不等式與不等式組 章節(jié)復(fù)習(xí)卷（14個知識點+50題練習(xí)）（原卷版）

第09章不等式與不等式組章節(jié)復(fù)習(xí)卷（14個知識

點+50題練習(xí)）

知識點

知識點1.不等式的定義

（1）不等式的概念：用或號表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“w”號

表示不等關(guān)系的式子也是不等式.

（2）凡是用不等號連接的式子都叫做不等式.常用的不等號有“<”、">"、“W"、“》”、

“力”.另外，不等式中可含未知數(shù)，也可不含未知數(shù).

知識點2.不等式的性質(zhì)

（1）不等式的基本性質(zhì)

①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不

變,即：

若a>b,那么°±加>6±加；

②不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即：

若a>6,且加>0,那么0%>加?或三〉蟲；

mm

③不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，即：

若a>b,且m<0,那么am<bm或至<已；

mm

（2）不等式的變形：①兩邊都加、減同一個數(shù)，具體體現(xiàn)為“移項”，此時不等號方向不

變，但移項要變號；②兩邊都乘、除同一個數(shù)，要注意只有乘、除負數(shù)時，不等號方向才

改變.

【規(guī)律方法】

1.應(yīng)用不等式的性質(zhì)應(yīng)注意的問題：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)時，一

定要改變不等號的方向；當(dāng)不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數(shù)時，一定要對字母

是否大于0進行分類討論.

2.不等式的傳遞性：若a>b,b>c,則a>c.

知識點3.不等式的解集

（1）不等式的解的定義：

使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解.

（2）不等式的解集：

能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡稱解集.

（3）解不等式的定義：

求不等式的解集的過程叫做解不等式.

（4）不等式的解和解集的區(qū)別和聯(lián)系

不等式的解是一些具體的值，有無數(shù)個，用符號表示不等式的解集是一個范圍，用不等號

表示.不等式的每一個解都在它的解集的范圍內(nèi).

知識點4.在數(shù)軸上表示不等式的解集

用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：

一是定界點，一般在數(shù)軸上只標出原點和界點即可.定邊界點時要注意，點是實心還是空心,

若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；

二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右

【規(guī)律方法】不等式解集的驗證方法

某不等式求得的解集為x>。，其驗證方法可以先將。代入原不等式，則兩邊相等，其

次在x>a的范圍內(nèi)取一個數(shù)代入原不等式，則原不等式成立.

知識點5.一元一次不等式的定義

（1）一元一次不等式的定義：

含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式.

（2）概念解析

一方面它與一元一次方程相似，即都含一個未知數(shù)且未知項的次數(shù)都是一次，但也有不同，

即它是用不等號連接，而一元一次方程是用等號連接.

另一方面它與不等式有區(qū)別，不等式中可含、可不含未知數(shù)，而一元一次不等式必含未知

數(shù).但兩者也有聯(lián)系，即一元一次不等是屬于不等式.

知識點6.解一元一次不等式

根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式

基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項;

④合并同類項；⑤化系數(shù)為1.

以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到性質(zhì)3,即可能變不等號方向，其他

都不會改變不等號方向.

注意符號和“W”分別比“>”和各多了一層相等的含義，它們是不等號與

等號合寫形式.

知識點7.一元一次不等式的整數(shù)解

解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式的解集,然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下

一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而求得不等式的整數(shù)解.可以借助數(shù)軸進行數(shù)形結(jié)

合，得到需要的值，進而非常容易的解決問題.

知識點8.由實際問題抽象出一元一次不等式

用不等式表示不等關(guān)系時，要抓住題目中的關(guān)鍵詞，如“大于（小于）、不超過（不低于）、

是正數(shù)（負數(shù)）”“至少”、“最多”等等，正確選擇不等號.

因此建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵，不同的詞里蘊含這不同的不等關(guān)系.

知識點9.一元一次不等式的應(yīng)用

（1）由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學(xué)模型，通過解不等式可以

得到實際問題的答案.

