2025中考數(shù)學復習：三角形中的重要模型之面積模型（解析版）

三角雅中的重要模型之面積模型

三角形面積問題在中考數(shù)學幾何領域中占據(jù)舉足輕重的地位，而等積變形作為中學幾何的一個核

心理念，其重要性不言而喻。它衍生出的五大模型——蝴蝶（或風箏）模型、燕尾模型、鳥頭模型、沙漏模

型以及金字塔模型，不僅體現(xiàn)了等積變形的精髓,也是學生們必須精通的關鍵知識點。

本專題將深入剖析這些等積模型，通過系統(tǒng)的梳理和詳盡的試題分析，旨在幫助學生全面掌握這一

重要內(nèi)容。無論是蝴蝶模型中優(yōu)雅的對稱之美，燕尾模型中巧妙的面積分割，鳥頭模型中復雜的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)

換，沙漏模型中面積的流轉(zhuǎn)變化,還是金字塔模型中立體與平面的巧妙結(jié)合，我們都將——揭開它們的

神秘面紗。

通過本專題的學習，學生們不僅能夠加深對等積變形思想的理解，還能提高解決復雜幾何問題的能

力，為中考數(shù)學幾何模塊打下堅實的基礎。

LZE1

例題講模型...............................................................................1

模型1.等積變模型..................................................................1

模型2.蝴蝶（風箏）模型....................................................................6

模型3.燕尾（定理）模型...................................................................10

模型4.鳥頭定理（共角定理）模型..........................................................15

模型5.金字塔與沙漏模型.................................................................20

習題練模型..............................................................................22

例題講模型

模型1.等積變換基礎模型

模型解讀

模型1）等底等高的兩個三角形面積相等；

如圖1,當AB〃CD,則=SABCD；反之,如果隈6=SABCD，則可知直線AB〃CD。

模型2）兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比;兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比。

如圖2,當點。是BC邊上的動點時,則SMBD：S3=BD：DC.

如圖3,當點。是BC邊上的動點，BE，AD,CF，AD時，則S.:S^c=BE：CF。

模型證明

證明:模型1）如圖1，過點A作AELCD、過點8作BFLCD。,:AB"CD,：.AE=BF。

?S^ACD=豆CD?AE-,——CD-BF；S—CD=SABCD。反之同理可證。

模型2）如圖2,過點A作AH±BC。

??.SMBD=JBD-AH；S"=^CD-AH；：.S^ABD：S△皿=BD：DC。

如圖3,過點。作CF，AD、過點B作跳;，ADO

,**SMBD~￡AD,BE；SMCD=-AD,CF；SD?S^ADC~BEIOF。

模型運用

1.（24-25八年級上?山東德州?階段練習）如圖，若點。是邊8c上的點，且BD-.CD=3:2，則△4BD與

△ACD的面積之比為（）

A.3:2B.9:4C.2:3D.4:9

【答案】A

【分析】此題考查了三角形面積問題，解題的關鍵是掌握三角形面積的表示方法.設點4到的距離為機

首先表示出隈「5皿八,隈6制小",結(jié)合即5=3：2,得到宗=仁=巖=微

【詳解】解:設點人到石。的距離為伍???S△.=^BD?h,SMCD=/CD?伉

:BD:CD=3:2,：.率嗎='=綜=《.故選：4

S&ACD^CD-hCD2

2.（23-24八年級下?河北滄州?期中）如圖，以斤分別是HABCD的邊AB,CD上的點，4萬與。E相交

于點P,BF與CE相交于點Q,若△APD的面積為2,△BQC的面積為4,tBCD的面積為26,則陰

影部是的面積為.

【答案】7

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，連接E、F兩點，過點E作EW，于點河.根據(jù)平行四邊形的性

質(zhì)得出S/\DMC=x26=13,SAEFC=S帖CF進而減去公共的/\EQB的面積可得S人同胸?！猄2yBeQ,同理S^ABFO

MS

—S^J）F"外出S"FP—S/^j）p，進而即可求解.

【詳解】解:如圖，連接石、F兩點，過點E作。于點河.

