2024-2025學(xué)年陜西省咸陽(yáng)市武功縣高二上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題合集2套（含解析）

2024-2025學(xué)年陜西省咸陽(yáng)市武功縣高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．如圖，空間四邊形中，，，.點(diǎn)在上，且，為的中點(diǎn)，則（

）

A． B．C． D．2．已知，，且，則的值為（）A．6 B．10 C．12 D．143．已知為空間的一個(gè)基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，4．已知點(diǎn)，，若過(guò)點(diǎn)的直線與線段相交，則該直線斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．三點(diǎn)，，在同一條直線上，則值為（

）A．2 B． C．或 D．2或6．設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，則（

）A．10 B． C． D．387．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．8．在空間直角坐標(biāo)系中，，三角形重心為，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的有（

）A．若兩條不重合的直線，的方向向量分別是，，則B．若直線的方向向量是，平面的法向量是，則C．若直線的方向向量是，平面的法向量是，則D．若兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，，則10．已知空間中三點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．與是共線向量 B．與同向的單位向量是C．和夾角的余弦值是 D．平面的一個(gè)法向量是11．在長(zhǎng)方體中，，，分別為棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．平面C．平面 D．直線和所成角的余弦值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且其方向向量為則直線的方程為.13．已知，，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)等于.14．在直棱柱中，分別是，的中點(diǎn)，．則二面角的余弦值是．

四、解答題（本大題共5小題）15．已知點(diǎn)，，，設(shè)，，．(1)若實(shí)數(shù)使與垂直，求值．(2)求在上的投影向量．16．如圖所示，平行六面體中，．(1)用向量表示向量，并求；(2)求．17．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面間的距離．18．棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是的中點(diǎn)，在棱上，且，是的中點(diǎn).(1)證明：；(2)求；(3)求的長(zhǎng).19．如圖，四棱錐中，平面，底面四邊形為矩形，，，，為中點(diǎn)，為靠近的四等分點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值：(3)求點(diǎn)到平面的距離.

答案1．【正確答案】D【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】，，為的中點(diǎn)，，.故選D.2．【正確答案】C【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算以及空間向量垂直的坐標(biāo)表示可以計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故選C.3．【正確答案】B【分析】根據(jù)空間向量基底的概念，空間的一組基底，必須是不共面的三個(gè)向量求解判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)樵O(shè)，即，可解得，所以，，共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)樵O(shè)，無(wú)解，所以不共面，能構(gòu)成空間的一組基底，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)樵O(shè)，可解得，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)樵O(shè)，可解得，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤.故選B.4．【正確答案】B【分析】首先求出直線,的斜率，然后結(jié)合圖象即可寫出答案．【詳解】記為點(diǎn)，直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，且與線段相交，所以結(jié)合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是．故選B．5．【正確答案】D根據(jù)三點(diǎn)共線，可得，由兩點(diǎn)求斜率即可求解.【詳解】由題意可得，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，解得或，所以的值為2或．故選D．6．【正確答案】A【分析】寫出點(diǎn)坐標(biāo)，由對(duì)稱性易得線段長(zhǎng)．【詳解】點(diǎn)是點(diǎn)，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)與相同，而豎坐標(biāo)與相反，，直線與軸平行，.故選A．7．【正確答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，，進(jìn)而求出線線角的向量公式即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示，以D為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，則.所以，因?yàn)椋?故選C.

8．【正確答案】B【分析】三角形重心為，所以，計(jì)算出和，得到在上的投影，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，，三角形重心為，所以，，，所以在上的投影為，所以點(diǎn)到直線的距離為.故選B.9．【正確答案】BD【分析】根據(jù)向量與不平行，可判定A錯(cuò)誤；由，可判定B正確；由，可判定C不正確；由，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)橛芍本€，的方向向量分別是，，設(shè)，可得，此時(shí)方程組無(wú)解，即與不平行，所以與不平行，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)橛芍本€的方向向量是，平面的法向量是，可得，所以，所以，所以B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)橛芍本€的方向向量是，平面的法向量是，可得，可得，所以或，所以C不正確；對(duì)于D，因?yàn)橛蓛蓚€(gè)不同的平面，的法向量分別是，，可得，所以，則，所以D正確.故選BD.10．【正確答案】BD【分析】利用空間向量共線可判斷A；求出與同向的單位向量可判斷B；求出和夾角的余弦值可判斷C；求出平面的一個(gè)法向量可判斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，，，所以與不是共線向量，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，，與同向的單位向量是，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，，所以和夾角的余弦值是，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，，令，可得，所以平面的一個(gè)法向量是，故D正確.故選BD.11．【正確答案】ACD【分析】A.根據(jù)線面垂直作出判斷；B.假設(shè)結(jié)論成立，然后通過(guò)條件驗(yàn)證假設(shè)；C.通過(guò)面面平行來(lái)證明線面平行；D.將直線平移至同一平面內(nèi)，然后根據(jù)長(zhǎng)度計(jì)算異面直線所成角的余弦值.【詳解】選項(xiàng)A．如圖所示，

