2025中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：二次函數(shù)與實際問題 （考點清單）解析版

專題5-2二次函數(shù)與實際問題

（1個考點梳理+10種題型解讀+3種方法解讀）

考曼偉單

1.用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟：

1）審：仔細審題，理清題意；

2）設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當(dāng)

的未知數(shù)；

3）歹！J：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；

4）解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖像和性質(zhì)等求解實際問題；

5）檢：檢驗結(jié)果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結(jié)論.

【注意】二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用通常是在一定的取值范圍內(nèi)，一定要注意是否包含頂點坐標(biāo)，如果

頂點坐標(biāo)不在取值范圍內(nèi)，應(yīng)按照對稱軸一側(cè)的增減性探討問題結(jié)論.

2.利用二次函數(shù)解決實際問題的常見類型

常見的問題：求最大（小）值（如求最大利潤、最大面積、最小周長等）、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線

的模型問題等，對此類問題要正確地建立模型，選擇合理的位置建立平面直角坐標(biāo)系是解決此類問題的關(guān)

鍵，然后用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達式，利用函數(shù)性質(zhì)解決問題.

利用二次函數(shù)解決利潤最值的方法：利潤問題主要涉及兩個等量關(guān)系:利潤=售價-進價，總利潤=單件商品

的利潤x銷售量，在解答此類問題時，應(yīng)建立二次函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，然后列出相應(yīng)的函

數(shù)解析式，從而解決問題.

利用二次函數(shù)解決拱橋/隧道/拱門類問題的方法：先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，一般選擇拋物線形建筑

物的底（頂）部所在的水平線為X軸，對稱軸為y軸，或直接選取最高（低）點為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系來

解決問題，再根據(jù)題意找出已知點的坐標(biāo)，并求出拋物線解析式，最后根據(jù)圖像信息解決實際問題.

利用二次函數(shù)解決面積最值的方法：求最大面積類問題可以利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行解答,也就是把

圖形面積的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，依據(jù)圖形的面積公式列出函數(shù)解析式.

利用二次函數(shù)解決動點問題的方法：首先要知曉動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結(jié)合

直線或拋物線的表達式設(shè)出動點的坐標(biāo)或表示出與動點有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合題干中與動點有關(guān)的條

件進行計算.

利用二次函數(shù)解決運動型幾何問題的方法：對于運動型幾何問題中的函數(shù)應(yīng)用問題，解題時應(yīng)深入理解運

動圖形所在的條件與環(huán)境，用運動的眼光去觀察和研究問題，挖掘運動、變化的全過程，并特別關(guān)注運動

過程中的不變量、不變關(guān)系和特殊關(guān)系，然后化“動態(tài)”為“靜態(tài)”、化“變化”為“不變”，通過分析找

出題中各圖形的結(jié)合點，借助函數(shù)的性質(zhì)予以解決.當(dāng)圖形（或某一事物）在運動的過程中某一量取到最大值

或最小值時，其位置必定在一個特殊的位置,這是普遍規(guī)律.

題型循單

【考點題型一】銷售問題

解題思路：利用二次函數(shù)解決實際生活中的利潤問題，要認清變量所表示的實際意義，注意隱含條件的使

用，同時考慮問題要全面，此類問題一般是先運用“總利潤=總售價-總成本”或“總利潤=每件商品所獲利

潤*銷售數(shù)量”，建立利潤與價格之間的函數(shù)關(guān)系式，再求出這個函數(shù)的最大值即求得最大利潤.

解題步驟：1）設(shè)未知數(shù)X,y；

2）根據(jù)題目條件找到x、y的關(guān)系式；

3）利用配方法求二次函數(shù)的最值及取得最值的x的取值.

[例1]（23-24九年級上?江蘇淮安?期中）2023年杭州亞運會吉祥物一開售，就深受大家的喜愛.某旅

游商店以每件50元的價格購進某款亞運會吉祥物，以每件80元的價格出售，每日可售出200件.從7月

份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗，發(fā)現(xiàn)該吉祥物每降價1元，日銷售量就會增加20

件.

（1）設(shè)降價尤元，日銷售量為y件.試用含x的式子表示y,y=；

（2）請你測算一下，當(dāng)售價為多少元時，可使日銷售利潤最大？最大利潤是多少？

【答案】（1）20%+200

（2）每件售價為70元時，可使日銷售利潤最大，最大利潤為8000元

【分析】本題考查一次函數(shù)在銷售問題的應(yīng)用，一元二次方程在銷售問題中應(yīng)用，二次函數(shù)在銷售問題中

的應(yīng)用.

（1）銷售量=降價前每日銷售量+降價所增加的銷售量，據(jù)此即可求解；

（2）設(shè)日銷售利潤為W元，日銷售利潤=每件所獲利潤x日銷售量，據(jù)此即可求解.

【詳解】（1）解：由題意得：

y=2Ox+200,

故答案為：20x4-200；

（2）解：設(shè)日銷售利潤為勿元，降價尤元，由題意得：

IV=(80-50-x)(20x+200)

=—20%2+400%+6000

=-20(x-10)2+8000,

1?'—20<0,

.??當(dāng)x=10時，W最大=8000(元)，此時售價為80-10=70(元)；

答：每件售價為70元時，可使日銷售利潤最大，最大利潤為8000元.

