中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提升專項知識菱形的性質(zhì)與判定(講義1考點+1命題點22種題型(含4種解題技巧))含答案及解析

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第五章四邊形第25講菱形的性質(zhì)與判定（思維導(dǎo)圖+1考點+1命題點22種題型（含4種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究考點菱形04題型精研·考向洞悉命題點菱形的性質(zhì)與判定?題型01利用菱形的性質(zhì)求角度?題型02利用菱形的性質(zhì)求線段長?題型03利用菱形的性質(zhì)求周長?題型04利用菱形的性質(zhì)求面積?題型05利用菱形的性質(zhì)求點的坐標(biāo)?題型06利用菱形的性質(zhì)證明?題型07菱形的折疊問題?題型08添加一個條件使四邊形是菱形?題型09證明四邊形是菱形?題型10根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度?題型11根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長?題型12根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求周長?題型13根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積?題型14根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題?題型15與菱形有關(guān)的新定義問題?題型16與菱形有關(guān)的規(guī)律探究問題?題型17與菱形有關(guān)的動點問題?題型18與菱形有關(guān)的最值問題?題型19含60°角的菱形?題型20菱形與函數(shù)綜合?題型21與菱形有關(guān)的存在性問題?題型22與菱形有關(guān)的材料閱讀類問題試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁

01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點考查頻率新課標(biāo)要求菱形的有關(guān)證明與計算★★理解菱形的概念;探索并證明菱形的性質(zhì)定理及其判定定理.【考情分析】菱形是特殊的平行四邊形，其對角線互相垂直平分且平分每一組對角，其面積為對角線乘積的一半，荾形的考查經(jīng)常與直角三角形的勾股定理、圖形面積等結(jié)合，試題形式多樣，難度中等.【命題預(yù)測】菱形是特殊平行四邊形中比較重要的圖形，也是幾何圖形中難度比較大的幾個圖形之一，年年都會考查，預(yù)計2025年各地中考還將出現(xiàn).菱形的考察類型比較多樣，其中選擇、填空題?？疾炝庑蔚幕拘再|(zhì)，解答題中考查菱形的性質(zhì)和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動態(tài)問題綜合應(yīng)用的可能性比較大．02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一菱形1.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.【易錯點】對于菱形的定義要注意兩點（缺一不可）：①是平行四邊形；②一組鄰邊相等.2.菱形的性質(zhì)定理性質(zhì)定理符號語言圖示邊四條邊都相等∵四邊形ABCD是菱形∴AB=CD=AD=BC對角線對角線互相垂直，且每一條對角線平分一組對角∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD【補充】1）菱形是特殊的平行四邊形，所以菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；2）菱形的兩條對角線互相垂直，且對角線將菱形分成四個全等的直角三角形.3）對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形.4）菱形的面積公式：①菱形的面積=底×高，即②菱形的面積=兩條對角線長的乘積的一半，即.3.菱形的對稱性1）菱形是軸對稱圖形，兩條對角線所在的直線都是它的對稱軸.2）菱形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心.4.菱形的判定判定定理符號語言圖示邊四條邊相等的四邊形是菱形.在四邊形ABCD中，∵AB=BC=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.在平行四邊形ABCD中，∵AB=BC，∴平行四邊形ABCD是菱形對角線對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.在平行四邊形ABCD中，∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形1．（2024·四川·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=2，則菱形ABCD的周長為．2．（2024·海南·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=120°，邊AB在數(shù)軸上，將AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，點C落在數(shù)軸上的點E處，若點E表示的數(shù)是3，則點A表示的數(shù)是（

）A．1 B．1?3 C．0 D．3．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AB的中點，連接OE．若OE=3，則菱形的邊長為（

）

A．6 B．8 C．10 D．124．（2024·江蘇南通·中考真題）若菱形的周長為20cm，且有一個內(nèi)角為45°，則該菱形的高為cm5．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足為E,CF⊥AD，垂足為F．求證：AF=CE．04題型精研·考向洞悉命題點一菱形的性質(zhì)與判定?題型01利用菱形的性質(zhì)求角度1．（2023·陜西·中考真題）點E是菱形ABCD的對稱中心，∠B=56°，連接AE，則∠BAE的度數(shù)為．2．（2023·黑龍江大慶·中考真題）將兩個完全相同的菱形按如圖方式放置，若∠BAD=α，∠CBE=β，則β=（

）

A．45°+12α B．45°+32α3．（2023·河北·中考真題）如圖，直線l1∥l2，菱形ABCD和等邊△EFG在l1，l2之間，點A，F(xiàn)分別在l1，l2上，點B，D，E，G在同一直線上：若

A．42° B．43° C．44° D．45°4．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=40°，連接AC，以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交直線AD于點E，連接CE，則∠AEC的度數(shù)是．

5．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若四邊形OABC為菱形，則∠ADC的度數(shù)是．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02利用菱形的性質(zhì)求線段長1）菱形的對角線互相垂直平分，因此涉及菱形的問題常會在直角三角形中解決；2）菱形的四條達(dá)相等，因此菱形與等腰三角形、等邊三角形的合應(yīng)用較多，利用菱形的性質(zhì)求線段、角時，注意菱形與其他幾何知識的結(jié)合.6．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中點，則sin∠EBC的值為（

A．35 B．75 C．21147．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，連接BD，點M從B出發(fā)沿BD方向以3cm/s的速度運動至D，同時點N從B出發(fā)沿BC方向以1cm/s的速度運動至C，設(shè)運動時間為xs，△BMN的面積為ycm2，y

A．22cm B．42cm C．8．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，AC是一條對角線，E是AC上一點，過點E作EF⊥AB，垂足為F，連接DE．若CE=AF，則DE的長為．?題型03利用菱形的性質(zhì)求周長9．（2022·四川達(dá)州·中考真題）如圖，菱形ABCD的兩條對角線相交于點O，若AC=24，BD=10，則菱形ABCD的周長是．

10．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，順次連接菱形ABCD各邊中點E、F、G、H，則四邊形EFGH的周長為（

）

A．4+23 B．6+23 C．4+4311．（2020·四川甘孜·中考真題）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E為AB的中點．若菱形ABCD的周長為32，則OE的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．612．（2020·貴州黔東南·中考真題）若菱形ABCD的一條對角線長為8，邊CD的長是方程x2﹣10x+24＝0的一個根，則該菱形ABCD的周長為（）A．16 B．24 C．16或24 D．48QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04利用菱形的性質(zhì)求面積菱形的面積公式：①菱形的面積=底×高，即②菱形的面積=兩條對角線長的乘積的一半，即.（適用于對角線互相垂直的任意四邊形的面積的計算）13．（2024·廣東·中考真題）如圖，菱形ABCD的面積為24，點E是AB的中點，點F是BC上的動點．若△BEF的面積為4，則圖中陰影部分的面積為．14．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，四邊形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于點E，則AE的長是（

）A．245 B．6 C．485 15．（2023·山東聊城·中考真題）如圖，在?ABCD中，BC的垂直平分線EO交AD于點E，交BC于點O，連接BE，CE，過點C作CF∥BE，交EO的延長線于點F，連接BF．若AD=8，CE=5，則四邊形BFCE的面積為

