北師大版中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：認(rèn)識(shí)一元二次方程【十大題型】解析版

專題2.1認(rèn)識(shí)一元二次方程【十大題型】

【北師大版】

A題型梳理

【題型1辨別一元二次方程】....................................................................1

【題型2由一元二次方程的定義求字母的值】.....................................................3

【題型3由一元二次方程的定義字母的取值范圍】.................................................4

【題型4由一元二次方程的一般形式識(shí)別系數(shù)】...................................................6

【題型5由一元二次方程的一般形式求字母的值】.................................................8

【題型6由一元二次方程的解求字母或代數(shù)式的值】..............................................10

【題型7由一元二次方程的解通過(guò)降次求代數(shù)式的值】............................................11

【題型8根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一元二次方程】.........................................................13

【題型9由一元二次方程的解求另一方程的解】..................................................15

【題型10一元二次方程與一元一次方程的綜合】..................................................17

?舉一反三

知識(shí)點(diǎn)1：一元二次方程的定義

等號(hào)兩邊都就是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)得最高次數(shù)就是2（二次）的方程，叫

做一元二次方程。

【題型1辨別一元二次方程】

【例1】（23-24九年級(jí)下.黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）下列方程中，屬于一元二次方程的是（）

A.尤+2y=lB.ax2+bx+c=0C.3x+；0D.x2-2=0

【答案】D

【分析】本題考查一元二次方程的識(shí)別，只含有一個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為2的整式方程，

是一元二次方程，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、是二元一次方程，不符合題意；

B、當(dāng)a=0時(shí)，ax?+》久+c=0不是一元二次方程，不符合題意；

C、是分式方程，不符合題意；

D、是一元二次方程，符合題意；

故選D.

【變式1-1］（23-24九年級(jí)上.上海長(zhǎng)寧?期末）下列關(guān)于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）

A.^—1=0B.y/x=5x2C.ax2+x—6—0D.x(x+1)=5x—1

【答案】D

【分析】本題考查的是一元二次方程的定義，熟知只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方

程叫一元二次方程是解題的關(guān)鍵.根據(jù)一元二次方程的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

【詳解】解：A.之-1=0中含有分式，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.?=5%2,不是整式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.當(dāng)。=0時(shí)，a/+%一6=0不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.汽(％+1)=5%-1是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【變式1-2](23-24九年級(jí)上.四川成都.期末)下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程的是()

A.(X-2)(x-3)=0B.%+-=4

C.ax2+bx+c—0D.-3x2+2x3=1

【答案】A

【分析】本題考查的是一元二次方程的定義，熟知只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方

程叫一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)一元二次方程的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

【詳解】解：A.(x-2)(%-3)=0,整理可得/一5x+6=0,是一元二次方程，故此選項(xiàng)符合題意；

分母中含有未知數(shù)，不是整式方程，故此選項(xiàng)不符合題意；

B.%+X-=4,

C.ax2+bx+c^0,僅當(dāng)aH0時(shí)，原方程為一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；

D.-3/+2/=1,最高次項(xiàng)的次數(shù)為3,故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

【變式1-3](23-24九年級(jí)上?新疆伊犁?期末)下列方程，是一元二次方程的是()

@3x2+x—20,②2%2—3孫+4=0,@x2—1=4,@x2—0.

A.①②B.①②④C.①③④D.①④

【答案】D

【分析】本題考查的是一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫

一元二次方程.據(jù)此對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

【詳解】解：①3/+尤=20是一元二次方程；

②2久2一3xy+4=0含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程；

③/一工=4不是整式方程，不是一元二次方程；

X

@x2=0是一元二次方程.

故選：D.

【題型2由一元二次方程的定義求字母的值】

[例2]（23-24九年級(jí)下?江蘇揚(yáng)州?期末）已知關(guān)于x的方程（k-3）x同一+Qk-3）x+4=0是一元二次方

程，則上的值應(yīng)為（）

A.±3B.3C.-3D.不能確定

【答案】C

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個(gè)未

知數(shù).