【變式1-1](23-24九年級上?江蘇無錫?期末)某企業(yè)設(shè)計了一款工藝品，每件的成本是50元，為了

合理定價，投放市場進行試銷.據(jù)市場調(diào)查，銷售單價是100元時，每天的銷售量是50件，而銷售單價每

降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本.

(1)求出每天的銷售利潤y(元)與銷售單價無(元)(50<x<100)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

(3)如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元，且每天的總成本不超過7000元，那么銷售單價應(yīng)控制

在什么范圍內(nèi)？(每天的總成本=每件的成本x每天的銷售量)

【答案】(l)y=-5x2+800%-27500

(2)當(dāng)銷售價定為80元時，銷售利潤最大，為4500元

(3)82<x<90

【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，不等式組的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確的列出二次

函數(shù)的解析式.

(1)根據(jù)總利潤等于單件利潤乘以銷售數(shù)量，列出二次函數(shù)即可；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求最值即可；

(3)根據(jù)題意，列出不等式，進行求解即可.

【詳解】(1)解：由題意，得：y=0—50)[50+5(100-無)]=一5/+800%—27500；

(2)Vy=-5/+800%-27500=-5(%-80)2+4500,

...當(dāng)久=80時，y有最大值為：4500,

答：當(dāng)銷售價定為80元時，銷售利潤最大，為4500元；

(3)由題意，當(dāng)：一5/+800%—27500=4000時，

解得：%=70或x=90,

當(dāng)一5X2+800%-27500>4000時，70WxW90,

又50[50+5(100-x)]<7000,

解得：%>82,

綜上：82<x<90.

【變式1-2](23-24九年級上.江蘇徐州?期中)某商店經(jīng)銷一種手提包，已知這種手提包的成本價為50元/

個.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種手提包每天的銷售量y(單位：個)與銷售單價x(單位：元)有如下關(guān)系：y=-x+

80(50<%<80).設(shè)這種手提包每天的銷售利潤為w元.

(1)當(dāng)這種手提包銷售單價定為多少元時，該商店每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

(2)如果物價部門規(guī)定這種手提包的銷售單價不得高于68元，該商店銷售這種手提包每天要獲得200元的銷

售利潤，銷售單價應(yīng)定為多少元？

【答案】(1)當(dāng)這種手提包銷售單價定為65元時，該商店每天的銷售利潤最大，最大利潤是225元

(2)該商店銷售這種手提包每天要獲得200元的銷售利潤，銷售單價應(yīng)定為60元

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：

(1)根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

(2)當(dāng)w=200時，代入w=-0—65)2+225即可求解；

理清題意，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：依題意得：w=(x-50)(-%+80),

整理得：w=—0—65)2+225,

.?.當(dāng)x=65時，w有最大值為225,

答：當(dāng)這種手提包銷售單價定為65元時，該商店每天的銷售利潤最大，最大利潤是225元.

(2)當(dāng)w=200時，200=-(x-65)2+225,

解得：x1—60,x2—70,

v70>68,

???x=60,

答：該商店銷售這種手提包每天要獲得200元的銷售利潤，銷售單價應(yīng)定為60元.

【變式1-3](23-24九年級上?浙江杭州?期中)某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件進價為80元，

銷售價為120元時，每天可售出20件，為了迎接“雙十一”促銷活動，商店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，以擴

大銷售量，增加利潤，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝降價1元，那么平均可多售出2件.

(1)在每件盈利不少于25元的前提下，要使該童裝每天銷售獲利為1200元，每件童裝應(yīng)降價多少元？

(2)該童裝每天的銷售獲利能達到2000元嗎？如果能，請寫出降價方案；如果不能，請說明理由.

【答案】(1)每件童裝應(yīng)降價10元；

(2)不能，理由見解析

【分析】本題主要考查一元二次方程的實際應(yīng)用，以及二次函數(shù)的應(yīng)用，

(1)設(shè)每件童裝降價尤元時，每天可銷售(20+2x)件，每件盈利為(120-80-切元，，根據(jù)題意列方程求

解即可；

(2)設(shè)童裝每天的銷售獲利為w元，得到w=(20+2切(120—80—x)=—20—15)2+1250,然后利用

二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

理解題意找到題目蘊含的等量關(guān)系是列方程求解的關(guān)鍵.

【詳解】(1)設(shè)每件童裝降價尤元時，每天可銷售(20+2%)件，每件盈利為(120-80-X)元，

由題意得:(20+2x)(120-80-x)=1200,

整理得：x2-30%+200=0,

解得：%1=20,%2=10,

當(dāng)x=20時，每件盈利為：120-80-20=20<25,不合題意，舍去；

當(dāng)x=10時，每件盈利為：120-80—10=30>25,符合題意；

答：每件童裝應(yīng)降價10元；

(2)不能，理由如下：

設(shè)童裝每天的銷售獲利為w元，

由(1)知，w=(20+2x)(120-80-x)=-2(x-15)2+1250,

.?.當(dāng)x=15時，w的值最大，最大值為1250,

V1250<2000,

該童裝每天的銷售獲利不能達到2000元.

【考點題型二】行程問題

【例2】(23-24九年級上?湖北武漢?階段練習(xí))物理實驗課小明做一個實驗：

在一條筆直的滑道上有一個黑小球以一定的速度在A處開始向前滾動，并且均勻減速，測量黑球減速后的

滾動速度%(單位：cm/s)隨滾動時間f(單位：s)變化的數(shù)據(jù)，整理得下表.

