中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)訓(xùn)練專題09銳角三角函數(shù)（原卷版）

專題09銳角三角函數(shù)最新模擬押題預(yù)測(cè)40道（俯角仰角、方向角、坡度、解三角形）類型一、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用：俯角仰角問題1．（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）某校九年級(jí)數(shù)學(xué)項(xiàng)目化學(xué)習(xí)主題是“測(cè)量物體高度”．小明所在小組想測(cè)量中國文字博物館門口字坊AB的高度．如圖，在C處測(cè)得字坊頂端B的仰角為37°，然后沿CA方向前進(jìn)6.3m到達(dá)點(diǎn)D處，測(cè)得字坊頂端B的仰角為45°，求字坊AB的高度．(結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈2．（2023·山東菏澤·一模）某校數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機(jī)測(cè)量烈士塔的高度．無人機(jī)在點(diǎn)A處測(cè)得烈士塔頂部點(diǎn)B的仰角為45°，烈士塔底部點(diǎn)C的俯角為61°，無人機(jī)與烈士塔的水平距離AD為10m，求烈士塔的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，3．（2023·安徽合肥·合肥市廬陽中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，為了測(cè)量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度AD，九年級(jí)數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐小組了解到國旗的寬度AB=1.6m，小組同學(xué)在地面上的C處測(cè)旗桿上國旗A、B兩點(diǎn)的仰角，測(cè)得∠ACD=48.5°，∠BCD=45.0°，求旗桿頂端到地面高度AD．（結(jié)果精確到0.1）參考數(shù)據(jù)：（sin48.5°=0.75，cos48.5°=0.664．（2023·黑龍江綏化·?？家荒＃┬⊥鹾托±钬?fù)責(zé)某企業(yè)宣傳片的制作，期間要使用無人機(jī)采集一組航拍的資料．在航拍時(shí)，小王在C處測(cè)得無人機(jī)A的仰角為45°，同時(shí)小李登上斜坡CF的D處測(cè)得無人機(jī)A的仰角為31°．若小李所在斜坡CF的坡比為1：3，鉛垂高度DG=3米（點(diǎn)E，G，C，B在同一水平線上）．(1)小王和小李兩人之間的距離CD；(2)此時(shí)無人機(jī)的高度AB．（sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.605．（2023·河南新鄉(xiāng)·校聯(lián)考一模）如圖是人民英雄紀(jì)念碑，它位于北京天安門廣場(chǎng)中心，是為了紀(jì)念在人民解放戰(zhàn)爭(zhēng)和人民革命中犧牲的人民英雄，碑體正面是毛澤東親筆題詞“人民英雄永垂不朽”八個(gè)鎏金大字．右圖是紀(jì)念碑的示意圖，小麗在A處測(cè)得碑頂D的仰角為30°，沿紀(jì)念碑方向前進(jìn)37.1m后，在B處測(cè)得碑頂D的仰角為53°（點(diǎn)A，B，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，且點(diǎn)A，B，E，F(xiàn)在同一水平線上）求紀(jì)念碑的高度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，sin53°≈45；cos53°≈35，tan53°≈6．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）如圖，小剛同學(xué)從樓頂A處看樓下公園的湖邊D處的俯角為65°，看另一邊B處的俯角為25°，樓高AC為25米，求樓下公園的湖寬BD．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù):sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin65°≈0.917．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，西安市某居民樓南向的窗戶用AB表示，其高度為2.5米（A，B，D三點(diǎn)共線），此地一年冬至正午時(shí)刻太陽光與地平面的最小夾角α為32.3°，一年夏至正午時(shí)刻太陽光與地平面的最大夾角β為79.2°，并且在冬至的正午時(shí)刻陽光剛好全部射入窗戶，求遮陽棚中BD的高（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：cos79.2°≈0.2，tan79.2°≈5.2，cos8．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）如圖，小明在熱氣球A上看到正前方橫跨河流兩岸的大橋BC，并測(cè)得B，C兩點(diǎn)的俯角分別為60°和35°，已知大橋BC的長(zhǎng)度為100m，且與地面在同一水平面上．求熱氣球離地面的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin35°≈712，cos35°≈9．（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測(cè)）消防車是救援火災(zāi)的主要裝備，圖①是一輛登高云梯消防車的實(shí)物圖，圖②是其工作示意圖，起重臂AC（20米≤AC≤30米）是可伸縮的，且起重臂AC可繞點(diǎn)A在一定范圍內(nèi)上下轉(zhuǎn)動(dòng)張角∠CAE90°≤∠CAE≤150°，轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)A距離地面的高度AE(1)當(dāng)起重臂AC的長(zhǎng)度為24米，張角∠CAE=120°時(shí)，云梯消防車最高點(diǎn)C距離地面的高度CF的長(zhǎng)為_____米．