.16．（2023·四川瀘州·中考真題）若一個菱形的兩條對角線長分別是關(guān)于x的一元二次方程x2A．3 B．23 C．14 D．?題型05利用菱形的性質(zhì)求點的坐標(biāo)17．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，O是坐標(biāo)原點，菱形ABOC的頂點B在x軸的負(fù)半軸上，頂點C的坐標(biāo)為3,4，則頂點A的坐標(biāo)為（

）A．?4,2 B．?3,4 C．?2,4 18．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形AOBC的頂點A在x軸負(fù)半軸上，頂點B在直線y=34x上，若點B的橫坐標(biāo)是8，為點CA．(?1,6) B．(?2,6) C．(?3,6) D．(?4,6)19．（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點A，B在x軸上，AB=2，A1,0，∠DAB=60°，將菱形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)90°后，得到菱形AB1C1

20．（2023·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點A的坐標(biāo)為?2,0，∠AOC=60°．將菱形OABC沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，得到菱形OA'B'C

A．(?2,3?1) B．?2,1 C．(?3QUOTE?題型06利用菱形的性質(zhì)證明21．（2024·福建·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在BC、CD邊上，∠BAF=∠DAE，求證：BE=DF．22．（2023·浙江嘉興·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，連接EF

(1)求證：AE=AF；(2)若∠B=60°，求23．（2024·四川德陽·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，對角線AC與BD相交于點O，點F為BC的中點，連接AF與BD相交于點E，連接CE并延長交AB于點G．(1)證明：△BEF∽△BCO；(2)證明：△BEG≌△AEG．?題型07菱形的折疊問題24．（2021·浙江嘉興·中考真題）將一張三角形紙片按如圖步驟①至④折疊兩次得圖⑤，然后剪出圖⑤中的陰影部分，則陰影部分展開鋪平后的圖形是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形25．（2023·江蘇南京·中考真題）如圖，在菱形紙片ABCD中，點E在邊AB上，將紙片沿CE折疊，點B落在B'處，CB'⊥AD，垂足為F

若CF=4cm，26．（2023·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，將菱形紙片ABCD沿過點C的直線折疊，使點D落在射線CA上的點E處，折痕CP交AD于點P．若∠ABC=30°，AP=2，則PE的長等于．

27．（2022·浙江臺州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折疊該菱形，使點A落在邊BC上的點M處，折痕分別與邊AB，AD交于點E，F(xiàn)．當(dāng)點M與點B重合時，EF的長為；當(dāng)點M的位置變化時，DF長的最大值為．28．（2022·江蘇淮安·中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，同學(xué)們對菱形的折疊問題進(jìn)行了探究．如圖（1），在菱形ABCD中，∠B為銳角，E為BC中點，連接DE，將菱形ABCD沿DE折疊，得到四邊形A'B'ED，點A的對應(yīng)點為點A'，點B的對應(yīng)點為點B'．(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】A'D與B'E的位置關(guān)系是______；(2)【思考表達(dá)】連接B'C，判斷∠DEC與(3)如圖（2），延長DC交A'B'于點G，連接EG(4)【綜合運用】如圖（3），當(dāng)∠B=60°時，連接B'C，延長DC交A'B'于點G，連接EG?題型08添加一個條件使四邊形是菱形29．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，以下條件不能證明?ABCD是菱形的是（

）A．∠BAC=∠BCA B．∠ABD=∠CBDC．OA2+O30．（2024·西藏·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AC與BD相交于點O，請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形ABCD是菱形．31．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，AB∥CD，要使四邊形ABCD為菱形，應(yīng)添加的條件是．（只需寫出一個條件即可）32．（2022·湖南岳陽·中考真題）如圖，點E，F(xiàn)分別在?ABCD的邊AB，BC上，AE=CF，連接DE，DF．請從以下三個條件：①∠1=∠2；②DE=DF；③∠3=∠4中，選擇一個合適的作為已知條件，使?ABCD為菱形．(1)你添加的條件是______（填序號）；(2)添加了條件后，請證明?ABCD為菱形．?題型09證明四邊形是菱形判定一個四邊形是菱形時，可先證明它是平行四邊形，再證明它的一組鄰邊相等或它的對角線互相垂直，也可直接證明它的四條邊都相等或它的對角線互相垂直平分．即：33．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知矩形ABCD．(1)尺規(guī)作圖：作對角線AC的垂直平分線，交CD于點E，交AB于點F；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)連接AE、CF．求證：四邊形34．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖1，將兩個寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形ABCD．(1)試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；(2)已知矩形紙條寬度為2cm，將矩形紙條旋轉(zhuǎn)至如圖2位置時，四邊形ABCD的面積為8cm2，求此時直線AD、CD所夾銳角35．（2024·云南·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是各邊的中點，且AB∥CD，AD∥(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若矩形EFGH的周長為22，四邊形ABCD的面積為10，求AB的長．?題型10根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度36．（2024·湖北武漢·中考真題）小美同學(xué)按如下步驟作四邊形ABCD：①畫∠MAN；②以點A為圓心，1個單位長為半徑畫弧，分別交AM，AN于點B，D；③分別以點B，D為圓心，1個單位長為半徑畫弧，兩弧交于點C；④連接BC，CD，BD．若∠A=44°，則∠CBD的大小是（

）

A．64° B．66° C．68° D．70°37．（2024·江蘇南京·三模）如圖，將矩形ABCD繞點C旋轉(zhuǎn)得到矩形FECG，點E在AD上，延長ED交FG于點H．

(1)求證DE=FH；(2)連接BE,CH，當(dāng)AB與BC的比值為_______時，四邊形BEHC是菱形．38．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，在?ABCD中，以點B為圓心，以BA的長為半徑作弧交邊BC于點E，連接AE．分別以點A、E為圓心，以大于12AE的長為半徑作弧，兩弧交于點P，作射線BP交AE于點O，交邊AD于點(1)求證：△BOE≌(2)若∠EBP=28°，求∠FAE?題型11根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長39．（2024·山東德州·中考真題）如圖，?ABCD中，對角線AC平分∠BAD．

(1)求證：?ABCD是菱形；(2)若AC=8，∠DCB=74°，求菱形ABCD的邊長．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，40．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB，CD的延長線上，且BE=DF，連接EF與AC交于點M，連接AF，CE．(1)求證：△AEM≌△CFM；(2)若AC⊥EF，AF=32，求四邊形AECF41．（2023·湖南益陽·中考真題）如圖，線段AB與⊙O相切于點B，AO交⊙O于點M，其延長線交⊙O于點C，連接BC，∠ABC=120°，D為⊙O上一點且DB的中點為M，連接AD，CD．

(1)求∠ACB的度數(shù)；(2)四邊形ABCD是否是菱形？如果是，請證明：如果不是，請說明理由；(3)若AC=6，求CD的長．42．（2022·四川涼山·中考真題）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F．(1)求證：四邊形ADBF是菱形；(2)若AB＝8，菱形ADBF的面積為40，求AC的長．QUOTE?題型12根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求周長43．（2022·湖南長沙·中考真題）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=AD．