運動時間ts0123

運動速度ucm/s109.598.5

黑球

Q________

A

(1)小明探究發(fā)現(xiàn)，黑球的滾動速度％與滾動時間r之間成一次函數(shù)關(guān)系，直接寫出％關(guān)于/的函數(shù)解析式(不

要求寫出自變量的取值范圍).

(2)求出滾動的距離s關(guān)于滾動的時間r的函數(shù)解析式，并求出黑球滾動的最遠距離.［提示：本題中，距離

S=v-t,v=i(v0+vt),其中必是開始時的速度，％是1秒時的速度］

【答案】⑴％=-1t+10

(2)滾動的距離s關(guān)于滾動的時間/的函數(shù)解析式為s=-it2+10t,黑球滾動的最遠距離為100cm

4

【分析】(1)設(shè)%關(guān)于/的函數(shù)解析式為％=at+b,由表中數(shù)據(jù)得出二元一次方程組，求出a、b的值即

可.

(2)先求出17——f10—t+10)=—t+10,再根據(jù)S=v,力求出S=—嚴+10t=—(t-20)2_|_100,

2\2/444

然后由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】(1)設(shè)%關(guān)于/的函數(shù)解析式為％=at+b,

根據(jù)題意，得『2+匕:9，

解得卜=一,

Lb=10

故外關(guān)于f的函數(shù)解析式為%=―1+10.

(2)Vvt=—|t+10,v0=10,v=|(v0+vt),

.\v^-(10--t+10)--t+10,

\'S=v-t,

**?S———+lOt=——(t-20)2,|_io。，

故滾動的距離S關(guān)于滾動的時間/的函數(shù)解析式為S=-"2+lot,

當(dāng)力=20時，黑球滾動的最遠距離為100cm,

答：滾動的距離s關(guān)于滾動的時間/的函數(shù)解析式為s=-42+103黑球滾動的最遠距離為100cm.

4

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，

正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1](23-24九年級上?山東濱州?期中)如圖，鋼球從斜面頂端由靜止開始沿斜面滾下，速度每秒增

力口1.5m/s.

(1)寫出滾動的距離S(單位：m)關(guān)于滾動的時間f(單位：s)的函數(shù)解析式.(提示：本題中，距離=平均

速度5X時間3方=誓，其中，氏是開始時的速度，”是/秒時的速度.)

(2)如果斜面的長是3m,鋼球從斜面頂端滾到底端用多長時間？

【答案】（Dsn"?。？。）；

4

（2）鋼球從斜面頂端滾到底端用2s.

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確讀懂題意.

（1）先求出Z=%+如，然后得到萬=空，再由s=譏即可得到答案;

（2）根據(jù)（1）計算的結(jié)果把s=3代入求解即可.

【詳解】（1）解：由題知%=0,

vt=v0+1.5t=0+1,5t=1.5t.

_公Vn+Vt'1.5t

s=vt=—―-?t=——Xt=

224

BPs=-t2(t>0).

4

（2）把s=3代入s=|產(chǎn)中，得:產(chǎn)=3.

解得￡1=2,t2=-2(舍去).

...鋼球從斜面頂端滾到底端用2s.

【變式2-2］（2023?江蘇無錫?模擬預(yù)測）有兩條相鄰的平行滑道（不光滑）.甲木塊在一條滑道內(nèi)自動滑行,

直到停止.甲木塊與起點線的距離S1甲T中（厘米）與滑行時間f（秒）之間滿足S甲=-嚴+12/;+25.甲木

塊滑行2秒后，乙木塊在另一滑道從起點線m以某一初速，持續(xù)受力運動，乙木塊與起點線m的距離S乙（厘

米）與受力時間r（秒）是二次函數(shù)關(guān)系，變化規(guī)律如下表:

t（秒）012

01636

Sz（厘米）

甲

m

（1）求S乙與f之間的函數(shù)關(guān)系式;

（2）求乙木塊追上甲木塊用時多長;

（3）求甲木塊停止時，乙木塊與甲木塊的水平距離.

【答案】⑴S乙=2t2+14t

(2)3秒

(3)27厘米

【分析】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意正確求出S乙與f之間的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

(1)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

(2)根據(jù)題意列出方程，解方程即可得到答案；

(3)求出甲停止時滑行的最大距離，以及此時乙滑行的距離，即可得到答案.

【詳解】(1)解：由題意可設(shè)S乙與f之間的函數(shù)關(guān)系式為：5乙=砒2+%+￡；9力0),

把(0,0),(1,16),(2,36)代入解析式可得：

,c=0

a+b+c=16，

4a+2b+c—36

'a=2

解得：b=14,

.c=0

；.Sz與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S乙=2t2+14t；

(2):甲木塊滑行2秒后，乙才開始運動，

2產(chǎn)+14t=—(t+2)2+12(t+2)+25,

方程整理可得：t2+2t-15=0,

解得：亢=3,t2=—5(舍去)，

答：乙木塊追上甲木塊用時3秒；

(3)根據(jù)題意可得：5甲=—/+12t+25——(t—6/+61,

V-1<0,且甲木塊在一條滑道內(nèi)自動滑行，直到停止，

.?.當(dāng)t=6時，甲滑行的最大距離為61厘米，此時甲停止滑行，

???甲木塊滑行2秒后，乙才開始運動，

乙的受力時間=6—2=4(秒)，

此時=2x42+14x4=88,

A88-61=27(厘米)，

答：甲木塊停止時，乙木塊與甲木塊的水平距離為27厘米.

