不等式與復(fù)數(shù)（講義）-2025年北京高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題02不等式和復(fù)數(shù)

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................1

07軍nt口旦囪.田姓己I白吉q

03知識(shí)梳理?方法技巧............................................................4

04真題研析?精準(zhǔn)預(yù)測(cè)............................................................7

05核心精講?題型突破............................................................9

題型一：利用基本不等式比較大小9

題型二：利用基本不等式求最值13

題型三：復(fù)數(shù)的基本考點(diǎn)18

題型四：復(fù)數(shù)的高級(jí)考點(diǎn)21

0

/“考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航Q

有關(guān)不等式和復(fù)數(shù)的北京高考試題，考查重點(diǎn)是不等式的性質(zhì)和基本不等式及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考試

形式分別以一道選擇題為主，分值5分.近年來(lái)試題關(guān)于《不等式》以不等式的性質(zhì)為主，多與函數(shù)及其他

有關(guān)最值等內(nèi)容交匯，屬于中檔性題目，而關(guān)于《復(fù)數(shù)》以考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算為主，偶爾與其他知識(shí)交匯、

難度較小，屬于基礎(chǔ)性題目，在解決這些問(wèn)題時(shí)，要注意不等式性質(zhì)及復(fù)數(shù)運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)基礎(chǔ)性題目較多

而不等式綜合性題目居多.不等式主要考查考生的邏輯思維能力。提升考生的邏輯推理素養(yǎng)

考點(diǎn)要求目標(biāo)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

預(yù)測(cè)2025年高考，①

不等式的性質(zhì)和基本不等

式這部分內(nèi)容主要以選擇

基本不等式的應(yīng)

不等式2024北京第9題，5分題或填空題的形式出現(xiàn)，這

用；不等式的性質(zhì)

類題目主要考查邏輯思維

能力和運(yùn)算求解能力。

②以考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

為主，偶爾與其他知識(shí)交

匯、難度較小，考查代數(shù)運(yùn)

復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算；2024年北京第2題，5分

復(fù)數(shù)的坐標(biāo)運(yùn)算；2023年北京第2題，5分算的同時(shí)，主要涉及考查的

共甄復(fù)數(shù)的概念2022年北京第2題，5分概念有:復(fù)數(shù)的代數(shù)形式'

復(fù)數(shù)

及計(jì)算；復(fù)數(shù)模長(zhǎng)2021年北京第2題，5分共舸復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)

的運(yùn)算；復(fù)數(shù)的幾2020年北京第2題，5分

數(shù)的幾何意義等，考查學(xué)生

何意義2019年北京理科第1題，5分

的邏輯推理'數(shù)學(xué)運(yùn)算等

學(xué)科核心素養(yǎng)

〃用識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

牛ni口捺理?右法怙,

1、利用不等式的性質(zhì)比較大小

遨道

(鼠路]核心技均，應(yīng)用不等式的性質(zhì)時(shí)，注意保序和反序

如：①不等式兩邊同時(shí)乘以非負(fù)需要保序②不等式兩邊同時(shí)非負(fù)方需要保序

③不等式兩邊同時(shí)乘以負(fù)數(shù)需要反序④同號(hào)取倒反序

④同向不等式具有可加性，同向同正不等式具有可乘性

通路2：可以代值驗(yàn)證選?有時(shí)需要代多組數(shù)據(jù),相對(duì)麻煩，本人不推薦

2、基本不等式常用模型

技巧總結(jié)

(形式一，mx+—>2Jmn(m>0,?>0),當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)等號(hào)成立.

xVm

(形式二)mx-\——^—=m{x-d)-\——-——\-ma>2y1mn+ma(m>Q,n>0)，當(dāng)且僅當(dāng)％一。=時(shí)等號(hào)

x-ax-aVm

成立.

———=—1—<^=—(。>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)x=J-時(shí)等號(hào)成立.

形式三

ax辦+人+§2]ac+bVa

x

Anzfnn、/、mx(n-mx)1,mx+n-mx2//八八八止口e止n

I形式四-mx)=--------------<—(---------------)X=——(m>0,n>0,0<x<一),當(dāng)且僅當(dāng)x=——

mm24mm2m

時(shí)等號(hào)成立.