(1)求證：AC⊥BD；(2)若點E，F(xiàn)分別為AD，AO的中點，連接EF，EF=32，AO=2，求44．（2021·湖南邵陽·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點，且AE=CF．連接DE，DF，BE，BF．（1）證明：△ADE≌△CBF．（2）若AB=42，AE=2，求四邊形BEDF45．（2020·江蘇連云港·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，對角線BD的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于M、（1）求證：四邊形BNDM是菱形；（2）若BD=24，MN=10，求菱形BNDM的周長．?題型13根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積46．（2023·四川巴中·中考真題）如圖，已知等邊△ABC，AD⊥BC，E為AB中點．以D為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交DE于點M，交DB于點N，分別以M、N為圓心，大于12MN為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線交AB于點G．過點E作EF∥BC交射線DP于點

(1)求證：四邊形BDEF是菱形．(2)若AC=4，求△AFD的面積．47．（2022·廣西賀州·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且ED=BF，連接AF，CE，AC，EF，且AC與EF相交于點O．(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；(2)若AC平分∠FAE，AC=8，tan∠DAC=48．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中（AB>BC），對角線AC，BD相交于點O，延長BC到點E，使得CE=BC，連接DE，點F是DE的中點，連接(1)求證：四邊形DOCF是菱形；(2)若矩形ABCD的周長為20，AC=8，求四邊形DOCF的面積．?題型14根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題49．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，把一個邊長為5的菱形ABCD沿著直線DE折疊，使點C與AB延長線上的點Q重合．DE交BC于點F，交AB延長線于點E．DQ交BC于點P，DM⊥AB于點M，AM=4，則下列結(jié)論，①DQ=EQ，②BQ=3，③BP=158，④BD∥FQ．正確的是（

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④50．（2022·山東東營·中考真題）如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，對角線AC、BD相交于點O，點M，N分別是邊BC、CD上的動點，∠BAC=∠MAN=60°，連接MN、OM.以下四個結(jié)論正確的是（

）①△AMN是等邊三角形；②MN的最小值是3；③當(dāng)MN最小時S△CMN=18SA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④51．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，對角線AC，BD交于點O，動點P在邊BC上（不與點C重合），連接AP，AP的垂直平分線交AP于點E，交BD于點F，連接FP，CE，OE，現(xiàn)有以下結(jié)論：①點A，E之間的距離為定值；②FP=2FE；③CEBC的值可以是13；④∠EOF=30°或150°．其中正確的是52．（2023·河北承德·一模）如圖，在菱形ABCD中，AC、BD(AC>BD)相交于點O，E、F分別為OA和OC上的點（不與點A、O、C重合）．其中AE=OF．過點E作GH⊥AC，分別交AD、AB于點G、H；過點F作IJ⊥AC分別交CD、CB于點J、I；連接GJ、HI，甲、乙、丙三個同學(xué)給出了三個結(jié)論：甲：隨著AE長度的變化，GH+IJ=BD始終成立．乙：隨著AE長度的變化，四邊形GHIJ可能為正方形．丙：隨著AE長度的變化，四邊形GHIJ的面積始終不變，都是菱形ABCD面積的一半．下列選項正確的是（）

A．甲、乙、丙都對 B．甲、乙對，丙不對C．甲、丙對，乙不對 D．甲不對，乙、丙對?題型15與菱形有關(guān)的新定義問題53．（2024·江蘇泰州·一模）定義：一個四邊形中，若有一個角的兩邊相等，且與它的對角互補，則稱這個四邊形為“半等邊四邊形”，則下列四邊形一定是“半等邊四邊形”的是(

)A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形54．（22-23八年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）我們知道，菱形和正方形雖然都是四邊相等的四邊形，但形狀有差異，可以將菱形和正方形的接近程度稱為菱形的“神似度”，如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD的長分別為a，b（a≥b），我們把ab(1)當(dāng)菱形的“神似度”=______時，菱形就是正方形；(2)當(dāng)∠BAD=60°時，求菱形ABCD的“神似度”．55．（2023·廣西崇左·二模）箏形的定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．(1)根據(jù)箏形的定義，寫出一種學(xué)過的滿足箏形的定義的四邊形：______；(2)如圖1，在正方形ABCD中，E是對角線BD延長線上一點，連接AE，CE．求證：四邊形(3)小明學(xué)習(xí)箏形后對箏形非常感興趣，購買了一只風(fēng)箏，通過測量它的主體（如圖2）得AB=AD，BC=DC，發(fā)現(xiàn)它是一個箏形，還得到AB=18cm，BC=40cm，∠ABC=120°，求箏形?題型16與菱形有關(guān)的規(guī)律探究問題56．（2022·遼寧·中考真題）如圖，A1為射線ON上一點，B1為射線OM上一點，∠B1A1O=60°,OA1=3,B1A1=1．以B1A1為邊在其右側(cè)作菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1=60°,C1D1與射線OM交于點B2，得△C1B157．（2021·黑龍江·中考真題）如圖，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=1，延長CD至A1，使DA1=CD，以A1C為一邊，在BC的延長線上作菱形A1CC1D1，連接AA1，得到ΔADA1；再延長C1D1至A2，使D1A2=C1D158．（2024·湖南益陽·二模）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠DAB=60°，則菱形ABCD的面積是23；以對角線AC為邊作第二個菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°，則菱形ACC1D1的面積是59．（2024·河南商丘·二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點O為原點，A2,0，∠AOC=60°，作以下操作∶①將菱形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°得到菱形OA1B1C1；②將菱形OA1B1C1繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°得到菱形OA．?3,?3 B．?3,?3 C．?3,?題型17與菱形有關(guān)的動點問題60．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，動點P從菱形ABCD的點A出發(fā)，沿邊AB→BC勻速運動，運動到點C時停止．設(shè)點P的運動路程為x，PO的長為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點P運動到BC中點時，PO的長為（）A．2 B．3 C．5 D．261．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=30°，點E是BC邊上的動點，連接AE，DE，過點A作AF⊥DE于點F．設(shè)DE=x，AF=y，則y與x之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變量x的取值范圍）（

）A．y=9x B．y=12x C．62．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，四邊形ABCD是邊長為4的菱形，∠A=60°，點Q為CD的中點，P為線段AB上的動點，現(xiàn)將四邊形PBCQ沿PQ翻折得到四邊形PB

(1)當(dāng)∠QPB=45°時，求四邊形BB(2)當(dāng)點P在線段AB上移動時，設(shè)BP=x，四邊形BB'C'C的面積為S63．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，在菱形ABCD中，AB=10cm，∠ABC=60°，E為對角線AC上一動點，以DE為一邊作∠DEF=60°，EF交射線BC于點F，連接BE，DF．點E從點C出發(fā)，沿CA方向以每秒2cm的速度運動至點A處停止．設(shè)△BEF的面積為ycm(1)求證：BE=EF；(2)求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)求x為何值時，線段DF的長度最短．?題型18與菱形有關(guān)的最值問題64．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，菱形ABCD中，∠B=60°，點E是AB邊上的點，AE=4，BE=8，點F是BC上的一點，△EGF是以點G為直角頂點，∠EFG為30°角的直角三角形，連結(jié)AG．當(dāng)點F在直線BC上運動時，線段AG的最小值是（A．2 B．43?2 C．265．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，菱形ABCD，點A、B、C、D均在坐標(biāo)軸上，∠ABC=120°，點A?3,0，點E是CD的中點，點P是OC上的一動點，則PD+PE的最小值是（

