2024-2025學(xué)年山西省太原市高二上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)階段檢測(cè)試卷合集2套（含解析）

2024-2025學(xué)年山西省太原市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段檢測(cè)試卷（一）一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．如圖，已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線OB，AC，M，N分別是對(duì)邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且，現(xiàn)用向量，，表示向量，設(shè)，則x，y，z的值分別為（

）A． B．C． D．3．已知圓的圓心是直線與直線的交點(diǎn)，直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，則圓的方程為（

）A．B．C． D．4．已知點(diǎn)是圓外的一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．經(jīng)過點(diǎn)作直線l，若直線l與連接兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則l的傾斜角的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．已知直線過點(diǎn)，且為其一個(gè)方向向量，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．7．已知AC，BD為圓O：的兩條相互垂直的弦，垂足為，則四邊形ABCD的面積的最大值為()A．4 B． C．5 D．8．正四面體的棱長(zhǎng)為，是它內(nèi)切球的直徑，為正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知圓與直線，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．直線與圓必相交B．直線與圓不一定相交C．直線與圓相交且所截最短弦長(zhǎng)為D．直線與圓可以相切10．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．已知向量，，則在上的投影向量為B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面C．已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底D．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線11．已知圓C：，以下四個(gè)命題表述正確的是（

）A．若圓與圓C恰有3條公切線，則B．圓與圓C的公共弦所在直線為C．直線與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)D．點(diǎn)為軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為，且的中點(diǎn)為，若定點(diǎn)，則的最大值為6三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線：，：，若，則實(shí)數(shù).13．已知在正四棱臺(tái)中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為.14．在中，頂點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在軸上，則周長(zhǎng)的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知，.(1)若()∥()，求x，y的值；(2)若，且，求x的值.16．已知直線與直線的交點(diǎn)為．(1)求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；(2)求點(diǎn)到經(jīng)過點(diǎn)的直線距離的最大值，并求距離最大時(shí)的直線的方程．17．如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，M為中點(diǎn).(1)求點(diǎn)M到直線的距離；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值.18．已知圓，直線過點(diǎn)．(1)求圓的圓心坐標(biāo)和半徑；(2)若直線與圓相切，求直線的方程；(3)若直線與圓相交于兩點(diǎn)，求三角形的面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程.19．已知兩個(gè)非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量的夾角，記作．定義與的“向量積”為：是一個(gè)向量，它與向量都垂直，它的模．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，為線段上一點(diǎn).(1)求的值。(2)若為的中點(diǎn)，求二面角的正弦值；(3)若為線段上一點(diǎn)，且滿足，求．

答案1．【正確答案】D【詳解】由直線，可得直線的斜率，設(shè)其傾斜角為，可得，所以.故選：D.2．【正確答案】C【詳解】由題設(shè)，結(jié)合，得，故選：C3．【正確答案】A【詳解】直線與直線的交點(diǎn)為，所以圓心為，設(shè)半徑為，由題意得，即解得，故圓為.故選：A.4．【正確答案】D【詳解】由題意得且，解得.故選：D5．【正確答案】D【詳解】依題意，直線的斜率，直線的斜率，由直線l與線段總有公共點(diǎn)，得直線的斜率，即，當(dāng)時(shí)，而，則；當(dāng)，得，所以l的傾斜角的取值范圍為.故選：D6．【正確答案】B，則點(diǎn)到直線的距離為：.7．【正確答案】C【詳解】設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為、，則．四邊形ABCD的面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選C．8．【正確答案】D【詳解】設(shè)正四面體的內(nèi)切球球心為，為的中心，為的中點(diǎn)，連接，則在上，連接，則.因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為3，所以，所以，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，，解得，是它內(nèi)切球的直徑，此時(shí)，，，因?yàn)闉檎拿骟w表面上的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)為正四體的頂點(diǎn)時(shí)，最長(zhǎng)，的最大值為，所以的最大值為.故選：D9．【正確答案】AC【分析】求出直線經(jīng)過定點(diǎn)，根據(jù)定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可判斷直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合幾何知識(shí)可知當(dāng)直線與過定點(diǎn)和圓心的直線垂直時(shí)，弦長(zhǎng)有最小值，由此可求出答案.【詳解】解：直線過定點(diǎn)，又，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓必相交，所以A正確，B，D錯(cuò)誤，因?yàn)閳A心與點(diǎn)間的距離為，圓半徑為2.所以最短弦長(zhǎng)為，故C正確，

