)的側(cè)面是等腰梯形，且其上?下底