A．3 B．5 C．22 D．66．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，E是BC邊上一個動點，連接AE，AE的垂直平分線MN交AE于點M，交BD于點

(1)求證：EN=CN；(2)求2EN+BN的最小值．?題型19含60°角的菱形【基礎(chǔ)】條件：四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD相交與點O，∠ABC=60°圖示：結(jié)論：1)∠ABD=∠CBD=30°；2)△ABC，△ACD為等邊三角形3)AB：AD：BD=1:1:3；4)【進(jìn)階】條件：四邊形ABCD是菱形，∠BAD=120°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，∠EAF=60°圖示：結(jié)論：1)△AEF為等邊三角形;2)△ABE≌△ACF,△AEC≌△AFD.67．（2024·廣西·中考真題）如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60°，則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD的周長為cm68．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，動點M，N同時從A點出發(fā)，點M以每秒2個單位長度沿折線A?B?C向終點C運動；點N以每秒1個單位長度沿線段AD向終點D運動，當(dāng)其中一點運動至終點時，另一點隨之停止運動．設(shè)運動時間為x秒，△AMN的面積為y個平方單位，則下列正確表示y與x函數(shù)關(guān)系的圖象是（

）

A．

B．

C．

D．

69．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，將一個邊長為20cm的正方形活動框架（邊框粗細(xì)忽略不計）扭動成四邊形ABCD，對角線是兩根橡皮筋，其拉伸長度達(dá)到36cm時才會斷裂．若∠BAD=60°，則橡皮筋A(yù)C斷裂（填“會”或“不會”，參考數(shù)據(jù)：70．（2024·貴州·模擬預(yù)測）綜合與實踐：在菱形ABCD中，∠B=60°，作∠MAN=∠B，AM，AN分別交BC，CD于點M，N．(1)【動手操作】如圖①，若M是邊BC的中點，根據(jù)題意在圖①中畫出∠MAN，則∠BAM=________度；(2)【問題探究】如圖②，當(dāng)M為邊BC上任意一點時，求證：AM=AN；(3)【拓展延伸】如圖③，在菱形ABCD中，AB=4，點P，N分別在邊BC，CD上，在菱形內(nèi)部作∠PAN=∠B，連接AP，若AP=13，求線段DN71．（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，AC與BD相交于點E,AB=3,∠BAD=60°，點F，G分別在邊AD,CD上運動，F(xiàn)G∥AC．(1)當(dāng)F，G為邊AD,CD的中點時，求證：△BFG為正三角形；(2)當(dāng)tan∠CBG=1時，求△BFG?題型20菱形與函數(shù)綜合72．（2023·山東濱州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的一邊OC在x軸正半軸上，頂點A的坐標(biāo)為2,23，點D是邊OC上的動點，過點D作DE⊥OB交邊OA于點E，作DF∥OB交邊BC于點F，連接EF．設(shè)OD=x,△DEF的面積為S

(1)求S關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)x取何值時，S的值最大？請求出最大值．73．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC為菱形，點B在x軸正半軸上，反比例函數(shù)y=kxk>0,x>0(1)若AB=10，OB=2，求反比例函數(shù)y=(2)若菱形OABC的面積為20，直接寫出反比例函數(shù)y=k74．（2023·遼寧沈陽·三模）已知：如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，線段OC與直線BD交于點M，連接OB，BC，CD，OD得菱形OBCD，點B的橫坐標(biāo)為4，點C的坐標(biāo)為7,7，點P，Q分別是線段OB，CD上的動點，點P從點O出發(fā)，以每秒0.8個單位的速度向終點B移動，點Q從點D出發(fā)，以每秒2個單位的速度向點C移動，到達(dá)點C后立即以原速再向終點D移動，設(shè)P，Q同時出發(fā)，移動時間為t秒（t＞0），當(dāng)其中一個點停止移動時，另一個點也隨之停止移動．(1)求直線BD的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)t為何值時，直線PQ平分菱形ABCD的面積？(3)若直線PQ與對角線OC的交點為N，E是OB邊的中點，當(dāng)0<t<2.5時，請直接寫出當(dāng)△NEB的周長取最小值時t的值．?題型21與菱形有關(guān)的存在性問題75．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形OAB的邊OB在x軸上，點A在第一象限，OA的長度是一元二次方程x2?5x?6=0的根，動點P從點O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿折線OA?AB運動，動點Q從點O出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿折線OB?BA運動，P、Q兩點同時出發(fā)，相遇時停止運動．設(shè)運動時間為t秒（0<t<3.6），△OPQ的面積為(1)求點A的坐標(biāo)；(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，當(dāng)S=63時，點M在y軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點N，使得以點O、P、M、N為頂點的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點N76．（2023·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于點A，B，交y軸于點C，點B的坐標(biāo)為1,0，對稱軸是直線x=?1，點P是x軸上一動點，PM⊥x軸，交直線AC

(1)求這個二次函數(shù)的解析式．(2)若點P在線段AO上運動（點P與點A、點O不重合），求四邊形ABCN面積的最大值，并求出此時點P的坐標(biāo)．(3)若點P在x軸上運動，則在y軸上是否存在點Q，使以M、N、C、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．77．（2021·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，直線AB與x軸交于點A，與y軸交于點B．OB是一元二次方程x2﹣x﹣30＝0的一個根，且tan∠OAB=34，點D為AB的中點，E為x軸正半軸上一點，BE＝210，直線OD與BE相交于點（1）求點A及點D的坐標(biāo)；（2）反比例函數(shù)y=kx經(jīng)過點F關(guān)于y軸的對稱點F′，求（3）點G和點H在直線AB上，平面內(nèi)存在點P，使以E，G，H，P為頂點的四邊形是邊長為6的菱形，符合條件的菱形有幾個？請直接寫出滿足條件的兩個點P的坐標(biāo)．?題型22與菱形有關(guān)的材料閱讀類問題78．（2024·山西朔州·模擬預(yù)測）閱讀與思考下面是小逸同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．作矩形的最大內(nèi)接菱形的方法頂點在矩形邊上的菱形叫做矩形的內(nèi)接菱形，在實踐活動課上，數(shù)學(xué)老師提出來一個問題“如何從一張矩形紙片中翻作出一個最大的內(nèi)接菱形”實踐小組成員經(jīng)過思考后，分別給了3種不同的方法．方法一：通過折，將矩形紙片橫對折后再豎對折，沿對角線剪一刀將到一個直角三角形，展開后就是菱形EHGF（如圖1）．則四邊形EHGF是矩形ABCD的內(nèi)接菱形．方法二：通過疊，取兩個大小一樣的矩形紙片，讓兩矩形的長兩兩相交，重疊的部分形成四邊形AECF．則四邊形AECF也是矩形ABCD的內(nèi)接菱形，（如圖2）方法三：通過尺規(guī)作圖，作矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線EF，與AD邊交于點E．與BC邊交于點F，連接AF，CE，則四邊形AECF是矩形ABCD的內(nèi)接菱形．實踐小組通過三種方法得到的菱形進(jìn)行分析，討論，計算，對比，從而得出矩形的最大內(nèi)接菱形．任務(wù)：(1)填空：通過“方法一”能得到的菱形，它的依據(jù)是_______．(2)尺規(guī)作圖：請你在圖3中完成日記中的“方法三”的作圖過程，（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(3)若矩形AB=4，BC=10，請你根據(jù)日記中三種方法，計算此矩形的內(nèi)接菱形的面積最大值為______．79．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測）【閱讀材料】問題：已知：如圖AE∥BF，求作：菱形ABCD．使點C、D分別在