【變式2-3](23-24九年級上?湖北武漢?階段練習(xí))如圖是城市平直道路，道路限速60km/h,A路口停車

線人和B路口停車線"之間相距S=400m,A、2兩路口各有一個紅綠燈.在停車線I1后面停著一輛汽車，

該汽車的車頭恰好與停車線4平齊，已知汽車啟動后開始加速，速度每秒增加2m/s.某時刻A路口綠燈亮

起，該汽車立即啟動.(車身長忽略不計)

B

d

o

lQJ

(1)求該汽車從停車線。出發(fā)加速到限速所需的時間.

(2)寫出汽車加速后行駛的路程S(單位：優(yōu))關(guān)于時間單位：s)的函數(shù)解析式.(提示：本題中，路程=平

均速度初X時間3方=也詈其中%是開始時的速度，％是/秒時的速度)，并求該汽車最快需要多少時間可

以通過停車線已

(3)在(2)條件下，若A路口綠燈亮起29s后8路口綠燈亮起，且B路口綠燈的持續(xù)時間為23s.該汽車先加

速行駛，然后一直勻速行駛.若該汽車在B路口綠燈期間能順利通過停車線Z，請直接寫出該汽車勻速行駛

過程中速度的取值范圍.

【答案】(l)gs

(2)當(dāng)t20時，S=t2,該汽車最快需要28；s可以通過停車線辦

6

(3)8<v<16

【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合題，解分式方程，解一元二次方程，理解題意出關(guān)系式或方程是解題的

關(guān)鍵.

(1)先求出60km/h=mm/s,根據(jù)速度每秒增加2m/s即可求解；

(2)根據(jù)平均速度的定義即可求出函數(shù)解析式，根據(jù)題意求得時間，由(1)可知汽車從停車線匕出發(fā)加速

到限速所需的時間§s,貝=等m,再求出剩余路程以限速行駛所用的時間即可得到答案；

(3)設(shè)該汽車勻速行駛過程中速度的為",根據(jù)題意根據(jù)(2)的方法求得兩段路程所用時間，結(jié)合題意中綠

燈等亮起期間所用時間，分別列出方程，即可該汽車勻速行駛過程中速度的取值范圍.

【詳解】⑴解：??邛艮速為60km/h=mm/s

???汽車啟動后開始加速，速度每秒增加2m/s.

(2)解：當(dāng)tNO時，S=vt=—^―xt=t2,

由(1)可知汽車從停車線k出發(fā)加速到限速所需的時間gs,

則s=(學(xué)貨m,

以^m/s行駛的時間為竺噌=?s

251191691

?—+*=*=28V

OOOO

二該汽車最快需要28；s可以通過停車線辦

O

（3）設(shè)該汽車勻速行駛過程中速度的為vm/s,即汽車加速到“

由（1）可得汽車加速到"所用的時間為t=（,

則汽車從停車線匕出發(fā)加速到um/s的路程為S=（9,勻速所用時間為絲?,

根據(jù)題意可得當(dāng)8路口綠燈亮起時通過可得，?+竺矍=29,

2v

整理得：立心=29，

417

解得：%=16,v2=100（舍），經(jīng)檢驗#=16是原方程的解，

可得當(dāng)2路口綠燈熄滅時候通過，

解得：巧=8,%=200（舍），經(jīng)檢驗e=8是原方程的解，

綜上所述，該汽車勻速行駛過程中速度的為"的范圍為：8<v<16,

答：該汽車勻速行駛過程中速度的為"的范圍為：8<v<16

【考點題型三】拱橋問題

解題步驟：

1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將拋物線形狀的圖形放到坐標(biāo)系中；

2）從己知和圖像中獲得求二次函數(shù)圖像所需條件；

3）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；

4）運用已求二次函數(shù)的解析式解決問題.

【例3】（2023?河南平頂山?二模）隋朝李春設(shè)計建造的趙州石拱橋，距今已有1400多年的歷史，其石拱的

橫截面形狀近似拋物線，測得它的跨度ZB為37.4m,拱高（拋物線的最高點C至1MB中點。的距離），CO為

7.2m,以力B所在直線為x軸，0C所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)二次函數(shù)的解析式為、=

a（x—h）2+k.

(1)結(jié)合計算器提供的信息，求拋物線的解析式.(。值精確到0.01)

(2)當(dāng)雨季來臨時，水位上漲，若水面寬度EF不大于21m時，要采取緊急措施保護橋梁的安全，當(dāng)測量員測

得點C到水面EF的距離CD只有2m時，是否需要采取緊急措施？請說明理由.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=-0.02/+7.2；

(2)需要采取緊急措施，理由見解析

【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法函數(shù)關(guān)系式，由函數(shù)值求自變量

的值，兩點間的距離公式.

(1)把C(0,7.2),3(18.7,0)代入丫=。(％-/1)2+鼠求出。值即可；

(2)結(jié)合(1),令y=5.2求出x的值，即可求出EF的長度，再和21比較可得答案.

【詳解】(1)解：由已知可得，拋物線頂點C(0,7.2),4(一18.7,0),5(18.7,0),

\"y=a(x—h)2+k,

0=ax18.72+7.2,

解得：a=-0.02,

拋物線的解析式為y=-0,02%2+7.2；

(2)解：VCD=2,OC=7,2,

：.OD=OC-CD=5.2,

在y=-0.02/+7.2中，令y=5.2,

得：-0.02%2+7.2=5.2,

解得X1=10,%2=-10，

/.EF=xr—x2—20,

V20<21,

故需要采取緊急措施.