3、雙加配湊模型

運(yùn)總畫(huà)

履查)形如：已知。+?=1,求的最值

------a+mb+n

第一步：將條件配湊成分母的形式

(tz+m)+(/?+n)=1+m+n

第二步：相乘利用基本不等式

n----------1(a+m)+(/?+〃)](1——--]

1+m+n\a+mb+n)

4、利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”

訪壽

（1）正：使用均值不等式所涉及的項(xiàng)必須為正數(shù)，如果有負(fù)數(shù)則考慮變形或使用其它方法

（2）定：使用均值不等式求最值時(shí)，變形后的一側(cè)不能還含有核心變量.

（3）等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號(hào)成立，要注意以下兩點(diǎn)：

①若求最值的過(guò)程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號(hào)成立的條件必須能夠同時(shí)成立（彼此不沖突）

②若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號(hào)成立時(shí)變量的值，并驗(yàn)證是否符合初始

范圍.

注意：形如y=x+4（a〉0）的函數(shù)求最值時(shí)，首先考慮用基本不等式，若等號(hào)取不到，再利用該函數(shù)的

x

單調(diào)性求解.

5、幾個(gè)重要的不等式

函道

（1）a2>O（tzeR）,4a>0（a>O）,|tz|>0（aeR）.

（2）基本不等式：如果則巴心之而（當(dāng)且僅當(dāng)=6，，時(shí)取

2

特例：a>0,?+->2;-+->2（a/同號(hào)）.

aba

（3）其他變形:

①Y+廿之（"+"）（溝通兩和a+b與兩平方和a2+b2的不等關(guān)系式）

2

②abW生地-（溝通兩積ab與兩平方和a2+b1的不等關(guān)系式）

2

③（溝通兩積ab與兩和a+b的不等關(guān)系式）

④重要不等式串：石即

ab

調(diào)和平均值<幾何平均值<算數(shù)平均值<平方平均值（注意等號(hào)成立的條件）.

6、不等式易錯(cuò)分析

礪，百

基本不等式

如果。>0方>0,那么向當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.其中，i叫作4,6的算術(shù)平均數(shù)，4ab

22

叫作a,b的幾何平均數(shù).即正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

基本不等式1：若a,beR,則當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào)；

基本不等式2：若a,bcR+,則"+”4^(或a+b22mj),當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào).

2

注意(1)基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時(shí)和或積為定

值，“三相等”指滿足等號(hào)成立的條件.(2)連續(xù)使用不等式要注意取得一致.

7、復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)考點(diǎn)

技巧總結(jié)

(1)復(fù)數(shù)的概念：

形如a+初(a/eR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中。力分別是它的實(shí)部和虛部.若6=0,則。+方為實(shí)數(shù)；若bwO,

則a+方為虛數(shù)；若a=0且Z?wO,則a+方為純虛數(shù).

(2)復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+dioa=c且b=d(a,b,c,deR).

(3)共輾復(fù)數(shù)：。+初與c+di共輾oa=c/=-d(a,dc,deR).

(4)復(fù)數(shù)的模：

向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z=a+歷①/eR)的模，記作忖或|a+歷|,即|zH。+歷1=Z?方.

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

一一對(duì)應(yīng)

(1)復(fù)數(shù)z=a+bi-<------*復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)(a,beR).

一一對(duì)應(yīng)

(2)復(fù)數(shù)z=Q+Z?，(〃,Z?￡火)^------?平面向量。Z.

3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算

設(shè)4=a+次；z2=c+di(a,b,c,deR),則

(1)加法：4+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；

(2)減法：Z]—z2=(〃+初)—(c+成)=(a—c)+(>—；

(3)乘法：4?z2=(a+bi)-(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；

8、復(fù)數(shù)的高級(jí)考點(diǎn)

1.分式快速化簡(jiǎn)

4_a+bi_{a+bi)(c-di)ac+bdbe-ad.z八、

中+E瓶+4”°）（分母相同'分子豎的加叉的減）

Z2c+di(c+di)(c—di)

2.分式的模長(zhǎng)快速求解:

c+dic+di7c2W

z=nz=nz=

a+bia+bi

倒4

宜顛金血迎

1.【2024年北京第9題】已知（不/），（9，%）是函數(shù)y=2,的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，貝！J（）

＜%+%2

X+%；%+尤2

A.B.log

2222

C.log，%

2D.log?必＞xt+x2

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.

