中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提升專項知識二次函數(shù)的存在性問題(15種題型專題訓(xùn)練+9種解題方法)含答案及解析

第三章函數(shù)重難點04二次函數(shù)存在性問題（15種題型匯總+專題訓(xùn)練+9種解題方法）【題型匯總】【命題預(yù)測】拋物線與特殊圖形的存在性問題多以解答題形式出現(xiàn)，難度較大，多為壓軸題，考查幾何代數(shù)綜合.一般是在拋物線的背景下確定特殊圖形(如等腰三角形、相似三角形、平行四邊形等)的存在性，多應(yīng)用分類討論思想，題型01二次函數(shù)角度存在性問題角度存在性問題的解題步驟已知特殊角度求解已知角度關(guān)系求解第一步讀題、畫圖、理解題意第二步分析動點、定點，找不變特征第三步確定分類特征，進(jìn)行分類討論第四步已知特殊角度，構(gòu)造一線三垂直、一線三等角、直角三角形，再利用直角三角形、相似三角形邊的比例關(guān)系去計算求解.將角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化:利用銳角三角函數(shù)、相似三角形或等腰三角形的性質(zhì)、外角的性質(zhì)等轉(zhuǎn)化為常見的類型，再利用直角三角形、相似三角形邊的比例關(guān)系去計算求解.【溫馨提示】1）角相等：若無明顯條件，首選利用銳角三角函數(shù)值構(gòu)造相等角(先求已知角);2）角度和差：可通過外角的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為相等角;3）倍角：可通過外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為相等角:1）已知特殊角求解1．（2023·四川自貢·中考真題）如圖，拋物線y=?43x2+bx+4與x軸交于A(?3,0)，B

(1)求拋物線解析式及B，C兩點坐標(biāo)；(2)以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D坐標(biāo)；(3)該拋物線對稱軸上是否存在點E，使得∠ACE=45°，若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．（2024·山東臨沂·二模）如圖，已知拋物線y=ax2?83ax?3的圖象經(jīng)過點D，OE=3OC，C是ED(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若點P在x軸上方的拋物線上運動，連接OP，當(dāng)四邊形OCDP面積最大時，求n的值；(3)如圖，若點Q在坐標(biāo)軸上，是否存在點Q，使∠EDQ=75°，若存在，直接寫出所有符合條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．（2024·山西大同·一模）綜合與探究如圖，拋物線y=12x2?2x?6與x軸交于點A和B，點A在點B的左側(cè)，交y(1)求點B的坐標(biāo)及直線BC的表達(dá)式；(2)當(dāng)點D在直線BC下方的拋物線上運動時，連接OD交BC于點E，若DEOE=5(3)拋物線上是否存在點F．使得∠BCF=15°?若存在，直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2）已知角度關(guān)系求解4．（2024·四川資陽·中考真題）已知平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸的正半軸交于C(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點，連接PB,PC，過點P作PD⊥x軸于點D，交BC于點K．記△PBC，△BDK的面積分別為S1，S2，求(3)如圖2，連接AC，點E為線段AC的中點，過點E作EF⊥AC交x軸于點F．拋物線上是否存在點Q，使∠QFE=2∠OCA？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．5．（2023·遼寧營口·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx?1a≠0與x軸交于點A1,0和點B，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D3,0，過點B作直線l⊥x軸，過點D作

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點P為第三象限內(nèi)拋物線上的點，連接CE和BP交于點Q，當(dāng)BQPQ=5(3)在（2）的條件下，連接AC，在直線BP上是否存在點F，使得∠DEF=∠ACD+∠BED？若存在，請直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．（2024·重慶·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點A?1,0，點B3,0(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點P是直線BC上方拋物線上的一動點，過點P作y軸的平行線PE交直線BC于點E，過點P作x軸的平行線PF交直線BC于點F，求△PEF面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)；(3)如圖2，連接AC，BC，拋物線上是否存在點Q，使∠CBQ+∠ACO=45°？若存在，請直接寫出點7．（2024·四川達(dá)州·二模）已知拋物線y=ax2+bx?4與x軸相交于點A(?1,0),B(?4,0)），與y(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，點P是拋物線的對稱軸l上的一個動點，當(dāng)△PAC的周長最小時，求S△AOC(3)如圖2，取線段OC的中點D，在拋物線上是否存在點Q，使tan∠QDB=12題型02二次函數(shù)與三角形存在性問題1）等腰三角形存在性問題解題方法：幾何法：1）“兩圓一線”作出點；2）利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長；3)分類討論，求出點P的坐標(biāo).代數(shù)法：1）表示出三個點坐標(biāo)A、B、P；2）由點坐標(biāo)表示出三條線段：AB、AP、BP；3）根據(jù)題意要求（看題目有沒有指定腰），?、貯B=AP、②AB=BP、③AP=BP；4）列出方程求解．①兩定一動8．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點A?3,0和點B，與y軸交于點

(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)點D在第二象限內(nèi)，且△ACD的面積為3時，求點D的坐標(biāo)；(3)在直線BC上是否存在點P，使△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．9．（2024·云南怒江·一模）已知拋物線y=?x2+4x+5與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y(1)求A、B、C三點的坐標(biāo)；(2)點D是直線BC上方拋物線上的點，連接BD、CD，求S△BCD(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得△BCP是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．10．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(9,13)的拋物線C1:y=ax2+bx+1（a、b為常數(shù)，且a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C(1)求拋物線C1的函數(shù)表達(dá)式和點D(2)將拋物線C1向左平移m(m>0)個單位長度后得到拋物線C2，拋物線C2的頂點為E，連接CE、DE，請問在平移過程中，是否存在m的值，使得△CDE②一定兩動11．（2023·遼寧撫順·模擬預(yù)測）如圖，拋物線y=ax2+bx?3經(jīng)過A?2,0，B4,0兩點，與y

(1)求拋物線的解析式；(2)P在第四象限拋物線上，連接PB，∠PBC=12∠BCO(3)點M從點C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿CB方向運動，點N從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿BA方向運動，M，N同時出發(fā)，運動時間為t秒，0<t≤5，連接MN，CN，當(dāng)△CMN為等腰三角形時，直接寫出t的值．12．（2022九年級·全國·專題練習(xí)）綜合與實踐：如圖，拋物線y＝34x2?94x?3與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C．點D從點A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點B運動，點(1)求點A，B，C的坐標(biāo)；(2)求t為何值時，△BDE是等腰三角形；(3)在點D和點E的運動過程中，是否存在直線DE將△BOC的面積分成1：4兩份，若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．2）直角三角形存在性問題解題方法：如有兩定點，在其他特定的“線”上求第三點，形成直角三角形時：1）當(dāng)動點在直線上運動時，常用的方法是①，②三角形相似，③勾股定理；2）當(dāng)動點在曲線上運動時，情況分類如下，第一當(dāng)已知點處作直角的方法：①，②三角形相似，③勾股定理；第二是當(dāng)動點處作直角的方法：尋找特殊角.13．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于B4,0，C?2,0

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點P是直線AB下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交AB于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與12PK+PD的最大值及此時點(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得△MAB是以AB為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．14．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）如圖，直線y=?3x+23與x軸，y軸分別交于點A，點B，兩動點D，E分別從點A，點B同時出發(fā)向點O運動（運動到點O停止），運動速度分別是1個單位長度/秒和3個單位長度秒，設(shè)運動時間為t秒．以點A為頂點的拋物線經(jīng)過點E，過點E作x軸的平行線與拋物線的另一個交點為點G，與AB(1)求點A、點B的坐標(biāo)；(2)用含t的代數(shù)式分別表示EF和AF的長；(3)是否存在t的值，使△AGF是直角三角形？若存在，求出此時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．15．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A?3,0，B1,0兩點，與y(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)點P是拋物線上位于線段AC下方的一個動點，連接AP，CP，求△APC面積最大時點P的坐標(biāo)；(3)在拋物線上是否存在點Q，使得以點A，C，Q為頂點的三角形是直角三角形？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．3）等腰直角三角形存在性問題解題大招：確定等腰直角三角形后構(gòu)造一線三垂直，對應(yīng)上下兩個三角形全等，得到對應(yīng)線段相等的關(guān)系，進(jìn)而設(shè)出點的坐標(biāo)，根據(jù)線段相等列出等式建立方程求解參數(shù).16．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，拋物線C1:y=ax2+43x?4的圖象經(jīng)過點(1)求拋物線C1(2)將拋物線C1向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線C2，求拋物線C2的表達(dá)式，并判斷點D(3)在x軸上方的拋物線C2上，是否存在點P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，請求出點P17．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線y=x2+bx+c過點A?1,0、點B5,0