【變式3-1](21-22九年級上.江蘇連云港.期末)如圖，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度6米，底

部寬度。/為12米，現(xiàn)以。點為原點，所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)若要搭建一個由AO-OC-組成的矩形“支撐架”，已知支架的高度為4米，則這個“支撐架”總長是多

少米？

【答案】(l)y=-#+2x；

(2)這個“支撐架”總長是(8+4百)米

【分析】(1)根據(jù)拋物線的對稱性知該拋物線的頂點坐標(biāo)為(6,6),利用拋物線的頂點式求解即可；

(2)令(1)中解析式的y=4解一元二次方程，得出C、。的橫坐標(biāo)，進而求出C。即可解答.

【詳解】(1)解：由題意，該拋物線過0(0,0)、M(12,0),

,該拋物線的對稱軸為直線尸6,頂點坐標(biāo)為尸(6,6),

設(shè)該拋物線的解析式為y=a(x-6f+6,

將點。(0,0)代入，得：36a+6=0,解得：a=~-6,

.??該拋物線的解析式為產(chǎn)(X—6)2+6=-%+2%；

66

(2)解：-OC-CB組成的是矩形“支撐架”，

：.AD=CB^4,

令y=4,由4=-4+2x得：f-12x+24=0,

6

解得：%!=6-2V3,亞=6+2V3,

/.C(6-2V3,4),D(6+2V3,4),

CD=6+2V3-(6-2A/3)=4V3,

J.AD+DC+CB=4+4+4A/3=8+4V3,

這個“支撐架”總長是(8+48)米.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、解一元二次方程、矩形性質(zhì)、坐

標(biāo)與圖形，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

【變式3-2](2023?陜西?中考真題)某校想將新建圖書樓的正門設(shè)計為一個拋物線型門，并要求所設(shè)計的

拱門的跨度與拱高之積為48m3,還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計部門按要求價出了兩個設(shè)

計方案，現(xiàn)把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示：

方案一，拋物線型拱門的跨度ON=12m,拱高PE=4m其中，點N在x軸上，PELON,OE=EN.

方案二，拋物線型拱門的跨度ON'=8m,拱高P?=6m其中，點M在久軸上,P'E'1O'N',O'E'=E'N'.

要在拱門中設(shè)置高為3m的矩形框架，其面積越大越好(框架的粗細忽略不計)，方案一中，矩形框架4BCD

的面積記為點4、D在拋物線上，邊BC在。N上；方案二中，矩形框架4BO的面積記為52,點4,。'在

2

拋物線上，邊夕C'在ON，上，現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當(dāng)&夕=3m時，S2=12V2m,請你根據(jù)

以上提供的相關(guān)信息，解答下列問題：

(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達式；

(2)在方案一中，當(dāng)月B=3m時，求矩形框架ZBCD的面積￡并比較S「S2的大小.

【答案】⑴y=~\x2+|x

2

(2)S1=18m,>S2

【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出函數(shù)關(guān)系式.

(1)由題意知拋物線的頂點P(6,4),設(shè)頂點式用待定系數(shù)法可得方案一中拋物線的函數(shù)表達式；

2

(2)令y=3可得x=3或x=9,故BC=6m,S1=AB-BC=18m；再比較S「S2的大小即可.

【詳解】(1)解：由題意知，方案一中拋物線的頂點P(6,4),

設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y=a(x-6)2+4,

把。(0,0)代入得0=a(0-6)2+4,

解得：a=-1,

22

y=-^x-6)+4=-|x+ix,

方案一中拋物線的函數(shù)表達式為y=-i%2+(x；

(2)在y=—+中，令y=3得：3=—

解得％=3或久=9,

BC=9—3=6m,

???Si=AB-BC=3x6=18m2,

18>12V2,

???>s2.

【變式3-3］（23-24九年級上?浙江溫州?階段練習(xí)）露營已成為一種休閑時尚活動，各式帳篷成為戶外活動

的必要裝備.其中拋物線型帳篷（圖1）支架簡單，攜帶方便，適合一般的休閑旅行使用.

圖1圖2圖3

【建立模型】如圖2,4款帳篷搭建時張開的寬度4B=3m,頂部高度h=1.8m.請在圖2中建立合適的平

面直角坐標(biāo)系，并求帳篷支架對應(yīng)的拋物線函數(shù)關(guān)系式.

【運用模型】每款帳篷張開時的寬度和頂部高度會影響容納的椅子數(shù)量，圖3為一張椅子擺入4款帳篷后的

簡易視圖，椅子高度EC=1m,寬度CD=0.6m,若在帳篷內(nèi)沿4B方向擺放一排此款椅子，求最多可擺放

的椅子數(shù)量.

【分析計算】現(xiàn)要設(shè)計一款拋物線型帳篷，要求頂部高度為2.5米，且一排能容納5張高寬分別為1m和0.6m

的椅子.設(shè)其拋物線型支架的形狀值為a（a<0）,請寫出a的最小值.

【答案】健立模型］y=Y（x+|）［一|）;【運用模型］3張；［分析計算］號

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系，不等式的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解

題的關(guān)鍵.

［建立模型］以48的中點為平面直角坐標(biāo)系的原點，此時力（―|,0）,B（|,0）,且經(jīng)過（0,1.8）,代入拋物

線函數(shù)關(guān)系式，即可作答.

