北京市西城區(qū)2024-2025學(xué)年高三上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

北京市西城區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題提示：答案請(qǐng)一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效．在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色簽字筆作答．一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．1.已知集合，集合，那么等于（）A B. C. D.2.在復(fù)平面，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，則（）A.i B.-i C. D.3.若，則（）A. B. C. D.4.已知，則（）A. B. C. D.5.設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同平面，則下面命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C若，，則 D.若，，則6.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象恰好關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（）A. B. C. D.7.“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”語(yǔ)出《莊子·天下》，意思是一尺長(zhǎng)的棍棒，每日截取它的一半，永遠(yuǎn)截不完（一尺約等于33.33厘米）.若剩余的棍棒長(zhǎng)度小于0.33厘米，則需要截取的最少次數(shù)為（）A.5 B.6 C.7 D.88.已知等差數(shù)列前項(xiàng)和，則“”是“是遞減數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.在中，，，點(diǎn)在邊上，且，則的取值范圍是（）A B. C. D.10.已知無(wú)窮數(shù)列，．性質(zhì)，，，性質(zhì)，，，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則具有性質(zhì)；②若，則具有性質(zhì)；③若具有性質(zhì)，則；④若等比數(shù)列既滿足性質(zhì)又滿足性質(zhì)，則其公比的取值范圍為．則所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11.已知角，的終邊關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則______．12.已知向量，且與的夾角為，則_____________.13.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，能說(shuō)明“若為遞增數(shù)列，則”為假命題的一組和公比的值為_______，_______．14.設(shè)函數(shù)，①若，則的最大值為_________；②若無(wú)最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.15.在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).點(diǎn)為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足.給出下列四個(gè)結(jié)論：①線段長(zhǎng)度的最大值為；②存在點(diǎn)，使得；③存在點(diǎn)，使得；④是等腰三角形.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．三、解答題：本大題共6小題，共85分．16.如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，，，分別是棱，的中點(diǎn).求證：（1）∥平面；（2）.17.設(shè)函數(shù)．從下列三個(gè)條作中選擇兩個(gè)作為已知，使得函數(shù)存在．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若對(duì)于任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)；條件②：在區(qū)間上單調(diào)遞增；條件③：足的一條對(duì)稱軸．18.已知中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求的值；（2）若，求B最大時(shí)面積．19.已知直線與函數(shù)的圖象相切.（1）求的值；（2）求函數(shù)的極大值.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)存在正零點(diǎn)，（i）求的取值范圍；（ii）記為的極值點(diǎn)，證明.21.給定正整數(shù)，已知項(xiàng)數(shù)為且無(wú)重復(fù)項(xiàng)的數(shù)對(duì)序列：滿足如下三個(gè)性質(zhì)：①，且；②；③與不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列中.（1）當(dāng)，時(shí)，寫出所有滿足的數(shù)對(duì)序列；（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，記的最大值為，求.

北京市西城區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題提示：答案請(qǐng)一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效．在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色簽字筆作答．一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．1.已知集合，集合，那么等于（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先解不等式化簡(jiǎn)集合，再由并集的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】∵集合，集合，∴.故選：D.2.在復(fù)平面，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，則（）A.i B.-i C. D.【正確答案】B【分析】由題可得，再由復(fù)數(shù)除法法則即可求解.【詳解】z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以故選：B.3.若，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A，取特殊值判斷BCD.【詳解】，，即，故A正確；取，則不成立，故B錯(cuò)誤；取，則不成立，故C錯(cuò)誤；取，則，故D錯(cuò)誤.故選：A4.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值比較即得.【詳解】依題意，，所以.故選：B5.設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同平面，則下面命題中正確是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【正確答案】B【分析】由線面平行，線面垂直，面面平行，面面垂直的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可；【詳解】A：若，，則或相交，故A錯(cuò)誤；B：若，，由線面平行和垂直的性質(zhì)可得，故B正確；C：若，，則或，故C錯(cuò)誤；D：若，，則相交或或，故D錯(cuò)誤；故選：B.6.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象恰好關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由三角函數(shù)的相位變換可得變換后的圖象對(duì)應(yīng)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱軸可得以及的最小值.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，因其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，則正數(shù)的最小值為，故選：A．