(1)求b，c的值．(2)點Px①當(dāng)x0取何值時，△PBC的面積最大？并求出△PBC②過點P作PE⊥x軸，交BC于點E，再過點P作PF∥x軸，交拋物線于點F，連接EF，問：是否存在點P，使△PEF為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．18．（2022·山東東營·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx?3(a≠0)與x軸交于點A(?1,0)，點B(3,0)，與y(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在對稱軸上找一點Q，使△ACQ的周長最小，求點Q的坐標(biāo)；(3)點P是拋物線對稱軸上的一點，點M是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點，當(dāng)△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時，請直接寫出所有點M的坐標(biāo)．4）相似三角形存在性問題解題大招：“相似三角形存在性問題”是中考壓軸題中一類常見的問題.為了避免討論分支太過繁雜,一般會給出部分對應(yīng)關(guān)系,最常見的就是給出一組同角(或等角),則同角(或等角)所對邊為對應(yīng)邊.所以這類問題一般從確定一組等角(或同角)人手如果兩個三角形中夾同角(或等角)的邊易于列代數(shù)式表示,則建議通過解方程解決;反之,則需根據(jù)具體題意轉(zhuǎn)化等角關(guān)系為特殊圖形或特殊圖形關(guān)系,進(jìn)而求解若出現(xiàn)無法確定等角(或同角)的情況,也可以列表分析.19．（2024·安徽·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2+2x+a與x軸交于點A，B（點A在點B左側(cè)），與y(1)如圖1，求a的值及直線BC的解析式；(2)如圖2，點D為直線BC上方拋物線上一動點，連接AC，AD，CD，設(shè)直線BC交線段AD于點E．當(dāng)(3)在（2）的條件下，且點D的橫坐標(biāo)小于2，在坐標(biāo)軸上是否存在一點P，使得以A，C，P為頂點的三角形與20．（2024·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測）拋物線y=ax2+bx+2交x軸于A1,0、B3,0兩點，交y軸于點C，點P為線段BC

(1)求拋物線解析式；(2)在點P移動過程中，△BPC的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積及點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；(3)設(shè)點D為CB上不與端點重合的一動點，過點D作線段BC的垂線，交拋物線于點E，若△DCE與△BOC相似，請直接寫出點E的坐標(biāo)．21．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖像經(jīng)過原點和點A4,0．經(jīng)過點A的直線與該二次函數(shù)圖象交于點B(1)求二次函數(shù)的解析式及點C的坐標(biāo)；(2)點P是二次函數(shù)圖象上的一個動點，當(dāng)點P在直線AB上方時，過點P作PE⊥x軸于點E，與直線AB交于點D，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．①m為何值時線段PD的長度最大，并求出最大值；②是否存在點P，使得△BPD與△AOC相似．若存在，請求出點P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．22．（2023·四川資陽·中考真題）如圖，直線y=34x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=?34

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點D是拋物線在第二象限內(nèi)的點，過點D作x軸的平行線與直線AB交于點C，求DC的長的最大值；(3)點Q是線段AO上的動點，點P是拋物線在第一象限內(nèi)的動點，連結(jié)PQ交y軸于點N．是否存在點P，使△ABQ與△BQN相似，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．題型03特殊四邊形存在性問題1）平行四邊形存在性問題類型一三定一動類型二：兩定一動【總結(jié)】平行四邊形存在性問題經(jīng)常呈現(xiàn)為:一個動點在拋物線上，另一個動點在x軸(y軸)或?qū)ΨQ軸或某一定直線上.設(shè)出拋物線上的動點坐標(biāo)，另一個動點若在x軸上，縱坐標(biāo)為0，則用平行四邊形頂點縱坐標(biāo)公式;若在y軸上，坐標(biāo)為0，則用平行四邊形頂點橫坐標(biāo)公式.動點哪個坐標(biāo)已知就用與該坐標(biāo)有關(guān)的公式.另外，把在定直線上的動點看成一個定點，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動了，分別以三個定點構(gòu)成的三條線段為對角線分類，分三種情況討論.這種題型，關(guān)鍵是合理有序分類:無論是三定一動，還是兩定兩動，統(tǒng)統(tǒng)把拋物線上的動點作為第四個動點，其余三個作為定點，分別以這三個定點構(gòu)成的三條線段為對角線分類，分三種情況討論，然后運用平行四邊形頂點坐標(biāo)公式轉(zhuǎn)化為方程(組).這種解法，不必畫出平行四邊形草圖，只要合理分類，有序組合，從對角線入手不會漏解，條理清楚，而且適用范圍廣.其本質(zhì)是用代數(shù)的方法解決幾何問題，體現(xiàn)的是分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想.①三定一動23．（2024·廣東梅州·模擬預(yù)測）如圖，拋物線y=ax2?2ax?3與x軸交于A，B兩點，其中A?1,0，與(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，平面內(nèi)是否存在一點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(3)如圖2，若點P是線段BC（不與端點重合）上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于M點，連接CM．①如圖3，將△PCM沿CM對折，如果點P的對應(yīng)點N恰好落在y軸上，求證：四邊形PCNM為菱形；②當(dāng)△PCM和△ABC相似時，求點P的坐標(biāo)．24．（23-24九年級上·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A，B2,0兩點（點A在點B的左側(cè)），與

(1)求該拋物線的解析式；(2)若D為拋物線的頂點，求△ACD的面積；(3)若P是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，是否存在以A、B、C、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．②兩定兩動25．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過A(?1,0),C(0,3)兩點，并交x軸于另一點B，點M是拋物線的頂點，直線AM與y

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點H是x軸上一動點，分別連接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若點P是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點Q，使得以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．26．（2023·西藏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A?3,0，B1,0

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖甲，在y軸上找一點D，使△ACD為等腰三角形，請直接寫出點D的坐標(biāo)；(3)如圖乙，點P為拋物線對稱軸上一點，是否存在P、Q兩點使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．27．（2024·甘肅張掖·三模）已知二次函數(shù)圖象頂點為C1,0，直線y=x+m與該二次函數(shù)交于A，B兩點，其中A點3,4，B點在y(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)P為線段AB上一動點（不與A，B重合），過點P作y軸的平行線與二次函數(shù)交于點E．設(shè)線段PE長為h，點P橫坐標(biāo)為x，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)D為線段AB與二次函數(shù)對稱軸的交點，在AB上是否存在一點P，使四邊形DCEP為平行四邊形？若存在，請求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2）矩形存在性問題解題思路：1）先直角，再矩形.在構(gòu)成矩形的4個點中任取3個點，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點，可先確定其中3個點構(gòu)造直角三角形（方法：“兩線一圓”），再確定第4個點．對“2定+1半動+1全動”尤其適用．【小結(jié)】這種解決矩形存在性問題的方法相當(dāng)于在直角三角形存在性問題上再加一步求D點坐標(biāo)，也是因為這兩個圖形之間的密切關(guān)系方能如此.2）先平四，再矩形.當(dāng)AC為對角線時，A、B、C、D滿足以下3個等式，則為矩形：，其中第1、2個式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形．表示出點坐標(biāo)后，代入點坐標(biāo)解方程即可．無論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對于我們列方程來解都沒什么區(qū)別，能得到的都是三元一次方程組．【小結(jié)】這個方法是在平行四邊形基礎(chǔ)上多加一個等式，剩下的都是計算的事.3）構(gòu)造“三垂直”直角得矩形28．（2022·貴州黔西·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點A4,0的直線AB與y軸交于點B0,4．經(jīng)過原點O的拋物線y=?x2+bx+c交直線AB于點A(1)求拋物線y=?x(2)M是線段AB上一點，N是拋物線上一點，當(dāng)MN∥y軸且MN=2時，求點(3)P是拋物線上一動點，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點．是否存在以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．29．（2023·海南·中考真題）如圖1，拋物線y=x2+bx+c交x軸于A，B3,0兩點，交y軸于點