【詳解】解：由關(guān)于久的方程（k-3）x岡-1+（2卜一3）%+4=0是一元二次方程，得

|Zc|-1=2且k—340.

解得k——3.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，

然后看化簡(jiǎn)后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

【變式2-11（23-24九年級(jí)下?河北保定?期末）關(guān)于x的方程丁-7一3%—2=0是一元二次方程，則a=.

【答案】±3

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解題即可.

【詳解】解：由題意得。2-7=2,

解得：a=±3,

故答案為：±3.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念.只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次

方程，一般形式是a/+bx+c=0（a力0）.特別要注意aK0的條件.這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)

點(diǎn).

【變式2-2]（23-24九年級(jí)下?安徽合肥?期末）若關(guān)于x的方程（爪+l）xm+1+5x-4=0是一元二次方程,

則ni的值是（）

A.1B.-1C.0D.±1

【答案】A

【分析】本題考查一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵.理解一元二次方程的定義,

需要抓住兩個(gè)條件：①二次項(xiàng)系數(shù)不為0；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2；

結(jié)合一元二次方程的定義，可以得到關(guān)于小的方程和不等式，求解即可得到小的值.

【詳解】解：???關(guān)于久的方程（m+l）xm2+1+5%-4=0是一元二次方程，

fm+10

,?tm2+1=2）

解得m=1.

故選：A.

【變式2-3]（23-24九年級(jí)上?新疆烏魯木齊?期末）標(biāo)久降-2|+3%-7=。是一元二次方程，貝”〃=.

【答案】4

【分析】根據(jù)只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高指數(shù)為2的整式方程為一元二次方程，則m-2|=2,然

后選出合適的值即可.

【詳解】解：標(biāo)+3*_7=0是一元二次方程，

|m-2|=2,yjm豐0,

???m-4或0,m0,

.?.m=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，結(jié)合一元二次方程的概念求出參數(shù)值是解題關(guān)鍵.

【題型3由一元二次方程的定義字母的取值范圍】

【例3】（23-24九年級(jí)上?福建泉州?期末）關(guān)于龍的方程a/一萬(wàn)一1=0是一元二次方程，貝b的取值范圍是

（）

A.a>0B.aKOC.a<0D.a為任意實(shí)數(shù)

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的定義，熟記一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵.只含有一個(gè)未知數(shù)，并

且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的定義得出a即可.

【詳解】解：???方程a/—%—1=0是關(guān)于x的一元二次方程，

:?aH0.

故選：B.

【變式3-1］（23-24九年級(jí)上?北京大興?期末）若（a-3）x2-3x-4=0是關(guān)于x的一元二次方程，則a的

取值范圍是.

【答案】a片3

【分析】此題考查了一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方

程是一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的定義解答即可.

【詳解】、?方程（a-3）/—3x—4=0是關(guān)于x的一元二次方程，

a—3彳0,

解得aH3.

故答案為：a片3.

【變式3-2］（23-24九年級(jí)上.四川遂寧.期中）若方程（a-2）x?+迎x=3是關(guān)于x的一元二次方程，則a的范圍

是（）

A.a，2B.a>0C.aK）且存2D.a為任意實(shí)數(shù)

【答案】C

【詳解】試題分析：由于方程是一元二次方程，所以二次項(xiàng)系數(shù)必定不等于零，即a-2羊。，所以a羊2,

又因?yàn)楸婚_(kāi)方式大于或者等于零，即a20,所以選C.

考點(diǎn)：一元二次方程的二次項(xiàng)不等于零，被開(kāi)方式大于或者等于零

點(diǎn)評(píng)：這類題目在考試中一般出現(xiàn)于選擇題，一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)確定，都要遵循一元二次方程的一

般式，既然為一元二次方程，那么二次項(xiàng)系數(shù)必定存在，即二次項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該不為零，而被開(kāi)方式大于或者

等于零，由此可以確定a的取值范圍.