（2）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中

的不等關(guān)系.因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵.

（3）列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟：

①弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù).

②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式.

③解不等式，求出解集.

④寫出符合題意的解.

知識點10.一元一次不等式組的定義

（1）一元一次不等式組的定義：

幾個含有同一個未知數(shù)的一元一次不等式組合在一起，就組成了一個一元一次不等式組.

（2）概念解析

形式上和方程組類似，就是用大括號將幾個不等式合起來，就組成一個一元一次不等式

組.但與方程組也有區(qū)別，在方程組中有幾元一般就有幾個方程，而一元一次不等式組中不

等式的個數(shù)可以是兩個及以上的任意幾個.

知識點11.解一元一次不等式組

（1）一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組

成的不等式組的解集.

（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組.

（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集,

再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.

方法與步驟:①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分.

解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到.

知識點12.一元一次不等式組的整數(shù)解

（1）利用數(shù)軸確定不等式組的解（整數(shù)解）.

解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集,然后再根據(jù)題目中對于解集的

限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而求得不等式組的整數(shù)解.

（2）已知解集（整數(shù)解）求字母的取值.

一般思路為先把題目中除未知數(shù)外的字母當(dāng)做常數(shù)看待解不等式組或方程組等，然后再根

據(jù)題目中對結(jié)果的限制的條件得到有關(guān)字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案.

知識點13.由實際問題抽象出一元一次不等式組

由實際問題列一元一次不等式組時，首先把題意弄明白，在此基礎(chǔ)上找準題干中體現(xiàn)不等關(guān)

系的語句，根據(jù)語句列出不等關(guān)系.往往不等關(guān)系出現(xiàn)在“不足”，“不少于”，“不大于”，

“不超過”等這些詞語出現(xiàn)的地方.所以重點理解這些地方有利于自己解決此類題目.

知識點14.一元一次不等式組的應(yīng)用

對具有多種不等關(guān)系的問題，考慮列一元一次不等式組，并求解.

一元一次不等式組的應(yīng)用主要是列一元一次不等式組解應(yīng)用題，其一般步驟：

（1）分析題意，找出不等關(guān)系；

（2）設(shè)未知數(shù)，列出不等式組；

（3）解不等式組；

（4）從不等式組解集中找出符合題意的答案；

（5）作答.

練習(xí)卷

一.不等式的定義（共4小題）

1.（2023春?射陽縣期中）有下列式子：①2>0；②4x+%l；③x+3=0；④y-7；⑤

7〃-2.5>3.其中是不等式的有一個.

2.（2023春?海口期中）數(shù)學(xué)表達式①-5<2；②4x+7>0；③x=5；?x2-xy+y2；⑤

x-4>y+l中不等式的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.（2023春?清江浦區(qū)校級期中）某飲料標簽上標有“脂肪含量,,0.8%”，那么100克該飲

料中最多含有脂肪多少克？（）

A.0克B.2克C.1.6克D.0.8克

4.（2023春?招遠市期末）寫出一個關(guān)于x的不等式，使-5,2都是它的解，這個不等式可

以為—.

二.不等式的性質(zhì)（共4小題）

5.（2023春?臨淄區(qū)期末）若,貝I]ac?be2.

6.（2023?高明區(qū)二模）已知。>6,下列不等式一定成立的是（）

A.Q+1<6+1B.一>一C.—3Q>—3bD.a—c<b—c

33

7.（2023春?石獅市校級期中）若不等式（加-5）尤>（加-5）,兩邊同除以（加-5）,得x<l,

則m的取值范圍為.

8.（2023春?鎮(zhèn)平縣月考）閱讀下列材料，并完成問題解答：

己知"x-y=2,且x>l,y<0,試確定x+y的取值范圍"有如下解法：

解：'：x-y=2,:.x=y+2.又?rx>l,y+1>\.j?>-1.又■.,、<（）,一1<><0

①，同理l<x<2②，

由①+②得-l+l<x+y<0+2,+y的取值范圍是0<x+”2.