(2)某日一棟大樓突發(fā)火災(zāi)，著火點(diǎn)距離地面的高度為26米，該消防車在這棟樓下能否實(shí)施有效救援？請(qǐng)說明理由（參考數(shù)據(jù)：3≈1.7）（提示：當(dāng)起重臂AC伸到最長(zhǎng)且張角∠CAE最大時(shí)，云梯頂端C10．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？家荒＃┐笱闼枪懦俏靼驳臉?biāo)志性建筑（如圖1）．某學(xué)習(xí)小組為測(cè)量大雁塔的高度，在梯步A處（如圖2）測(cè)得樓頂D的仰角為45°，沿坡比為7:24的斜坡AE前行100米到達(dá)平臺(tái)E處，測(cè)得此時(shí)樓頂D的仰角為60°，請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)學(xué)習(xí)小組提供的數(shù)據(jù)求大雁塔的高度DC（結(jié)果保留根號(hào)）．類型二：銳角三角函數(shù)的應(yīng)用：方向角問題11．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考一模）在某海域開展的“海上聯(lián)合”反潛演習(xí)中，我方軍艦要到達(dá)C島完成任務(wù)．已知軍艦位于B市的南偏東25°方向上的A處，且在C島的北偏東58°方向上，B市在C島的北偏東28°方向上，且距離C島372km，此時(shí)，我方軍艦沿著AC方向以30km/h的速度航行，問：我方軍艦大約需要多長(zhǎng)時(shí)間到達(dá)C島？（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，sin12．（2023·安徽黃山·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，一條高速公路在城市A的東偏北30°方向直線延伸，縣城M在城市A東偏北60°方向上，測(cè)繪員從A沿高速公路前行4000米到達(dá)C，測(cè)得縣城M位于C的北偏西60°方向上．現(xiàn)要設(shè)計(jì)一條從縣城M進(jìn)入高速公路的路線，請(qǐng)?jiān)诟咚俟飞蠈ふ疫B接點(diǎn)N，使修建到縣城M的道路最短，試確定N點(diǎn)的位置并求出最短路線長(zhǎng)？（結(jié)果取整數(shù)，3≈1.73213．（2023·福建廈門·廈門一中校考一模）如圖，一艘海輪自西向東航行，在點(diǎn)B處時(shí)測(cè)得海島A位于北偏東67°，航行12海里到達(dá)C點(diǎn)，又測(cè)得小島A在北偏東45°方向上．已知位于海島A的周圍8海里內(nèi)有暗礁，如果海輪不改變航線繼續(xù)向東航行，那么它有沒有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin67°≈1213，cos14．（2023·山西晉中·統(tǒng)考一模）通過學(xué)習(xí)《解直角三角形》這一章，王凱同學(xué)勤學(xué)好問，在課外學(xué)習(xí)活動(dòng)中，探究發(fā)現(xiàn)，三角形的面積、邊、角之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，下面是他的學(xué)習(xí)筆記．請(qǐng)仔細(xì)閱讀下列材料并完成相應(yīng)的任務(wù)．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，△ABC的面積為S△ABC，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，則在Rt∵sin∴AD=AB?∴S同理可得，S△ABC=即S△ABC由以上推理得結(jié)論：三角形的面積等于兩邊及其夾角正弦積的一半．又∵abc≠0∴將等式12bcsinA=∴asin由以上推理得結(jié)論：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等．理解應(yīng)用：如圖，甲船以302海里/時(shí)的速度向正北方向航行，當(dāng)甲船位于A處時(shí)，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B處，且乙船從B處沿北偏東15°方向勻速直線航行，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)D處時(shí)，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的C處，此時(shí)兩船相距10(1)求：△ADC的面積；(2)求：乙船航行的速度（結(jié)果保留根號(hào)）．15．（2023·安徽滁州·校考一模）在某張航海圖上，標(biāo)明了三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)為O0，0、B(12，0)、C(12，16)(1)求圓形區(qū)域的面積．(2)某時(shí)刻海面上出現(xiàn)一艘可疑船A，在觀測(cè)點(diǎn)O測(cè)得A位于北偏東45°方向上，同時(shí)在觀測(cè)點(diǎn)B測(cè)得A位于北偏東30°方向上，求觀測(cè)點(diǎn)B到可疑船A的距離，結(jié)果保留根號(hào)；(3)當(dāng)可疑船A由（2）中的位置向正西方向航行時(shí)，是否會(huì)進(jìn)入演習(xí)區(qū)？請(qǐng)通過計(jì)算解釋．16．（2023·廣西河池·?？家荒＃┤鐖D，一艘漁船位于小島B的北偏東30°方向，距離小島40nmile的點(diǎn)A處，它沿著點(diǎn)A的南偏東15°的方向航行．