【變式3-3］（23-24九年級(jí)下.重慶?期末）如果關(guān)于x的不等式組有且僅有三個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于

y的方程（爪-2）f+my+1=0是一元二次方程，則符合條件的所有整數(shù)加之和為.

【答案】8

【分析】先表示出不等式組的解集，由不等式組有且僅有三個(gè)整數(shù)解確定出〃，的取值，再由關(guān)于y的方程

（m—2）y2+my+i=。是一元二次方程，求出滿足題意整數(shù)比的值，進(jìn)而求出和.

【詳解】fm-4X>4?,

1%V3%+7（2）

由①得》<二一1,

4

由②得x>

V不等式組有且僅有三個(gè)整數(shù)解，

：.--<x<--1,

24

即x可取—3,—2,—1,

：.-1<--1<0,

4

0<m<4,

關(guān)于y的方程（血一2）y2+my+1=0是一元二次方程，

m—20,解得mW2,

0<m<4且mH2,

???m—1,3,4,

1+3+4=8,

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組以及一元二次方程的定義，熟練掌握解一元一次不等式組的方法以

及一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)2：一元二次方程的一般形式

一般形式：ax2+bx+c=0（a#0）>其中，ax?就是二次項(xiàng)，a就是二次項(xiàng)系數(shù)；bx就是一次項(xiàng)，b就是

一次項(xiàng)系數(shù)；c就是常數(shù)項(xiàng)。

【題型4由一元二次方程的一般形式識(shí)別系數(shù)】

【例4】（23-24九年級(jí)下.山東煙臺(tái)?期中）一元二次方程3--4x—1=0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)

項(xiàng)分別是（）

A.3,-4,-1B.3,4,1C.3,4,-1D.3,-1,-4

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式是：。%2+版+?=0（a,b,c是常數(shù)且aW0）,特別要注

意a彳0的條件.在一般形式中，a,b,c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)，根據(jù)概念作答即可.

【詳解】解：一元二次方程3產(chǎn)一4萬(wàn)—1=0的二次項(xiàng)系數(shù)是3,一次項(xiàng)系數(shù)—%常數(shù)項(xiàng)—1.

故選A.

【變式4-1］（23-24九年級(jí)下?廣西梧州?期中）下列方程是一元二次方程的一般形式的是（）

A.(x—l)2=4B.3(x-2)2=27C.5x2-3x=0D.y/2x2+2x—8

【答案】c

【分析】本題主要考查的是一元二次方程的一般形式等知識(shí)點(diǎn)，一般地，任何一個(gè)關(guān)于X的一元二次方程經(jīng)

過(guò)整理，都能化成如下形式a/+bx+c=O(a#O),這種形式叫一元二次方程的一般形式，據(jù)此判定即可

得解，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】A.(%-1)2=4不是一元二次方程的一般形式，故A錯(cuò)誤，不符合題意；

B.3(%-2尸=27不是一元二次方程的一般形式，故B錯(cuò)誤，不符合題意；

C.5/-3%=0是一元二次方程的一般形式，故C正確，符合題意；

D.+2%=8不是一元二次方程的一般形式，故D錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C.

【變式4-2](23-24九年級(jí)上.甘肅天水?期中)將一元二次方程2(%+3)(%-4)=/-10化成它的一般形式

為—,

【答案】%2-2x-14=0

【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常數(shù)且a40),據(jù)此，對(duì)原方程通過(guò)去括

號(hào)、移項(xiàng)即可將原方程轉(zhuǎn)化為一般式方程.

【詳解】原方程去括號(hào)得，

2%2—8%+6%—24=%2—10,

移項(xiàng)，合并得：X2-2X-14=0,

故答案為：/_2%—14=0.

【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3](23-24九年級(jí)下?山東煙臺(tái)?期中)若將關(guān)于x的一元二次方程3/+x-2=ax(x-2)化成一般

形式后，其二次項(xiàng)系數(shù)為1,常數(shù)項(xiàng)為-2,則該方程中的一次項(xiàng)系數(shù)為()

A.5B.3C.—5D.-3

【答案】A

【分析】本題主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式為a/+"+c=0(aK0),把原

方程先去括號(hào)，然后移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，化為一般式，進(jìn)而求出a的值，即可求出答案.