?*SN)EC~~^DC?EM,SnABCD=DC*EM=26,S2)EC=]x26=13.

??,四邊形是48co平行四邊形，???AB〃CD,

??.△EFC的FC邊上的高與/\BCF的FC邊上的高相等，

S^EFC~S^BCF，S^EFQ~S^BCQ，同理SgFD~S^ADF，:、S4EFP~S^ADP，

,?*S^APD—2，SABQC=4,S四邊彩EPFQ=2+4=6,故陰影部分的面積=SADEC—S四邊形EPFQ=13—6=/.

3.（2024.上海浦東新.一模）如圖，在△ABC中，48=4,AC=6,E為8c中點，AD為△4BC的角平分

線，△4BC的面積記為&，4ADE的面積記為S2,則S*S\=.

【答案】1:10

【分析】此題考查角平分線的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)三角形中線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得出面積關系解答.根

據(jù)三角形中線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解:過點。作DM±AB,DN±AC,

?：AD為A4BC的角平分線，DM=DN,

S&ABDAB,DM42

-：48=4,4。=6,6為中點AEC=~SAAB。,

SAADC^AC-DN63

弓So3?--1-rc-I

設S*=2,,S皿=3°,則S^c=5x,=S^c=-x,則—=5廣=而，故答案為：1：10.

4.（23-24七年級下?江蘇鎮(zhèn)江?期中）【探究】

如圖1,4D是△48。中邊上的中線，4ABD與/XACD的面積相等嗎？請說明理由，

【應用】如圖2,點4及C分別是8。、CE、［斤的中點，且$&詆=4,則圖2中陰影部分的面積為

【拓展】（1）如圖3,/\ABC中，延長CA至點尸，使得AF=CA,延長AB至點使得BD=2AB,延長

至點E,使得CE=3CB,連接EF、FD、DE,如果SAABC=3,那么S^EF為.

MS

（2）如圖4,△ABC中，AB=U,AC=16,點D、E是BC、AC邊上的中點，40、BE交于點、F.若

△ABC的面積為S,則四邊形DCE尸面積為（用含S的代數(shù)式表示）；四邊形DCEF的面積存在

最大值，這個值為.

圖4

【答案】探究：理由見解析；應用：24;拓展：（1）54;⑵弓S,32

O

［分析】探究：根據(jù)等底同高的三角形面積相等，即可得結(jié)論；

應用：連接AB,BF,CD,運用探究結(jié)論可知S^c=SA?1s=S?=4,則S^DE=2sA=8,同理可得

S^BDE=SWEF—SADF=8,即可求得陰影部分的面積；

拓展：⑴如圖，連接AB,CD,=3,利用等高的性質(zhì)，求得所有三角形的面積，再求和，可得結(jié)論；⑵

連接CF并延長交于G,可知CG是AB邊上的中點，記6個小三角形的面積分別為S、，S2,S3,S&,S§,

Se,可得$1=$2=$3=S4=S5=$6,進而可得$1=$2=$3=$4=S5=$6=4$枷。=4$,可知四邊形

00

DCEF面積=$4+$5=!$,要使得四邊形。。西面積95最大，只需要使得448。的面積$最大，則只

OO

需要AB_LA。,可得△ABC的面積最大值為S=qAB?AC=96,即可求得四邊形DCEF面積最大值.

本題考查與三角形中線有關的面積問題，等高模型的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是理解三角形中線的性質(zhì).

?/AD是△ABC中BC邊上的中線，則BD=CD=yBC,

SAAB。=~BD-AH=—CD-AH=SAAGD=—S^ABC,即：S^BD=^AACV；

應用：連接AE,BF,CD,

?.?點A、B、C分別是BD、CE、AF的中點，二AD=AB,BC=BE,CA=CF,

?e?~74sE=S4AED=4,貝US^BDE—2s2.c~8,

同理可得5"年=5.即=54^=8,??.陰影部分的面積為=3x8=24,故答案為：24;???

拓展：⑴如圖，連接AE,CD,SMBC=3.