(1)漁船航行多遠(yuǎn)距離小島B最近（結(jié)果保留根號(hào)）？(2)漁船到達(dá)距離小島B最近點(diǎn)后，按原航向繼續(xù)航行206nmile到點(diǎn)C處時(shí)突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島B上的救援隊(duì)求救，問救援隊(duì)從B處出發(fā)到達(dá)事故地點(diǎn)的最短航程BC17．（2023·湖南湘潭·湘潭縣云龍中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，AB是湘江段江北岸濱江路一段，長(zhǎng)度為2km，C為南岸一渡口．為了解決兩岸交通困難，在渡口C處架橋，CD⊥AB垂足為點(diǎn)D．經(jīng)測(cè)量點(diǎn)C在A點(diǎn)的東偏南45°方向，在B點(diǎn)的西偏南60°方向．問：橋長(zhǎng)CD為多少km？（結(jié)果精確到0.01，參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，318．（2023·浙江嘉興·?？家荒＃┬∶鲗W(xué)了《解直角三角形》內(nèi)容后，對(duì)一條東西走向的隧道AB進(jìn)行實(shí)地測(cè)量．如圖所示，他在地面上點(diǎn)C處測(cè)得隧道一端點(diǎn)A在他的北偏東15°方向上，他沿西北方向前進(jìn)1003米后到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A在他的東北方向上，端點(diǎn)B在他的北偏西60°方向上，（點(diǎn)A、B、C、D(1)求點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離；(2)求隧道AB的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留根號(hào)）19．（2023·新疆·統(tǒng)考一模）如圖，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距離A港口100海里處．一艘貨輪航行到C處，發(fā)現(xiàn)A港口在貨輪的北偏西25°方向，B港口在貨輪的北偏西70°方向，求此時(shí)貨輪與A港口的距離（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766,20．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正東方向，AC=200米．點(diǎn)E在點(diǎn)A的正北方向．點(diǎn)B，D在點(diǎn)C的正北方向，BD=100米．點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°，點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東45°．(1)求步道DE的長(zhǎng)度（精確到個(gè)位）；(2)點(diǎn)D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D，也可以經(jīng)過點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D．請(qǐng)計(jì)算說明他走哪一條路較近？（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3類型三：銳角三角函數(shù)的應(yīng)用：坡度坡角問題21．（2023·天津武清·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，某社區(qū)一建筑物上，懸掛“創(chuàng)文明小區(qū)，建和諧社會(huì)”的宣傳條幅AB，小明站在位于建筑物正前方的臺(tái)階D點(diǎn)處測(cè)得條幅頂端A的仰角為36.5°，朝著條幅的方向走到臺(tái)階下的E點(diǎn)處，測(cè)得條幅頂端A的仰角為64°，已知臺(tái)階DE的坡度為1:2，DC=2米，則條幅AB的長(zhǎng)度為多少米．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)sin36.5°≈0.6，tan36.5°≈0.75，sin64°≈0.922．（2023·山西忻州·統(tǒng)考一模）綿山是中國清明節(jié)（寒食節(jié)）的發(fā)源地，相傳春秋時(shí)期晉國介子推攜母隱居被焚在山上．綿山入口處有一座雄偉高大的介子推銅像，當(dāng)?shù)啬承５木C合與實(shí)踐小組的同學(xué)們想要測(cè)出這座銅像有多高．他們先制訂了測(cè)量方案，隨后又進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量．如圖，銅像MN建在坡比為1∶2.4的樓梯BM頂端，同學(xué)們?cè)贏處測(cè)得銅像頂點(diǎn)N的仰角為30°，然后沿著AC方向走了12m到達(dá)B處，此時(shí)在B處測(cè)得銅像頂點(diǎn)N的仰角為63.4°，其中點(diǎn)A，B，C，D，M，N均在同一平面內(nèi)．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出銅像MN的高度．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)3≈1.73，sin63.4°≈0.89，23．（2023·陜西榆林·?？家荒＃┭影矊毸?，是革命圣地延安的標(biāo)志和象征，融歷史文物和革命遺址為一脈，集人文景觀和自然景觀為一體．某數(shù)學(xué)興趣小組在確保無安全隱患的情況下，開展了測(cè)量延安寶塔的高度的實(shí)踐活動(dòng)，具體過程如下：如圖，CN是坡度i=3:4的斜坡，CN的長(zhǎng)為15米，BC=32米．