【詳解】解：3x2+x—2=ax(x—2),

3x2+x-2=ax2—2ax,

(3-a)/+(1+2a)x—2=0,

???將關(guān)于x的一元二次方程3/+%-2=ax(x-2)化成一般形式后，其二次項(xiàng)系數(shù)為1,

???3—a=1,

解得：a=2,

???l+2a=l+2x2=5,

則該方程中的一次項(xiàng)系數(shù)為5,

故選A.

【題型5由一元二次方程的一般形式求字母的值】

【例5】(23-24九年級(jí).上海?假期作業(yè))已知關(guān)于x方程-產(chǎn)+6乂―3m=5x的各項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之和為2,

求ni的值.

【答案】m=-2

【分析】首先把關(guān)于x方程-/+僅光-3m=5x化為一般形式，根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之和等于2,求出m

的值即可.

【詳解】解：整理方程得——+(m-5)x-3m=0,

化為一般形式即為/+(5—m)x+3m=0,

方程的各項(xiàng)分別為(5-ni)x,3m,其中未知項(xiàng)系數(shù)分別為1,(5-m),

依題意即有1+(5-m)+3m=2,

解得：m=-2.

【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的一般形式是：a/+以+。=oQ,B,。是常數(shù)且。豐0)特別要注意a豐0

的條件.

【變式5-1](23-24九年級(jí)上?山東青島?期中)關(guān)于x的一元二次方程(m+3)x2+(m2-5)x-3=0的一次

項(xiàng)系數(shù)為4,則根的值為()

A.3B.0C.3或一3D.0或3

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，及一元二次方程的定義，根據(jù)一元二次方程的一般形式可知,

一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0以及題干中方程的二次項(xiàng)系數(shù)是(巾+3)確定巾+340,另外一次項(xiàng)系

數(shù)等于4,確定巾2=?據(jù)此解答.

【詳解】解：：一元二次方程(加+3)/+(加2—5次—3=0的一次項(xiàng)系數(shù)等于4,

病—5=4

即爪2=9,

.".m=3或TH=—3.

又?.?二次項(xiàng)系數(shù)不為0,

.,.771+3豐0,

解得m芋一3,

m=3.

故選：A.

【變式5-2](23-24九年級(jí)上.江蘇徐州?期中)關(guān)于尤的一元二次方程/+ax=3x+5化為一般形式后不含

一次項(xiàng)，則根的值為()

A.0B.±3C.3D.-3

【答案】C

【分析】此題考查了一元二次方程的定義，解題關(guān)鍵是理解一元二次方程的一般形式，將一元二次方程化為

一般式，根據(jù)不含一次項(xiàng)可得一次項(xiàng)系數(shù)為0,求解即可.

【詳解】解：方程/+m久=3%+5化為一般形式為：x2+(m-3)x-5=0

由題意可得：m-3=0

解得m=3

故選：C

【變式5-3](23-24九年級(jí)上.全國(guó).專題練習(xí))若關(guān)于x的一元二次方程(2ax+1)(%-a)=a-2的二次項(xiàng)

系數(shù)是-4,則。的值為.

【答案】-2

【分析】本題考查多形式乘以多項(xiàng)式，一元二次方程的一般形式，根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式化簡(jiǎn)得出一元二次

方程為：2ax2-+%一2a+2=0,得出2a=-4,求解即可得出答案.

【詳解】解：：(2ax+l)(x—a)-2ax2—2a2x+x—a—a—2,

...一元二次方程為：2ax2-2a2x+x-2a+2=0,

根據(jù)題意可得：2a=-4,

解得：a——2,

故答案為：-2.

