2024-2025學年新教材高中數(shù)學第5章函數(shù)應用章末綜合提升學案含解析北師大版必修第一冊_第1頁
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PAGE1-函數(shù)應用[鞏固層·學問整合][提升層·題型探究]函數(shù)的零點及其應用【例1】(1)已知函數(shù)f(x)=lnx-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(x-2)的零點為x0,則x0所在的區(qū)間是()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)(2)已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex,x≤0,,lnx,x>0,))g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2個零點,則a的取值范圍是()A.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞) D.[1,+∞)(1)C(2)C[(1)因為f(x)=lnx-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(x-2)在(0,+∞)上為增函數(shù),又f(1)=ln1-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(-1)=ln1-2<0,f(2)=ln2-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(0)<0,f(3)=ln3-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(1)>0,所以x0∈(2,3),故選C.(2)函數(shù)g(x)=f(x)+x+a存在2個零點,即關于x的方程f(x)=-x-a有2個不同的實根,即函數(shù)f(x)的圖象與直線y=-x-a有2個交點.作出直線y=-x-a與函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示,由圖可知,-a≤1,解得a≥-1,故選C.]1.確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法:(1)利用函數(shù)零點的存在定理:首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù),再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點.(2)數(shù)形結(jié)合法:通過畫函數(shù)圖象,視察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來推斷.2.已知函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍,常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題,需精確畫出兩個函數(shù)的圖象,利用圖象寫出滿意條件的參數(shù)范圍.eq\a\vs4\al([跟進訓練])1.函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2+x-2,x≤0,,-1+lnx,x>0))的零點個數(shù)為()A.3B.2C.1D.0B[法一:由f(x)=0得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0,,x2+x-2=0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0,,-1+lnx=0,))解得x=-2或x=e.因此函數(shù)f(x)共有2個零點.法二:函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,由圖象知函數(shù)f(x)共有2個零點.]二分法及應用【例2】設函數(shù)f(x)=x3+3x-5,其圖象在(-∞,+∞)上是連綿不斷的.先求值:f(0)=_______,f(1)=_______,f(2)=_______,f(3)=_______.所以f(x)在區(qū)間________內(nèi)存在一個零點x0,填下表,區(qū)間中點mf(m)符號區(qū)間長度結(jié)論x0的值為多少?(精確度0.1)[解]f(0)=-5,f(1)=-1,f(2)=9,f(3)=31,所以初始區(qū)間為(1,2).區(qū)間中點mf(m)符號區(qū)間長度(1,2)1.5+1(1,1.5)1.25+0.5(1,1.25)1.125-0.25(1.125,1.25)1.1875+0.125(1.125,1.1875)0.0625因為|1.1875-1.125|=0.0625<0.1,所以x0≈1.125(不唯一).運用二分法的留意事項(1)二分法的實質(zhì)是通過“取中點”,不斷縮小零點所在區(qū)間的范圍,所以要選好計算的初始區(qū)間,保證所選區(qū)間既符合條件,又使區(qū)間長度盡量?。?2)計算時留意依據(jù)給定的精度,剛好檢驗計算所得的區(qū)間是否滿意精度的要求.(3)二分法在詳細運用時有肯定的局限性,首先二分法只能一次求得一個零點,其次f(x)在(a,b)內(nèi)有不變號零點時,不能用二分法求得.eq\a\vs4\al([跟進訓練])2.若函數(shù)f(x)=x3+x2-2x-2的一個正數(shù)零點旁邊的函數(shù)值用二分法逐次計算,參考數(shù)據(jù)如下:f(1)=-2,f(1.5)=0.625;f(1.25)=-0.984,f(1.375)=-0.260;f(1.438)=0.165.那么方程x3+x2-2x-2=0的一個近似根可以為(精度為0.1)()A.1.2B.1.35C.1.43D.1.5C[∵f(1.438)=0.165>0,f(1.375)=-0.260<0,∴函數(shù)f(x)在(1.375,1.438)內(nèi)存在零點,又1.438-1.375<0.1,結(jié)合選項知1.43為方程f(x)=0的一個近似根.]函數(shù)的實際應用【例3】《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定,個人所得稅起征點為3500元(即3500元以下不必納稅,超過3500元的部分為當月應納稅所得額),應繳納的稅款按下表分段累計計算:全月應納稅所得額稅率%不超過1500元的部分3超過1500元至4500元部分10(1)列出公民全月工資總額x(0<x<8000)元與當月應繳納稅款額y元的函數(shù)解析式;(2)李明1月份工資總額為6500元,他本月應繳納的個人所得稅款是多少?[解](1)依題意可得:①當0<x≤3500時,y=0.②當3500<x≤5000時,y=(x-3500)·3%=0.03x-105.③當5000<x<8000時,y=45+(x-5000)·10%=0.1x-455.綜上可得y=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0,0<x≤3500,,0.03x-105,3500<x≤5000,,0.1x-455,5000<x<8000.))(2)由(1)可得,當x=15000元時,應繳納的個人所得稅為0.1×6500-455=205元.劉麗十二月份繳納個人所得稅款300元,那么她當月工資總額是多少?[解]因為需交稅300元,故有5000<x<8000,所以300=0.1x-455,所以x=7550.答:劉麗十二月份工資總額為7550元.建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型解決實際問題的步驟(1)對實際問題進行抽象概括,確定變量之間的主、被動關系,并用x,y分別表示.(2)建立函數(shù)模型,將變量y表示為x的函數(shù),此時要留意函數(shù)的定義域.(3)求解函數(shù)模型,并還原為實際問題的解.eq\a\vs4\al([跟進訓練])3.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬元,并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品,成本增加10萬元.又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù),K(Q)=40Q-eq\f(1,20)Q2,則總利潤L(Q)的最大值是__

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