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)點P的坐標(biāo)為1,?4時，求四邊形BACP的面積；(3)當(dāng)動點P在直線BC上方時，在平面直角坐標(biāo)系是否存在點Q，使得以B，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(4)如圖2，點D是拋物線的頂點，過點D作直線DH∥y軸，交x軸于點H，當(dāng)點P在第二象限時，作直線PA，PB分別與直線DH交于點G和點I，求證：點D是線段30．（2024·青海西寧·一模）綜合與探究如圖，拋物線y=12x2?x?4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與x軸于點D，過點D作DE(1)求點A，B，C的坐標(biāo)；(2)點P為拋物線上第四象限的一個動點，過點P作PF⊥x軸于點F，當(dāng)PF=AF時，求PE的長；(3)在（2）的條件下，若點Q是x軸上一點，使以P，E，Q，G為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．31．（2024·湖南婁底·三模）如圖，拋物線y=x2+bx+c交x軸于A?1,0，B3,0兩點，交y軸于點C，點

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)點P的坐標(biāo)為2,?3時，求四邊形ACPB的面積；(3)當(dāng)動點P在直線BC上方時，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點Q，使得以B，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3）菱形存在性問題解題思路：1）先等腰，再菱形.在構(gòu)成菱形的4個點中任取3個點，必構(gòu)成等腰三角形，根據(jù)等腰存在性方法（兩圓一線）可先確定第3個點，再確定第4個點．2）先平四，再菱形.當(dāng)AC為對角線時，A、B、C、D滿足以下3個等式，則為菱形：，其中第1、2個式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為菱形，表示出點坐標(biāo)后，代入點坐標(biāo)解方程即可．【總結(jié)】菱形作為特殊的平行四邊形其存在性問題亦是分類討論中的一大難點.題目一般會給出兩個定點，第三個點在某個可求的函數(shù)圖像上，在另一個函數(shù)的圖像上或直角坐標(biāo)平面內(nèi)，求能與之前的三個點構(gòu)成菱形的第四個點的坐標(biāo).此類題目的一大難度在于如何合理分類的問題，若題目中已知兩定點的話，可以把這兩定點連成的線段作為菱形的一邊或者對角線進(jìn)行分類討論，再利用菱形的性質(zhì)確定出其他的頂點的位置.①三定一動32．（2023·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2+bx+c過點A

(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點M的坐標(biāo)；(2)若點B在拋物線上，過點B作x軸的平行線交拋物線于點C、當(dāng)△BCM是等邊三角形時，求出此三角形的邊長；(3)已知點E在拋物線的對稱軸上，點D的坐標(biāo)為1,?1，是否存在點F，使以點A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．33．（2024·山西長治·模擬預(yù)測）綜合與探究如圖，拋物線y=ax2+bx?2與x軸交于A(?1,0)，B(4,0)兩點，與y軸交于點C，拋物線的頂點為D(1)求拋物線的解析式；(2)圖2中，對稱軸直線l與x軸交于點H，連接AC，CD，BD，求四邊形ACDB的面積；(3)點F是直線l上一點，點G是平面內(nèi)一點，是否存在以BC為邊，以點B，C，F(xiàn)，G為頂點的菱形？若存在，請求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．34．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx?3的圖象交x軸于A?1，0、B3，0兩點，交y軸于點C，點P在線段OB上，過點(1)a=，b=；(2)在點P運動過程中，若△CDE是直角三角形，求點P的坐標(biāo)；(3)在y軸上是否存在點F，使得以點C、D、E、F為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．②兩定兩動35．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A3,0，與y軸交于點(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)?1≤x≤t時，y的取值范圍是0≤y≤2t?1，求t的值；(3)點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線AB于點D，在y軸上是否存在點E，使得以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由．36．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，二次函數(shù)y1=ax2+bx+c圖象頂點坐標(biāo)為A1，4，一次函數(shù)y2=mx+n圖象與二次函數(shù)圖象相交于y(1)試求二次函數(shù)y1=ax2+bx+c與一次函數(shù)(2)連接AB，AC，試求四邊形(3)假設(shè)點P是二次函數(shù)y1=ax2+bx+c對稱軸上一動點，點Q是平面直角坐標(biāo)系中任意一點，是否存在這樣的點P及點Q，使得以B，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點37．（2024·陜西渭南·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+2（a、b為常數(shù)，且a≠0）與x軸交于點A?4,0和點B，與y軸交于點(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接BC，點D是拋物線的對稱軸l上的動點，點E是平面內(nèi)的點，是否存在以點B、C、D、E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．38．（2024·山東東營·模擬預(yù)測）如圖，拋物線y=12x2+2x?6與x軸交于A，B兩點（點A在點B(1)求出直線AC，BC的函數(shù)表達(dá)式．(2)點P是直線AC下方拋物線上的一個動點，過點P作BC的平行線l，交線段AC于點D．在直線l上是否存在點E，使得以點D，C，B，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點E的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．4）正方形存在性問題解題思路：1）從判定出發(fā)，若已知菱形，則加有一個角為直角或?qū)蔷€相等；若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直.2）構(gòu)造三垂直全等.若條件并未給關(guān)于四邊形及對角線的特殊性，則考慮在構(gòu)成正方形的4個頂點中任取3個，必是等腰直角三角形，若已知兩定點，則可通過構(gòu)造三垂直全等/等腰直角三角形來求得第3個點，再求第4個點.若出現(xiàn)三或四動點，則通常四邊形具有一定的特殊性，從已知條件出發(fā)，分折還需滿足的其他條件，通常列關(guān)于邊或?qū)蔷€方程得解.解題方法：正方形是菱形和矩形特征的集結(jié)，因此同時采取菱形或矩形存在性問題解決的方法去求點的坐標(biāo).39．（2024·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象經(jīng)過點A(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點Cm+1,y1，Dm+2,y(3)點P，Q在直線AB上，點M在該二次函數(shù)圖象上．問：在y軸上是否存在點N，使得以P，Q，M，N為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點40．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，拋物線y1=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A(?6,0)，B(?2,0)，C(0,6)

