2024-2025學(xué)年廣東省五校高三上冊10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省五校高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題說明：本試題共4頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A B. C. D.3.已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（）A充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象的對稱中心的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.5.已知，且，則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過（）A.一、二象限 B.一、三象限 C.二、四象限 D.三、四象限6.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)，若，則的最大值和最小值分別是（）A. B. C. D.8.設(shè)函數(shù)，若方程有個不同的實(shí)根，則的取值范圍為（）A B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.只有1個零點(diǎn) B.在單調(diào)遞增C.曲線在點(diǎn)處切線的斜率為 D.是偶函數(shù)10.若x，y滿足，則（）A. B.C. D.11.若正實(shí)數(shù)，滿足，則下列不等式中可能成立的是（）A B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，則______．13.設(shè)f(x)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且.若，則_______14.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，若.，則關(guān)于x的不等式的解集為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最小值．16.已知函數(shù)，．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的最大值和最小值．17.在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗(yàn)的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率．（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.18.已知函數(shù).（1）討論單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明.19.已知函數(shù)，，其中為實(shí)數(shù).（1）求的極值；（2）若有4個零點(diǎn)，求的取值范圍.2024-2025學(xué)年廣東省五校高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題說明：本試題共4頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】首先分別求解出、兩個集合，然后再根據(jù)集合交集的定義進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】由于，故，，，即，故，因此，即.故選：C2.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義逐個判斷即可.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以此函?shù)為偶函數(shù)，故B錯誤；對于C，定義域?yàn)?,+∞所以此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故C錯誤；對于D，定義域?yàn)?，因?yàn)椋源撕瘮?shù)為奇函數(shù)，故D正確.故選：D.3.已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，故選：A.4.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象的對稱中心的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】化簡即可得對稱中心.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.故選：C5.已知，且，則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過（）A.一、二象限 B.一、三象限 C.二、四象限 D.三、四象限【正確答案】D【分析】由函數(shù)過點(diǎn)，分類可解.【詳解】當(dāng)時，，則當(dāng)時，函數(shù)圖象過二、三、四象限；則當(dāng)時，函數(shù)圖象過一、三、四象限；所以函數(shù)的圖象一定經(jīng)過三、四象限.故選：D6.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性并比較，再利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小即得.【詳解】當(dāng)時，令，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，即有，因此，顯然，所以.故選：D7.已知函數(shù)，若，則的最大值和最小值分別是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)條件，得到，令，從而將問題轉(zhuǎn)化成求在區(qū)間上的最值，即可求解.【詳解】由，得到，令，則，對稱軸，當(dāng)時，取得最大值，最大值為，當(dāng)時，取得最小值，最小值為，所以的最大值和最小值分別是，，故選：B.8.設(shè)函數(shù)，若方程有個不同的實(shí)根，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】令，將問題轉(zhuǎn)化為與有個不同的交點(diǎn)；結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，由此可得的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.【詳解】令；方程有個不同的實(shí)根等價于與有個不同的交點(diǎn)；當(dāng)時，，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；則可得圖象如下圖所示，由圖象可知：當(dāng)時，與有個不同的交點(diǎn)；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.思路點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)方程根的個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，解題基本思路是將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)的問題，作出函數(shù)圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式確定參數(shù)范圍.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.只有1個零點(diǎn) B.單調(diào)遞增C.曲線在點(diǎn)處切線的斜率為 D.是偶函數(shù)【正確答案】ABC【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，求出的單調(diào)區(qū)間，即可判斷出選項(xiàng)B的正誤；選項(xiàng)A，由，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷出選項(xiàng)A的正誤；選項(xiàng)C，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；選項(xiàng)D，利用函數(shù)奇偶性的判斷方法，即可求解.【詳解】易知定義域?yàn)?，又，令，則在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以時，gx<0，時，gx即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)B正確，對于選項(xiàng)A，因，所以只有1個零點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確，對于選項(xiàng)C，因?yàn)椋郧€y=fx在點(diǎn)處切線的斜率為，故選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對稱，所以非奇非偶函數(shù)，故選項(xiàng)D錯誤，故選：ABC.10若x，y滿足，則（）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以A錯誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以C正確；因?yàn)樽冃慰傻?，設(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．故選：BC．11.若正實(shí)數(shù)，滿足，則下列不等式中可能成立的是（）A. B.C. D.【正確答案】AC【分析】依題意可得，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，再令，利用導(dǎo)數(shù)說明，即，從而得到，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即可判斷.【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，令，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，則，即當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時或，結(jié)合與的圖象也可得到所以或.

故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，則______．【正確答案】##【分析】根據(jù)同角的平方關(guān)系求出，結(jié)合誘導(dǎo)公式計算即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故13.設(shè)f(x)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且.若，則_______【正確答案】【分析】求得的周期性，利用函數(shù)周期性結(jié)合已知條件，求函數(shù)值即可.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，則，故是的周期，故.故答案為.14.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，若.，則關(guān)于x的不等式的解集為__________.【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)探討單調(diào)性，求解不等式作答.【詳解】令函數(shù)，則，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，，因此，即，解得，所以不等式的解集為.故四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最小值．【正確答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【詳解】試題分析：（Ⅰ)先利用二倍角公式、配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)：，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求周期（Ⅱ)，在（Ⅰ)的基礎(chǔ)上，利用正弦函數(shù)性質(zhì)求最值試題解析：（Ⅰ)（1)的最小正周期為；（2)，當(dāng)時，取得最小值為：考點(diǎn)：二倍角公式、配角公式16.已知函數(shù)，．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的最大值和最小值．【正確答案】（1）（2）最大值為6，最小值為【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最值.【小問1詳解】由題意知，，則，又，所以切點(diǎn)為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.【小問2詳解】，令或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上的極大值為，極小值為，又，所以在上的最大值為6，最小值為.17.在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗(yàn)的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率．（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.【正確答案】（1）（2）見解析【詳解】（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，計算即得(II)由題意知X可取的值為.利用超幾何分布概率計算公式得X的分布列為X01234P進(jìn)一步計算X的數(shù)學(xué)期望.試題解析：（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則(II)由題意知X可取的值為.則因此X的分布列為X01234PX的數(shù)學(xué)期望是=【名師點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式和超幾何分布概率計算公式、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要準(zhǔn)確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個數(shù)，利用超幾何分布的概率公式.本題屬中等難度的題目，計算量不是很大，能很好的考查考生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、基本運(yùn)算求解能力等.18.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明.【正確答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號的變化情況討論單調(diào)性：當(dāng)時，，則在(0,+∞)單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）證明，即證，而，所以需證，設(shè)g（x）=lnx-x+1，利用導(dǎo)數(shù)易得，即得證.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?，+），.若a≥0，則當(dāng)x∈（0，+）時，，故f（x）在（0，+）單調(diào)遞增.若a＜0，則當(dāng)時，時；當(dāng)x∈時，.故f（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）由（1）知，當(dāng)a＜0時，f（x）在取得最大值，最大值為.所以等價于，即.設(shè)g（x）=lnx-x+1，則.當(dāng)x∈（0,1）時，；當(dāng)x∈（1，+）時，.所以g（x）在（0,1）單調(diào)遞增，在（1，+）單調(diào)遞減.故當(dāng)x=1時，g（x）取得最大值，最大值為g（1）=0.所以當(dāng)x＞0時，g（x）≤0.從而當(dāng)a＜0時，，即.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見類型及