知識(shí)點(diǎn)3：一元二次方程的解

使一元二次方程左右兩邊相等得未知數(shù)得值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程

的解得定義就是解方程過(guò)程中驗(yàn)根得依據(jù)。

【題型6由一元二次方程的解求字母或代數(shù)式的值】

【例61(23-24九年級(jí)下?江蘇?專題練習(xí)圮知a是方程/+2%—1=。的一個(gè)根,則代數(shù)式(a+I)2+a(a+2)

的值

【答案】3

【分析】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值、完全平方公式、一元二次方程的解等知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確熟

練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)一元二次方程的解的意義可得2a-1=0,從而可得a2+2a=l,然后再對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行去括號(hào)，

合并同類項(xiàng)，最后把a(bǔ)?+2a=1代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：是方程/+2x-l=0的一個(gè)根，

?*.a?+2a—1=0,

.".a2+2a=1,

(a+I)?+a(a+2)=a?+2a+1+a?+2a—2a?+4a+1,

當(dāng)a?+2a—1時(shí)，原式=2(a2+2a)+l=2xl+l=3.

故答案為：3.

【變式6-11(23-24九年級(jí)上?黑龍江?期中)已知一元二次方程/—4x+爪=。有一個(gè)根為2,則加值為.

【答案】4

【分析】把％=2代入原方程，解方程即可.

【詳解】解：一元二次方程/—4x+爪=。有一個(gè)根為2,

所以，22-4X2+TH=0,

解得，m=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，解題關(guān)鍵是明確方程解的意義，代入未知數(shù)的值求解.

【變式6-21(23-24九年級(jí)上?江蘇南京?期末)若是關(guān)于久的方程a/+bx+5=0的一個(gè)根，則azn?+bm-7

的值為()

A.-2B.1C.12D.-12

【答案】D

【分析】把x=m代入已知方程，可得：。巾2+歷?1+5=0,貝［Jani?+/mi=-5,將其整體代入所求的代數(shù)

式進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：由題意得：am2+bm+5=0,

am2+bm=-5,

am2+bm—7=—12,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的定義，把根代入方程得到的代數(shù)式巧妙變形來(lái)解題是一種不錯(cuò)的解

題方法.

【變式6-3X23-24九年級(jí)上?廣東廣州?期中）已知。是方程/—2022%+1=0的一個(gè)根,則a?-2021a+等

a2+l

的值為.

【答案】2021

【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，一元二次方程的解，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意可得：把％=a代入方程X2—2022x+1=0中得：a?-2022a+1=0,從而可得a2+1=

2022a,a2=2022a-1,a-2022+-=0,進(jìn)而可得a+-=2022,然后代入式子中進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

aa

【詳解】解：由題意得：把％=Q代入方程%2-2022%+1=0中得：@2一2022。+1=0,

?,*小+1=2022a,a?=2022a—1,CL—2022H—=0,

a

uH—=2022,

a

???a2-2021a+等=2022a-1-2021a+=a-1+工=2022—1=2021

a2+l2022aa

故答案為：2021.

【題型7由一元二次方程的解通過(guò)降次求代數(shù)式的值】

【例7】（23-24九年級(jí)上?山西長(zhǎng)治?期中）將關(guān)于x的一元二次方程/-「久+q=o變形為/=p%-q,就

可以將/表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，也可以將/表示為=%（px—勺）=…，從而達(dá)到“降次，，的目的，

我們將這種方法稱為“降次法”，通過(guò)這種方法可以化簡(jiǎn)次數(shù)較高的代數(shù)式.若/+“一1=0,則久3+2久2+

2023的值為（）

A.2025B.2024C.2023D.2022

【答案】B

【分析】此題考查一元二次方程，整體代入法：根據(jù)方程變形得到/=I-X,x2+x=l,仿照已知整體代

入化簡(jiǎn)即可得到答案，正確理解整體代入法達(dá)到降次解方程的目的是解題的關(guān)鍵.

【詳解】???/+X—1=0,

.".X2=1—X,X2+X=1,

.,.久3+2x2+2023

=x(l-x)+2x2+2023

—x—x2+2x2+2023

—x+x2+2023

=1+2023

=2024

故選：B.