MN是測(cè)角儀，長(zhǎng)為2米，從點(diǎn)M測(cè)得該塔頂部A處的仰角為37°，已知MN⊥BC，AB⊥BC，求該塔AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈24．（2023·陜西西安·?？既＃╅_封鐵塔又名“開寶寺塔”，坐落在開封城東北隅鐵塔公園內(nèi)，因塔身全部以褐色琉璃瓦鑲嵌，遠(yuǎn)看酷似鐵色，故稱為“鐵塔”．在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)小組對(duì)該鐵塔進(jìn)行測(cè)量．如圖，他們?cè)谶h(yuǎn)處一山坡坡腳P處，測(cè)得鐵塔頂端M的仰角為60°，沿山坡向上走35m到達(dá)D處，測(cè)得鐵塔頂端M的仰角為30°．已知山坡坡度i＝3:4，即tanθ=3425．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在坡角為30°的山坡上有一鐵塔AB，其正前方矗立著一大型廣告牌，當(dāng)陽光與水平線成45°角時(shí)，測(cè)得鐵塔AB落在斜坡上的影子BD的長(zhǎng)為8米，落在廣告牌上的影子CD的長(zhǎng)為5米，求鐵塔AB的高．（AB、CD均與水平面垂直，結(jié)果保留根號(hào)）26．（2023·河北衡水·?？级＃┤鐖D，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯（即BC=EF），左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度DF相等．(1)求證：△ABC?△DEF；(2)若滑梯的長(zhǎng)度BC=10米，DE=8米，分別求出滑梯BC與EF的坡度；(3)在（2）的條件下，由于EF太陡，在保持EF長(zhǎng)不變的情況下，現(xiàn)在將點(diǎn)E向下移動(dòng)，點(diǎn)F隨之向右移動(dòng)．①若點(diǎn)E向下移動(dòng)的距離為1米，求滑梯EF底端F向右移動(dòng)的距離；②在移動(dòng)的過程中，直接寫出△DEF面積的最大值．27．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，梯形ABCD是某水壩的橫截面示意圖，其中AB=CD，壩頂BC=2m，壩高CH=5m，迎水坡AB的坡度為(1)求壩底AD的長(zhǎng)；(2)為了提高堤壩防洪抗洪能力，防汛指揮部決定在背水坡加固該堤壩，要求壩頂加寬0.5m，背水坡坡角改為α=30°．求加固總長(zhǎng)5千米的堤壩共需多少土方？（參考數(shù)據(jù)：π≈3.14,2≈1.41,28．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）如圖，一根燈桿AB上有一盞路燈A，路燈A離水平地面的高度為9米，在距離路燈正下方B點(diǎn)15.5米處有一坡度為i=1:43的斜坡CD，如果高為3米的標(biāo)尺EF豎立地面BC上，垂足為(1)當(dāng)影子全在水平地面BC上（圖1），求標(biāo)尺與路燈間的距離；(2)當(dāng)影子一部分在水平地面BC上，一部分在斜坡CD上（圖2），求此時(shí)標(biāo)尺與路燈間的距離為多少米？29．（2023·海南儋州·統(tǒng)考一模）如圖，在坡頂A處的同一水平面上有一座古塔BC，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在斜坡底P處測(cè)得該塔的塔頂B的仰角為45°，然后他們沿著坡度為i=1:2.4的斜坡AP攀行了26米到達(dá)點(diǎn)A，在坡頂A處又測(cè)得該塔的塔頂B的仰角為76°．(1)求坡頂A到地面PQ的距離；(2)計(jì)算古塔BC的高度（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，30．（2023·山東濟(jì)南·一模）在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)想要測(cè)量一樓房AB的高度，如圖，樓房AB后有一假山，其斜坡CD坡比為1∶3，山坡坡面上點(diǎn)E處有一休息亭，在此處測(cè)得樓頂A的仰角為45°，假山坡腳C與樓房水平距離BC=30米，與亭子距離CE=40米．(1)求點(diǎn)E距水平地面BC的高度；(2)求樓房AB的高．（結(jié)果精確到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)2≈1.414，3類型四、銳角三角函數(shù)與解直角三角形31．（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD是矩形，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，作BF⊥BD交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：△OBE∽△OFB；(2)求證：OC?CF=EC?OF．32．（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB、CD是⊙O的直徑，E是DA長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠CED=∠CAB．(1)判斷CE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若DE=35，tanB=133．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14,AD=12,tan∠BAD=334．（2023·浙江舟山·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），連接DE，過點(diǎn)C作CF⊥DE，垂足為F．(1)求證：△ADE∽(2)若AD=6,tan∠DCF=135．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖，已知在△ABC中，∠B為銳角，AD是BC邊上的高，cosB=51