北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題：相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的三種考法（原卷版）

專題10相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的三種考法

類型一、相似三角形存在性問(wèn)題

例1.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,E是2C的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線上，過(guò)點(diǎn)尸作垂足為足當(dāng)

點(diǎn)尸在射線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若以尸、F、E為頂點(diǎn)的三角形與0ABE相似，則B4的值為.

AFD

BEC

例2.如圖，在直角J1BC中，ZC=90°,AB=5,AC=3,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是A3邊上的動(dòng)點(diǎn),

DF±DE交射線AC于點(diǎn)F.

AA

LxK

CDBCBcB

（備用圖）（備用圖）

Cl）求8C的長(zhǎng)；

（2）連接E/，當(dāng)￡5//3。時(shí),求8E的長(zhǎng)；

（3）連接當(dāng)“。即和一相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出BE的長(zhǎng).

【變式訓(xùn)練1】建立如圖所示們平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形3BC的點(diǎn)A（2,0）,C（0,3）,RtPBE以點(diǎn)B為

旋轉(zhuǎn)中心，BC為起始邊，逆時(shí)針方向，直角邊3尸交OC射線于點(diǎn)尸，直角邊8E交尤軸于點(diǎn)E.

（1）當(dāng)NCBP=45。時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

⑵在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在以P、。、E為頂點(diǎn)的三角形與㈤龍相似.若存在，詩(shī)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式訓(xùn)練2】如圖，ZACB=9Q°,A(3,0),C(-1,0),AB=5.

（1）直接寫出線段BC的長(zhǎng)是，點(diǎn)2的坐標(biāo)是

⑵己知點(diǎn)。在x軸上（不與點(diǎn)C重合），連接D8,若.ADB與.ABC相似，則點(diǎn)。坐標(biāo)是

⑶在（2）的條件下，點(diǎn)P、。分別是AZ）和A3上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ,^AP=BQ=k,是否存在上的值，使

△AP。與ADB相似？若存在，請(qǐng)求出上的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

類型二、幾何圖形存在性問(wèn)題

例1.如圖，在“1BC中，ZC=90°,AC=12cm,3C=16cm,E、O分別是AC、AB的中點(diǎn)，連接DE.Q

從點(diǎn)E出發(fā)，沿西方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；同時(shí)，點(diǎn)尸從點(diǎn)2出發(fā)，沿54方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s，

當(dāng)點(diǎn)。停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸也停止運(yùn)動(dòng)。連接。P，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(O<t<4)s.答下列問(wèn)題:

備用圖

⑴請(qǐng)直接用含f的代數(shù)式表示8、9的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)f為何值時(shí)，以點(diǎn)P、。為頂點(diǎn)的三角形與VADE相似?

⑶當(dāng)f為何值時(shí)，VDPQ為等腰三角形(直接寫出)

例2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形Q4BC的兩邊(M,OC分別在x軸、,軸的正半軸上，。4=4,

OC=2.點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)，沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng),

設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是f秒.將線段CP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)。，點(diǎn)O隨點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，

連接DP,DA.

圖1圖2圖3

⑴當(dāng)/=2時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)是」

(2)請(qǐng)用含，的代數(shù)式表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)」

⑶在點(diǎn)尸從。向A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，DR4能否成為直角三角形？若能，求f的值.若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

例3.綜合與探究：己知：如圖①，在RtaABC中，NC=9。。，AC=8cm,8c=6cm,點(diǎn)尸由8出發(fā)沿54

方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s；點(diǎn)。由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接PQ.若

設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4s)(0</<4),解答下列問(wèn)題：

圖①圖②

(1)當(dāng)AP=AQ時(shí)，求/的值；

(2)點(diǎn)P,。同時(shí)出發(fā)，/為何值時(shí)，以A,P,。為頂點(diǎn)的三角形與_ABC相似；

⑶如圖②，連接PC,并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQPC,那么是否存在某一時(shí)刻入使四邊形

PQPC為菱形？若存在，直接寫出此時(shí)/的值；若不存在，說(shuō)明理由，(不寫求解過(guò)程)

【變式訓(xùn)練如圖，在矩形ABCD中，8。是對(duì)角線，AS=6cm,BC=8cm,點(diǎn)E從點(diǎn)O出發(fā)，沿DA

方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度是2cm/s；點(diǎn)/從點(diǎn)8出發(fā)，沿3。方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度是lcm/s.兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(s)(O</<4),請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

(1)當(dāng)，為何值時(shí)，EF//AB?

⑵設(shè)四邊形ABEE的面積為S(cm2),求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑶當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形的面積S等于矩形ABQ?面積的?？

O

⑷當(dāng)/為_時(shí)，△EED是等腰三角形.

