復(fù)數(shù) 練習(xí)卷-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)練習(xí)卷

一、單選題

1.若復(fù)數(shù)4與7=-3-i。為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則4=（）

A.-3iB.-3+iC.3+i

2.已知復(fù)數(shù)z=，（a（i為虛數(shù)單位,a￡R),若|z|=占，貝壯=（

C.±2

3.若z+2彳=2+i,貝|z=

A.——+2iB.——2iC.-+2i

333

4.若復(fù)數(shù)2=7一-1,則z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）

l-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.已知復(fù)數(shù)z滿足（2-i）z=i,則復(fù)數(shù)z的虛部為

A.--B.-C.-iD.-i

5555

6.任意一個(gè)復(fù)數(shù)2=。+歷都可以表示成三角形式，即a+〃=r（cos6+isin。）.棣莫弗定理

是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667—1754年）創(chuàng)立的，指的是:設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)z】=Mcosa+isinq）,

z2=/;（cos6<2+isin6（,）,則々z?=q弓［cos（q+%）+isin（4+g）］,已知復(fù)數(shù)2=3+#1,則

2O232

Z+Z+Z=（）

A1R173.「16.nI

A.IJ.—|---------iC.-----1D.1

22222

7.已知復(fù)數(shù)z,z。滿足|z-z0卜&,聞=應(yīng)，貝"z|的最大值為（）

A.也B.272C.4D.3A/2

8.歐拉公式e"=cosx+isinx（其中i為虛數(shù)單位，xeR）,是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立

的，公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)的數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)

論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋.依據(jù)歐拉公式，e號(hào)的共輾復(fù)數(shù)為（）

二、多選題

9.在復(fù)平面內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是()

A.-i2=lB.(-i)2=1

C.若a>b,貝！Ja+i>6+iD.若復(fù)數(shù)z滿足z2<0,貝Uz是純虛數(shù)

10.已知4*2是關(guān)于尤的方程f-Zx+H—O(meR)的兩根，則()

ZZ

A.z{+z2=2B.|1|=|2|

C.若機(jī)>1,則Z]=z2D.若m>1,則z；+z；<2

H.已知復(fù)數(shù)Z”Z2,則下列說(shuō)法中正確的是()

A.|平2|=團(tuán)憶|B.■+Z21Tzl|+區(qū)|

C.“ZKCR”是“4=三”的必要不充分條件D.“㈤=岡”是“z；=z；”的充分不必要條

件

三、填空題

12.計(jì)算:1+27+3產(chǎn)+4/+…+10廠=.

13.已知向量OZ對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2i,把OZ繞原點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°后，再把模變?yōu)?/p>

3

原來(lái)的|?倍得到向量OZ「則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(用代數(shù)形式表示).

14.已知復(fù)數(shù)ZB的實(shí)部和虛部都不為0,滿足①五=2；②匕Zz|=2.則4=,z2=.

(寫(xiě)出滿足條件的一組4和Z2)

四、解答題

15.已知復(fù)數(shù)z=3+l+i,i為虛數(shù)單位.

1+21

(1)求回；

(2)若復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程/+如+〃=0的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)相，”的值.

2

16.已知復(fù)數(shù)z滿足2z+彳=3-2i,其中i為虛數(shù)單位.

⑴求z；

(2)若復(fù)數(shù)z,2-i在復(fù)平面xQy內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為若四邊形O4BC是復(fù)平面內(nèi)的平行

四邊形，求點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

17.已知復(fù)數(shù)z滿足|z+2-2i|=2,且復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

⑴確定點(diǎn)M的集合構(gòu)成圖形的形狀；

⑵求|z-l+2i|的最大值和最小值.

18.已知復(fù)數(shù)Z滿足|2|=應(yīng)，z2的虛部為2.

⑴求復(fù)數(shù)Z；

(2)設(shè)z,z2,z-z2在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、8、C,求△ABC的面積.

19.對(duì)于Zoe0eC,記左-2為4/2關(guān)于z0的“差比?！?若取遍聞=r(r>0),記馬小

Z2—Z0

關(guān)于聞=7?的“差比?！钡淖畲笾禐槿?，最小值為爆n，若%x+L=2,則稱馬名關(guān)于「的

“差比模”是協(xié)調(diào)的.

(1)若Z。=；+^4,Z]=1,z2=-1,求Zi*2關(guān)于Zg的“差比模"；

⑵若4=1+后后=1-拘，是否存在r<2,使得關(guān)于「的“差比?！笔菂f(xié)調(diào)的？若存在,

求出廠的值；若不存在，說(shuō)明理由；

22

(3)若4=a,Z2=bi,a,6eR且。,6>r,若馬也關(guān)于，?的“差比?！笔菂f(xié)調(diào)的，求—h-aL的值.

r

4

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案BCBBBBBAADACD

題號(hào)11

答案AC

12.5+6,

3A/23萬(wàn)

13.-------------------1

22

z廣立+g

14.Z]=0+0i

222

15.解.(1)復(fù)數(shù)Z=bl+i=————--bl+i

用平反'雙l+2i(l+2i)(l-2i)

=l-2i+l+i=2-i,

.?閆=百+(_1)2=石.