故選：AC.10．【正確答案】ABC【詳解】A選項(xiàng)，向量，，則在上的投影向量為，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以四點(diǎn)共面，故正確；C選項(xiàng)，因?yàn)槭强臻g的一組基底，，所以兩向量之間也不共線，所以也是空間的一組基底，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，直線的方向向量為，平面的法向量為，，則直線或，錯(cuò)誤.故選ABC.【方法總結(jié)】注意空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C,若OP→=xOA→+yOB→+zOC→(x,y,z∈R),則“x+y+z=1”是“P,A,B11．【正確答案】BCD【詳解】A：由題意得：的圓心為，半徑為，該圓與圓有3條公切線，則兩圓外切，所以，解得，故A錯(cuò)誤；B：兩圓的圓心分別為，半徑分別為和2，則，所以兩圓相交，與相減得：，故圓與圓C的公共弦所在直線為，故B正確；C：變形為，令，解得，即直線恒過點(diǎn)，由于，點(diǎn)在圓M內(nèi)，所以與圓M恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，故C正確；D：如圖，圓，半徑為2，則圓C與y軸相切，切點(diǎn)為原點(diǎn)，即為，易知直線恒過點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，則，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，圓心為，半徑為1，又，所以MN的最大值為，故D正確.故選：BCD12．【正確答案】3【詳解】故3.13．【正確答案】14．【正確答案】【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，與的交點(diǎn)即為，與軸的交點(diǎn)即為.如圖，兩點(diǎn)之間線段最短可知，的長(zhǎng)即為周長(zhǎng)的最小值.設(shè)，則解得即，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，故周長(zhǎng)的最小值為.故答案為.15．【正確答案】(1)，(2)【詳解】（1）∵，，∴，.又()∥()，∴，解得，.（2）由，得，∴，∴，即，∴，解得.16．【正確答案】(1)(2)，【詳解】（1）當(dāng)，時(shí)，有，.所以兩直線的交點(diǎn)為.由于關(guān)于直線對(duì)稱，故直線和直線垂直.而直線即的斜率為，從而直線的斜率為.再由知直線的方程為，即.將與聯(lián)立，得，.從而直線和直線的交點(diǎn)為，由于關(guān)于直線對(duì)稱，故是的中點(diǎn).最后由，即知.（2）若是一條經(jīng)過的直線，則由于，知到的距離不超過.若有一條經(jīng)過的直線，滿足到的距離為，則由，知和垂直.而直線的斜率，故的斜率為.再由經(jīng)過，即知的方程為，即.綜上，點(diǎn)到經(jīng)過點(diǎn)的直線距離的最大值為，當(dāng)距離最大時(shí)，直線的方程為.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以且，所以可建立如圖所示以B為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，則由題，所以，所以，所以，又，故點(diǎn)M到直線的距離為.（2）因?yàn)?，，，平面，所以平面，故是平面的一個(gè)法向量，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，所以，令，則，設(shè)平面與平面所成夾角為，所以，所以平面與平面所成夾角的余弦值為.18．【正確答案】(1)圓心為，半徑為2；(2)或；(3)，或【詳解】（1）由可得：所以圓心的圓心坐標(biāo)為，半徑為2；（2）①若直線的斜率不存在，則直線：，符合題意；②若直線斜率存在，設(shè)直線的方程為y=kx?1，即，由題意知，圓心到已知直線的距離等于半徑2，即，解得，所求直線的方程是或；（3）方法一：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設(shè)直線方程為，則圓心到直的距離，又∵三角形CPQ面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，三角形CPQ的面積的最大值為2，由，有，或，此時(shí)直線方程為，或．方法二：，當(dāng)時(shí)，取最大值2，此時(shí)點(diǎn)到的距離為，設(shè)：，由，解得或，故所求直線的方程為或.19．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由題意，底面為矩形，，底面，，,.(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.，,又為的中點(diǎn)，則，，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則.故平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，且，則，故.故二面角的正弦值為.（3）由（1）可得，由題意，設(shè)，，則則，由可知，，且，由，則，解得；則，則解得，，則，又，解得.2024-2025學(xué)年山西省太原市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段檢測(cè)試卷（二）一、單選題（本大題共8小題）1．若直線的傾斜角為，則（

）．A．0 B． C． D．不存在2．已知向量，若，則（

）A． B．C． D．3．已知直線與直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．在空間四邊形中，若分別是的中點(diǎn)，是上的點(diǎn)，且，記，則等于（

）A． B． C． D．5．如圖，在圓錐SO中，AB是底面圓的直徑，,

D，E分別為SO，SB的中點(diǎn)，點(diǎn)C是底面圓周上一點(diǎn)（不同于A,B）且，則直線AD與直線CE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．已知直線過點(diǎn)，且為其一個(gè)方向向量，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．7．已知兩點(diǎn)，，若直線與線段有公共點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．已知點(diǎn)和非零實(shí)數(shù)，若兩條不同的直線，均過點(diǎn)，且斜率之積為，則稱直線，是一組“共軛線對(duì)”，如直線，是一組“共軛線對(duì)”，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)．已知，是一組“共軛線對(duì)”，則，的夾角的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法中不正確的是（

）A．若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大B．若直線過點(diǎn)，且它的傾斜角為45°，則這條直線必過點(diǎn)C．過，兩點(diǎn)的直線的方程為D．直線在軸上的截距為210．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，下列結(jié)論正確的有（