【變式訓(xùn)練2】如圖1,矩形ABCD中，AB=4cm,AD=8cm,E為AB上一點(diǎn),尸為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，

且8尸="0".點(diǎn)尸從A點(diǎn)出發(fā)，沿AD方向以4c〃?/s的速度向。運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PE、PF,尸尸交BC于點(diǎn)H.設(shè)

點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為r(s),AfAE的面積為y(a〃2),當(dāng)owrwi時(shí)，的面積乂。機(jī))關(guān)于時(shí)間［s)的函數(shù)

圖象如圖2所示.

(1)AE的長(zhǎng)是_。根；

(2)當(dāng)a=2cm,APAEAE4P時(shí)，求/的值;

(3)如圖3,將AHB尸沿線段所進(jìn)行翻折，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)連結(jié)AM,當(dāng)/為何值時(shí)，四邊形

PAMH為菱形?

圖1圖2圖3

【變式訓(xùn)練3］已知：在ABC中，AB=AC=4y/2,ZBAC=90°,AD1BC于點(diǎn)。，點(diǎn)E是AC邊的中

點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段8上，將線段PE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段QE,2。與AD交于點(diǎn)尸.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，線段上的長(zhǎng)為；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸與C,。兩點(diǎn)均不重合時(shí)，

①求證：PD=2DF；

②問(wèn)：是否存在點(diǎn)尸，使以尸，E,尸為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出PC的長(zhǎng)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由，

類型三、最值問(wèn)題

例.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形O4BC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為0(0,0),A(12,0),8(8,6),C(0,6).動(dòng)

點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)8同時(shí)出發(fā)，以每秒2

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，作于點(diǎn)G,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則AG的最大值

是.

【變式訓(xùn)練1】如圖，媯8。中A8=AC,A(0,8),C(6,0),。為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)尸從A出發(fā)，運(yùn)

動(dòng)路徑為4好。好C,點(diǎn)P在上的運(yùn)動(dòng)速度是在CO上的g倍，要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，則點(diǎn)。的坐標(biāo)應(yīng)

為.

【變式訓(xùn)練2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,0),點(diǎn)8在第一象限內(nèi)，45=4/540=60。，

點(diǎn)E是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接8E,將射線EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。交AB于點(diǎn)凡當(dāng)3f最短時(shí)點(diǎn)尸

的坐標(biāo)是.

2

【變式訓(xùn)練3】在RtABC中，乙4。8=90。,47=41。=3,點(diǎn)。是./5。內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且滿足8=2,則4。+耳3。

的最小值__________.的最小值______

課后作業(yè)

1.如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=8,點(diǎn)E在邊AZ)上，且AE:匹=1:3,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿A3

運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8停止，過(guò)點(diǎn)E作防，?！杲簧渚€BC于點(diǎn)。設(shè)O是線段EQ的中點(diǎn)，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程

中，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為.

2.如圖，正方形ABC。的對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N,滿足=點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，連接AM

PM,若A3=6,則當(dāng)⑷V+PM的值最小時(shí)，線段A7V的長(zhǎng)度為.

3.如圖，在一ABC中AB=AC=6cm,BC=8cm,點(diǎn)E是線段BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)(不含8、C兩端點(diǎn))，連

接AE,作NAED=NB,交線段A3于點(diǎn)。.

⑴求證：ABDESMEA

(2)設(shè)跖=x,AD=y,請(qǐng)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

(3)￡點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，VADE能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出班的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形Q4BC為矩形，點(diǎn)A3坐標(biāo)分別為(4,0),(4,3),動(dòng)點(diǎn)M、N分別從

同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)M沿Q4向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)動(dòng)點(diǎn)M

作交AC于P,連接NP,設(shè)M、N運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r秒，(0<r<4)

⑴當(dāng)f=3秒時(shí)，尸點(diǎn)的坐標(biāo)為(—，),PC=

(2)當(dāng)/為何值時(shí)，以C、P、N為頂點(diǎn)的三角形與..ABC相似；

⑶在平面內(nèi)是否存在一個(gè)點(diǎn)E,使以C、P、N、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出，的值，若

不存在，說(shuō)明理由.

5.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZZMB=90°,AB=6cm,BC=8cm,AD=4cm.點(diǎn)尸從點(diǎn)A

出發(fā)沿AO向點(diǎn)。勻速運(yùn)動(dòng)，速度是lcm/s；同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)沿C4向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度是lcm/s,

當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)立即停止運(yùn)動(dòng).連接PQ，BP,BQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(s),解答下列問(wèn)題：

⑴當(dāng)f為何值時(shí)，PQ//CD?

(2)設(shè)的面積為s(cn?),求s與f之間的函數(shù)關(guān)系式;

⑶連接3。，是否存在某一時(shí)刻,,使得3尸平分27出0?若存在，求出此時(shí)/的值；若不存在，說(shuō)明理由.

6.如圖，在，ABC中，A