因?yàn)?，所以四邊形是正方形，所以，因?yàn)閹缀误w為長(zhǎng)方體，所以平面，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；選項(xiàng)B．如圖所示，

假設(shè)平面，因?yàn)槠矫?，所以，顯然不成立，故假設(shè)錯(cuò)誤，所以B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C．如圖所示，

連接，因?yàn)橛蓷l件可知，所以，因?yàn)?，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，故C正確；選項(xiàng)D．如圖所示，

連接，因?yàn)?，所以和所成角即為或其補(bǔ)角，因?yàn)橛蓷l件可知：，所以，故D正確.故選ACD.12．【正確答案】【分析】根據(jù)直線的方向向量求出斜率，從而利用點(diǎn)斜式寫出直線方程，化為一般式.【詳解】由題意該直線斜率為，所以直線l的方程為：，化為一般式方程為.故答案為.13．【正確答案】【分析】依題意設(shè)，列方程組能求出結(jié)果．【詳解】，，，且，，三向量共面，設(shè)，，，解得，，．故．14．【正確答案】【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，由題意可得：平面的法向量，則，由圖形可知：二面角為鈍角，所以其余弦值為.

15．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出空間向量的坐標(biāo)，再結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示列式計(jì)算即得.（2）利用投影向量的定義求解即得.【詳解】（1）依題意，，，因?yàn)榕c垂直，可得，所以解得.（2）因?yàn)橛桑?）知，，，所以在上的投影向量為.16．【正確答案】(1)，，(2)【分析】（1）借助空間向量的線性運(yùn)算和模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系計(jì)算即可得；（2）結(jié)合題意，借助空間向量的線性運(yùn)算與夾角公式計(jì)算即可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所?（2）由空間向量的運(yùn)算法則，可得，因?yàn)?，且，所以，，所?17．【正確答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，證明，，即可得，從而可證平面，平面，再利用面面平行的判定定理即可得證；（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以點(diǎn)到平面的距離即為平面與平面間的距離，求出平面的法向量，從而可求的答案.【詳解】（1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)橛深}意可得，，，，，，，，所以，，，，所以，，所以EFMN，AMBF．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面平面，?）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以點(diǎn)到平面的距離即為平面與平面間的距離．設(shè)是平面的法向量，則有，即，可取，因?yàn)?，所以點(diǎn)B到平面AMN的距離為，故平面與平面間的距離為．18．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出，得到直線垂直；（2）利用空間向量夾角余弦公式進(jìn)行求解；（3）求出的坐標(biāo)，由公式計(jì)算出.【詳解】（1）如圖，以為原點(diǎn)，，，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，因?yàn)?，，所以，所以，故；?）因?yàn)?，所以因?yàn)?，，所以；?）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，，?19．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）直接建立空間直角坐標(biāo)系，然后用空間向量計(jì)算垂直，利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）利用第一小問(wèn)建立的空間直角坐標(biāo)系計(jì)算即可；（3）利用向量的投影計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，四邊形為矩形，所以兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以由分析題意可得，，，因?yàn)?，所以，即因?yàn)?，所以，即因?yàn)?，平面，平面所以平面?）因?yàn)槠矫妫詾槠矫娴囊粋€(gè)法向量由（1）知為平面的一個(gè)法向量.所以二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離為在平面的一個(gè)法向量上的投影的絕對(duì)值，其中，所以點(diǎn)到平面的距離.2024-2025學(xué)年陜西省咸陽(yáng)市武功縣高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（二）一、選擇題（本題共8小題，每小題3.5分，共28分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.2.下列關(guān)于空間向量的說(shuō)法中正確的是()A.若向量，平行，則，所在的直線平行B.若，則，的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反C.若向量滿足，則D.相等向量其方向必相同3.已知點(diǎn)．若直線過(guò)點(diǎn)，且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是()A．B．C．或D．4.如圖1，在三棱柱中，E、F分別是BC、的中點(diǎn)，為?的重心，則()圖1A． B．C． D．5.已知、、，則原點(diǎn)到平面的距離是（）A. B. C. D.6.已知圓，圓，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A.兩圓的圓心距離是 B.兩圓有條公切線C.兩圓相交 D.公共弦長(zhǎng)7.如圖2，，平面，⊥平面，，與平面成30°角，則間的距離為()圖2A．B．C.D.8.若點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心和下焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為()A．B．C．D．二、選擇題（本題共4小題，每小題4分，共16分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得4分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得2分.）9.對(duì)于直線和直線，以下說(shuō)法正確的有（）A.直線一定過(guò)定點(diǎn)B.的充要條件是C.若，則D.點(diǎn)到直線的距離的最大值為10.一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后，與圓相切，則反射后光線所在直線的方程可能是（