（1）【啟發(fā)應(yīng)用】請按照上述方法，完成下列問題：

已知x—y=3,且x>3,y<2,貝！Ix+y的取值范圍是；

（2）【拓展推廣】請仿照上述方法，深入思考后完成下列問題：

已知x+y=3,且x>2,y>-3,試確定x-y的取值范圍.

三.不等式的解集（共4小題）

fV>4

9.（2023春?香坊區(qū)期末）若關(guān)于x的不等式的解集為尤>4,則m的取值范圍是（

[x>m

）

A.m>4B.m<4C.m...4D.m?4

10.（2023春?集美區(qū)校級期中）若不等式（q-l）x〉l-。的解集是x<-1,則a的取值范圍

是—.

11.（2023春?原陽縣期中）已知不等式二-l>x與QX-6>5X同解，試求a的值.

2

12.（2023春?鎮(zhèn)平縣期中）己知關(guān)于x,y的方程組［"x+2即：4,與［：->=2,相

同的解.

（1）求這個相同的解；

（2）小剛同學(xué)說：“。=10是不等式（3-?？?（2。+1）夕>0的一個解”這句話對嗎？請說明

理由；

（3）小明同學(xué)說“無論a取何值，（1）中的解都是關(guān)于x,y的方程（3+a）x-（3。-l）y=10

的解這句話對嗎？請說明理由.

四.在數(shù)軸上表示不等式的解集（共4小題）

13.（2024春?西安期中）如圖，數(shù)軸所表示的不等式的解集是（）

zn__

-10

A.x<—1B.x>—1C.x?—1D.x...—1

14.（2023春?望花區(qū)期末）一個關(guān)于x的不等式，它的解集在數(shù)軸上如圖所示，這個不等

式的解集為―.

_____］________A

0_

2

15.（2023春?鎮(zhèn)雄縣期末）如圖，數(shù)軸上表示的解集是下列哪個不等式的解集（）

______???????

-3-2-10123

A.12-6x<0B.12-6x?0C.12-6x>0D.12-6x..O

16.（2023春?彭山區(qū)校級期中）請閱讀求絕對值不等式|x|<3和|x|>3的解集過程.

對于絕對值不等式|x|<3,從圖1的數(shù)軸上看：大于-3而小于3的絕對值是小于3的，所

以|x|<3的解集為—3<x<3；

對于絕對值不等式Ix|>3,從圖2的數(shù)軸上看：小于-3而大于3的絕對值是是大于3的,

所以|x|>3的解集為x<-3或x>3.

-3<x<3

x<—3x>3

【?611111611A

-5-4-3-2-1012345-5-4-3-2-1012345

①②

（1）不等式|2x|<5的解集為—

（2）不等式2?|3》-1|>10的解集為

（3）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組的解滿足住-2外,10其中機是非

負整數(shù)，求機的值.

五.一元一次不等式的定義（共3小題）

17.（2023春?沈丘縣期中）在下列不等式中，是一元一次不等式的為（）

A.8>6B.x2>9C.2x+y?5D.；（x-3）<0

18.（2023春?萬州區(qū)校級期中）已知伍-1"回+加>0是關(guān)于x的一元一次不等式，則a的

值為—.

19.若不等式3（工-1）”加一十〃工一3是關(guān)于％的一元一次不等式，求加、〃的取值.

六.解一元一次不等式（共4小題）

20.（2022?永興縣期末）關(guān)于x的方程x-5=-3〃解為負數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.a>0B.a<0C.a>—D.a<—

33

21.（2024?姑蘇區(qū)一模）不等式2x-3...1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

A.012B.

C.012D.2

22.（2023?肥城市校級模擬）己知關(guān)于x、y的二元一次方程組,了2尸2"：1的解滿足

\2x+y=m+2

x-y>2,則冽的最大整數(shù)值為機=.