本題考查了三角函數(shù)的圖象的相位變換，考查了正弦函數(shù)的對(duì)稱軸．屬于基礎(chǔ)題.7.“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”語(yǔ)出《莊子·天下》，意思是一尺長(zhǎng)的棍棒，每日截取它的一半，永遠(yuǎn)截不完（一尺約等于33.33厘米）.若剩余的棍棒長(zhǎng)度小于0.33厘米，則需要截取的最少次數(shù)為（）A.5 B.6 C.7 D.8【正確答案】C【分析】由題可知截取第n次后，剩余的棍棒長(zhǎng)為尺,然后列不等式可求出n的值.【詳解】由題意可知第一次剩余的棍棒長(zhǎng)度為12則第n次剩余的棍棒長(zhǎng)為尺，由，解得，所以當(dāng)剩余的棍棒長(zhǎng)度小于1厘米時(shí),需要截取的最少次數(shù)為7.故選:C.8.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則“”是“是遞減數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】正向舉常數(shù)列反駁，反向利用等差數(shù)列求和公式和遞減數(shù)列性質(zhì)判斷即可.【詳解】當(dāng)?shù)炔顢?shù)列an為常數(shù)列時(shí)，此時(shí)，滿足前者，但是此時(shí)“an當(dāng)an是遞減數(shù)列，則對(duì)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以對(duì)，，則反推成立，故必要性成立，則“”是“an是遞減數(shù)列”必要而不充分條件.故選：B.9.在中，，，點(diǎn)在邊上，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，過(guò)垂直于的直線為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量模的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，過(guò)垂直于的直線為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：則，，設(shè)，，，，，則由，得，化簡(jiǎn)，所以，由，因?yàn)椋裕?，所以的取值范圍?故選：A本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、向量模的坐標(biāo)表示，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10.已知無(wú)窮數(shù)列，．性質(zhì)，，，性質(zhì)，，，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則具有性質(zhì)；②若，則具有性質(zhì)；③若具有性質(zhì)，則；④若等比數(shù)列既滿足性質(zhì)又滿足性質(zhì)，則其公比的取值范圍為．則所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】C【分析】根據(jù)性質(zhì)的定義可判斷①；根據(jù)性質(zhì)的定義可判斷②；根據(jù)性質(zhì)的定義可得，，利用累加法可證③；對(duì)于④，結(jié)合③，可得，由an滿足性質(zhì)，分和討論求出，再由an滿足性質(zhì)得，構(gòu)造，求導(dǎo)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可驗(yàn)證滿足題意.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?，?duì)，，即，所以an不具有性質(zhì)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，對(duì)，，，，即an具有性質(zhì)，故②正確；對(duì)于③，若an具有性質(zhì)，令，則，即，，，又，所以，，故③正確；對(duì)于④，an是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，又，，若an滿足性質(zhì)，由選項(xiàng)③得，即，，，由，，得，當(dāng)時(shí)，得，即，對(duì)，又，，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，，解得，，綜上，若an滿足性質(zhì)，則.若an滿足性質(zhì)，對(duì)，，，可得，即，令，則，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由an滿足性質(zhì)，，成立，所以等比數(shù)列an既滿足性質(zhì)s又滿足性質(zhì)t，則其公比的取值范圍為.故④正確.故正確的為②③④共個(gè).故選：C方法點(diǎn)睛：對(duì)于以數(shù)列為背景的新定義問(wèn)題的求解策略：1、緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把心定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過(guò)程中；2、用好數(shù)列的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的數(shù)列的性質(zhì)的一些因素.二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11.已知角，的終邊關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則______．【正確答案】【分析】根據(jù)角，的終邊關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱得，即可得到的值.【詳解】角，的終邊關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，，.故答案為.12.已知向量，且與夾角為，則_____________.【正確答案】##【分析】根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算即可.【詳解】由題意得，解得.故答案為.13.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，能說(shuō)明“若為遞增數(shù)列，則”為假命題的一組和公比的值為_______，_______．【正確答案】①.②.（答案不唯一）【分析】由題意，等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且，取一組符合條件的和公比即可.【詳解】“若為遞增數(shù)列，則”為假命題，所以若為遞增數(shù)列，則，，則，等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且，則和公比，滿足題意.故；14.設(shè)函數(shù)，①若，則的最大值為_________；②若無(wú)最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【正確答案】①.②.【分析】①分別分析在兩段內(nèi)的單調(diào)性即可求出最大值；②討論所在的區(qū)間，分別研究函數(shù)在每一段的單調(diào)性，根據(jù)無(wú)最大值列出不等式求出結(jié)果.【詳解】①若，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則此時(shí)，所以的最大值為2；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，所以，因?yàn)闊o(wú)最大值，所以，解得；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，因?yàn)闊o(wú)最大值，所以，此種情況無(wú)解，舍去；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，因?yàn)闊o(wú)最大值，所以，此種情況無(wú)解，舍去；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故①;②15.在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).點(diǎn)為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足.給出下列四個(gè)結(jié)論：①線段長(zhǎng)度的最大值為；②存在點(diǎn)，使得；③存在點(diǎn)，使得；④是等腰三角形.