高考數(shù)學(xué)一輪專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)知識(shí)清單-等差數(shù)列性質(zhì)歸類(lèi) （含解析）

等差數(shù)列性質(zhì)歸類(lèi)

望盤(pán)點(diǎn)?置擊看詈

目錄

題型一：定義法判斷等差數(shù)列......................................................................1

題型二：定義法求通項(xiàng)............................................................................4

題型三：等差中項(xiàng)................................................................................6

題型四：等差數(shù)列的“中點(diǎn)”性質(zhì)..................................................................8

題型五：an與sn的關(guān)系’........................................................................10

題型六：雙等差數(shù)列sn比值型....................................................................12

題型七：等差數(shù)列型函數(shù)和.......................................................................14

題型八：奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)和型.....................................................................16

題型九：等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性.............................................................18

題型十：等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：sn最值............................................................20

題型十一：等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：正負(fù)不等式型.....................................................22

題型十二：等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：恒成立型求參.....................................................26

題型十三：等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：范圍型...........................................................28

題型十四：等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：sn與n比值型....................................................31

題型十五：等差數(shù)列與三角函數(shù)...................................................................33

題型十六：等差數(shù)列思維第19題型綜合............................................................35

更突圍?楣耀蝗分

題型一：定義法判斷等差數(shù)列

指I點(diǎn)I迷I津

等差數(shù)列的定義

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差

數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母4表示，定義表達(dá)式為（常數(shù)）（〃eN*,?>2）.

1一6房白匕朝薪三瓶■「市國(guó)甚€戒星豪薊療一吊三痂金2嬴福，一金詢(xún)石定血菽百1否

三個(gè)漏壺的上底寬依次遞減1寸（約3.3厘米），下底寬和深度也依次遞減1寸.設(shè)三個(gè)漏壺的側(cè)面與底面所

成的銳二面角依次為4,%,仇，則（）

C.cos。1+COS”=2cos0,D.tan0X+tan03=2tan02

【答案】D

【分析】連接。尸，過(guò)邊4月的中點(diǎn)￡作EGLO尸，垂足為G,則NGFE就是漏壺的側(cè)面與底面所成銳二

面角的一個(gè)平面角，記為6,設(shè)漏壺上口寬為。，下底寬為6,高為鼠在Rt/XEPG中，根據(jù)等差數(shù)列即可

求解.

【詳解】三級(jí)漏壺，壺形都為正四棱臺(tái)，自上而下，三個(gè)漏壺的上口寬依次遞減1寸（約3.3厘米），下底

寬和深度也依次遞減1寸，

如圖，在正四棱臺(tái)4BCD-44GA中，。為正方形/BCD的中心，尸是邊的中點(diǎn)，

連結(jié)。尸，過(guò)邊4片的中點(diǎn)E作￡G，O尸，垂足為G,

則/GEE就是漏壺的側(cè)面與底面所成銳二面角的一個(gè)平面角，記為。，

設(shè)漏壺上口寬為〃，下底寬為6,高為6,

在RtZXEFG中，GF=^-,tang=^-,

2a-b

因?yàn)樽陨隙氯齻€(gè)漏壺的上口寬成等差數(shù)列，下底寬也成等差數(shù)列，且公差相等，

所以。-6為定值，

又因?yàn)槿齻€(gè)漏壺的高人成等差數(shù)列，所以tanq+tanq=2tan4.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于情境類(lèi)問(wèn)題首先要閱讀理解題意，其次找尋數(shù)學(xué)本質(zhì)問(wèn)題，本題在新情境的基

礎(chǔ)上考查等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí).

2.(23-24高三下?上海浦東新一期中)設(shè)/卜)=。/'"+%1_17"1+--+平+%(0-0,〃7210,機(jī)€2),記

工(x)=AG)("=L2，L令有窮數(shù)列，為工(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)("=1,2,…，加-1),則有以下兩個(gè)結(jié)論:

①存在力(x),使得，為常數(shù)列；②存在力(無(wú))，使得，為公差不為零的等差數(shù)列.那么()

A.①正確，②錯(cuò)誤B.①錯(cuò)誤，②正確

C.①②都正確D.①②都錯(cuò)誤

【答案】C

【分析】對(duì)于①，列舉力(x)=x?僉證，對(duì)于②，列舉_/o(x)=(x-l)(x-2)…(尤-")驗(yàn)證.