B

**BD—2AB,則AD—SAB,S八—2sMsc~6，S^(jD—3s—9,

,**EC—3BC,S/\EA0—3sA45c=9,Sgen—3s—18,

?,人。=AF，??SMDF=S^ACD=9,SMEF~SMCE=9

**?ADEF的面積=S^MC+SARCD+S△￡℃+SMCE++^^ADF~3+6+18+9+9+9=54.故答案

為：54;

⑵連接CF并延長交AB于G,??,點O、E是BC、4C邊上的中點，???CG是AB邊上的中線,

記6個小三角形的面積分別為Si,S2,S3,S4,S5,S6,

則S1=S2,S3=S4,S5=S6,S1+S2+S3=S4+S5+S6,

???S1+S2=S5+S6,即：2S1=2S6,??.S1=S6,即：S1=S2=S5=S6,

==

同理可知，Si=S2S3=S4S5=SGf/.Si=S2=S3=S4=S5=S6==-^-S,

00

四邊形DCEF面積=$4+S5=9S,要使得四邊形DCEF面積9S最大，只需要使得△ABC的面積S最

OO

大，

4ABC中，AB=12,AC=16,二要使得4ABC的面積S最大，則只需要AB_L4。,

.?.△ABC的面積最大值為$=/人歷4。=96,

則四邊形。CEF面積最大值為=9X96=32,故答案為：得S,32.

OOO

5.（23-24八年級下?浙江寧波?期中）規(guī)律:如圖1,直線小〃八，B,C為直線打上的點，A,P為直線m上

的點.如果A,B,。為三個定點，點P在直線山上移動，那么無論點P移動到何位置，△ABC與

△PBC的面積始終相等，其理由是.

應用：

（1）如圖2,8、。三點在同一條直線上，△48。與△ECD都是等邊三角形,連結(jié)BE,AE.若CD=

2,BC=2CD,求4ABE的面積.（2）如圖3,已知E,尸，G,H是矩形ABCD邊上的點，且EF〃AD,

GH〃AB,連結(jié)交所于點M,連結(jié)MC交GH于點N,連結(jié)。N交EF于點尸，連結(jié)GP,若四邊形

AEOG的面積等于5,求四邊形GMNP的面積.

MS

【答案】規(guī)律：同底等高的兩個三角形的面積相等；（1）4，S（2）~1

【分析】本題主要考查了三角形的面積、勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，平行線之間的距離等知識點；

規(guī)律：利用“平行線間的距離相等”和“同底等高的三角形的面積相等”即可解答；

⑴利用“平行線間的距離相等”和“同底等高的三角形的面積相等”求S^BC即可解答；

⑵利用''平行線間的距離相等”和“同底等高的三角形的面積相等”，將四邊形AEOG的面積拆成4個小三

角形，將四個小三角形轉(zhuǎn)化為矩形AEOG的一半，即可求解.

【詳解】解:規(guī)律：?.?直線小〃九，.?.點A和點P到直線九的距離相等.

又-/在△ABC和△PBC中，BC=BC,/.SAASC=SAPBC（同底等高的兩個三角形的面積相等）.

故答案為：同底等高的兩個三角形的面積相等.

（1）如圖所示，過點A作BC于點F,

AABC與/\ECD都是等邊三角形，二乙氏4。=ZCED=60°AB//CE,：.SAABE=S*

AF±BC,AB=AC,ABAC=60°二ABAF=30°；CD=2,=2CDAB=8。=4/.BF=2

BF?=2底Si1ABE=S故的=:xBCxAF=3x4x2遍=4岳

（2）如圖所示，連接OA,OB,OC,OD,

?.?四邊形ABCD是矩形，.?.AB〃CD,AD〃BC

■：EF//AD,GH//AB,：.ADHEF//BC,AB〃GH//DC,

??SAGOP~S^OPD，^AOPN+~^^OND~S^ONC，^^GOP+^^ONP=S^ONC，

又S^ONC+S^OMN=S^OMC，**,EF〃BC,S^OMC=^/\OMB,?e?^/\OMC+S^MOG=^^OGB,

15

**AB〃GH,S4OGB~S^OGA~3S四邊形/EOG=1，

SAOPG+S^OPN+S^MON+S^MOG~SAOMA，??S四邊形GMNP~

模型2.蝴蝶（風箏）模型

蝴蝶模型（定理）提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊

形的面積關系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系;另一方面，也可以得到與面積對應的對角線的比例關系。