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．【正確答案】①③④【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)驗(yàn)證垂直判斷①，找出平行直線再由坐標(biāo)判斷是否垂直可判斷B，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)條件列出方程組②，探求是否存在符合條件的解判斷③④【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)①，由正方體性質(zhì)知當(dāng)P在時(shí)，線段長(zhǎng)度的最大值為，此時(shí)，，所以，即滿足，故①正確；對(duì)②，取正方形的中心M，連接，易知，所以四邊形為平行四邊形，所以，故運(yùn)動(dòng)到處時(shí)，，此時(shí)，，，即不滿足，綜上不存在點(diǎn)，使得，故②錯(cuò)誤；對(duì)③，設(shè)，則，，若存在，由，可得方程組，化簡(jiǎn)可得，解得，顯然當(dāng)時(shí)滿足題意，即存在點(diǎn)，使得，故③正確；對(duì)④，設(shè)，若，則，化簡(jiǎn)可得，由③知時(shí)可得，所以不妨取，此時(shí)在正方體表面上，滿足題意，故④正確.故①③④關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵之處在于建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算建立方程，探求是否存在滿足條件的點(diǎn)，運(yùn)算比較復(fù)雜，屬于難題.三、解答題：本大題共6小題，共85分．16.如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，，，分別是棱，的中點(diǎn).求證：（1）∥平面；（2）.【正確答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【分析】（1）要證明∥平面，只需證明∥即可；（2）要證明，只需證明平面即可.【詳解】（1）在中，，分別是棱，的中點(diǎn)，所以∥.又在三棱柱中，∥，所以∥.又因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平?（2）因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，，平面，所以平面.又因?yàn)槠矫?，所?本題考查線面平行的判定定理以及面面垂直的性質(zhì)定理，考查學(xué)生的邏輯推理能力，是一道容易題.17.設(shè)函數(shù)．從下列三個(gè)條作中選擇兩個(gè)作為已知，使得函數(shù)存在．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若對(duì)于任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)；條件②：在區(qū)間上單調(diào)遞增；條件③：足的一條對(duì)稱軸．【正確答案】（1），單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）【分析】（1）利用輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合所選條件，利用周期與單調(diào)性求出，求函數(shù)解析式即可；（2）由的范圍求出的范圍，即可求出函數(shù)的值域，依題意．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋暨x①②：由①函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，，即，，由②在區(qū)間上單調(diào)遞增，有，即，又且，即，所以，此時(shí)不存在；選條件②③：由②在區(qū)間上單調(diào)遞增，有，即，又且，即，所以，由③是的一條對(duì)稱軸，則，，所以，，所以，所以，則的最小正周期，由，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；若選①③：由①函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，，即，，由③是的一條對(duì)稱軸，則，，所以，，此時(shí)不存在；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)閷?duì)于任意的，都有，所以，即的取值范圍為．18.已知中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求的值；（2）若，求B最大時(shí)的面積．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）正弦定理化邊為角，利用三角變換后再由正弦定理化角為邊可得；（2）利用余弦定理及基本不等式求得的最小值即得最大，由此求得三角形的邊長(zhǎng)后，再利用面積公式可得結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，得，由正弦定理得，所以．【小?wèn)2詳解】由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，當(dāng)取最小值時(shí)，B最大，此時(shí)，，，的面積為．19.已知直線與函數(shù)的圖象相切.（1）求的值；（2）求函數(shù)的極大值.【正確答案】（1）；（2）0.【分析】（1）設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即得.（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求出極值即可.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率為，切線方程為，又切線過(guò)點(diǎn)，于是，而，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，設(shè)，求導(dǎo)得，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是，又，則存在，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以存在唯一極大值.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)存在正零點(diǎn)，（i）求的取值范圍；（ii）記為的極值點(diǎn)，證明.【正確答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間（2）（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）（i）求導(dǎo)后借助導(dǎo)數(shù)分、及討論函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理計(jì)算即可得；（ii）利用零點(diǎn)定義與極值點(diǎn)定義可得，代入計(jì)算可得，再借助時(shí)，，即可得，再計(jì)算并化簡(jiǎn)即可得.【小問(wèn)1詳解】由已知可得的定義域?yàn)?，且，因此?dāng)時(shí)，，從而f′x<0所以的單減區(qū)間是，無(wú)單增區(qū)間；【小問(wèn)2詳解】（?。┯桑?）知，，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．①當(dāng)時(shí)，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，又，故當(dāng)時(shí)，，所以不存在正零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，在0,+∞單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，函數(shù)不存在正零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以存在滿足，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減．令，則當(dāng)時(shí)，，故?x在0,1內(nèi)單調(diào)遞增，在1,+從而當(dāng)時(shí)，，即，所以，又因?yàn)?，所以，因此，此時(shí)存在正零點(diǎn)；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（ⅱ）由題意，，