小明的作法：（1）以A為圓心．AB長為半徑畫弧，交AE于點D；（2）以B為圓心．AB長為半徑畫弧，交BF于點C；（3）連接CD，四邊形ABCD就是所求作的菱形．

【解答問題】(1)請根據(jù)材料中的信息，證明四邊形ABCD是菱形；(2)如果AB=10，∠ABC=60°，求菱形ABCD的面積．80．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）閱讀短文，解決問題．若平行四邊形的四個頂點都在三角形的邊上，且有一個角與三角形的一個角重合，另一個頂點在三角形的這個重合角的對邊上，我們就稱這個平行四邊形是該三角形的“相依四邊形”．例如：如圖1，在平行四邊形AEFD中，∠BAC與∠DAE重合，點F在BC上，則稱平行四邊形AEFD為△ABC的“相依四邊形”．(1)如圖1，平行四邊形AEFD為△ABC的“相依四邊形”，AF平分∠BAC，判斷四邊形AEFD的形狀，并進(jìn)行證明．(2)在（1）的條件下，如圖2，∠B=90°．①若AC=6，F(xiàn)C=6，求四邊形AEFD②如圖3，M，N分別是DF，AC的中點，連接MN，若

第五章四邊形第25講菱形的性質(zhì)與判定（思維導(dǎo)圖+1考點+1命題點22種題型（含4種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究考點菱形04題型精研·考向洞悉命題點菱形的性質(zhì)與判定?題型01利用菱形的性質(zhì)求角度?題型02利用菱形的性質(zhì)求線段長?題型03利用菱形的性質(zhì)求周長?題型04利用菱形的性質(zhì)求面積?題型05利用菱形的性質(zhì)求點的坐標(biāo)?題型06利用菱形的性質(zhì)證明?題型07菱形的折疊問題?題型08添加一個條件使四邊形是菱形?題型09證明四邊形是菱形?題型10根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度?題型11根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長?題型12根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求周長?題型13根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積?題型14根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題?題型15與菱形有關(guān)的新定義問題?題型16與菱形有關(guān)的規(guī)律探究問題?題型17與菱形有關(guān)的動點問題?題型18與菱形有關(guān)的最值問題?題型19含60°角的菱形?題型20菱形與函數(shù)綜合?題型21與菱形有關(guān)的存在性問題?題型22與菱形有關(guān)的材料閱讀類問題

01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點考查頻率新課標(biāo)要求菱形的有關(guān)證明與計算★★理解菱形的概念;探索并證明菱形的性質(zhì)定理及其判定定理.【考情分析】菱形是特殊的平行四邊形，其對角線互相垂直平分且平分每一組對角，其面積為對角線乘積的一半，荾形的考查經(jīng)常與直角三角形的勾股定理、圖形面積等結(jié)合，試題形式多樣，難度中等.【命題預(yù)測】菱形是特殊平行四邊形中比較重要的圖形，也是幾何圖形中難度比較大的幾個圖形之一，年年都會考查，預(yù)計2025年各地中考還將出現(xiàn).菱形的考察類型比較多樣，其中選擇、填空題?？疾炝庑蔚幕拘再|(zhì)，解答題中考查菱形的性質(zhì)和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動態(tài)問題綜合應(yīng)用的可能性比較大．02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一菱形1.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.【易錯點】對于菱形的定義要注意兩點（缺一不可）：①是平行四邊形；②一組鄰邊相等.2.菱形的性質(zhì)定理性質(zhì)定理符號語言圖示邊四條邊都相等∵四邊形ABCD是菱形∴AB=CD=AD=BC對角線對角線互相垂直，且每一條對角線平分一組對角∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD【補充】1）菱形是特殊的平行四邊形，所以菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；2）菱形的兩條對角線互相垂直，且對角線將菱形分成四個全等的直角三角形.3）對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形.4）菱形的面積公式：①菱形的面積=底×高，即②菱形的面積=兩條對角線長的乘積的一半，即.3.菱形的對稱性1）菱形是軸對稱圖形，兩條對角線所在的直線都是它的對稱軸.2）菱形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心.4.菱形的判定判定定理符號語言圖示邊四條邊相等的四邊形是菱形.在四邊形ABCD中，∵AB=BC=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.在平行四邊形ABCD中，∵AB=BC，∴平行四邊形ABCD是菱形對角線對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.在平行四邊形ABCD中，∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形1．（2024·四川·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=2，則菱形ABCD的周長為．【答案】8【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)．根據(jù)菱形的性質(zhì)“菱形的四條邊相等”可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由菱形的四條邊相等可得：菱形的周長為2×4=8，故答案為：8．2．（2024·海南·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=120°，邊AB在數(shù)軸上，將AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，點C落在數(shù)軸上的點E處，若點E表示的數(shù)是3，則點A表示的數(shù)是（

）A．1 B．1?3 C．0 D．【答案】D【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．作CF⊥AE于點F，利用菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理計算即可．【詳解】解：作CF⊥AE于點F，∵∠ABC=120°，∴∠FBC=60°，∵BC=2，∴BF=12BC=1∴AF=AB+BF=3，∴AE=AC=A∵點E表示的數(shù)是3，∴點A表示的數(shù)是3?23故選：D．3．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AB的中點，連接OE．若OE=3，則菱形的邊長為（

）

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，根據(jù)“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”可得OE=1本題主要考查了菱形的性質(zhì)和“直角三角形中斜邊中線等于斜邊一半”的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵E是AB的中點，∴OE=1∴AB=2OE=2×3=6。故選：A．4．（2024·江蘇南通·中考真題）若菱形的周長為20cm，且有一個內(nèi)角為45°，則該菱形的高為cm【答案】5【分析】本題考查的是菱形的性質(zhì)，銳角的正弦的含義，先畫圖，求解EF=EH=5cm，過E作FI⊥EH于H，結(jié)合∠E=45°【詳解】解：如圖，菱形EFGH的周長為20cm∴EF=EH=5cm過E作FI⊥EH于H，而∠E=45°，∴FI=EF?sin故答案為：55．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足為E,CF⊥AD，垂足為F．求證：AF=CE．【答案】證明見解析．【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定以及性質(zhì)，由菱形的性質(zhì)得出AD=CD，用AAS證明△AED≌△CFD，由全等三角形的性質(zhì)可得出DE=DF，由線段的和差關(guān)系即可得出AF=CE．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是菱形∴AD=CD∵AE⊥CD,CF⊥AD∴∠AED=∠CFD=90°∵∠D=∠D∴△AED≌△CFD∴DE=DF∴AD?DF=CD?DE∴AF=CE04題型精研·考向洞悉命題點一菱形的性質(zhì)與判定?題型01利用菱形的性質(zhì)求角度1．（2023·陜西·中考真題）點E是菱形ABCD的對稱中心，∠B=56°，連接AE，則∠BAE的度數(shù)為．【答案】62°【分析】連接BE，根據(jù)中心對稱圖形的定義得出點E是菱形ABCD的兩對角線的交點，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AE⊥BE，∠ABE=12∠ABC=28°【詳解】解：如圖，連接BE，