【詳解】由題意不妨設(shè)%<%,因?yàn)楹瘮?shù)y=2*是增函數(shù)，所以0<2'，<2也，即0<%<為，

9X19X2I----------國(guó)+工2,,I,,西+巧

對(duì)于選項(xiàng)AB：可得'"＞，2'?'22=2,即衛(wèi)匹＞22＞0,

22

根據(jù)函數(shù)y=log?X是增函數(shù)，所以log?入產(chǎn)>log22==土產(chǎn)，故B正確，A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D：例如石=0,x2=1,則%=1,%=2,

可得log2%%=log?e（。/），即log?」；為<]=&+々,故D錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：例如再=一1,%2=—2,則>1=5，%="

可得log2汽匹=log2：=log23-3e（-2,-l）,即bg?再其>-3=占+無(wú)？，故C錯(cuò)誤，

2o2

故選：B.

2.【2024年北京第2題】已知f=-1—i,貝!Jz=().

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【答案】C

【詳解】由題意得z=i(—1—i)=1—i.

故選：C.

3.【2023年北京第2題】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,板)，則z的共朝復(fù)數(shù)2=()

A.1+V3iB.1-V3i

C.-1+V3iD.-1-V3i

【答案】D

【詳解】z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是(-1,百)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，z=-l+V3i,

由共輾復(fù)數(shù)的定義可知，z=-1-V3i.

故選：D

4.[2022年北京第2題】若復(fù)數(shù)z滿足i?z=3-4i,則|z|=()

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【詳解】由題意有z=彳=咋早=一4一3i,故團(tuán)=?-4)2+(—3)2=5.

故選：B.

5.【2021年北京第2題】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足(l—i)z=2,貝!Jz=()

A.-1—iB.-1+iC.1—iD.1+i

【答案】D

【詳解】由題意可得：z=/=U^=與也=l+i.

故選：D.

6.【2020年北京第2題】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2),貝ij>z=().

A.1+2iB.-2+iC.1—2iD.-2—i

【答案】B

【詳解】由題意得z=1+2i,iz=i-2.

故選：B.

7.【2019年北京理科第1題】已知復(fù)數(shù)z=2+i,則zN=

A.V3B.V5C.3D.5

【答案】D

【詳解】：z=2+i,z-N=(2+i)(2-i)=5故選D.

8.【2018年北京理科第2題】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)七的共輾復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

1-1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【詳解】a=息片=1+泄共輾復(fù)數(shù)用小

對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C，-｝，在第四象限，故選D.

9.【2017年北京理科第2題】若復(fù)數(shù)U-i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是

A.(-GO,1)B.(-00,-1)

C.(1,+8)D.(-1,+co)

【答案】B

【詳解】設(shè)z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以+1J°,解得:

a<—1,故選B.

10.[2015年北京理科第1題】復(fù)數(shù)i(2-i)=

A.1+2iB.1—2iC.-1+2iD.-1—2i

【答案】A

【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算計(jì)算得：i(2-i)=2i—*=i+2i,故選A.

11.【2016年北京理科第9題】設(shè)aeR,若復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，貝b=—

【答案】—1.

【詳解】由題意得(1+i)(a+i)=a-l+(a+l)ie/?=>a=-1.

題型一：利用基本不等式比較大小

【典例1-1】已知函數(shù)〃x)=2、，若VXwZeR,且玉<馬，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()

(%</(占)+/八2)

A./(占)</(%)B.I2J2

C./(^2)=/(^)+/(%2)D./(再+%)=/(占)/(3)

【答案】C

【詳解】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知f(x)在R上單調(diào)遞增，

又占<%，所以/(再)</(馬)，故A正確;

因?yàn)?~>0,2方>0,

所以/區(qū)）；/區(qū)）=2；2*2弋2*'T=2號(hào)=（%；”2）,

又改<々，所以上式取不到等號(hào)，所以"”>*）>/1號(hào)）,故B正確;

/（XjX2）=2不也，/&）+/（%）=2*+2?，

Vxpx2GR,x<%2，/（玉（玉）+/（%2），故c錯(cuò)誤;

/&+%)=2?巧，/(%)/(%)=2』?2巧=2再+電=/(玉+%2),故D正確.

故選：C.

【典例1-2】若G/ER,且〃>￡?,則()

A.B.a2b>ab1

a+\b+\

c、、CQ+b7

C.a>ab>Z?D.a>——>b

2

【答案】D

2222

【詳解】由于"*，取。=1,》=-1,1=工=(,ab=ab=l,無(wú)法得到三二(TT二，ab>ab,

a+1b+12a+1b+1

故AB錯(cuò)誤，

取〃=0,0=_2,則"=0"=0萬(wàn)=4,無(wú)法得到〉">/,C錯(cuò)誤,

由于0>6,貝!J2a>〃+a>2Z?,所以。>>b,

2

故選：D.