）A． B．C． D．11.某顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，如圖3所示，已知它的近地點(diǎn)(離地心最近的一點(diǎn))距地面，遠(yuǎn)地點(diǎn)(離地心最遠(yuǎn)的一點(diǎn))距地面，并且三點(diǎn)在同一直線上，地球半徑約為，設(shè)該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為，則()圖3A． B．C． D．12.如圖4，在菱形中，，，沿對(duì)角線將折起，使點(diǎn)之間的距離為，若分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）圖4A．平面平面B．線段的最小值為C．當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)D到直線的距離為D．當(dāng)分別為線段，的中點(diǎn)時(shí)，與所成角的余弦值為三、填空題（本題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在答題卡上的相應(yīng)位置.）13.已知圓與圓外切，則______．14.已知，是空間兩個(gè)向量，若，，，則________.15.已知正方形，以該正方形其中一邊的端點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過(guò)另外兩點(diǎn)的橢圓的離心率為________．16.已知直線：與軸相交于點(diǎn)，過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，兩點(diǎn)，記是的中點(diǎn)，則的最小值為．四、解答題（本題共5小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.（本小題滿分8分）在下列所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并加以解答.①與直線垂直；②過(guò)點(diǎn)；③與直線平行.問(wèn)題：已知直線過(guò)點(diǎn)，且___________.（1）求直線的一般式方程；（2）若直線與圓相交于點(diǎn)，，求弦的長(zhǎng).18.（本小題滿分8分）已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是，離心率是.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)在該橢圓上，為它的左、右焦點(diǎn)，且，求△的面積．19.（本小題滿分8分）如圖5，在正方體中，為的中點(diǎn).圖5（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20.（本小題滿分8分）已知一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P在圓上移動(dòng)，它與定點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)為.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)過(guò)定點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于不同的兩點(diǎn)，且滿足，求直線的方程.21.（本小題滿分8分）中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無(wú)廣．芻，草也．甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱．芻甍是茅草屋頂．”現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖6所示，四邊形為正方形，四邊形為兩個(gè)全等的等腰梯形，，，，．

圖6(1)當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求證：直線平面；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（包含端點(diǎn)），求平面和平面的夾角的余弦值的取值范圍．高二數(shù)學(xué)試題答案一選擇題12345678BDDAADCC二選擇題9101112ACDBCABDABD三填空題13.14.15.16.四解答題17.方案一選條件①.（1）因?yàn)橹本€的斜率為，又直線與直線垂直，所以直線的斜率為，依題意，直線的方程為，即.（4分）（2）圓的圓心到直線的距離為.又圓的半徑為，所以.（8分）方案二選條件②.（1）因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)及，所以直線的方程為，即.（4分）（2）圓的圓心到直線的距離為.又圓的半徑為，所以.（8分）方案三選條件③.（1）因?yàn)橹本€的斜率為，直線與直線平行，所以直線的斜率為.依題意，直線的方程為，即.（4分）（2）圓的圓心到直線的距離為.又圓的半徑為，所以.（8分）第（2）問(wèn)也可以用弦長(zhǎng)公式求解18.解析：(1)由題意知，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1；（4分）（2）由已知a＝2，b＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(a2－b2)＝1，|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①由橢圓定義，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|.②將②代入①解得|PF1|＝eq\f(6,5)，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|F1F2|·sin120°＝eq\f(1,2)×eq\f(6,5)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),5).因此所求△PF1F2的面積是eq\f(3,5)eq\r(3).（8分）19.(1)證明：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，則，設(shè)平面的法向量為，由于，可得，可取，因?yàn)椋?，又平面，所以平面；?分）(2)，設(shè)直線與平面所成角，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.（8分）20.解(1)設(shè)M(x，y)，動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4＋x0,2)，,y＝\f(y0,2)，）解得x0＝2x－4，y0＝2y，又由xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝36，得(2x－4)2＋(2y)2＝36，即(x－2)2＋y2＝9，∴點(diǎn)M的軌跡方程是(x－2)2＋y2＝9.（4分）(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：x＝0，與圓M交于A(0，eq\r(5))，B(0，－eq\r(5))，此時(shí)x1＝x2＝0，不合題意.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y＝kx－3，則由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－3，,（x－2）2＋y2＝9）消去y，得(1＋k2)x2－(4＋6k)x＋4＝0，則Δ＝[－(4＋6k)