23.（2023春?姜堰區(qū)校級期中）解下列不等式，并將解集在數(shù)軸上表示出來：

（1）3（2x+2）〉4（x-1）+7；

/c、％一1x+4"

（2）>-2.

23

七.一元一次不等式的整數(shù)解（共4小題）

24.（2023春?鯉城區(qū)校級期中）對于不等式a">加（a>0且a。1）,當(dāng)4>1時，x>y,當(dāng)

0<°<1時，X<y.當(dāng)關(guān)于X的不等式（；）"T<（g）52,其解集中無正整數(shù)解，則左的取值

范圍—.

25.（2023春?仁壽縣校級期中）如果關(guān)于x的不等式2x-5,,2a+l只有4個正整數(shù)解，那么

。的取值范圍是（）

A.1?a?2B.\<a<2C.1?a<2D.l<a?2

26.（2023春?東城區(qū)校級期末）求不等式上±1一匕1...匕1的正整數(shù)解.

326

27.（2024?蓮池區(qū)一模）觀察下列式子，定義一種新運算：5#3=2x5-3；

3#（-l）=2x3+l；-4#（-3）=2x（-4）+3.

（1）這種新運算是：x#y=—（用含x,y的代數(shù)式表示）；

（2）若加#（-3）>3#%,求心的最小整數(shù)值；

（3）若a,6均為整數(shù)，試判斷（a#b-b#a）#3a是否能被3整除，并說明理由.

八.由實際問題抽象出一元一次不等式（共3小題）

28.（2023春?桐柏縣校級月考）的2倍與8的和不大于2與別的差”用不等式表示

為—,

29.（2023春?廬陽區(qū)校級期中）一件商品的成本價是50元，如果按原價的八五折銷售，至

少可獲得12%的利潤，若設(shè)該商品的原價是x元，則列式正確的是（）

A.50-50xl2%...85%xB.50-50x12%,,85%x

C.50+50xl2%...85%xD.50+50x12%,,85%x

30.（2022春?安陽期末）請根據(jù)小明同學(xué)解不等式的過程，完成下面各項任務(wù)：

解不等式正1…在二A+1

64

解：去分母，得2（x+l）...3（2x-5）+l...............第一步

去括號，得2x+2...6x-5+l...............第二步

移項,得2x-6x...-5+1+2...............第三步

合并同類項，得-4x..-2...............第四步

系數(shù)化為1,得.......第五步

2

所以不等式的解集為：x...i

2

任務(wù)一：以上解題過程中，從第一步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是—；

任務(wù)二：請從出現(xiàn)錯誤的步驟開始，把正確的解答過程完整的寫出來；

任務(wù)三：請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，寫出一條解不等式時需要注意的事項.

九.一元一次不等式的應(yīng)用（共3小題）

31.（2023春?漂陽市期末）某種服裝的進價為200元，出售時標價為300元，由于換季，

商店準備打折銷售，但要保持利潤不低于20%,那么至多打（）

A.6折B.7折C.8折D.9折

32.（2023春?南崗區(qū)校級期中）某種出租車的收費標準起步價9元（即行駛距離不超過3

千米都需付9元車費），超過3千米以后，每增加1千米，扣收1.9元（不足1千米按1千

米計）.某人乘這種出租車從甲地到乙地共付車費18.5元，那么甲地到乙地路程的最多是

千米.

33.（2024?歷城區(qū)一模）2023年中國新能源汽車市場火爆.某汽車銷售公司為搶占先機，

計劃購進一批新能源汽車進行銷售.據(jù)了解，1輛/型新能源汽車、3輛3型新能源汽車的

進價共計55萬元；4輛/型新能源汽車、2輛2型新能源汽車的進價共計120萬元.

（1）求/,B型新能源汽車每輛進價分別是多少萬元.