???

nD

1)任意四邊形的蝴蝶定理：

如圖1,結(jié)論:①S1：$2=&：$3或S1X$3=52X$4；②AO-.OC=⑸+S2)：(S4+S3)=

證明:由基礎模型2)知：Si.Si=DO-.BO；S463=DO-.BO；即故S1：S2=S463;即SixS3=S2xSm

ABDABCD

由基礎模型2)知：S4：S=OAOC；即AO-.OC^(S1+S2)-.(Si+S3)。

2)梯形蝴蝶定理：

2222

如圖2,結(jié)論:①Si：S3=a:6；②Si：S3：S］：S4:SABCD=a:b:ab:ab:(a+6)，

證明：：四邊形ABCD為梯形，.IAD〃BC,I易證△AOD?△COB,，Si：S3=a2：凡

同理可證得:SS3：S*SS4Ren=a2：b~:ab:ab:(a+b)。

6.(23—24八年級上?浙江?階段練習)如圖，任意四邊形ABCD中，AC和相交于點O,把△/OB、

△400、△COD、△80。的面積分別記作Si、S2、S3、S4,則下列各式成立的是()

A.S+S3=S2+S4B.S3—S2=SLSIC.S1-S4=S2-S3D.S1-S3=S2-S4

【答案】。

【分析】作BE±4。于點E,從而可分別表示出S2和S3然后可得出獸，同理可得出獸,這樣即可證得8?

5O4

83-82*S*

【詳解】解:如圖，過點。作。E，4。于點E,

???

B

則$3=.?.等=務，同理可證:獸=需，.?■=年，.?.$嗎=$2區(qū).

故選：D.

【點睛】本題考查了三角形面積的求法.解答該題時，主要是抓住不同底等高三角形面積間的數(shù)量關系.

7.（23-24九年級上?上海松江?期中）如圖，已知在梯形ABCD中，AB〃CD,24B=3CD,如果對角線

4?與相交于點O,△/O。、ABOA、△COB、△DOC的面積分別記作S、、S2>S3、S”那么下列結(jié)論

中，不正確的是（）

A.2s2=3SIB.2s2=3$4C.$=$3D.S『S3=S2$

【答案】B

［分析】證ADOC-ABOA,可得器=*=銬=巳再利用相似三角形的性質(zhì)以及三角形的面積公

130A.OA.133

式逐一分析判斷各選項即可得出結(jié)論.

【詳解】解：?.?AB〃CD,?ABOA,.?.段=*=綜，

r）OAC?Ab

???2人8=300,.-.%=端=端=看,：.等=（14=卷,.?.4$2=9$4,故3符合題意；

??.警?=，，萼=I■，即2s2=3S,故人不符合題意；

602o

AB〃CD,S△謝=Sz^c,即$+$2=S3+S2,?..8=S3,故。不符合題意；

:葛=器'.=需''瑞=空?缶=1'‘&63=$264,故°不符合題意；故選3

【點睛】本題考查的是梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等底或等高的兩個三角形的面積之間的關系，

證明袈=￥§■=銬=蔣是解本題的關鍵.

JDOA.OA.JD3

8.（2024?四川成都?校考一模）如圖，梯形ABCD的兩條對角線與兩底所圍成的兩個三角形的面積分別為

/、小,則梯形的面積為.

MS

Dp_________C

;

【答案】（p+q）2

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)梯形，得到AB〃CD,過O作OE_LCD于E,延長EO交

4B于F,則EF，AB,證明△ABO?AGDO,得到第=祟=A厚五=q:p,設梯形上下底分別為

ABOrVb^ABO

mq,mp,兩個三角形對應的高分別為7iq,rzp,根據(jù)三角形的面積公式，得到mn—2,再根據(jù)梯形的面積公式

進行求解即可.掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方，對應邊上的高線比等于相似比，是解題的關

鍵.