巧

1、應(yīng)用基本不等式時(shí)的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)

一正數(shù)指式子中的a,b均為正數(shù)

二定值只有ab為定值時(shí)才能應(yīng)用基本不等式，因此有時(shí)需要構(gòu)造定值

三相等即“=”必須成立，求出的定值才是要求的最值

2、利用基本不等式比較大小

在利用基本不等式比較大小時(shí)，應(yīng)創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的使用條件，合理地拆項(xiàng)、配湊或變形.在拆

項(xiàng)、配湊或變形的過(guò)程中，首先要考慮基本不等式使用的條件，其次要明確基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為

“積式”或者將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能

【變式1-1】已知a,"ceR,則下列命題為假命題的是（）

A.若?>〃，貝UQ+C>Z?+CB.若a>b>0,貝/4

C.若。>b,則［廠<］丫°D.若a>6>0,c>0,則2>衛(wèi)

(2)aa+c

【答案】D

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閍>Z?,所以Q+C>Z?+C,故A結(jié)論正確；

對(duì)于B,當(dāng)，>b>0時(shí)，因?yàn)槿瘮?shù)y=x°4在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以/?4>那4,故B結(jié)論正確;

對(duì)于C,因?yàn)椤?gt;人，所以a+c>〃+c,

而函數(shù)y=［gj為減函數(shù)，所以<］］，故C結(jié)論正確；

bb+cb(a+c)—Q0+c)c^b-a)

對(duì)于D,—7\―—7\，

aa+c研a+c)aya+cj

因?yàn)閍>Z?>0,c>0,所以c0—a)(0,a(a+c>0,

bb+cc(b—(i\bb+c

所以-------=—-(<0,所以故D結(jié)論錯(cuò)誤.

aa+ca^a+c)aa+c

故選：D.

【變式1?2］已知Q>>>0,下列不等式中正確的是()

A.—>—B.ab<b2

ab

C.ct-b-\-----22D.---<----

ci—ba—1b—1

【答案】C

【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)椤?gt;6>0,0<,<?，而c的正負(fù)不確定，故A錯(cuò)誤；

ab

對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)閍>b>0,所以而>〃，故B錯(cuò)誤；

11Ii-

對(duì)于選項(xiàng)C,依題意a>>>0,所以〃一/?>0,->0,所以。一/?+---->2j(a-b)x----=2,故C正確;

a-ba-bVa-b

對(duì)于選項(xiàng)。，因?yàn)閍>b>0,〃-1〉-1,7與^—正負(fù)不確定，故大小不確定，故D錯(cuò)誤；

a-1b-\

故選：C.

【變式1-3】已知av0v0,則()

A.---->0B.sina—sin〃>0

ab

C.同-同<0D.ln(-tz)+ln(-Z?)>0

【答案】A

【詳解】因?yàn)閍<》<0,所以［-1="￡>0,選項(xiàng)A正確；

abab

當(dāng)1=一2幾/=一兀時(shí)，顯然滿足Qvb<0,但sina-sinZ?=O,選項(xiàng)B不正確;

當(dāng)〃=一2兀/=一兀時(shí)，顯然滿足avbvO,但問(wèn)—例>0,選項(xiàng)C不正確；

當(dāng)。=一（,人=一;時(shí)，顯然滿足"〈/?〈0,但是111（一。）+3-6）<0,選項(xiàng)D不正確,

故選：A

【變式L4]若乃>0,且av-則下列不等式一定成立的是（）

A.a2<b2B.—<7

ab

…ba入—a+br-r

C.—I—>2D.------->A/ab

ab2

【答案】C

【詳解】取，=—3/=—2滿足〃6>0,且。<6,止匕時(shí)/〉/,A錯(cuò)誤；

取〃=-3]=—2滿足ab>0,且〃<b,止匕時(shí),>1，B錯(cuò)誤；

ab

b八〃c—ba入ba入廠十會(huì)

—>0,7>0可傳—I—>2.-----=2,C正確；

abab\ab

取〃二-31=一2滿足,且a<b,止匕時(shí)D錯(cuò)誤.

2

故選：C.