［運用模型］在［建立模型］的基礎(chǔ)上，令y=1,解出/，冷的值，根據(jù)寬度CD=0.6m建立不等式，即可作答.

［分析計算］設(shè)拋物線函數(shù)關(guān)系式為y=ax2+2.5,根據(jù)“且一排能容納5張高寬分別為1m和0.6m的椅子”，

建立不等式，即可作答.

【詳解】解：［建立模型］以的中點為平面直角坐標(biāo)系的原點，如圖所示：

;A款帳篷搭建時張開的寬度2B=3m,頂部高度h=1.8m

.x（一|,。），嗚o）

設(shè)拋物線函數(shù)關(guān)系式為y=b1+1）1-1）

???拋物線經(jīng)過點（0,1.8）

?**1.8=bx（0+&）x-鼻）

解得b=—

即y=T（X+|）（比一|）；

［運用模型］=—?（%+|）（光一|）,且椅子高度EC=1m,寬度CD=0,6m

?'I=，（"+2（"-

詢牟得％1=1，第2=-1

則%1，g的距離為2;

201

2+0.6=—=3—<-

63

:椅子數(shù)量為正整數(shù)

...最多可擺放的椅子數(shù)量為3張；

［分析計算］依題意，設(shè)拋物線函數(shù)關(guān)系式為y=ax2+2.5,

?..且一排能容納5張高寬分別為1m和0.6m的椅子

即剛好經(jīng)過點。點，

??5x0.63

??y。=1,xD=-^―=-

.*.y=ax2+2.5經(jīng)過點O（|,1）

即當(dāng)y=l時，即1=0x（1?+2.5

解得Q=-1?

***Q的最小值為一|.

【考點題型四】噴水問題

【例4】(23-24九年級上?江蘇淮安?期末)如圖1為噴灌系統(tǒng)，工作時，其側(cè)面示意圖如圖2所示.升降桿

0L垂直于地面，噴射的水柱呈拋物線，噴頭8能在升降桿上調(diào)整高度，將噴頭調(diào)整至離地面2米高時，噴

射的水柱距升降桿1米處達到最高，高度為2.25米.將噴頭再調(diào)高4米，噴射水柱的形狀保持不變，此時

噴射的水柱落地點與O的距離為多少米.

L

〃〃/4〃〃〃/〃〃/〃〃〃/〃/〃〃〃/單位.米

圖1圖2

【答案】6米

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意、正確求出拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵.以直線0L作為

y軸，以地面為x軸，由題意可得,拋物線的頂點為(1,3,經(jīng)過點(0,2),設(shè)拋物線解析式為y=a(x-l)2+

將(0,2)代入求出完整解析式，再表示出將噴頭再調(diào)高4米后的拋物線解析式，將y=0代入求解即可.

【詳解】解：以直線。"乍為y軸，以地面為尤軸，

由題意可得，拋物線的頂點為(1,3,經(jīng)過點(0,2),

二設(shè)拋物線解析式為y=a(x-l)2+3，

將(0,2)代入可得：a+：=2,

4

解得：a=-p

4

.?.拋物線解析式為y=-i(x-l)2+p

???將噴頭再調(diào)高4米，噴射水柱的形狀保持不變，

...調(diào)高后的拋物線解析式為y=--X-1)2+：+4,即丫=一；(久一1)2+V，

4444

將y=0代入得一i(x-l)2+y=0,

整理得:0—1)2=25,

x=±5+1,

=

解得：%i=6,%2-4(舍去)，

???將噴頭再調(diào)高4米后，噴射的水柱落地點與。的距離為6米.

答：此時噴射的水柱落地點與。的距離為6米.

【變式4-1］（23-24九年級上?吉林?期中）圓形噴水池中心。處有一雕塑。4從4點向四周噴水，噴出的水

柱為拋物線，且形狀相同.如圖，以水平方向為x軸，點。為原點建立平面直角坐標(biāo)系，點4在y軸上，龍軸

上的點C、。為水柱的落水點.已知雕塑。力高斗米，與04水平距離5米處為水柱最高點，落水點C、。之間的

6

距離為22米，求噴出水柱的最大高度是多少米？

【答案】6米

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意得水柱形成拋

物線的對稱軸為直線％=5,4（0,蔡），0（11,0），用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，即可得到噴出水柱的最

大高度.

【詳解】解：由題知，水柱形成拋物線的對稱軸為直線x=5,4（0,總），0（11,0）,

設(shè)拋物線解析式為y=a（x—5）2+鼠把4（0,當(dāng)，0（11,0）代入，得［25。+卜=芳，解得卜=一］,

136a+k=0Ifc=6

???水柱形成拋物線的解析式為y=——5￥+6,

???拋物線頂點坐標(biāo)為（5,6）,

???噴出水柱的最大高度是6米.