【詳解】解：四邊形43CD是梯形，.?.ABIICD,

如圖，過。作OE_LCD于E,延長EO交AB于凡則EF_LAB,

DEC

m

AFB

?：ABHCD,：.AABO?/\CDO,：.第=始=序五=q：p,

ABOFV

設梯形上下底分別為mq,mp,兩個三角形對應的高分別為nq,np,/.7n0；71。=/,=2

mn

...3*3=迫丁=仿+??；故答案為：⑺+爐.

9.（2024.山西.?？家荒＃╅喿x與探究

請閱讀下列材料,完成相應的任務：

凸四邊形的性質(zhì)研究

如果把某個四邊形的任何一邊向兩端延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做

凸四邊形.凸四邊形是我們數(shù)學學習中常見的圖形,它有一個非常有趣的性質(zhì):任意凸四邊形被對角

線分成的兩對對頂三角形的面積之積相等.

例如，在圖1中，凸四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,且AC，BD,△AOB,ABOC,

ciOB-OA

△COD,△AOO的面積分別為SiS,S3，S4,則有S/S3=S2?S4,證明過程如下：：--------=

S&^OD-OA

OB

~OD

任務：（1）請將材料中的證明過程補充完整；（2）如圖2,任意凸四邊形ABC?的對角線相交于

點O,分別記△AOB,ABOC,/\COD,△40。的面積為S1,S2,S3,S4,求證S/S3=S2?S4；

⑶如圖3,在四邊形ABCD中,對角線AC,8。相交于點。O,SMOD=4,S^oc=6,S^OB-S^COD=1：

3,則四邊形ABCD的面積為

MS

【答案】（1）見解析；⑵見解析；（3）10+8V2

【分析】⑴根據(jù)三角形的高相同，面積比等于底的比求解即可；⑵分別過點A,C作AB_LBD于點區(qū)CF

_L于點F,再根據(jù)三角形的高相同，面積比等于底的比計算即可；（3）設S^OB=工,S48D=3a;,根據(jù)''任

意凸四邊形被對角線分成的兩對對頂三角形的面積之積相等”求解即可.

ciOB-CFQBS._}OB-OA

【詳解】解：⑴?.?普--------OBM:.SvSa=S4;

^^OD-CFOD'S4^OD-OAOD

⑵如答圖，分別過點4。作AE_LBD于點ECFLBD于點F.

...g_1°岳%_OB.S=±°B'CF_QB....S、_S：：,sf.

SA^OD-OAOD'S3^OD-CFOD、S&Sj1_4，

X

（3）由SAAOB：S48D—1:3,S/^AOJJ—4,S^BUC=6,設S^AOB=,^ACOD=3’,

根據(jù)任意凸四邊形被對角線分成的兩對對頂三角形的面積之積相等，

可得：3/=4x6=24,貝Iaj=2/，=3x272=6A/2,

四邊形ABCD的面積=SAAOD+SZRCC+S&AOB+S^COD—4+6+2A/2+6V2=10+8。V2.

【點睛】本題考查了面積及等積變換，掌握三角形的高相同，面積比等于底的比、任意凸四邊形被對角線分成

的兩對對頂三角形的面積之積相等是解題的關鍵.

模型3.燕尾（定理）模型

模型解讀

模型證明

條件:如圖，在△力中，E分別是上的點，G在力E上一點。

MS

結(jié)論:S1：S2=S3：S4=(Si+S3MS2+SJ=BE,EC.

證明：由基礎模型2)知：S/S尸BE:EC；Si1AB盤人謝:BE:EC；故S/S2=BE:EC；

即S1：S2=S3：S4=(Si+S3)：(S2+S4)=BE-.EC.

10.（23-24七年級下.江蘇宿遷.期末）（數(shù)學經(jīng)驗）三角形的中線能將三角形分成面積相等的兩部分.