(2)?，復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程g+幾=。的一個(gè)根,

(2-i)2+m(2-i)+n=0,艮|33+2m+n-(m+4)i=0

J3+2m+n=0

[m+4=0

解得m=-4,n=5.

16.(1)設(shè)z=a+bi(Q,Z?￡R),則5=

故2z+5=2(a+bi)+a—Z?i=3a+/?i=3—2i,

[3a=3

所以7c解得：a=lb1=-2

[b=-2f

z=1—2z；

(2)由(1)得：A(l,-2),B(2,-l)

因?yàn)樗倪呅巍C是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形

所以O(shè)C=AB=(1,1)

故點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+i.

17.(1)設(shè)復(fù)數(shù)-2+2i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為尸(-2,2),

貝”z+2—2i|=|z-(-2+2i)\=4MP\=2,

故點(diǎn)M的集合是以點(diǎn)P為圓心，2為半徑的圓，如下圖所示.

(2)設(shè)復(fù)數(shù)l-2i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為。(L-2),則|z-l+2iRMQ|,如下圖所示,

IPQ1=J(l+2)2+(-2-2)2=5,

則|z-l+2i|的最大值即|"0|的最大值是|尸0|+2=7；

|z-1+2i|的最小值即|MQ\的最小值是IP。I-2=3.

18.(1)設(shè)z=x+yi(x,yeR),

Jx2+y2=V2,x2+y2=2①，

z?=/-丁+2孫i的虛部為2,所以2沖=2,移=1②,

x=ly=-i

由①②解得9或

x=-l

所以z=l+i或z=-l-i.

(2)當(dāng)z=l+i時(shí)，z2=2i?z-z2=1-i,

所以A(l,l),3(0,2),C(1,T),

照=2,

所以三角形ABC的面積為gxlx2=l.

當(dāng)z=-l—i時(shí)，z2=2i?z—z2=—l—3i

所以A(-l-l),B(0,2),C(-l,-3),

2

[4。=2,所以三角形ABC的面積為:x2xl=l.

(22

19.(1)由題意得上

T-z0

I1-V3iI=J_T-Wi=旦|=也

"對(duì)一百-上一343

故2關(guān)于4的“差比模，，為今

(2)先證明共輾復(fù)數(shù)有如下性質(zhì)：若任意Z],Z2￡C,則)±.=Z]土Z2,①=[五]

Z?lz2；

證明：設(shè)Zi=。+歷(a,>￡R),Z2=c+di(c,dwR),

則21±22=4+4±(0+片)=〃±0-伍±2)1,

而4±z2=a一歷±(c-di)=a±c一僅土d)i,

故4±Z2=馬士Z2.

|zi|_f^+biy\_ac+bdbc-ad._ac+bdbe-ad.

yc+diJc2+d2+c2+J21c2+d2c2+6?21

z.a-biac+bdad-be.ac+bdbe-ad.

?^4-=----------=----------------1---------------1=------------------------------1.

22222222

z2c-dic+dc+dc+dc+d'

故&=［五］

Z2lZ2j

綜上，共輾復(fù)數(shù)的性質(zhì)￡±9=羊；，五=(五］得證.

一一Z［{z2J

記當(dāng)“差比?！比∽畲笾悼倳r(shí)的復(fù)數(shù)Z。為zmax,即=土芻”

Zz—Zmax

由已知Z]=1+=1-/發(fā)現(xiàn)4=z2,

由已證明共輾復(fù)數(shù)的性質(zhì)與復(fù)數(shù)模的性質(zhì)忖=1司可得

3

所以若當(dāng)z°=Zmax時(shí)取得kmax,則Z0=Z而時(shí)取到^min,

故可知%x?媼,=1，

由取遍|z°|=r(r>0),k=不恒為常數(shù),則心ax*儲(chǔ)?,

故由基本不等式可得/1ax+kmin>2,

故不存在Y2,使得卬Z2關(guān)于r的“差比模”是協(xié)調(diào)的.

(3)zx=a,z2=歷,a,bwR且,設(shè)z。={osl+isin。),

a-rcos0-irsinOa2+r2-2arcos0

則％=

-rcos6+僅一rsin^)iVZ;2+r2-IbrsvnO

平方整理可得:

(片+r2)-(/?2+r2)/=larcos0-2brk2sin0=+4b2r2k4sin(0+(p)

(6Z2+r2)-(Z72+r2)/:2

所以卜in(6+9)=<1,

J4a2r2+4b2r2k4

即[(6Z2+r2)-(Z?2+r2)A:2]2<4a2r2+4b2r2k4,

平方整理得：(從一產(chǎn))244—2(/+戶)&+戶北2+(/一產(chǎn)y?0,

令t=k?,設(shè)方程(從一戶)2皇一252+下地2+，k+(。您一戶)2=o,

2

則A=[2(/+r)(〃+/)