命題預(yù)測(cè)

1.下列命題中，真命題的是（）

A.若avb,則B.若a>b,貝!

ab

C.若0<Q<Z?<C,貝（Jlog,。<log,bD.若a+2b=2,貝!）2。+型>4

【答案】D

【詳解】對(duì)A,當(dāng)“=-1/=1時(shí)，則故A錯(cuò)誤；

ab

對(duì)B,當(dāng)。二-1/=一2時(shí)，貝Ij/=1,。人=2,則/〈必，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,當(dāng)0vc<l時(shí),根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性知log。。>log*,故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,若a+2b=2,則2"+242。?4"=2d2。+2b=4,

當(dāng)且僅當(dāng)。=1,6=（時(shí)取等號(hào)，故D正確.

故選：D.

2.設(shè)0<。<6,則下列不等式中正確的是

A.a<b<y[ab<a+^B.a<^[ab<a+<b

22

C.a<y[ab<b<"+"D.\[ab<a<<b

22

【答案】B

9

【詳解】：0<a<bf由基本不等式得必<如，：.a=4^<4ab<^-<^=b

222

故選：B.

題型二：利用基本不等式求最值

1o

【典例2-1】已知函數(shù)/(X)=，T過(guò)定點(diǎn)M,點(diǎn)M在直線如+〃y=l上且九">0,則上+上的最小值為()

mn

A.3+2應(yīng)B.4+272C.3+0D.4+忘

【答案】A

【詳解】由題設(shè)，/(%)=。1恒過(guò)點(diǎn)時(shí)(1,1),貝打〃+〃=1,

匕廠712/12、/、cn2m、一八上網(wǎng)=

所以—l—=(—I—)(m+〃)=3H-----1----->3+2,3+20,

mnmnmnmn

當(dāng)且僅當(dāng)m=A/2—1,n=2—A/2時(shí)等號(hào)成立,

所以目標(biāo)式最小值為3+2A/2.

故選：A

【典例2?2】已知尤>0,>>0,-+2y=1,則2%+—的最小值為()

%y

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【詳解】因?yàn)橛?gt;0,y>0,s.-+2y=l,

X

則2x+工=卜工+，||—+2^|=4+4xy+—>4+24xy--=8,

yIy八％J沖Y孫

-+2y=l

X

“一：時(shí)，等號(hào)成立，故"+工的最小值為8.

1」

當(dāng)且僅當(dāng)4Axy=一時(shí),即當(dāng)

孫

"=4y

x>0,y>0

故選：C.

國(guó)O巧

利用基本不等式求代數(shù)式的最值

(1)利用基本不等式求代數(shù)式的最值，要通過(guò)恒等變形以及配湊，使“和”或“積”為定值，從而求得代數(shù)

式的最大值或最小值

(2)若是求和式的最小值，通?；?或利用)積為定值；若是求積的最大值，通?；?或利用)和為定值，解

答技巧都是恰當(dāng)變形、合理拆分項(xiàng)或配湊因式

【變式2-1】已知而為正數(shù)，則學(xué)+2()

ba

A.有最小值，為2B.有最小值，為2應(yīng)

C.有最小值，為4D.不一定有最小值

【答案】B

【詳解】因?yàn)闀r(shí)為正數(shù)，所以：>0,->0,

ba

所以生+222、匡萬(wàn)=20,當(dāng)且僅當(dāng)學(xué)=?,即6=時(shí)取等號(hào)，

ba\baba

所以學(xué)有最小值2夜.

ba

故選：B

144

［變式2?2］在函數(shù)①y=x+—(xwO),?y=x+——--3(x>l),@y=-x----2(x<0),@

Xx-1X

y=A^^+7上］(xeR)中，以2為最小值的函數(shù)的序號(hào)為(

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】B

【詳解】對(duì)于①：例如x=-l,則>=-2,可知y=x+'(xwO)的最小值不為2,故①錯(cuò)誤;

X

對(duì)于②：因?yàn)閄>1,貝Ux-l>0,

44I4―

可得y=x+-----3=(x-l)+-----2>2(x-1)------2=2,

X1X1VX1

4

當(dāng)且僅當(dāng)x-l=二一,即x=3時(shí)，等號(hào)成立，

X—1

4

所以>=不■1---7—3(%>1)的最小值為2,故②正確；

x-1

對(duì)于③：因?yàn)閄V。，貝1」一%>。，

44/4

可得y=-x----2=(-X)H-----2>2/(-x)-----2=2,

x-xAV-x

4

當(dāng)且僅當(dāng)-兀=上，即x=-2時(shí)，等號(hào)成立，

-x

4

所以y=-％------2(%<0)的最小值為2,故③正確;

x

對(duì)于④：令/=則y=/+；(此逝)，

可知y=/+；在［0,+oo)上單調(diào)遞增，

當(dāng):應(yīng)(x=0)時(shí)，y=t+；取到最小值平，

所以y=V7*+R^(xeR)的最小值不為2,故④錯(cuò)誤;

故選：B.