（經(jīng)驗發(fā)展）（1）面積比和線段比的聯(lián)系:如果兩個三角形的高相同，則它們的面積比等于對應底邊的

比，如圖1,/XABC的邊上有一點河,請證明：?竺=鏢:

（結(jié)論應用）（2）如圖2,△CDE的面積為1,卷=）,桀=[,求△ABC的面積;

AC4UJDO

（拓展延伸）（3）如圖3,A4BC的邊上有一點“，。為CM?上任意一點，請利用上述結(jié)論,證明：

S^ADCy1711.

S^BDCBM

（遷移應用）⑷如圖4,△ABC中，河是AB的三等分點（4W=1AB）,N是的中點，若AABC的

面積是1,請直接寫出四邊形BMDN的面積:.

【答案】（1）見解析;（2）12；（3）見解析；⑷需

【分析】本題主要考查了三角形的面積公式以及三角形的中線的性質(zhì)的運用：

【經(jīng)驗發(fā)展】過。作SLAB于H,依據(jù)三角形面積計算公式，即可得到結(jié)論；

【結(jié)論應用】連接AE,依據(jù)“如果兩個三角形的高相同，則它們的面積比等于對應底邊的比”，即可得到

△ABC與△CC?面積之間的關系；

【拓展延伸】依據(jù)如果兩個三角形的高相同，則它們的面積比等于對應底邊的比，即可得到△ADC與/\BDC

面積之間的關系；

【遷移應用】連接設△ADC,即可得出S①乂=2a,SMCD=3a、S^CDN=S^BDN=-^S^BCD=3a,進而得

至S四邊形BM0N=S2ABC*

【詳解】（經(jīng)驗發(fā)展）如圖1,過。作CH,AB于

???

11Su*^AMxCH

??CH,Sw/BMXCH,.-.■AM即SMCM_AM

J-

~BMS^CMW

=

（結(jié)論應用）如圖2,連接AE,=^,.*.S^CDE~^S^CE,

q??CE_].Q_]Q.Q_]丫]Q_]Q

人?CB-至QAABC，.?Q^CDE_Z入Q^ABC~Q^ABC，

又???△CC石的面積為1,??.△ABC的面積為12.

（拓展延伸）如圖3,是AB上任意一點，.?.譽也=踞

^ABCMBM

c

???D是CM上任意一點，??.S叢ACDXS^ACM，SwcD~XS^CM,

CD*q

.S^ACD_CM△.須_S^ACM即S^ADC_AM

S也D漆xSgSABCM，SgDcBM

.S^ACD_AA/1

（遷移應用）如圖4,連接60,???M是48的三等分點

S^BCDBM2

；N是BC的中黑，：.冬也=祭=\,

^AABDBN

設SAADM=a，貝US/^BDM—2a,S^ACD=3a,SACDTV=SABDN=]S/\BCT>—3a,

=

?''S四邊彩BJWDN=5a,S^ABC=12a,.'.Sq亞^BMDN=^/\ABCX1=-py.故答案為-jy.

11.（23—24七年級下?寧夏銀川?期末）【問題情境】如圖1,是△ABC的中線，A4BC與△46。的面積

有怎樣的數(shù)量關系？小旭同學在圖1中作邊RC上的高AE,根據(jù)中線的定義可知皿=CD.因為高

相同所以口=S^ACD于是S=

AEI,Si1AB1AABC2s4ABD,

圖3

據(jù)此可得結(jié)論:三角形的一條中線平分該三角形的面積.

（1）【深入探究】如圖2,點。在4ABC的邊BC上，點P在AD上.

①若AD是4ABC的中線,請判斷SAAPB與S^pc的大小關系,并說明理由.