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．(2)點E，F(xiàn)為平面內(nèi)兩點，若以E、F、B、C為頂點的四邊形是正方形，且點E在點F的左側(cè)．這樣的E，F(xiàn)兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點E的坐標(biāo)：如果不存在，請說明理由．(3)將拋物線y1=ax2+bx+c的圖象向右平移8個單位長度得到拋物線y2，此拋物線的圖象與x軸交于M，N兩點（M點在N點左側(cè)）．點P是拋物線y2上的一個動點且在直線NC下方．已知點P的橫坐標(biāo)為m．過點P作PD⊥NC41．（2024·陜西漢中·二模）如圖，拋物線y=?2x2+bx+c與x軸交于A(?1,0)(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點N在坐標(biāo)平面內(nèi)，請問在拋物線上是否存在點M，過點M作x軸的垂線交x軸于點H，使得四邊形AHMN是正方形？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．42．（2024·陜西榆林·二模）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+2a<0與y軸交于點C，與x軸交于A(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點D是第二象限拋物線上的動點，DE∥x軸，交直線BC于點E，點G在x軸上，點F在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點D，使以D，E，F(xiàn)，G為頂點的四邊形是正方形？若存在，求點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．題型04其它存在性問題43．（2024·山東濟寧·中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過0,?3，?b,c兩點，其中a(1)求a，c的值；(2)若該二次函數(shù)的最小值是?4，且它的圖像與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫出點A，B的坐標(biāo)；②如圖，在y軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖像上有一動點P，過點P作x軸的垂線，垂足為D，與直線AC交于點E，連接PC，CB，BE．是否存在點P，使S△PCES△CBE44．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖①，已知拋物線y1=x2+bx+c與x軸交于兩點O(0,0)、A(2,0)，將拋物線y1向右平移兩個單位長度，得到拋物線y2，點P是拋物線y(1)求拋物線y2(2)設(shè)點P的橫坐標(biāo)為xP，點Q的橫坐標(biāo)為xQ，求(3)如圖②，若拋物線y3=x2?8x+t與拋物線y1=x2+bx+c交于點C，過點C作直線MN，分別交拋物線y1和y3于點M、N（M、N均不與點45．（2024·黑龍江大慶·二模）已知拋物線y=ax2+bx?3a≠0與x軸交于點C?1,0(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，若直線AB下方的拋物線上有一動點P，過點P作y軸平行線交AB于點F，過點P作AB的垂線，垂足為E，求△EFP周長的最大值；(3)將拋物線向左平移1個單位，再向上平移4個單位，得到一個新的拋物線，問在y軸正半軸上是否存在一點M，使得當(dāng)經(jīng)過點M的任意一條直線與新拋物線交于S，T兩點時，總有1MS246．（2024·云南昆明·一模）如圖，拋物線與x軸交于A?10，B兩點，與y軸交于點C，且滿足(1)求拋物線的解析式；(2)M是線段BC上的一點（不與點B，C重合），過點M作NM∥y軸交拋物線于點N，交x軸于點D，連接NB,NC，若點M的橫坐標(biāo)為m，是否存在點M，使△BNC的面積最大？若存在，求47．（2024·山東濟南·模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線y=?x2+bx+c上點A,C的坐標(biāo)分別為0,2，4,0，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點B，連接AC,AB(1)求拋物線的解析式及點B的坐標(biāo)．(2)拋物線上是否存在點Q，使得S△ABQ=1(3)點M為y軸負(fù)半軸上的點，且OM=2，點D是線段BC（包含點B,C）上的動點，過點D作x軸的垂線，交拋物線于點Q，交直線CM于點N．若以點Q,N,C為頂點的三角形與△MOC相似，請求出點Q的坐標(biāo)．

第三章函數(shù)重難點04二次函數(shù)存在性問題（15種題型匯總+專題訓(xùn)練+9種解題方法）【題型匯總】【命題預(yù)測】拋物線與特殊圖形的存在性問題多以解答題形式出現(xiàn)，難度較大，多為壓軸題，考查幾何代數(shù)綜合.一般是在拋物線的背景下確定特殊圖形(如等腰三角形、相似三角形、平行四邊形等)的存在性，多應(yīng)用分類討論思想，題型01二次函數(shù)角度存在性問題角度存在性問題的解題步驟已知特殊角度求解已知角度關(guān)系求解第一步讀題、畫圖、理解題意第二步分析動點、定點，找不變特征第三步確定分類特征，進(jìn)行分類討論第四步已知特殊角度，構(gòu)造一線三垂直、一線三等角、直角三角形，再利用直角三角形、相似三角形邊的比例關(guān)系去計算求解.將角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化:利用銳角三角函數(shù)、相似三角形或等腰三角形的性質(zhì)、外角的性質(zhì)等轉(zhuǎn)化為常見的類型，再利用直角三角形、相似三角形邊的比例關(guān)系去計算求解.【溫馨提示】1）角相等：若無明顯條件，首選利用銳角三角函數(shù)值構(gòu)造相等角(先求已知角);2）角度和差：可通過外角的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為相等角;3）倍角：可通過外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為相等角:1）已知特殊角求解1．（2023·四川自貢·中考真題）如圖，拋物線y=?43x2+bx+4與x軸交于A(?3,0)，B

(1)求拋物線解析式及B，C兩點坐標(biāo)；(2)以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D坐標(biāo)；(3)該拋物線對稱軸上是否存在點E，使得∠ACE=45°，若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線解析式為y=?43x2(2)D?2,?4或D?4,4(3)E【分析】（1）將點A(﹣3,0)代入拋物線解析式，待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而分別令x,y=0，即可求得（2）分三種情況討論，當(dāng)AB，AC,BC為對角線時，根據(jù)中點坐標(biāo)即可求解；（3）根據(jù)題意，作出圖形，作AG⊥CE交于點G，F(xiàn)為AC的中點，連接GO,GF，則A,O,C,G在⊙F上，根據(jù)等弧所對的圓周角相等，得出G在y=?x上，進(jìn)而勾股定理，根據(jù)FG=52建立方程，求得點G的坐標(biāo)，進(jìn)而得出【詳解】（1）解：∵拋物線y=?43x2+bx+4∴?解得：b=?8∴拋物線解析式為y=?4當(dāng)x=0時，y=4，∴C0,4當(dāng)y=0時，0=?解得：x1∴B（2）∵A(?3,0)，B1,0，C設(shè)Dm,n∵以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形當(dāng)AB為對角線時，m+0解得：m=?2,n=?4，∴D?2,?4當(dāng)AC為對角線時，?3+0解得：m=?4,n=4∴D當(dāng)BC為對角線時，?3+m解得：m=4,n=4∴D綜上所述，以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，D?2,?4或D?4,4（3）解：如圖所示，作AG⊥CE交于點G，F(xiàn)為AC的中點，連接GO,GF，