【變式2-3］已知G是VABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作一條直線與邊A3,AC分別交于點(diǎn)E,F(點(diǎn)E,廠與所

在邊的端點(diǎn)均不重合)，設(shè)A3=%AE，AC=yAF,則一十一的最小值是()

xy

4

A.1B.-C.2D.4

3

【答案】B

211

取5c中點(diǎn)。，貝！JAG=—AD,AD=—ABH—AC,

322

AG=-AD=-(-AB+-Ac]=-AE+^AF,

33(22J33

???2G,少三點(diǎn)共線，???：+N=l,即x+y=3,

33

11=；(尤+日>|x(2+2)=1,

—+—

%y

3

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=；時(shí)，取等號(hào);

故選：B

【變式2-4】使“函數(shù)”x)=E7T+不工？的最小值為”為假命題的〃的一個(gè)值可以是()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】D

【詳解】依題意，/（尤）=&+4+1+/「22L/x*2+a+l-/「=2,

yX+〃+1VyX+Q+1

當(dāng)且僅當(dāng)J/+a+i=1即°=-爐時(shí)取等號(hào)，而_/<0,貝ijawo,

A/X+4+1

由“函數(shù)/（%）=jN+〃+l+的最小值為2”為假命題，所以a>0.

VX+4+1

故選：D

【變式2-5】當(dāng)x>2時(shí)，?+工2。恒成立，貝IJ。的最大值為（）

x-2

A.6B.10C.12D.13

【答案】C

【詳解】因?yàn)閤>2,所以4了+^^=4（工一2）+^^+822/4口一2）.^^+8=12,

當(dāng)且僅當(dāng)4（尤-2）=—二時(shí)，即犬=:時(shí)，等號(hào)成立，

所以由題意可知，a<12,即。的最大值為12.

故選：C

命題預(yù)測(cè)i]

1.已知（%,%）,（程必）是函數(shù)y=lnx的圖象上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，貝I]（）

+A+A

A.e?^>A±iB.cey1+^2>T2D.

2222

【答案】D

【詳解】如圖所示，設(shè)力Oi，yi），B（x2,y2）,AB的中點(diǎn)為M（幺產(chǎn)，巧匹），

點(diǎn)N在y=hx的圖象上，且M?V//x軸，則N（e2,

2

%+為?

由圖知點(diǎn)N在M的左側(cè)，即匕丁r士r玉，

2

所以e，i+，2<（'1+%）_工1+-2+2%%<%+-2

442

故選：D

Q

2.已知〃x)=2x+—-(4<x<6),〃尤)的值域?yàn)?/p>

【答案】［14,16］

【詳解】因?yàn)椋篺（x）=2x+-^-=2（x-3）+-^-+6>2.2（x-3）~^-+6=14（當(dāng)且僅當(dāng)2尤=士即x=5

x-3x-3V'/x-3x-3

時(shí)取“=.

Q

又根據(jù)“對(duì)鉤函數(shù)”的性質(zhì)，可知：函數(shù)"“=2苫+號(hào)在［4,5］上單調(diào)遞減，在［5,6］上單調(diào)遞增，且

x-3

/（4）=8+8=16,/（6）=12+|<16.

所以函數(shù)/（無(wú)）的值域?yàn)椋海?4,16］

故答案為：［14,16］

14

3.已知x>o,y>0,且沖=1,則一+一的最小值為.

%y

【答案】4

【詳解】因?yàn)?>。廣>0,且孫=1,

14C114cH/

所以一+一22/—x—=21一=4,

xyyxyVxy

141

當(dāng)且僅當(dāng)一=一=2,即冗=不丁=2時(shí)取等最小值4.

x>2

故答案為：4.