②若BD=3。。,則SAAPB：SAAPC

（2）【拓展延伸】如圖3,分別延長四邊形4BCD的各邊，使得A,B,C,D分別為DH,AE,BF,CG的

中點，依次連接E,F,G,H得四邊形ERGH.直接寫出SM?G，S中BE與S四邊形的①之間的等量關系;

【答案】（1）①1:1,理由見解析;②3：1（2）S△J/°G+S"BE~2s四邊形/Be。

【分析】本題考查了三角形的中線，掌握三角形的一條中線把原三角形分成兩個等底同高的三角形是題的關

鍵.（1）①根據(jù)中線的性質(zhì)可得50山=54^°,點。為石。的中點，推得PO是△PBC的中線，SAPOB=

Swe，得到S^PBUS^PC，即可得出結(jié)果;②設△ABC邊B。上的高為九,根據(jù)三角形的面積公式可得

S410B=￡義BDXh,S叢ADC=]XDCX九，即可推得SAADB=3sA，同理推得S^PDB=3sMDC，即可求得

S/^APB=3sAAPC，即可證明S&APB：S^APC=3:1；

（2）連接AG,AC,CE,根據(jù)中線的判定和性質(zhì)可得SAG.~S^GAD~工S^GHD，S^CBA=^ACBE=1^ACAE，

S^ECF~^AECB~了S.FB，S^ADC~S^ADG~5^^ACG，推得—S"OG=S^GHD，S^CBA~S^CBE

—S^EFB,即可求得S四邊形ABC。=（S^GHD+S^FB），即可證明S4HDG+S^FBE~2s四邊形ABCD*

【詳解】（1）解:①證明：:AD是4ABe的中線，，點。為的中點，SMDB=S*,

：,PD是APBC的中線，S"DB~S"DC，?二SMDB-^^PDB~S4ADC—^^PDC，

艮（3S^APB~S^XPC，S^PB'S^APC=1:1

②設△ABC邊BC上的高為拉，則S3——xBDxh,S3*xDCxh,

BD—3DC,—3s△xpo，同理^^PDB~3sApDC,

貝“SMDB-S^DB~3s—3S"DC，艮!7S^APB~3sMpc，?#?^^APB:^/^APC=3:1.

（2）①證明：連接4G,47,CE,如圖：

???點A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點，

??.AG,BC,CE,DA分別為△GHD,/XCAE,^EFB,/XACG的中線，

??S^GAH~S^GAD~qS4GHD，S^CBA~S^CBE~S^CAE，SgcF~SgcB~/S^EFB,S^ADC=0G=/^/^ACG，

S^ADC~^/^ADG~工S^GHD，SMBA~S^CBE~S^EFB

3四邊形/瓦加.

**S四邊形ABCD=SMDC+SRCBA=S^GHD+/^/^EFB=/（S4GHD+S^EFB）,用S^DG+S^FBE—2s

S'ABD

12.（23-24七年級下?浙江杭州?期中）已知D是^ABC的邊上一點，連結(jié)AD,此時有結(jié)論

SbACD

雋，請解答下列問題：（1）當。是邊上的中點時，AABD的面積△ACD的面積（填

Oxy

“V”或

⑵如圖1,點。、E分別為AB,AC邊上的點,連結(jié)CD,BE交于點O,若bBOD、kCOE、NBOC的面

積分別為5,8,10,則AADE的面積是（直接寫出結(jié)論）.

（3）如圖2,若點。，E分別是AABC的AB,AC邊上的中點，且S^c=60,求四邊形ADOE的面積.

可以用如下方法:連結(jié)AO,由4D=DB得S”DO=S^BDO，同理:S\cEO~S^AEO，設S^DO—X,S^CEO=

X

V，則S、ADO=，SAMO=g,由題意得S'^E—SAABC=30，S^ADC-SAABC=30,可列方程組為：

『匕"=黑，解得x+y=20,可得四邊形ADOE的面積為20.解答下面問題：

[x+2y=30

如圖3,。，尸是AB的三等分點，E,G是C4的三等分點，CD與班交于。，且S”BC=60，請計算四

邊形ADOE的面積，并說明理由.

【答案】（1）=;（2）18;（3）午,見解析

【分析】⑴利用同高（或同底）的三角形面積比等于對應邊（或高）的比即可得.

（2）連接40,利用同高的三角形面積比等于對應邊的比，結(jié)合已知條件聯(lián)立方程可得.

（3）連接AO,利用同高的三角形面積比等于對應邊的比，結(jié)合已知條件聯(lián)立方程可得.