【變式4-2］（23-24九年級上?河北石家莊?期中）如圖，在斜坡底部點O處安裝一個自動噴水裝置，噴水頭

（視為點A）的高度（噴水頭距噴水裝置底部的距離）是1.8米，自動噴水裝置噴射出的水流可以近似地看

成拋物線.當(dāng)噴射出的水流與噴水裝置的水平距離為8米時，達到最大高度5米.以點。為原點，自動噴

水裝置所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)求拋物線的解析式；

(2)斜坡上距離。水平距離為10米處有一棵高度為1.75米的小樹NM,垂直水平地面，且〃點到水平地

面的距離為2米，

①通過計算說明：水流能不能剛好噴射到小樹的頂部；

②綠化工人向左水平移動噴水裝置后，水流恰好噴射到小樹頂端的點N,直接寫出自動噴水裝置向左水平平

移(即拋物線向左)了多少米？

【答案】⑴y=一景X—8)2+5

(2)①不能；②3米

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意，熟練掌握待定系數(shù)法求解打式、二次函數(shù)圖象平移

及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)牲是解題的關(guān)鍵.

(1)題目中告知了拋物線的頂點(8,5),可以設(shè)拋物線的頂點式，又拋物線經(jīng)過點(0,1.8)即可求解頂點式中

的a,從而求解；

(2)①把x=10代入y=—景萬―87+5,求出此時y值與3.75比較，若y=3.75則能，否則不能.

②設(shè)拋物線向后平移了小米，用(1)中的頂點式，表示出新的拋物線解析式，將點N坐標(biāo)代入解析式中，

求解ni即可.

【詳解】(1)解：由題可知：當(dāng)噴射出的水流距離噴水頭8米時，達到最大高度5米，

則可設(shè)水流形成的拋物線為y=a(x—8T+5,

二將點(0,1.8)代入可得a=—

???拋物線y=-點(x-8)2+5,

(2)解：①不能；理由：

把久=10代入3/=一或。-8)2+5,得

y=4.8,

Vy=4.8>3,75,

水流不能剛好噴射到小樹的頂部；

②設(shè)噴射架向左水平平移了桃米，

則平移后的拋物線可表示為y=-/0一8+*2+5,

?.?斜坡上距離。水平距離為10米處有一棵高度為1.75米的小樹M0,MN垂直水平地面，且M點到水平地

面的距離為2米，

.?.點N(10,3.75),

將點N(10,3.75)代入得：3.75=-^(10-8+m)2+5,

解得m=3或m=-7(舍去)，

???噴射架應(yīng)向左水平移動3米.

【變式4-3](23-24九年級上?北京東城?期中)如圖1,一灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度

為h=1.4米.建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的

部分圖象，把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG,其水平寬度DE=2米，豎直高度EF=0.9米，下邊緣拋物線

是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點4離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口0.4米，

灌溉車到綠化帶的距離0。為d米.

圖1

(1)求上邊緣拋物線噴出水的最大射程OC；

(2)求下邊緣拋物線與x軸交點B的坐標(biāo)；

(3)若d=3.2米，灌溉車行駛時噴出的水(填“能”或“不能”)澆灌到整個綠化帶

【答案】(1)噴出水的最大射程OC為(3a+2)米

(2)(3V2-2,0)

⑶不能

【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)

與方程的關(guān)系等知識，讀懂題意，建立二次函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵.

(1)由頂點4(2,1.8)得，設(shè)y=a(x-2)2+",再根據(jù)拋物線過點(0,1.4),可得。的值，從而解決問

題；

(2)由對稱軸知點(0,1.4)的對稱點為(4,1,4),則下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4米得到的,

可得點B的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)。。=d=3.2米，DE=2米，EF=0.9米，可求得點P的坐標(biāo)為（5.2,0.9）,當(dāng)x=5.2時，求出

y的值，再與0.9比較，從而得出答案.

【詳解】（1）如圖2,由題意得2（2,1.8）是上邊緣拋物線的頂點，

設(shè)y=a（x—2）2+1.8,

又?.?拋物線過點（0,1,4）,

1.4=4a+1.8,

?1

??@=一定

???上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為y=—專（乂-2）2+1.8,

當(dāng)y=0時，y=——2）2+1.8—0,

解得勺=3企+2,x2=-3V2+2（舍去），

/.C（3V2+2,0）

...噴出水的最大射程OC為（3魚+2）米；

（2）..?對稱軸為直線x=2,

...點（0,1.4）的對稱點為（4,1,4）,

下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4米得到的，

VC（3V2+2,0）向左平移4米得到點2

.??點2的坐標(biāo)為（3/一2,0）；

（3）由題意得。。=d=3.2米，DE=2米，EF=0.9米，

.?.點P的坐標(biāo)為（5.2,0.9）,

當(dāng)x=5.2時，y=-—（5.2-2）2+1.8=0.776<0.9,

J10

當(dāng)x>2時，y隨x的增大而減小，

灌溉車行駛時噴出的水不能澆灌到整個綠化帶.

故答案為：不能.

【考點題型五】增長率問題

【例5】（23-24九年級上.河南周口.階段練習(xí)）共享單車為市民的出行帶來了方便，某單車公司第一個月投

放1000輛單車，計劃第三個月投放單車數(shù)量比第一個月多440輛，設(shè)該公司第二、三個月投放單車數(shù)量的

月平均增長率為x,則x的值為（）

A.1.2B.12%C.20%D.-22%

【答案】c

【分析】根據(jù)該公式第一個月及第三個月單車的投放量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即

可得出結(jié)論.

【詳解】解:根據(jù)題意得：1000(1+%)2=1000+440,

解得：/=0.2=20%,%2=-2.2(不合題意，舍去).

所以該公司第二、三兩個月投放單車數(shù)量的月平均增長率為20%.