∵點E是菱形ABCD的對稱中心，∠ABC=56°，∴點E是菱形ABCD的兩對角線的交點，∴AE⊥BE，∠ABE=1∴∠BAE=90°?∠ABE=62°．故答案為：62°．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，菱形是中心對稱圖形，兩對角線的交點是對稱中心，掌握菱形的兩條對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角是解題的關(guān)鍵．2．（2023·黑龍江大慶·中考真題）將兩個完全相同的菱形按如圖方式放置，若∠BAD=α，∠CBE=β，則β=（

）

A．45°+12α B．45°+32α【答案】D【分析】由題意可得∠FBG=∠DAB=α，由菱形的性質(zhì)可得AD∥BC，∠ABD=∠CBD=α+β，由平行線的性質(zhì)可得【詳解】解：根據(jù)題意可得：∠FBG=∠DAB=α，∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=α+β+α+β=2α+2β∴α+2α+2β=180°，∴β=90°?3故選：D．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．3．（2023·河北·中考真題）如圖，直線l1∥l2，菱形ABCD和等邊△EFG在l1，l2之間，點A，F(xiàn)分別在l1，l2上，點B，D，E，G在同一直線上：若

A．42° B．43° C．44° D．45°【答案】C【分析】如圖，由平角的定義求得∠ADB=180°?∠ADE=34°，由外角定理求得，∠AHD=∠α?∠ADB=16°，根據(jù)平行性質(zhì)，得∠GIF=∠AHD=16°，進(jìn)而求得∠β=∠EGF?∠GIF=44°．【詳解】如圖，∵∠ADE=146°∴∠ADB=180°?∠ADE=34°∵∠α=∠ADB+∠AHD∴∠AHD=∠α?∠ADB=50°?34°=16°∵l∴∠GIF=∠AHD=16°∵∠EGF=∠β+∠GIF∴∠β=∠EGF?∠GIF=60°?16°=44°

故選：C．

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，平角的定義，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角定理，根據(jù)相關(guān)定理確定角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=40°，連接AC，以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交直線AD于點E，連接CE，則∠AEC的度數(shù)是．

【答案】10°或80°【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合菱形的性質(zhì)可得∠CAD=12∠DAB=20°，再進(jìn)行分類討論：當(dāng)點E在點A上方時，當(dāng)點E【詳解】解：∵四邊形ABCD為菱形，∠DAB=40°，∴∠CAD=1連接CE，①當(dāng)點E在點A上方時，如圖E1∵AC=AE1，∴∠AE②當(dāng)點E在點A下方時，如圖E2∵AC=AE1，∴∠AE故答案為：10°或80°．

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角定理，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的對角線平分內(nèi)角；等腰三角形兩底角相等，三角形的內(nèi)角和為180°；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．5．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若四邊形OABC為菱形，則∠ADC的度數(shù)是．【答案】60°【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠AOC＝∠ABC，根據(jù)圓周角定理得到∠ADC＝12∠AOC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ADC＋∠ABC【詳解】解：∵四邊形OABC為菱形，∴∠AOC＝∠ABC，由圓周角定理得：∠ADC＝12∠AOC∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°，∴∠ADC＋2∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝60°，故答案為：60°．【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、菱形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02利用菱形的性質(zhì)求線段長1）菱形的對角線互相垂直平分，因此涉及菱形的問題常會在直角三角形中解決；2）菱形的四條達(dá)相等，因此菱形與等腰三角形、等邊三角形的合應(yīng)用較多，利用菱形的性質(zhì)求線段、角時，注意菱形與其他幾何知識的結(jié)合.6．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中點，則sin∠EBC的值為（

A．35 B．75 C．2114【答案】C【分析】本題考查了解直角三角形，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形四邊都相等，以及正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形求解．延長BC，過點E作BC延長線的垂線，垂足為點H，設(shè)BC=CD=x，易得∠ABC=∠DCH=60°，則CE=12CD=12x，進(jìn)而得出【詳解】解：延長BC，過點E作BC延長線的垂線，垂足為點H，∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD，AB∥∴∠ABC=∠DCH=60°，設(shè)BC=CD=x，∵E是CD的中點，∴CE=1∵EH⊥BH，∴EH=CE?sin∴BH=BC+CH=5BE=∴sin∠EBC=故選：C．7．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，連接BD，點M從B出發(fā)沿BD方向以3cm/s的速度運動至D，同時點N從B出發(fā)沿BC方向以1cm/s的速度運動至C，設(shè)運動時間為xs，△BMN的面積為ycm2，y

A．22cm B．42cm C．【答案】C【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意可知BN=xcm，BM=3xcm，結(jié)合菱形的性質(zhì)得∠DBC=30°，過點M作MH⊥BC于點H，則MH=32xcm，那么y=34x2cm2，設(shè)菱形ABCD的邊長為a，則BD=3【詳解】解：根據(jù)題意知，BN=xcm，BM=∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，∴∠DBC=30°，過點M作MH⊥BC于點H，連接AC交BD于點O，如圖，

則MH=BM×sin那么，△BMN的面積為y=1設(shè)菱形ABCD的邊長為a，∴BD=2BO=2×BC×cos∴點M和點N同時到達(dá)點D和點C，此時△BMN的面積達(dá)到最大值為43∴34x2∴BC=4．故選：C．8．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，AC是一條對角線，E是AC上一點，過點E作EF⊥AB，垂足為F，連接DE．若CE=AF，則DE的長為．【答案】2【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，過D作DH⊥AC于H，先判斷△ABC，△ACD都是等邊三角形，得出∠EAF=60°，AC=AB=6，AH=CH=12AC=3，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)可得出AE=2AF=2CE，進(jìn)而求出CE【詳解】解∶過D作DH⊥AC于H，∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∴∠EAF=60°，AC=AB=6，AH=CH=1∵EF⊥AB，∴∠AEF=30°，∴AE=2AF，又CE=AF，∴AE=2CE，∴CE=2，∴HE=CH?CE=1，在Rt△CDH中，D∴DE=D故答案為：27?題型03利用菱形的性質(zhì)求周長9．（2022·四川達(dá)州·中考真題）如圖，菱形ABCD的兩條對角線相交于點O，若AC=24，BD=10，則菱形ABCD的周長是．

【答案】52【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)得到AC⊥BD，OA=12AC=12,OD=12【詳解】解：在菱形ABCD的兩條對角線相交于點O，若AC=24，BD=10，∴AC⊥BD，OA=1在Rt△AOD中利用勾股定理得到AD=∴菱形ABCD的周長是4×13=52，故答案為：52．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，涉及菱形對角線相互垂直平分、勾股定理及菱形四條邊相等等知識，熟練掌握菱形性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．10．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，順次連接菱形ABCD各邊中點E、F、G、H，則四邊形EFGH的周長為（

）

A．4+23 B．6+23 C．4+43【答案】C【分析】首先利用三角形的中位線定理證得四邊形EFGH為平行四邊形，再求對角線長度，然后利用三角形中位線定理求出此平行四邊形邊長即可求出周長．【詳解】解：如圖，連接AC、BD，相交于點O，