（2）公司決定購買以上兩種新能源汽車共100輛，總費用不超過1180萬元，該汽車銷售公

司銷售1輛/型新能源汽車可獲利0.9萬元，銷售1輛8型新能源汽車可獲利0.4萬元，若

汽車全部銷售完畢，那么銷售/型新能源汽車多少輛時獲利最大？最大利潤是多少？

一十.一元一次不等式組的定義（共3小題）

34.下列各式中，是一元一次不等式組的是（）

x+2?3

x+y<23>2%,3

A.《B.D.

--3<23x+1...02x...4x>6

、X

35.有解集2Vx<3的不等式組是—（寫出一個即可）.

36.判斷下列式子中，哪些是一元一次不等式組?

,、[x=42[x>5、，[2x-6?0、「北

⑴\(2)x\,(3)h<10(4)(5)\

[x>3[x2<813]-3y..10[x<

一十一.解一元一次不等式組（共4小題）

2Y—]>y_i_1

{iJ解集為()

A.x>2B.x?3C.2<x?3D.x...3

38.（2023?鄂倫春自治旗二模）已知不等式組;;其解集在數(shù)軸上表示正確的是（

B.-^^7

A.-3-2-1012

一L一一j

C.-3-2-1012D.-3-2-1012

x-a>3

39.（2023春?正定縣期末）若關(guān)于、的不等式組x+2x-1無解，則。的取值范圍

---------1>------

是

40.（2024春?昌樂縣期中）新定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi),

則稱該一元一次方程為該不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”.

f—V-L9>x—S

（1）判定方程x-（3x+l）=-5是不是不等式組3；_]>T+2的關(guān)聯(lián)方程，并說明理由;

（2）若方程號-l=x,2（x+l）-x=2.5都是關(guān)于x的不等式組一加的關(guān)聯(lián)方程,

x—2<m

求加的取值范圍.

一十二.一元一次不等式組的整數(shù)解（共3小題）

41.（2023春?祁東縣校級期中）若關(guān)于x的不等式組x+1,有且僅有五個整數(shù)

5x+3〉Q—2x

解，則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和為（）

A.0B.-1C.-3D.-7

42.（2023春?撫順期末）若關(guān)于x的一元一次不等式組/X+3>12恰有3個整數(shù)解，則實

[x-2a?0

數(shù)。的取值范圍是—.

43.（2024春?蘭州期中）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式組的解，則稱該一元

一次方程為該不等式組的關(guān)聯(lián)方程.例如：方程2x-6=0的解為x=3,不等式組「一之,。

[x<5

的解集為2<x<5,因為2<3<5,所以，方程2x-6=0為不等式組廠一之〉。的關(guān)聯(lián)方

[x<5

程.

（1）在方程①x-2=0,②二+1=0,③5x-2=0中，不等式組卜一丈0的關(guān)聯(lián)方程

4[x>l

是;（填序號）

Y-------[

（2）若不等式組4的一個關(guān)聯(lián)方程的根是整數(shù)，則這個關(guān)聯(lián)方程可以是—;

4+2x>—7x+5

（寫出一個即可）

（3）若方程x-2=0,L=1都是關(guān)于x的不等式組尸St”的關(guān)聯(lián)方程，求.得取值

范圍.

一十三.由實際問題抽象出一元一次不等式組（共3小題）

44.（2022春?突泉縣期末）研究表明，運動時將心率0（次）控制在最佳燃脂心率范圍內(nèi),

能起到燃燒脂肪并且保護心臟功能的作用.最佳燃脂心率最高值不應(yīng)該超過（220-年齡）

x0.8,最低值不低于（220-年齡）x0.6.以40歲為例計算，220-40=180,

180x0.8=144,180x0.6=108,所以40歲的年齡最佳燃脂心率的范圍用不等式可表示為

（）

A.108?p?144B.108Vp<144C.108?p?190D.108<p<190

45.某公司從超市購買了墨水筆和圓珠筆共15盒，所付金額超過570元，但不到580元.已