【變式7-1](23-24九年級(jí)上?黑龍江大興安嶺地?期中)已知m是方程/+尤-1=0的根，則式子/+2/+2020

的值為()

A.2018B.2019C.2020D.2021

【答案】D

【分析】先利用%是方程/+x-l=0的根得到m2=-m+l,則可表示出m3=2m-l,然后利用整體代入的方法計(jì)算

即可.

【詳解】解：是方程/+x-l=0的根，

m2+m-1=0,

m2=-m+l,

m3=m(-m+1)=-m2+m=m-1+m=2m-1

m3+2Mi2+2020=2m-1+2(-/〃+1)+2020=2m-1-2/77+2+2020=2021.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.

【變式7-2](23-24?重慶?一模)己知相為方程/+x—3=0的一個(gè)根，則代數(shù)式63+2^2一2爪+6的值

為.

【答案】9

【分析】本題考查一元二次方程的解及代數(shù)式求值，解題關(guān)鍵是運(yùn)用整體代入思想進(jìn)行解題.先將，”代入方

程得Hi?+m=3,再將Hi?+m=3代入+2)—2(m—3)變形后的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)求值即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：m2+m=3,

m3+2m2-2m+6

=m3+m2+m2-2m+6

=m(m2+m)+m2—2m+6

=3m+m2—2m+6

=m2+m+6

=3+6

=9.

故答案為：9.

【變式7-3］（23-24九年級(jí)上?上海徐匯?階段練習(xí)）已知〃是關(guān)于%的一元二次方程％2—%—11=0的一個(gè)

a2-ll

根，則的值等于.

2a3-3a2+ll

【答案】蔡

【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義，根據(jù)一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的

值得到十一。一11=0,進(jìn)而得到小一。=11,a2-11=a,再把所求式子轉(zhuǎn)化為,據(jù)此

2a(a2-a)-(a2-ll)

整體代入求解即可.

【詳解】解：?.%是關(guān)于x的一元二次方程/—X—11=0的一個(gè)根,

?'?—d—11=0,

.'.a2—a—11,a2—11=a,

**2a3-3a2+ll

a

(2a3—2a2)—(a2—11)

a

2a(q2—ci)—(小—11)

a

22a—a

i

=五,

故答案為：

【題型8根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一元二次方程】

【例8】（23-24九年級(jí)下?重慶?期中）由著名導(dǎo)演張藝謀執(zhí)導(dǎo)的電影《第二十條》因深刻體現(xiàn)了普法的根本

是人們對(duì)公平正義的勇敢追求，創(chuàng)下良好口碑，自上映以來(lái)票房連創(chuàng)佳績(jī).據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，第一周票房約5

億元，以后兩周以相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，三周后票房收入累計(jì)達(dá)約20億元，設(shè)增長(zhǎng)率為x,則方程可以列為

（）

A.5+5%+52=20B.5(1+%)2=20

C.5(1+x)3=20D.5+5(1+x)+5(1+x)2=20

【答案】D

【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)第一天的票房及增長(zhǎng)率，即可得出第二天票房約5(1+x)億元、第三天票房約5(1+萬(wàn)尸億元，根據(jù)

三天后票房收入累計(jì)達(dá)約20億元，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解.

【詳解】解：???第一天票房約5億元，增長(zhǎng)率為x,

二第二天票房約5(1+x)億元，第三天票房約5(1+x)2億元.

依題意得:5+5(1+%)+5(1+x)z=20.

故選：D.