∵∠ACE=45°∴△AGC是等腰直角三角形，∴A,O,C,G在⊙F上，∵A(?3,0)，C0,4∴F?32,2∵∠AOG=∠ACG=45°，∴G在y=?x上，設(shè)Gt,?t，則解得：t1∴點G設(shè)直線CG的解析式為y=kx+4∴7解得：k=1∴直線CG的解析式y(tǒng)=∵A(?3,0)，B1,0∴拋物線對稱軸為直線x=?3+1當(dāng)x=?1時，17∴E?1,【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)，圓周角角定理，勾股定理，求一次函數(shù)解析式，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．2．（2024·山東臨沂·二模）如圖，已知拋物線y=ax2?83ax?3的圖象經(jīng)過點D，OE=3OC，C是ED(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若點P在x軸上方的拋物線上運動，連接OP，當(dāng)四邊形OCDP面積最大時，求n的值；(3)如圖，若點Q在坐標(biāo)軸上，是否存在點Q，使∠EDQ=75°，若存在，直接寫出所有符合條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=?(2)n=(3)存在，Q43【分析】（1）根據(jù)C(0,?3)，OE=3OC，求出E(?3,0)．再根據(jù)C是（2）過P作x軸垂線交DE于F，求出設(shè)直線DE解析式，由Pn,?3n2+83（3）分為①當(dāng)點Q在y軸上時，使∠EDQ=75°，根據(jù)OE=3OC，求出∠OEC=30°，過點D作DH∥x軸交y軸于點H，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠CDH=30°，再根據(jù)∠EDQ=75°，得出∠HDQ=45°，得出HQ=HD，根據(jù)D(3,?23②當(dāng)點Q在x軸上時，使∠EDQ'=75°，延長QD交x軸于點F，過點D作DE⊥x軸交x軸于點G，證明GF=GD=23，求出FD，再根據(jù)∠EDF=∠FQ'D，證明△F【詳解】（1）解：∵y=ax∴C(0,?3∵OE=3∴E(?3,0)．∵C是ED的中點，∴D(3,?23∵D在y=ax∴?23得a=?3∴y=?3（2）過P作x軸垂線交DE于F，設(shè)直線DE:y=kx?3，即0=3k?解得：k=?3故解析式為：y=?3由Pn,?3n∴PF=?3S四邊形=S當(dāng)四邊形OCDP面積最大時，n=?5（3）解：①當(dāng)點Q在y軸上時，使∠EDQ=75°，∵OE=3即tan∠OCE=∴∠OCE=60°，∴∠OEC=30°，過點D作DH∥x軸交y軸于點則∠CDH=∠OEC=30°，∵∠EDQ=75°，∴∠HDQ=75°?30°=45°，∴∠HQD=45°，∴HQ=HD，根據(jù)（1）得D(3,?23∴HQ=HD=3,OQ=OH+HQ=23∴點Q的坐標(biāo)為0,?23②當(dāng)點Q在x軸上時，使∠EDQ延長QD交x軸于點F，過點D作DG⊥x軸交x軸于點G，則∠EDG=180°?30°?90°=60°，則∠GDQ'=∠ED∴∠GDF=∠GDQ∴∠GFD=45°，∴GF=GD=23∴FD=2∵∠EDF=∠EDQ∴∠EDF=∠FQ∴△FQ∴F∵EF=OE+OG+GF=23即FQ∴FQ∴OQ∴點Q'的坐標(biāo)為4綜上，Q43?3,0【點睛】該題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式求解，相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識點，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，數(shù)形結(jié)合．3．（2024·山西大同·一模）綜合與探究如圖，拋物線y=12x2?2x?6與x軸交于點A和B，點A在點B的左側(cè)，交y(1)求點B的坐標(biāo)及直線BC的表達(dá)式；(2)當(dāng)點D在直線BC下方的拋物線上運動時，連接OD交BC于點E，若DEOE=5(3)拋物線上是否存在點F．使得∠BCF=15°?若存在，直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)點B的坐標(biāo)是6,0，直線BC的表達(dá)式是y=x?6；(2)點D的坐標(biāo)是1,?152或(3)存在，點F的坐標(biāo)是4+23,43【分析】（1）令y=0和x=0，解方程即可求得點B和點C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）作DH⊥x軸，垂足為H，交直線BC于點G，證明△DGE∽△OCE，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；（3）分兩種情況討論，利用待定系數(shù)法和解方程組即可求解．【詳解】（1）解：令y=0，解方程12x2?2x?6=0得∴點B的坐標(biāo)為6，令x=0，則y=?6，∴點C的坐標(biāo)為0，設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx?6，則0=6k?6，解得k=1，∴直線BC的表達(dá)式為y=x?6；（2）解：作DH⊥x軸，垂足為H，交直線BC于點G，∴DG∥∵點C的坐標(biāo)為0，∴OC=6，設(shè)點D的坐標(biāo)為m，12m2∴GD=m?6?1∵DG∥∴△DGE∽△OCE，∴DGOC∴?12m解得m=5或m=1，∴點D的坐標(biāo)為1,?152或（3）解：∵點B的坐標(biāo)為6，0，點C的坐標(biāo)為∴OB=OC=6，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OCB=45°，∵∠BCF=15°，∴∠OCF=60°或∠OCF=30°，當(dāng)∠OCF=60°時，以O(shè)C為邊作等邊△OCM，直線CM交拋物線于點F，此時∠BCF=15°，如圖，作MN⊥y軸于點N，在Rt△OMN中，OM=OC=6，ON=∴MN=O∴點M的坐標(biāo)為33，?3，同理，求得直線MC的表達(dá)式為y=解得x=12+233∴點F的坐標(biāo)是12+23當(dāng)∠OCF=30°時，設(shè)CF交x軸于點K，此時∠BCF=15°，如圖，在Rt△OCK中，OC=6，∠OCK=30°∴OK=OC?tan∴點K的坐標(biāo)為23同理，求得直線CK的表達(dá)式為y=3聯(lián)立y=3解得x=4+23y=43∴點F的坐標(biāo)是4+23綜上，點F的坐標(biāo)是4+23,43【點睛】本題考查了一次函數(shù)表達(dá)式的確定，函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，解一元二次方程，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，分類討論思想等，屬于中考壓軸題，解題關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，運用方程思想和分類討論思想．2）已知角度關(guān)系求解4．（2024·四川資陽·中考真題）已知平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸的正半軸交于C(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點，連接PB,PC，過點P作PD⊥x軸于點D，交BC于點K．記△PBC，△BDK的面積分別為S1，S2，求(3)如圖2，連接AC，點E為線段AC的中點，過點E作EF⊥AC交x軸于點F．拋物線上是否存在點Q，使∠QFE=2∠OCA？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)y=?(2)8(3)存在，Q11?3【分析】（1）先求C點坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）求出BC的解析式，設(shè)Pm,?12m2（3）易得FE垂直平分AC，設(shè)OF=a，勾股定理求出F點坐標(biāo)，三線合一結(jié)合同角的余角相等，推出∠AFE=∠OCA=∠CFE，分別作點E關(guān)于x軸和直線CF的對稱點E1,E2，直線【詳解】（1）解：∵B4,0∴OB=4，∵∠BOC=90°,BC=42∴OC=B∴C0,4把B4,0，C∴c=4?12∴y=?1（2）∵B4,0，C∴設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+4k≠0，把B4,0，代入，得：∴y=?x+4，設(shè)Pm,?12∴PK=?12m2+m+4+m?4=?∴S1∴S=?=?3∴當(dāng)m=83時，S1（3）存在：令y=?1解得：x1∴A?2,0∵C0,4，點E為AC∴E?1,2∵FE⊥AC，AE=CE=?1+2∴AF=CF，∴∠AFE=∠CFE，設(shè)OF=a，則：CF=AF=a+2，在Rt△COF中，由勾股定理，得：a∴a=3，∴F3,0，CF=5∵FE⊥AC，∠AOC=90°，∴∠AFE=∠OCA=90°?∠CAF，∴∠AFE=∠OCA=∠CFE，①取點E關(guān)于x軸的對稱點E1，連接FE1，交拋物線與點Q1，則：設(shè)FE1的解析式為：則：3k1+b=0∴y=1聯(lián)立y=12x?32∴Q1②取E關(guān)于CF的對稱點E2，連接EE2交CF于點G，連接F則：∠Q2FE=2∠CFE=2∠OCA∵CE=5∴EF=C∵S△CEF∴5EG=25∴EG=2，∴FG=E過點G作GH⊥x軸，則：GH=FG?sin∠CFO=4×4∴OH=OF?FH=3∴G3∴E2設(shè)直線E2F的解析式為：則：3k2+∴y=?11聯(lián)立y=?112x+332∴Q2綜上：Q11?35【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，中垂線的判定和性質(zhì)，等積法求線段的長，坐標(biāo)與軸對稱，勾股定理，解直角三角形，等知識點，綜合性強，難度大，計算量大，屬于中考壓軸題，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．5．（2023·遼寧營口·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx?1a≠0與x軸交于點A1,0和點B，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D3,0，過點B作直線l⊥x軸，過點D作

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點P為第三象限內(nèi)拋物線上的點，連接CE和BP交于點Q，當(dāng)BQPQ=5(3)在（2）的條件下，連接AC，在直線BP上是否存在點F，使得∠DEF=∠ACD+∠BED？若存在，請直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=?(2)P(3)F513,?【分析】（1）根據(jù)拋物線過點A1,0，對稱軸為直線x=3（2）根據(jù)題意求得B5,0，tan∠CDO=tan∠DEB，求得BE=6，則E5,?6，進(jìn)而求得直線EC的解析式為y=?x?1，過點P作PT⊥x軸，交EC于點T，證明△PTQ∽△BEQ，根據(jù)已知條件得出PT=425設(shè)T（3）根據(jù)題意可得∠DEF=45°，以DE為對角線作正方形DMEN，則∠DEM=∠DEN=45°，進(jìn)而求得M,N的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求得EM,EN的解析式，聯(lián)立BP解析式，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx?1a≠0與x軸交于點A1,0，拋物線的對稱軸交x∴a+b?1=0?解得：a=?∴拋物線解析式為y=?1（2）解：由y=?15x2+解得：x1∴B5,0當(dāng)x=0時，y=?1，則C0,?1∵DE⊥CD，∠COD=∠EBD=∠CDE=90°∴∠CDO=90°?∠EDB=∠DEB，∴tan∠CDO=即OCOD∴13∴BE=6，則E5,?6設(shè)直線EC的解析式為y=kx?1，則?6=5k?1，解得：k=?1，∴直線EC的解析式為y=?x?1，如圖所示，過點P作PT⊥x軸，交EC于點T，