∵點E、F、G∴EF=12AC∴EF=GH，同理EH=FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠A=120°，∴對角線AC、∴AD∥∴∠A+∠ABC=180°，∴∠ABC=60°，AB=BC=4，∴△ABC是等邊三角形，∴AC=4，在Rt△AOB中，AB=4，OA=∴OB=4∴BD=43∴EF=12AC=2∴四邊形EFGH的周長為2+23故選：C．【點睛】本題考查了中點四邊形的知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用三角形的中位線定理，菱形的性質(zhì)及平行四邊形的判定與性質(zhì)進(jìn)行計算．11．（2020·四川甘孜·中考真題）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E為AB的中點．若菱形ABCD的周長為32，則OE的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】利用菱形的對邊相等以及對角線互相垂直，進(jìn)而利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，∴∠AOB=90°，又∵AB+BC+CD+AD=32．∴AB=8，在Rt△AOB中，OE是斜邊上的中線，∴OE=12故選：B．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)．注意：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．12．（2020·貴州黔東南·中考真題）若菱形ABCD的一條對角線長為8，邊CD的長是方程x2﹣10x+24＝0的一個根，則該菱形ABCD的周長為（）A．16 B．24 C．16或24 D．48【答案】B【分析】解方程得出x＝4或x＝6，分兩種情況：①當(dāng)AB＝AD＝4時，4+4＝8，不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)AB＝AD＝6時，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周長．【詳解】解：如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵x2﹣10x+24＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，解得：x＝4或x＝6，分兩種情況：①當(dāng)AB＝AD＝4時，4+4＝8，不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)AB＝AD＝6時，6+6＞8，∴菱形ABCD的周長＝4AB＝24．故選：B．

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握并靈活運用是解題的關(guān)鍵．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04利用菱形的性質(zhì)求面積菱形的面積公式：①菱形的面積=底×高，即②菱形的面積=兩條對角線長的乘積的一半，即.（適用于對角線互相垂直的任意四邊形的面積的計算）13．（2024·廣東·中考真題）如圖，菱形ABCD的面積為24，點E是AB的中點，點F是BC上的動點．若△BEF的面積為4，則圖中陰影部分的面積為．【答案】10【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，利用菱形的性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)求出S△ADE=6，S△ABF=8，根據(jù)△ABF和菱形的面積求出BFBC=2【詳解】解：連接AF、BD，∵菱形ABCD的面積為24，點E是AB的中點，△BEF的面積為4，∴S△ADE=1設(shè)菱形ABCD中BC邊上的高為h，則S△ABFS菱形∴BFBC∴BFCF∴S△ABF∴S△CDF∴S陰影故答案為：10．14．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，四邊形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于點E，則AE的長是（

）A．245 B．6 C．485 【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求得OC，進(jìn)而得出AC=6，進(jìn)而根據(jù)等面積法，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，∴DO=12BD=4，AC⊥BD在Rt△CDO中，CO=∴AC=2OC=6，∵菱形ABCD的面積為12∴AE=1故選：A．15．（2023·山東聊城·中考真題）如圖，在?ABCD中，BC的垂直平分線EO交AD于點E，交BC于點O，連接BE，CE，過點C作CF∥BE，交EO的延長線于點F，連接BF．若AD=8，CE=5，則四邊形BFCE的面積為

.【答案】24【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BEO=∠CFO，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BO=CO，∠BOE=∠COF=90°，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得BE=CF，OE=OF，根據(jù)平行四邊形的判定和菱形的判定可推得四邊形BFCE為菱形，根據(jù)勾股定理求得OE=3，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求得四邊形BFCE的面積．【詳解】∵CF∥∴∠BEO=∠CFO，∵BC的垂直平分線EO交AD于點E，∴BO=CO，∠BOE=∠COF=90°，∴△BOE≌△COF，∴BE=CF，OE=OF，∴四邊形BFCE為平行四邊形，又∵OE=OF，BO=CO，∠BOE=∠COF=90°，∴平行四邊形BFCE為菱形，∵AD=8，∴BC=8，∴OC=1在Rt△EOC中，OE=故菱形BFCE的面積為12故答案為：24．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2023·四川瀘州·中考真題）若一個菱形的兩條對角線長分別是關(guān)于x的一元二次方程x2A．3 B．23 C．14 D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到a+b=10，根據(jù)菱形的面積得到ab=22，利用勾股定理以及完全平方公式計算可得答案．【詳解】解：設(shè)方程x2?10x+m=0的兩根分別為a，∴a+b=10，∵a，b分別是一個菱形的兩條對角線長，已知菱形的面積為11，∴12ab=11，即∵菱形對角線垂直且互相平分，∴該菱形的邊長為a=1故選：C．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及菱形的性質(zhì)，完全平方公式，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出a+b=10是解題的關(guān)鍵．?題型05利用菱形的性質(zhì)求點的坐標(biāo)17．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，O是坐標(biāo)原點，菱形ABOC的頂點B在x軸的負(fù)半軸上，頂點C的坐標(biāo)為3,4，則頂點A的坐標(biāo)為（

）A．?4,2 B．?3,4 C．?2,4 【答案】C【分析】本題考查平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點間的距離公式，菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形．結(jié)合菱形的性質(zhì)求出AC=OC=5是解題關(guān)鍵．由兩點間的距離公式結(jié)合菱形的性質(zhì)可求出AC=OC=5，從而可求出AD=2，即得出頂點A的坐標(biāo)為?2,4．【詳解】解：如圖，∵點C的坐標(biāo)為3,4，∴OC=3∵四邊形ABOC為菱形，∴AC=OC=5，∴AD=AC?CD=AC?x∴頂點A的坐標(biāo)為?2,4．故選C．18．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形AOBC的頂點A在x軸負(fù)半軸上，頂點B在直線y=34x上，若點B的橫坐標(biāo)是8，為點CA．(?1,6) B．(?2,6) C．(?3,6) D．(?4,6)【答案】B【分析】過點B作BD⊥x軸，垂足為點D，先求出B8,6，由勾股定理求得BO=10，再由菱形的性質(zhì)得到BC=BO=10,BC∥x【詳解】解：過點B作BD⊥x軸，垂足為點D，∵頂點B在直線y=34x∴yB=8×3∴B8,6∵BD⊥x軸，∴由勾股定理得：BO=B∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=BO=10,BC∥x軸，∴將點B向左平移10個單位得到點C，∴點C?2,6故選：B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像，勾股定理，菱形的性質(zhì)，點的坐標(biāo)平移，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．19．（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點A，B在x軸上，AB=2，A1,0，∠DAB=60°，將菱形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)90°后，得到菱形AB1C1

【答案】1?3,3【分析】分兩種情況：當(dāng)繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，當(dāng)繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，利用菱形的性質(zhì)及直角三角形30度角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：當(dāng)繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，如圖，

∵∠DAB=60°，∠∴∠D∵菱形ABCD中AB∥CD，∴∠AD延長C1D1交x∴∠AD1E=60°∴ED∴AE=3∴C1當(dāng)繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，如圖，延長C2D2交x