）A．B．向量與的夾角的余弦值為C．點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為D．向量在上的投影向量為11．如圖，在三棱錐中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三棱錐的表面積為B．若為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為C．若與平面所成角的正弦值為，則二面角的正弦值為D．的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．已知點(diǎn)在平面上，點(diǎn)是空間內(nèi)任意一點(diǎn)，且，則的值為．13．直線的一個(gè)方向向量為，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的一般式方程為.14．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為棱上一點(diǎn)，且，為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），若且與平面所成的角最大時(shí)，線段的長(zhǎng)度為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，為邊的中點(diǎn)．(1)求邊上的中線的一般式方程；(2)求經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程．16．已知，，且.(1)求.(2)求與夾角的余弦值.17．已知直線.（1）若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；（2）若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為S，求S的最小值及此時(shí)l的方程.18．已知在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分別是、、、AD的中點(diǎn)，平面．(1)求證：；(2)求點(diǎn)B到平面EFM的距離；(3)在線段上是否存在點(diǎn)N，使得直線與平面EFM所成角的正弦值為？若存在，求線段的長(zhǎng)度，若不存在，說明理由．19．已知是棱長(zhǎng)為的正四面體，設(shè)的四個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離所構(gòu)成的集合為，若中元素的個(gè)數(shù)為，則稱為的階等距平面，為的階等距集．(1)若為的1階等距平面且1階等距集為，求的所有可能值以及相應(yīng)的的個(gè)數(shù)；(2)已知為的4階等距平面，且點(diǎn)與點(diǎn)，，分別位于的兩側(cè)．是否存在，使的4階等距集為，其中點(diǎn)到的距離為？若存在，求平面與夾角的余弦值；若不存在，說明理由．

答案1．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，為一常?shù)，故直線的傾斜角為，故選：C2．【正確答案】B【分析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示，求出的值.【詳解】向量，且，所以，解得.故選B.3．【正確答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，由，解得，所以可以推出，當(dāng)時(shí)，直線，直線，有，即可以推出，所以“”是“”的充要條件，故選：C.4．【正確答案】A【詳解】連接，因?yàn)椋謩e是的中點(diǎn)，所以，故．故選：A5．【正確答案】A【詳解】由題設(shè)，構(gòu)造如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，則.所以直線AD與直線CE所成角的余弦值為.故選：A6．【正確答案】B【詳解】，則點(diǎn)到直線的距離為：.故選：B7．【正確答案】D【詳解】由，得到，所以直線過定點(diǎn)，又，，所以，，又直線與線段有公共點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，，

故選：D.8．【正確答案】B【詳解】設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，兩直線的夾角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又，所以，故選：B.9．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)傾斜角為銳角，斜率為正；當(dāng)傾斜角為鈍角時(shí)，斜率為負(fù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線方程為，即，顯然在直線上，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)或時(shí)不能使用兩點(diǎn)式寫方程，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線，令，，則直線在軸上的截距為，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.10．【正確答案】BD【詳解】記，，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，設(shè)與的夾角為，則，故B正確；對(duì)于C，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在上的投影向量為，D正確．故選：BD．11．【正確答案】ABD【詳解】連結(jié)OB.在三棱錐中，，，.所以,,且,.所以，所以.又因?yàn)?，所以面ABC.可以以O(shè)為原點(diǎn)，以分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，所以,,,.對(duì)于A：在三棱錐中，，，，所以底面三角形為直角三角形，其面積為；為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以面積為；和為腰長(zhǎng)為2，底邊為的等腰三角形，所以面積均為；所以三棱錐的表面積為.故A正確；對(duì)于B：為棱的中點(diǎn)，所以,所以,.所以異面直線與所成角的余弦值為.故B正確；對(duì)于C：點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)，不妨設(shè)，（）.所以.設(shè)為面PAM的一個(gè)法向量，則，不妨設(shè)y=1，則.因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為，所以，解得：取，則顯然，面PAC的一個(gè)法向量為.設(shè)二面角的平面角為，所以，所以.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D:如圖示，把平面PBC展開，使A、B、C、P四點(diǎn)共面.當(dāng)M與B重合時(shí)，；當(dāng)M與C重合時(shí)，最大；連結(jié)AP交BC于M1，由兩點(diǎn)之間直線最短可知，當(dāng)M位于M1時(shí)，最小.此時(shí)，，所以.由余弦定理得：.所以的取值范圍為.故D正確.故選：ABD12．【正確答案】【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在平面上，由空間向量基本定理知，，得到，即，又，所以，解得，故答案為.13．【正確答案】【詳解】∵直線的方向向量,∴直線的斜率，又∵直線過點(diǎn)∴由點(diǎn)斜式可得：,即，故答案為.14．【正確答案】/【詳解】以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，，，設(shè)，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即取，則.在正方體中，可得平面，且平面，所以，則，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓弧，其圓心角為，則，則，即，又，設(shè)與平面所成的角為，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即時(shí)，與平面所成的角最大，即，所以.故答案為.1、解答方法：一般時(shí)根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；2、對(duì)于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；3、對(duì)于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在，同時(shí)，用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)思想是解答此類問題的關(guān)鍵.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，所以的中點(diǎn)，又，所以邊上的中線的方程為，整理得到，故邊上的中線的一般式方程為.（2）因?yàn)橹本€的斜率為，又，所以經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，整理得到.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）根據(jù)題意由可得，即，解得；所以，因此，即.（2）易知，且；所以，即與夾角的余弦值為.17．【正確答案】（1）；（2）最小值是4，方程為．【詳解】（1