∵BE∥∴△PTQ∽△BEQ∵BQ∴BEPT=設(shè)Tt,?t?1，則Pt,?t?1?42將點Pt,?t?47即?t?解得：t=?3或t=14（舍去）當(dāng)t=?3時，?t?47∴P?3,?（3）∵A1,0，C則OA=OC=1，△AOC是等腰直角三角形，∴∠OAC=45°，由（2）可得∠BED=∠ADC，∵∠DEF=∠ACD+∠BED∴∠DEF=∠ACD+∠ADC=∠OAC=45°，由（2）可得P?3,?設(shè)直線BP的解析式為y=ex+f，則5e+f=0解得：e=∴直線BP的解析式為y=如圖所示，以DE為對角線作正方形DMEN，則∠DEM=∠DEN=45°，

∵DB=2,BE=6，則DE=210，則DM=22設(shè)Mm,n，則m?3解得：m=1n=?4，m=7則M1,?4，N設(shè)直線EM的解析式為y=sx+t，直線EN的解析式為y=則5s+t=?6s+t=?4，5解得：s=?12t=?設(shè)直線EM的解析式為y=?12x?72∴y=?12x?72y=2x?16y=45x?4解得：綜上所述，F(xiàn)513,?【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2024·重慶·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點A?1,0，點B3,0(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點P是直線BC上方拋物線上的一動點，過點P作y軸的平行線PE交直線BC于點E，過點P作x軸的平行線PF交直線BC于點F，求△PEF面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)；(3)如圖2，連接AC，BC，拋物線上是否存在點Q，使∠CBQ+∠ACO=45°？若存在，請直接寫出點【答案】(1)y=?x(2)△PEF面積的最大值為8132，P(3)2,3或?2【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）y=?x2+2x+3可得C0,3，求出直線BC的解析式為y=?x+3，又可得∠OBC=∠OCB=45°，進(jìn)而得△PEF為等腰直角三角形，得到S△PEF=12PE2，設(shè)Pp,?p2+2p+3（3）分點Q在BC上方和點Q在BC下方兩種情況，畫出圖形解答即可求解；本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的幾何問題，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)并運用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：把A?1,0、B3,0代入a?b+3=09a+3b+3=0解得a=?1b=2∴拋物線的解析式為y=?x（2）解：由y=?x2+2x+3設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n，把B3,0、C0=3k+n3=n解得k=?1n=3∴直線BC的解析式為y=?x+3，∵B3,0，C∴OC=OB=3，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵PE∥y軸，∴∠PEF=∠PFE=45°，PE⊥PF，∴△PEF為等腰直角三角形，∴S△PEF設(shè)Pp,?p2∴PE=?p當(dāng)p=32時，即P32,154S△PEF（3）解：存在．當(dāng)點Q在BC上方時，作點A?1,0關(guān)于y軸的對稱點A'1,0，過點B作BT∵A與A'關(guān)于y∴∠ACO=∠A又∵BT∥∴∠QBC=∠BCA∵∠A∴∠ACO+∠OBC=45°，∵C0,3，A同理可得直線CA'解析式為設(shè)直線BT解析式為y=?3x+t，將B3,0代入得，0=?9+t∴t=9，∴y=?3x+9，由y=?x解得x=2y=3或x=3∴Q2,3當(dāng)點Q在BC下方時，作點D0,1，直線BD與拋物線交于點Q∵D0,1，B同理可得直線BD解析式為y=?1∵AO=OD=1∠COA=∠BOD=90°∴△COA≌△BODSAS∴∠ACO=∠DBO，∴∠CBQ由y=?x解得x=?23y=∴Q'綜上，點Q的坐標(biāo)為2,3或?27．（2024·四川達(dá)州·二模）已知拋物線y=ax2+bx?4與x軸相交于點A(?1,0),B(?4,0)），與y(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，點P是拋物線的對稱軸l上的一個動點，當(dāng)△PAC的周長最小時，求S△AOC(3)如圖2，取線段OC的中點D，在拋物線上是否存在點Q，使tan∠QDB=12【答案】(1)y=?(2)8(3)Q?5+172?2或Q【分析】（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)△PAC的周長等于PA+PC+AC,以及AC為定長，得到當(dāng)PA+PC的值最小時，△PAC的周長最小，根據(jù)拋物線的對稱性，得到A，B關(guān)于對稱軸對稱，則：PA+PC=PB+PC≥BC,得到當(dāng)P,B,C三點共線時,PA+PC=BC，進(jìn)而求出P點坐標(biāo)，即可得解；（3）求出D點坐標(biāo)為(0,2),進(jìn)而得到tan∠OBD=12,得到【詳解】（1）∵拋物線y=ax2+bx?4與∴a?b?4=0解得：a=?1b=?5∴拋物線解析式為y=?x2?5x?4；（2）在y=?x2?5x?4,當(dāng)x=0時,y=?4，∴C(0,4∵拋物線解析式為y=?∴拋物線的對稱軸為直線x=?∵△PAC的周長等于PA+PC+AC，AC為定長,∴當(dāng)PA+PC的值最小時，△PAC的周長最小，∵A，B關(guān)于對稱軸對稱，∵BA=PB，∴PA+PC=PB+PC≥BC，∴當(dāng)P,B,C三點共線時,PA+PC的值最小，為BC的長，此時點P為直線BC與對稱軸的交點，設(shè)直線BC的解析式為：y=mx+n，∴?4m+n=0解得：m=?1n=?4∴直線BC的解析式為y=?x?4,當(dāng)x=?52時,∴P?∴S△OACS△PAC∴S（3）當(dāng)Q點在D點下方時：過點D作DQ∥OB,交拋物線于點Q,則∠QDB=∠OBD,此時Q點縱坐標(biāo)為?2，設(shè)Q點橫坐標(biāo)為t，則:?t2?5t?4=?2,∴Q?5+172②當(dāng)點Q在D點上方時：設(shè)DQ與x軸交于點E,∵DE=BE，設(shè)E(p,0),∴DE2∴p解得：p=?∴E?同理可得DE的解析式為y=?4聯(lián)立y=?解得：x=?3y=2或∴Q?32或綜上：Q?5+172?2或Q【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.本題的綜合性強，難度較大，屬于中考壓軸題.題型02二次函數(shù)與三角形存在性問題1）等腰三角形存在性問題解題方法：幾何法：1）“兩圓一線”作出點；2）利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長；3)分類討論，求出點P的坐標(biāo).代數(shù)法：1）表示出三個點坐標(biāo)A、B、P；2）由點坐標(biāo)表示出三條線段：AB、AP、BP；3）根據(jù)題意要求（看題目有沒有指定腰），?、貯B=AP、②AB=BP、③AP=BP；4）列出方程求解．①兩定一動8．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點A?3,0和點B，與y軸交于點

(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)點D在第二象限內(nèi)，且△ACD的面積為3時，求點D的坐標(biāo)；(3)在直線BC上是否存在點P，使△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為y=?(2)D的坐標(biāo)為?1,4或?2,3(3)P的坐標(biāo)為0,3或25?19318,?7+【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）過D作DK∥y軸交AC于K，求出直線AC解析式，根據(jù)（3）先求出點A，B坐標(biāo)，再求出直線BC解析式，過P作PN⊥y軸于N，過D作DM⊥y軸于M，分以下情況分別討論即可：①P與C重合，D與A重合時；②當(dāng)P在第一象限，D在第四象限時；③當(dāng)P在第四象限，D在第三象限時；④當(dāng)P在第四象限，D在第一象限時．【詳解】（1）解：把A?3,0，C0,3代入?9?3b+c=0c=3解得b=?2c=3∴拋物線的解析式為y=?x（2）解：過D作DK∥y軸交AC于

