2024-2025學年新教材高中數(shù)學第5章函數(shù)應用章末綜合提升學案含解析北師大版必修第一冊

PAGE1-函數(shù)應用[鞏固層·學問整合][提升層·題型探究]函數(shù)的零點及其應用【例1】(1)已知函數(shù)f(x)＝lnx－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(x－2)的零點為x0，則x0所在的區(qū)間是()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是()A．[－1，0) B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)(1)C(2)C[(1)因為f(x)＝lnx－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(x－2)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，又f(1)＝ln1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(－1)＝ln1－2<0，f(2)＝ln2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(0)<0，f(3)＝ln3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(1)>0，所以x0∈(2，3)，故選C.(2)函數(shù)g(x)＝f(x)＋x＋a存在2個零點，即關于x的方程f(x)＝－x－a有2個不同的實根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝－x－a有2個交點．作出直線y＝－x－a與函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，－a≤1，解得a≥－1，故選C.]1．確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法：(1)利用函數(shù)零點的存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點．(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，視察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來推斷．2．已知函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，需精確畫出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿意條件的參數(shù)范圍．eq\a\vs4\al([跟進訓練])1．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x>0))的零點個數(shù)為()A．3B．2C．1D．0B[法一：由f(x)＝0得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2＋x－2＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,－1＋lnx＝0，))解得x＝－2或x＝e.因此函數(shù)f(x)共有2個零點．法二：函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象知函數(shù)f(x)共有2個零點．]二分法及應用【例2】設函數(shù)f(x)＝x3＋3x－5，其圖象在(－∞，＋∞)上是連綿不斷的．先求值：f(0)＝_______，f(1)＝_______，f(2)＝_______，f(3)＝_______．所以f(x)在區(qū)間________內(nèi)存在一個零點x0，填下表，區(qū)間中點mf(m)符號區(qū)間長度結(jié)論x0的值為多少？(精確度0.1)[解]f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，所以初始區(qū)間為(1，2).區(qū)間中點mf(m)符號區(qū)間長度(1，2)1.5＋1(1，1.5)1.25＋0.5(1，1.25)1.125－0.25(1.125，1.25)1.1875＋0.125(1.125，1.1875)0.0625因為|1.1875－1.125|＝0.0625<0.1，所以x0≈1.125(不唯一).運用二分法的留意事項(1)二分法的實質(zhì)是通過“取中點”，不斷縮小零點所在區(qū)間的范圍，所以要選好計算的初始區(qū)間，保證所選區(qū)間既符合條件，又使區(qū)間長度盡量?。?2)計算時留意依據(jù)給定的精度，剛好檢驗計算所得的區(qū)間是否滿意精度的要求．(3)二分法在詳細運用時有肯定的局限性，首先二分法只能一次求得一個零點，其次f(x)在(a，b)內(nèi)有不變號零點時，不能用二分法求得．eq\a\vs4\al([跟進訓練])2．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個正數(shù)零點旁邊的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如下：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625；f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260；f(1.438)＝0.165.那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一個近似根可以為(精度為0.1)()A．1.2B．1.35C．1.43D．1.5C[∵f(1.438)＝0.165>0，f(1.375)＝－0.260<0，∴函數(shù)f(x)在(1.375，1.438)內(nèi)存在零點，又1.438－1.375<0.1，結(jié)合選項知1.43為方程f(x)＝0的一個近似根．]函數(shù)的實際應用【例3】《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定，個人所得稅起征點為3500元(即3500元以下不必納稅，超過3500元的部分為當月應納稅所得額)，應繳納的稅款按下表分段累計計算：全月應納稅所得額稅率%不超過1500元的部分3超過1500元至4500元部分10(1)列出公民全月工資總額x(0<x<8000)元與當月應繳納稅款額y元的函數(shù)解析式；(2)李明1月份工資總額為6500元，他本月應繳納的個人所得稅款是多少？[解](1)依題意可得：①當0<x≤3500時，y＝0.②當3500<x≤5000時，y＝(x－3500)·3%＝0.03x－105.③當5000<x<8000時，y＝45＋(x－5000)·10%＝0.1x－455.綜上可得y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，0<x≤3500，,0.03x－105，3500<x≤5000，,0.1x－455，5000<x<8000.))(2)由(1)可得，當x＝15000元時，應繳納的個人所得稅為0.1×6500－455＝205元．劉麗十二月份繳納個人所得稅款300元，那么她當月工資總額是多少？[解]因為需交稅300元，故有5000<x<8000，所以300＝0.1x－455，所以x＝7550.答：劉麗十二月份工資總額為7550元．建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型解決實際問題的步驟(1)對實際問題進行抽象概括，確定變量之間的主、被動關系，并用x，y分別表示．(2)建立函數(shù)模型，將變量y表示為x的函數(shù)，此時要留意函數(shù)的定義域．(3)求解函數(shù)模型，并還原為實際問題的解．eq\a\vs4\al([跟進訓練])3．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬元．又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2，則總利潤L(Q)的最大值是__