【變式8-1](23-24?山西晉中?二模)某旅游景點(diǎn)的商場(chǎng)銷售一款山西文創(chuàng)產(chǎn)品，平均每天可售出100件，每

件獲利30元.為了盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這款文創(chuàng)產(chǎn)品的售價(jià)每

降低1元，那么平均每天可多售出10件.商場(chǎng)要想平均每天獲利3640元，這款文創(chuàng)產(chǎn)品每件應(yīng)降價(jià)多少元？

設(shè)這款文創(chuàng)產(chǎn)品每件降價(jià)x元，根據(jù)題意可列方程為()

A.(30+x)(100-10x)=3640B.(30+^)(100+10x)=3640

C.(30-x)(100+10%)=3640D.(30-x)(100-10%)=3640

【答案】C

【分析】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)這款文創(chuàng)產(chǎn)品每件降價(jià)x元，根據(jù)題意列出方程即可，根據(jù)題

意列出方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)這款文創(chuàng)產(chǎn)品每件降價(jià)x元，

根據(jù)題意可列方程為：(30-x)(100+10x)=3640,

故選：C.

【變式8-2](23-24?廣西南寧?二模)2024年湯姆斯杯羽毛球賽于4月27日至5月5日在成都舉行，根據(jù)賽

制規(guī)定，所有參賽隊(duì)伍先通過(guò)抽簽分成若干小組進(jìn)行小組賽，小組賽階段每隊(duì)都要與小組內(nèi)其他隊(duì)進(jìn)行一

場(chǎng)比賽，已知中國(guó)隊(duì)所在的小組有〃支隊(duì)伍，共安排了6場(chǎng)小組賽.根據(jù)題意，下列方程正確的是()

A.|n(n+1)=6B.|n(n—1)=6

C.n(n+1)=6D.n(n-1)=6

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意、找準(zhǔn)相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵.每一支隊(duì)伍都要和

另外的(n-1)支隊(duì)伍進(jìn)行比賽，于是比賽總場(chǎng)數(shù)=每支隊(duì)的比賽場(chǎng)數(shù)x參賽隊(duì)伍+重復(fù)的場(chǎng)數(shù)，即可解答.

【詳解】解：共有〃支隊(duì)伍參加比賽，根據(jù)題意,

可列方程為-1)=6；

故選：B.

【變式8-3](23-24九年級(jí)下.全國(guó)?專題練習(xí))一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4,且個(gè)位數(shù)字

與十位數(shù)字的平方和比這兩位數(shù)小4,設(shè)個(gè)位數(shù)字為％,則方程為()

A.x2+(x-4)2=10(%—4)+%—4B.%2+(%+4)2=10%+%—4—4

C.x2+(x+4)2=10(x+4)+x—4D.x2+(x+4)2=10x+(x—4)—4

【答案】C

【分析】本題考查了數(shù)的表示方法，要會(huì)利用未知數(shù)表示兩位數(shù)，然后根據(jù)題意列出對(duì)應(yīng)的方程求解.根據(jù)

個(gè)位數(shù)與十位數(shù)的關(guān)系，可知十位數(shù)為％+4,那么這兩位數(shù)為：x+10(x+4),這兩個(gè)數(shù)的平方和為：x2+

(x+4)2,再根據(jù)兩數(shù)的值相差4即可得出答案.

【詳解】解：依題意得：十位數(shù)字為：x+4,這個(gè)數(shù)為：x+10(x+4)

這兩個(gè)數(shù)的平方和為：/+0+4)2,

???兩數(shù)相差4,

%24-(%+4)2=x+10(x+4)—4.

故選：C.

【題型9由一元二次方程的解求另一方程的解】

[例9](23-24九年級(jí)下?山東淄博?期中)若關(guān)于久的一元二次方程a/+b久+5=0(a片0)有一根為2022,

則方程a(x+I)2++1)=-5必有根為()

A.2022B.2020C.2019D.2021

【答案】D

【分析】設(shè)t=x+1,即a(x+I)2+b(x+1)=-5可改寫(xiě)為at?+bt+5=0,由題意關(guān)于x的一元二次方

程a/+bx+5=0(a力0)有一根為x=2022,§Pat2++5=。有一個(gè)根為t=2022,所以x+1=2022,

x=2021.