題型三：復(fù)數(shù)的基本考點(diǎn)

【典例3-11在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=2-3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（2,3）B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(2-3)

【答案】D

【詳解】因?yàn)閦=2-3i,所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-3),

故選：D

【典例3-2]設(shè)復(fù)數(shù)z=3-i,則復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()

1

A.(1,3)B.(-1,3)

C.(-1,-3)D.(—3,-1)

【答案】C

【詳解】因?yàn)閦=3-i,所以二=七三=①===世史=一予一1,

iii2-1

故復(fù)數(shù)三在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,-3),故C正確.

1

故選：C

①?gòu)?fù)數(shù)的概念：形如a+bi(a,6GR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，。，6分別是它的實(shí)部和虛部，i叫虛數(shù)單位，滿足尸=_]

(1)當(dāng)且僅當(dāng)6=0時(shí)，。+歷為實(shí)數(shù)

(2)當(dāng)厚0時(shí)，a+bi為虛數(shù)

(3)當(dāng)。=0且爾0時(shí)，“+歷為純虛數(shù).其中，兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共甄復(fù)數(shù)

\(2,=c

②兩個(gè)復(fù)數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,deR)相等,(兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn))

[b=a

③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)。+初(〃,萬(wàn)￡&的模，其計(jì)算公式Iz|=|a+初|='a2+廿

【變式3?1】復(fù)數(shù)z滿足三二(l+ai),在復(fù)平面內(nèi)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)?？赡苁?)

1-1

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】D

【詳解】由三=(l+ai),

可得：z=(l+ai)(l-i)=l+fl+(a-l)i,

由于復(fù)平面內(nèi)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限,

1+a<0

所以解得a<-l.

a-l<0"

故選：D.

【變式3?2】已知復(fù)數(shù)z滿足忖=2(i是虛數(shù)單位)，則|z+3|的取值范圍是()

A.[0,2]B.[1,3]C.[3,5]D.[1,5]

【答案】D

【詳解】忖=2表示z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是圓心為（0,0）,半徑為2的圓上的點(diǎn)，

東

（|1-|z+3|=|Z-（-3）|的幾何意義表示該圓上的點(diǎn)和點(diǎn)（-3,0）之間的距離,

而圓心（0,0）到點(diǎn)（-3,0）的距離為3,

所以|z+3|的最大距離為3+2=5,最小距離為3-2=1,

所以|z-2i|的取值范圍為口同

故選：D.

【變式3-3]已知復(fù)數(shù)z=l-2i（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.-2B.2C.-2iD.2i

【答案】A

【詳解】由題易知，實(shí)部為1,虛部為-2.

故選：A

【變式3-4]已知:=i-l,則忖=（）

A.0B.1C.72D.2

【答案】C

【詳解】依題意，z=（i-l）i=-l-i,則|2|=1（-1）2+（-1）2=夜.

故選：C

【變式3-5]在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=（2+i）i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【詳解】因?yàn)閦=（2+i）i=—l+2i,

可知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（-1,2）,位于第二象限.

故選：B.

命題預(yù)測(cè)

1.已知復(fù)數(shù)z=i(2-i),則|z|=()

A.1B.72C.73D.75

【答案】D

【詳解】由復(fù)數(shù)z=i(2-i)=l+2i,則|Z|=JF+22=若.

故選：D.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是卜1,石)，貝|i.z=()

A.V3+iB.-由-iC.73-iD.-g+i

【答案】B

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是卜1,7^,

所以z=-l+gi,則i-z=i-(-1+J丞)=-i+后2=Y-l

故選：B

3.已知復(fù)數(shù)z滿足|z+l|=|z-i|,則|z+i|的最小值為.

【答案】^2

22

【詳解】設(shè)2=工+J4(x,yeR),代入|z+1|=|z-i[得｛(%++y2=+⑶一口2

化簡(jiǎn)得,=一%

\z+i\=\x+(y+l)i|=商+(了+1)2=7x2+(-x+l)2=-2x+l=j(x-1)2+1,

所以x時(shí)，|z+i|取得最小值等，

故答案為：立.

2

題型四：復(fù)數(shù)的高級(jí)考點(diǎn)

z

【典例川設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足匯X則z"()

A.￥B.fC.-D.2

2

【答案】C

zi用+i)11.

【詳解】由=i,可得z=(l+z)i=>i=(l—i)znz=—=/、/、-------F—1,

1+Z1-i(l-i)(l+i)22

1-gi，則111

則z=—Z'Z=—+—=—

2442

故選：C

【典例4-2］若復(fù)數(shù)z滿足i=>2(i為虛數(shù)單位)，貝”的虛部是()