∵∠DAB=60°，∠B2∴∠D∵菱形ABCD中AB∥CD，∴∠AD∴∠AD2F=60°∴FD∴AF=3∴C2故答案為：1?3,3或【點睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確理解菱形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2023·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點A的坐標(biāo)為?2,0，∠AOC=60°．將菱形OABC沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，得到菱形OA'B'C

A．(?2,3?1) B．?2,1 C．(?3【答案】A【分析】如圖，過B作BH⊥x軸于H，求解OA=AB=2，AB∥OC，可得∠BAH=∠AOC=60°，求解AH=OB?cos60°=1，BH=2【詳解】解：如圖，過B作BH⊥x軸于H，

∵菱形OABC的頂點A的坐標(biāo)為?2,0，∠AOC=60°．∴OA=AB=2，AB∥∴∠BAH=∠AOC=60°，∴AH=OB?cos60°=1，∴B?3,∵將菱形OABC沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，∴B'故選A【點睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，圖形的平移，熟練的求解B的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．QUOTE?題型06利用菱形的性質(zhì)證明21．（2024·福建·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在BC、CD邊上，∠BAF=∠DAE，求證：BE=DF．【答案】見解析【分析】本題考查的是菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，先證明∠BAE=∠DAF，再證明△BAE≌△DAF，從而可得結(jié)論．【詳解】證明：在菱形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D，∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAE+∠EAF=∠EAF+∠DAF，∴∠BAE=∠DAF，在△BAE和△DAF中∠B=∠DAB=AD∴△BAE≌△DAF，∴BE=DF．22．（2023·浙江嘉興·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，連接EF

(1)求證：AE=AF；(2)若∠B=60°，求【答案】(1)證明見解析(2)60°【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)的三角形全等即可證明AE=AF．（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和已知條件可推出∠BAD度數(shù)，再根據(jù)第一問的三角形全等和直角三角形的性質(zhì)可求出∠BAE和∠DAF度數(shù)，從而求出∠EAF度數(shù)，證明了等邊三角形AEF，即可求出∠AEF的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵菱形ABCD，∴AB=AD,∠B=∠D，又∵AE⊥BC,AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°．在△AEB和△AFD中，∠AEB=∠AFD∠B=∠D∴△ABE≌△ADF(AAS∴AE=AF．（2）解：∵菱形ABCD，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠B=60∴∠BAD=120°．又∵∠AEB=90°,∠B=60°，∴∠BAE=30°．由（1）知△ABE≌△ADF，∴∠BAE=∠DAF=30°．∴∠EAF=120°?30°?30°=60°．∵AE=AF，∴△AEF等邊三角形．∴∠AEF=60°．【點睛】本題考查了三角形全等、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握全等的方法和菱形的性質(zhì)．23．（2024·四川德陽·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，對角線AC與BD相交于點O，點F為BC的中點，連接AF與BD相交于點E，連接CE并延長交AB于點G．(1)證明：△BEF∽△BCO；(2)證明：△BEG≌△AEG．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定、三角形全等的判定等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)和相似三角形的判定是解題關(guān)鍵．（1）先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB=BC,AC⊥BD，再證出△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AF⊥BC，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；（2）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得CG⊥AB，從而可得AG=BG，再根據(jù)SAS定理即可得證．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC,AC⊥BD，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∵點F為BC的中點，∴AF⊥BC，∴∠BFE=∠BOC=90°∵∠EBF=∠CBO，∴△BEF∽△BCO．（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，AF⊥BC，AC⊥BD，∴CG⊥AB，∴∠AGE=∠BGE=90°∵△ABC是等邊三角形，∴AG=BG，在△BEG和△AEG中，AG=BG∠AGE=∠BGE=90°∴△BEG≌△AEGSAS?題型07菱形的折疊問題24．（2021·浙江嘉興·中考真題）將一張三角形紙片按如圖步驟①至④折疊兩次得圖⑤，然后剪出圖⑤中的陰影部分，則陰影部分展開鋪平后的圖形是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形【答案】D【分析】此題是有關(guān)剪紙的問題，此類問題應(yīng)親自動手折一折，剪一剪．【詳解】解：由題可知，AD平分∠BAC,折疊后△AEO與△AFO重合，故全等，所以EO=OF;又作了AD的垂直平分線，即EO垂直平分AD，所以AO=DO，且EO⊥AD；由平行四邊形的判定：對角線互相平分的四邊形為平行四邊形，所以AEDF為平行四邊形；又AD⊥EF，所以平行四邊形AEDF為菱形．故選：D.【點睛】本題主要考查學(xué)生對于立體圖形與平面展開圖形之間的轉(zhuǎn)換能力，與課程標(biāo)準(zhǔn)中“能以實物的形狀想象出幾何圖形，有幾何圖形想象出實物的圖形”的要求相一致，充分體現(xiàn)了實踐操作性原則．25．（2023·江蘇南京·中考真題）如圖，在菱形紙片ABCD中，點E在邊AB上，將紙片沿CE折疊，點B落在B'處，CB'⊥AD，垂足為F

若CF=4cm，【答案】257/【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，和三角形的相似判定和性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵CF=4cm，∴CB由翻折，菱形的性質(zhì)，得：CB=CD=CB'=5cm，∵CB∴CB∴∠BCB∴∠BCE=∠B∵CD=5，∴FD=3，過點E作EG⊥BC，設(shè)CG=x，則EG=x，∵∠B=∠D，∠BGE=∠DFC，∴△EGB∽△CFD，∴EGCF∴x4解得：x=20∴BE=25故答案為：257【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．（2023·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，將菱形紙片ABCD沿過點C的直線折疊，使點D落在射線CA上的點E處，折痕CP交AD于點P．若∠ABC=30°，AP=2，則PE的長等于．

【答案】2【分析】過點A作AQ⊥PE于點Q，根據(jù)菱形性質(zhì)可得∠DAC=75°，根據(jù)折疊所得∠E=∠D=30°，結(jié)合三角形的外角定理得出∠QAP=45°，最后根據(jù)PQ=AP?cos45°=2【詳解】解：過點A作AQ⊥PE于點Q，∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC=30°，∴AB=BC=CD=AC，∠ABC=∠D=30°，∴∠DAC=1∵△CPE由△CPD沿CP折疊所得，∴∠E=∠D=30°，∴∠EPA=75°?30°=45°，∵AQ⊥PE，AP=2，∴PQ=AP?cos45°=2∴EQ=AQ∴PE=EQ+PQ=2故答案為：2+【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形和折疊的性質(zhì)，正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形求解．27．（2022·浙江臺州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折疊該菱形，使點A落在邊BC上的點M處，折痕分別與邊AB，AD交于點E，F(xiàn)．當(dāng)點M與點B重合時，EF的長為；當(dāng)點M的位置變化時，DF長的最大值為．【答案】33【分析】當(dāng)點M與點B重合時，EF垂直平分AB，利用三角函數(shù)即可求得EF的長；根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，AF=FM,若DF取最大值，則FM取最小值，即為邊AD與BC的距離DG，即可求解.【詳解】解：當(dāng)點M與點B重合時，由折疊的性質(zhì)知EF垂直平分AB，∴AE=EB=12AB在Rt△AEF中，∠A=60°，AE=3，tan60°=EFAB∴EF=33；當(dāng)AF長取得最小值時，DF長取得最大值，由折疊