【詳解】由a(%+I)2+b(x+1)=一5得到a(%+I)2+b(x+1)+5=0,

對(duì)于一元二次方程a(%+I)2+b(x+1)=-5,

設(shè)￡=久+1,

所以a/+從+5=0,

而關(guān)于x的一元二次方程a/+板+5=0(a不0)有一根為x=2022,

所以砒2+%+5=0有一個(gè)根為t=2022,

則x+1=2022,

解得x=2021,

所以一元二次方程a(x+I)2+b[x+1)=—5有一根為%=2021.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解.掌握換元法解題是解答本題的關(guān)鍵.

【變式9-1](23-24九年級(jí)下?江蘇南通?階段練習(xí))若關(guān)于x的一元二次方程a/+版+2=0(a片0)有一根

為x=2021,則一元二次方程a。-l)2+bx-b=-2必有一根為()

A.2019B.2020C.2021D.2022

【答案】D

【分析】對(duì)于一元二次方程a(x-I)2+b(x-1)+2=0,設(shè)t=x—1得到a/+bt+2=0,利用at?+bt+

2=0有一個(gè)根為t=2021得到x-1=2021,從而可判斷一元二次方程a(x-I)2+b(x-1)=一2必有一根

為x=2022.

【詳解】解：,；a(x—I)2+bx—b=—2,

?*.CL(^X—1)2+b(x—1)+2—0,

設(shè)t=x-1,

at2+bt+2—0,

而關(guān)于x的一元二次方程a/+加；+2=0(aH0)有一根為x=2021,

Aat2+bt+2=0有一個(gè)根為t=2021,

則％-1=2021,

解得x=2022,

一元二次方程a(x-l)2+bx-b=-2必有一根為x=2022.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方

程的解.

【變式9-2](23-24九年級(jí)上?江蘇連云港?階段練習(xí))關(guān)于x的方程a(x+m)2+b=0的根是xi=5,X2—6,(a,

b,m均為常數(shù)，aRO),則關(guān)于x的方程a(x+m+2)2+b=0的根是

【答案】xi=3,X2=-8

【分析】將方程a(x+m+2)2+b=0變形為a(x+2+m)2+b=0,對(duì)照已知方程及其根得出x+2=5或x+2=-6,

解之可得答案.

【詳解】解：?.?關(guān)于x的方程a(x+m)2+b=0的根是xi=5,X2=-6,

丁?關(guān)于x的方程a(x+m+2)2+b=0,即a[(x+2)+m]2+b=0,

.*.a[(x+2)+m]2+b=0滿足x+2=5或x+2=-6,

解得xi=3,X2=-8,

故答案為：xi=3,X2=-8

【點(diǎn)睛】此題主要考查了方程解的定義以及直接開(kāi)方法求解，注意由兩個(gè)方程的特點(diǎn)，運(yùn)用整體思想進(jìn)行簡(jiǎn)

便計(jì)算.

【變式9-3](23-24九年級(jí)上?四川涼山?階段練習(xí))已知關(guān)于久的一元二次方程血(％-Zip一女=o(ni,h,k均

為常數(shù)，且znWO)的解是%i=2,%2=5,則關(guān)于％的一元二次方程—h+3)2=Z的解是.

【答案】%1=一1,%2=2

【分析】本題考查同解方程，涉及換元法，令x+3=y,由題意得到(y-h)2=5的解為%=2,%=5,解

方程即可得到答案，讀懂題意，由同解方程求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【詳解】解：??,關(guān)于％的一元二次方程-九)2-k=0(皿九,々均為常數(shù)，且znHO)的解是%1=2,%2=5,

即(％-h)2=5的解為均=2,X2=5；

令％+3=y,

.,?關(guān)于》的一元二次方程zn?！猦+3)2=k化為zn(y—ft)2=fc,

2

(%-/i)='的解為=2,x2=5,

???(y-h)2=5的解為％=2/2=5,即％+3=2或％+3=5,

,,,%]——1,%?=2,

?,?關(guān)于％的一元二次方程?-h+3尸=k的解是%1=-l,x2=2,

故答案為：Xi=-l,x2=2.