由A?3,0，C0,3得直線AC解析式為設(shè)Dt,?t2∴DK=?t∵△ACD的面積為3，∴12DK?解得t=?1或t=?2，∴D的坐標(biāo)為?1,4或?2,3；（3）解：在直線BC上存在點P，使△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形，理由如下：在y=?x2?2x+3中，令y=0解得x=?3或x=1，∴A?3,0，B由B1,0，C0,3得直線BC解析式為設(shè)Pm,?3m+3，D過P作PN⊥y軸于N，過D作DM⊥y軸于M，①∵OA=OC=3，∴當(dāng)P與C重合，D與A重合時，△OPD是等腰直角三角形，如圖：

此時P0,3②當(dāng)P在第一象限，D在第四象限時，

∵△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形，∴OD=OP，∠POD=90°，∴∠DOM=90°?∠PON=∠OPN，∵∠DMO=90°=∠PNO，∴△DOM≌△OPNAAS∴DM=ON，OM=PN，∴n=?3m+3解得m=25+19318n=?7?∴?3m+3=?3×25?∴P的坐標(biāo)為25?193③當(dāng)P在第四象限，D在第三象限時，如圖：

∵△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形，∴OD=OP，∠POD=90°，∴∠DOM=90°?∠PON=∠OPN，∵∠DMO=90°=∠PNO，∴△DOM≌△OPNAAS∴PN=OM，ON=DM，同理可得m=n解得m=25+19318∴?3m+3=?3×25+∴P的坐標(biāo)為25+193④當(dāng)P在第四象限，D在第一象限，如圖：

∵△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形，∴OD=OP，∠POD=90°，∴∠DOM=90°?∠PON=∠OPN，∵∠DMO=90°=∠PNO，∴△DOM≌△OPNAAS∴PN=OM，ON=DM，∴m=?解得m=0n=?3（舍去）或m=∴?3m+3=?3×11∴P的坐標(biāo)為119綜上所述，P的坐標(biāo)為0,3或25?19318,?7+193【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)中三角形面積計算、特殊三角形存在性問題、等腰直角三角形的性質(zhì)等，難度較大，熟練運用數(shù)形結(jié)合及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．9．（2024·云南怒江·一模）已知拋物線y=?x2+4x+5與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y(1)求A、B、C三點的坐標(biāo)；(2)點D是直線BC上方拋物線上的點，連接BD、CD，求S△BCD(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得△BCP是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)A?1,0，B5,0(2)最大值為125(3)存在，2,41或2,?41或2,5+46或【分析】（1）分別令y=0、x=0計算即可得解；（2）求出直線BC的解析式為：y=?x+5，過點D作DE∥y軸，交BC于點E，設(shè)點D的坐標(biāo)為m,?m2+4m+5，則Em,?m+5，求出（3）設(shè)P2,n，則BP2=n2+9，CP2【詳解】（1）解：令y=?x解得：x1=?1，∵點A在點B左側(cè)，∴A?1,0，B當(dāng)x=0時，y=5，∴C0,5（2）解：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∵B5,0，C∴5k+b=0b=5解得：k=?1b=5∴直線BC的解析式為：y=?x+5，過點D作DE∥y軸，交BC于點E，設(shè)點D的坐標(biāo)為m,?m2+4m+5∴DE=?m∴S∴當(dāng)m=52時，△BCD的面積最大，最大值為（3）解：∵點P在拋物線對稱軸上，且對稱軸為：x=?4∴設(shè)P2,n，則BP2=n△BCP是等腰三角形，需分3種情況討論：①當(dāng)BC=BP時，n2+9=50，解得：此時點P的坐標(biāo)為(2,41)或②當(dāng)BC=CP時，(n?5)2+4=50，解得：此時點P的坐標(biāo)為(2,5+46)或③當(dāng)BP=CP時，n2+9=(n?5)此時點P的坐標(biāo)為(2,2)．綜上所述，滿足條件的點P有5個，分別為2,41或2,?41或2,5+46或2,5?【點睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點、二次函數(shù)綜合—面積問題、二次函數(shù)綜合—特殊三角形、勾股定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．10．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(9,13)的拋物線C1:y=ax2+bx+1（a、b為常數(shù)，且a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C(1)求拋物線C1的函數(shù)表達(dá)式和點D(2)將拋物線C1向左平移m(m>0)個單位長度后得到拋物線C2，拋物線C2的頂點為E，連接CE、DE，請問在平移過程中，是否存在m的值，使得△CDE【答案】(1)拋物線C1的函數(shù)表達(dá)式為y=49x2(2)m的值為6或5或256【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法可求得拋物線C1的函數(shù)表達(dá)式，配方成頂點式即可求得頂點D（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得到C2:y=49x?3+m2?3，則頂點E的坐標(biāo)為3?m,?3，利用兩點之間的距離公式求得CD=5，CE=m2【詳解】（1）解：∵經(jīng)過點(9,13)的拋物線C1:y=ax∴81a+9b+1=13?解得a=4∴拋物線C1的函數(shù)表達(dá)式為y=y=4∴頂點D的坐標(biāo)為3,?3；（2）解：由題意將y=49x?32?3∴C2∴C2的頂點E的坐標(biāo)為3?m,?3對于C1，令x=0，則y=1∴C2與y軸交于點C的坐標(biāo)為0,1即C0,1，D3,?3，E3?m,?3∴CD=3?0CE=3?mDE=3?m?3當(dāng)CD=CE時，則m2解得m=0（舍去）或m=6，此時CD=CE=5，DE=6，符合題意；當(dāng)CD=DE時，則m=5，此時CD=DE=5，CE=5當(dāng)DE=CE時，則m2?6m+25=m，解得m=256綜上，m的值為6或5或256②一定兩動11．（2023·遼寧撫順·模擬預(yù)測）如圖，拋物線y=ax2+bx?3經(jīng)過A?2,0，B4,0兩點，與y