【詳解】⑴.??言迪=黑，。是BC邊上的中點BD=CD,含膽=需=1,則S^D=S^CD

^^ACD'bACDJU

⑵如圖，連結(jié)AO

,:ABOD、bCOE、ABO。的面積分別為5,8,10,

?SNBDO_DO^_XSRDEO_DO^_X?c_4談q—-h

Q^BCOUL/QZJEOUL/

則S^ADE=a+b—S^DEO=10+12—4=18.

⑶連結(jié)AO,設S、AOD~x，S〉coE~y9**?S型OD~2力，S〉AOE~2y,???

22

**S^ABC~60,S^ABE~QS^ABC=可x60=403x+2y-40

oo

?*S^ABC~60,S^ACD~；S^ABC=[X60=20x+3g=20

oo

篇鬼:,加減消元法解得'

則可列方程組

四邊形ADOE的面積為：a+2夕=爺

【點睛】本題考查同高的三角形面積比等于對應邊的比這一知識點推論，掌握從中理解此推論是解題關鍵.

模型4.鳥頭定理（共角定理）模型

共角三角形s兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形。

共角定理:共角三角形的面積比等于對應角（相等角或互補角）兩夾邊的乘積之比。

（等角型）條件:如圖1，在三角形ABC中，。、E分別是AB,AC上的點，結(jié)論：答里=絲?絲

,△ABC.40

（互補型）箝;如圖2,已知ABAC+4DAE=180°,結(jié)論：=絲?絲

SAAB。AID*AG

證明：（等角型）如圖1,分別過點E,。作EG，于點G,CZU于點F,

NAGE=ZAFC,又；ZA=ZA,&GAE?/\FAC,：.孕=萼

CFAC

又：[ADEG,=AD-EG=叁.江即:叁.江

SAABC-^-AB-CFS^ABCAB-CFABACS^ABCABAC

C

HB??

（互補型）如圖2,過點。作CG，AB于G,過點E作石DA交DA延長線于尸，

NEFA=ACGA=90°，:ZBAC+ADAE=180°,ADAE+NEAF=180°,

:.NCAG=NEAF,4CAG?MAF,0AB=5DA?EF,SAABC=士AB?CG,

AEAC22

.S^DAE.=^DA-EF=DA-EF=DA-AE

；

"SAABC~±AB-CG~AB-CG~AB-AC

13.如圖，在三角形ABC中，L?、E是48,AC上的點，且AD：AB=2:5,AE：AC=4：7,三角形4DE的面

積是16平方厘米，則ABC的面積為0

【答案】70平方厘米

【解析】①觀察：圖中存在鳥頭模型。假設:設三角形ABC的面積為a

轉(zhuǎn)化：由鳥頭模型比例關系有：16:a=(4x2):(5x7),得a=70。

即三角形ABC的面積是70平方厘米。

14.(2023?山西晉中?九年級統(tǒng)考階段練習)閱讀理解

如果兩個三角形中有一組對應角相等或互補,那么這兩個三角形叫做共角三角形，共角三角形的面積

比等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比，

例:在圖1中，點。，E分別在人口和AC上，△A0E和△ABC是共角三角形，則黑膽=妾絲

S^ABCAB-AC

證明:分別過點E,。作區(qū)2，人8于點3,。歹，48于點9,得到圖2,

AAGE=AAFC,又NA=N4/\GAE?/\FAC,：.架=笑

CFAC

又..SAADE=工AD?EG.$但=AD-EG=AD_AE_即S&ADE=ADAE_

'S”一^AB-CF??S^ABC~AB-CF~AB'ACS4ABe~AB'AC

圖2圖3

任務：（1）如圖3,已知ABAC+NDAE=180°,請你參照材料的證明方法,求證：要變=AD-AE

SAAB。~AB-AC

⑵在⑴的條件下'若含"，裕/加=9,則人--

【答案】（1）見解析；（2）6

【分析】⑴過點。作CG，于G,過點E作EF±DA^DA延長線于F,可得NEFA=A.CGA