故選：C

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1](23-24九年級上.安徽合肥?階段練習(xí))某種藥品售價為每盒300元，經(jīng)過醫(yī)保局連續(xù)兩次“靈

魂砍價”，藥品企業(yè)同意降價若干進入國家醫(yī)保用藥目錄.如果每次降價的百分率都是x,則兩次降價后的

價格y(元)與每次降價的百分率尤之間的函數(shù)關(guān)系式是()

A.y=300(1—x)B.y=300(1—x)2C.y=300(1+x)D.y=

300(1+比￥

【答案】B

【分析】根據(jù)兩次降價后的價格等于原價乘以(1-每次降價的百分率尸，列出函數(shù)關(guān)系式，即可求解.

【詳解】解：???每次降價的百分率都是X,

.??兩次降價后的價格y(元)與每次降價的百分率x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=300(1-￡)2.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2](23-24九年級上?全國?單元測試)某廠加工一種產(chǎn)品，現(xiàn)在的年產(chǎn)量是40萬件，計劃今后兩年

增加產(chǎn)量.如果每年的增長率都為乃那么兩年后這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量y(萬件)與x之間的函數(shù)表達式為—

(要求化成一般式).

【答案】y=40/+sox+40

【分析】本題考查了根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式，理解題意找到題目中的等量關(guān)系是關(guān)鍵.

每年的增長率都為無,第一年后的產(chǎn)量是40(1+x)件，即可得第二年后的產(chǎn)量是40(l+x)(l+x)=

40(1+x)2,即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，第一年后的產(chǎn)量是40(1+x)件，

22

第二年后的產(chǎn)量y=40(1+x)=40x+80%+40.即y=40/+80%+40.

故答案為：y-40x2+80x+40.

【變式5-3](23-24九年級上?河北廊坊?階段練習(xí))某工廠的前年生產(chǎn)總值為10萬元，去年比前年的年增

長率為X,預(yù)計今年比去年的年增長率為2乃設(shè)今年的總產(chǎn)值為y萬元.

(1)求y與x的關(guān)系式；

(2)當(dāng)*=20%時，求今年的總產(chǎn)值為多少萬元？

【答案】(Dy=10(1+%)(1+2%)

(2)當(dāng)*=20%時，今年的總產(chǎn)值為16.8萬元.

【分析】(1)利用增長率公式即可找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)代入x=20%,求出y值即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)依題意得：y=10(1+x)(l+2%)；

(2)當(dāng)x=20%時，y=10(1+x)(l+2x)=16.8,

答：當(dāng)x=20%時，今年的總產(chǎn)值為16.8萬元.

【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用一增長率問題，掌握增長率問題的公式是解題的關(guān)鍵,若起始值為a,

經(jīng)過”年后值為b,設(shè)增長率為尤，則有a(l+x)"=b.

【考點題型六】投球問題

【例6】(23-24九年級上?江蘇鹽城?期中)擲實心球是南寧市中考體育考試的項目.如圖是一名女生擲實心

球，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度ym與水平距離xm之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，擲出時起點處

高度為|m,當(dāng)水平距離為3m時，實心球行進至最高點，此時距離地面3m.

yk

圖1圖2

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；

(2)南寧市體育中考評分標(biāo)準(zhǔn)(女生)如下表所示:

成績(分)12345678910

距離(米)4.705.105.505.906.306.707.107.507.908.30

該女生在此項考試中獲得多少分，請說明理由.

【答案】(19=一方(—3)2+3

(2)該女生獲得8分，理由見解析

【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用；

(1)根據(jù)題意設(shè)出y關(guān)于x的函數(shù)表達式，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

(2)根據(jù)該同學(xué)此次投擲實心球的成績就是實心球落地時的水平距離，令y=0,解方程即可.

【詳解】(1)解：設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達式為y=a(x—3尸+3,

把(0,|)代入解析式，得?=認0-3)2+3,

解得a=—/，

=-^(x-3)2+3；

⑵解：令y=0,即一，(%—3>+3=0,

解得%=7.5,x2=-1.5(舍去)，

.??該女生投擲實心球從起點到落地點的水平距離為7.5m,

該女生獲得8分.

【變式6-1](2024.河南信陽?模擬預(yù)測)一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門

的路線呈拋物線.當(dāng)球飛行的水平距離為6m時，球達到最高點，此時球離地面3m.已知球門高。B為2.4m,

現(xiàn)以。為原點建立如圖所示直角坐標(biāo)系.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式，并通過計算判斷球能否射進球門(忽略其他因素).

(2)對本次訓(xùn)練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時他應(yīng)該帶球向正后方移動多少

米射門，才能讓足球經(jīng)過點。正上方2.25m處？

【答案】(l)y=-專(％-2產(chǎn)+3,球不能射進球門

(2)當(dāng)時他應(yīng)該帶球向正后方移動1米射門，才能讓足球經(jīng)過點O正上方2.25m處

【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，根據(jù)拋物線的頂點式設(shè)出解析式是解題的關(guān)鍵.

(1)先確定拋物線的頂點坐標(biāo)，再設(shè)出拋物線的頂點式，利用待定系數(shù)法求出解析式即可；

(2)根據(jù)拋物線平移規(guī)律，設(shè)出移動后拋物線的解析式，再將(0,2,55)代入，即可求出答案.

【詳解】(1)解：由題意，可知拋物線的頂點坐標(biāo)為(2,3),

設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y=a(x-2)2+3,

把4(8,0)的坐標(biāo)代入，得36a+3=0,

解得a=-卷,

.??