(1)求拋物線的解析式；(2)P在第四象限拋物線上，連接PB，∠PBC=12∠BCO(3)點M從點C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿CB方向運動，點N從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿BA方向運動，M，N同時出發(fā)，運動時間為t秒，0<t≤5，連接MN，CN，當(dāng)△CMN為等腰三角形時，直接寫出t的值．【答案】(1)y=(2)點P的坐標(biāo)是10(3)258秒或5013秒或5秒或【分析】（1）分別將點A，B的坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+bx?3得到關(guān)于a（2）作∠BCO的平分線交x軸于K，過K作KH∥y軸交BC于H，求出C0,?3，直線BC解析式為y=34x?3，設(shè)Kp,0，由CK平分∠BCO，可得∠CKH=∠BCK，CH=KH，故p2+34p2=34p?3（3）過M作MR⊥y軸于R，由BN=CM=t，可得N4?t,0，M45t,35t?3，故CN2=4?t2；③當(dāng)CM=MN時，t2【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx?3經(jīng)過A∴4a?2b?3=016a+4b?3=0解得a=3∴拋物線的解析式為y=3（2）如圖，作∠BCO的平分線交x軸于K，過K作KH∥y軸交BC于∵拋物線y=38x2?當(dāng)x=0時，得y=?3，∴C0,?3設(shè)直線BC解析式為y=kBCx+bBC∴4k解得：kBC∴直線BC解析式為y=3設(shè)Kp,0，則H∵CK平分∠BCO，∴∠OCK=∠BCK=1∵KH∥∴∠CKH=∠OCK，∴∠CKH=∠BCK，∴CH=KH，∴p?02解得：p=32或p=?6（此時K在∴K3設(shè)直線CK解析式為y=kCKx+bCK∴32解得：kCK∴直線CK解析式為y=2x?3，∵∠PBC=1∴PB∥設(shè)直線PB解析式為y=2x+q，過點B4,0∴0=8+q，解得：q=?8，∴直線PB解析式為y=2x?8，聯(lián)立y=3解得：x=4y=0或x=∴P10（3）如圖，過M作MR⊥y軸于R，∵B4,0，C∴OB=4，OC=3，∴BC=O根據(jù)題意得：BN=CM=t，∴N4?t,0∵RM∥∴△CRM∽△COB，∴CRCO=CM∴CR=35t∴OR=3?3∴M4∴CN2=4?t2①當(dāng)CN=CM時，t2解得：t=25②當(dāng)CN=MN時，t2解得：t=0（舍去）或t=50③當(dāng)CM=MN時，t2解得：t=5或t=25綜上所述，t的值為258秒或5013秒或5秒或【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，兩點間的距離，相似三角形判定與性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．12．（2022九年級·全國·專題練習(xí)）綜合與實踐：如圖，拋物線y＝34x2?94x?3與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C．點D從點A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點B運動，點(1)求點A，B，C的坐標(biāo)；(2)求t為何值時，△BDE是等腰三角形；(3)在點D和點E的運動過程中，是否存在直線DE將△BOC的面積分成1：4兩份，若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣3）(2)t的值為52，2513(3)存在，1或4【分析】（1）令y＝0，求出方程0=34x2?94x﹣3，可得點A（﹣1，0），點B（4，0），再令x＝0，可得點C（（2）根據(jù)勾股定理可得BC=5，然后分三種情況：當(dāng)BD＝BE時，當(dāng)BE＝DE時，當(dāng)BD＝DE時，即可求解；（3）過點E作EH⊥BD于H，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得HE=35t，然后分兩種情況：當(dāng)S△BDE=15S△BOC=65時，當(dāng)S△BDE【詳解】（1）解：令y＝0，可得0=34x2?94解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴點A（﹣1，0），點B（4，0），可得y＝﹣3，∴點C（0，﹣3）；（2）解：∵點A（﹣1，0），點B（4，0），點C（0，﹣3），∴AB＝5，OB＝4，OC＝3，∴BC=OB當(dāng)BD＝BE時，則5﹣t＝t，∴t=5當(dāng)BE＝DE時，如圖1，過點E作EH⊥BD于H，∴DH＝BH=12BD∵cos∠DBC=BO∴5?t2∴t=25當(dāng)BD＝DE時，如圖2，過點D作DF⊥BE于F，∴EF＝BF=12BE=∵cos∠DBC=BF∴12∴t=40綜上所述：t的值為52，2513和（3）解：∵S△BOC=12BO×CO＝∴15S△BOC=65，45S如圖1，過點E作EH⊥BD于H，∵sin∠DBC=HE∴HEt∴HE=35當(dāng)S△BDE=15S△BOC=65時，則12（5﹣t∴t1＝1，t2＝4，當(dāng)S△BDE=45S△BOC=245時，則12（5﹣t∴t2﹣5t+16＝0，∴方程無解，綜上所述：t的值為1或4．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與特殊三角形的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，并利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．2）直角三角形存在性問題解題方法：如有兩定點，在其他特定的“線”上求第三點，形成直角三角形時：1）當(dāng)動點在直線上運動時，常用的方法是①，②三角形相似，③勾股定理；2）當(dāng)動點在曲線上運動時，情況分類如下，第一當(dāng)已知點處作直角的方法：①，②三角形相似，③勾股定理；第二是當(dāng)動點處作直角的方法：尋找特殊角.13．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于B4,0，C?2,0

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點P是直線AB下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交AB于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與12PK+PD的最大值及此時點(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得△MAB是以AB為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=(2)存在，12PK+PD的最大值為25(3)1,6或1,?4【分析】（1）將A、B、C代入拋物線解析式求解即可；（2）可求直線AB的解析式為y=12x?2，設(shè)Pm,14m（3）過A作AM2⊥AB交拋物線的對稱軸于M2，過B作BM1⊥AB交拋物線的對稱軸于M1，連接AM1，設(shè)M1【詳解】（1）解：由題意得16a+4b+c=04a?2b+c=0解得：a=1∴拋物線的解析式為y=1（2）解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則有4k+b=0b=?2解得：k=1∴直線AB的解析式為y=1設(shè)Pm,14∴1解得：x=1∴K1∴PK=m?=?1∴1PD=?=?1∴=?=?1∵?1∴當(dāng)m=32時，12∴y=1∴P3故12PK+PD的最大值為258（3）解：存在，如圖，過A作AM2⊥AB交拋物線的對稱軸于M2，過B作BM

∵拋物線y=14x∴設(shè)M1∴A=nABB=n∵AB∴n解得：n=6，∴M設(shè)直線BM1的解析式為k1解得k1∴直線BM1解析式為∵AM2∥∴直線AM2解析式為∴當(dāng)x=1時，y=?2×1?2=?4，

∴M綜上所述：存在，M的坐標(biāo)為1,6或1,?4．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)中動點最值問題，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出動點坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．14．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）如圖，直線y=?3x+23與x軸，y軸分別交于點A，點B，兩動點D，E分別從點A，點B同時出發(fā)向點O運動（運動到點O停止），運動速度分別是1個單位長度/秒和3個單位長度秒，設(shè)運動時間為t秒．以點A為頂點的拋物線經(jīng)過點E，過點E作x軸的平行線與拋物線的另一個交點為點G，與AB(1)求點A、點B的坐標(biāo)；(2)用含t的代數(shù)式分別表示EF和AF的長；(3)是否存在t的值，使△AGF是直角三角形？若存在，求出此時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．【答案】(1)A2,0，(2)AF=4?2t，EF=t(3)存在，y=【分析】（1）在直線y=?3x+23中，分別令y=0和x=0，即可求得A（2）由OA、OB的長可求得∠ABO=30°，用t可表示出BE，EF，和BF的長，由勾股定理可求得AB的長，從而可用t表示出AF的長；（3）若△AGF為直角三角形時，由條件可知只能是∠FAG=90°，又∠AFG=∠OAF=60°，由（2）可知AF=4?2t,EF=t,又由二次函數(shù)的對稱性可得到EG=2OA=4，從而可求出FG，在Rt△AGF中，可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值，進(jìn)一步可求得E【詳解】（1）解：在直線y=?3令y=0得?3解得：x=2令x=0得y=23∴A2,0，（2）解：由（1）可知OA=2，OB=2∴∴∠ABO=30°，∵運動時間為t秒，∴BE=∵EF∥∴在Rt△BEF中，EF=BE?tan∠ABO=在Rt△ABO中，OA=2，OB=2∴AB=4，∴AF=AB?BF=4?2t；（3）解：存在．∵EG∥∴∠GFA=∠BAO=60°，∵G點不能在拋物線的對稱軸上，∴∠FGA≠90°，∴當(dāng)△AGF為直角三角形時，則有∠FAG=90°，又∠FGA=30°，∴FG=2AF，∵EF=t，EG=4，∴FG=4?t，且AF=4?2t,∴4?t=24?2t解得：t=即當(dāng)t的值為43秒時，△AGF此時OE=OB?BE=2∴E(0,∵拋物線的頂點為A2,0，設(shè)拋物線解析式為y=a把E點坐標(biāo)代入得：23解得：a=3∴拋物線的解析式為y=3即y=3【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合運用待定系數(shù)法，三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的對稱性等知識點；綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．15．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A?3,0，B1,0兩點，與y(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)點P是拋物線上位于線段AC下方的一個動點，連接AP，CP，求△APC面積最大時點P的坐標(biāo)；(3)在拋物線上是否存在點Q，使得以點A，C，Q為頂點的三角形是直角三角形？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為y=(2)點P的坐標(biāo)為?(3)存在，滿足條件的點Q的坐標(biāo)為?1,?4或2,5或?1+52【分析】（1）利用拋物線的交點式直接代值求解即可得到答案；（2）過點P作x軸的垂線，交AC于D，如圖所