【詳解】當(dāng)/(耳=/時(shí)，

工(x)=%'(x)=，止匕時(shí)4=1,

m1

f2[x)=f[[x]=m(m-1)x~,此時(shí)仇=1.

x

fm-A)=fm-2(x)=m(m-l)(m-2)---x2xx,此時(shí)超_=1,

故存在/o(x)，使”為常數(shù)列；①正確；

設(shè)工)(無(wú))=(尤T(x-2)…(x-加)，則/)(x)有m個(gè)零點(diǎn)1,2,3,…，加,

則工(力在(1,2),(2,3),…依-1,加)的每個(gè)區(qū)間內(nèi)各至少一個(gè)零點(diǎn),故工(力至少有*1個(gè)零點(diǎn),

因?yàn)槭且粋€(gè)刃-1次函數(shù)，故最多有m-1個(gè)零點(diǎn)，因此工(x)有且僅有用-1個(gè)零點(diǎn)，

同理，力(X)有且僅有加-2個(gè)零點(diǎn)，L,《(X)有且僅有機(jī)-七個(gè)零點(diǎn)，

故b,,=m-n,所以｛0｝是公差為T(mén)的等差數(shù)列，故②正確.

故選：C.

3.(23-24高三上?北京海淀?階段練習(xí))斐波那契數(shù)列又稱(chēng)為黃金分割數(shù)列，在現(xiàn)代物理、化學(xué)等領(lǐng)域都有

應(yīng)用.斐波那契數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足/=。2=1，an=+。"-2(力23,〃eN).給出下列四個(gè)結(jié)論：

①存在zweN*,使得，。,”+1,。”,+2成等差數(shù)列；

②存在加eN*,使得am,5,am+2成等比數(shù)列；

③存在常數(shù)"使得對(duì)任意〃eN*，都有氏，3+2，%+4成等差數(shù)列；

④存在正整數(shù)強(qiáng)，…4，且力氣〈…〈數(shù)，使得4+%+…+”=2023.

其中所有正確的個(gè)數(shù)是()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】由遞推公式得｛%｝性質(zhì)后判斷，

【詳解】對(duì)于①，由題意得。2=1，%=2,&=3,故%，。3，。4成等差數(shù)列，故①正確，

對(duì)于②，由遞推公式可知5，%1，冊(cè)+2中有兩個(gè)奇數(shù)，1個(gè)偶數(shù)，不可能成等比數(shù)列，故②錯(cuò)誤，

對(duì)于③，4+4=4+3+4+2=為“+2+??4=弭+2一冊(cè)，

故當(dāng)f=T時(shí)，對(duì)任意〃eN*,an,|??+2,%+4成等差數(shù)列；故③正確，

對(duì)于④,依次寫(xiě)出數(shù)列中的項(xiàng)為1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,…，

可得2023=1597+377+34+13+2,故④正確，

故選：C

4.(21-22浙江金華?階段練習(xí))已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列｛皿｝,定義向量c,=(%,%)也=(〃,”+l),〃eN*.

下列命題中正確的是

A.若任意ndN*總有成立，則數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列

B.若任意"GN*總有cn〃b"成立，則數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列

C.若任意"GN*總有成立，則數(shù)列｛。。｝是等差數(shù)列

D.若任意"6N*總有cn〃bn成立，則數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列

【答案】D

【詳解】分析：利用平面向量垂直或平行的判定條件得到數(shù)列的遞推公式，再利用累乘法求出通項(xiàng)，進(jìn)而

利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進(jìn)行判定.

詳解：若任意〃eN*總有C"，b"成立，

貝!]"%+(〃+1)。什1=0,

a,,,,n

即但:——7,

a”77+1

aa.%

即為=A-1...

旦

a[a77-2、

n-ln-2n-3

-(7),(-----

n-------n-\n-2

(T)i

=------Q],

n

則｛%｝不是等比數(shù)列，也不是等差數(shù)歹u；

若任意“eN*總有g(shù)II，成立,

貝lj"%+I-("+l)a“=0,

即，4z±L=—n+\,

??n

aaia,

即為=-■--2..q

an-lan-2芻

nn-12

?了％

n-\n-2

=nax,

即｛風(fēng)｝是等差數(shù)列.故選D.

點(diǎn)睛：(1)熟記平面向量垂直和平行的判定條件：

已知。=區(qū),必)[=(工2/2)，

則a〃g<=>再％―/必=0，a-LZ5<=>xxx2+y]y2=0

(2)已知數(shù)列｛?！埃倪f推公式也=/(〃)求通項(xiàng)時(shí)，往往采用累乘法;

已知數(shù)列｛%｝的遞推公式。向-。“=/(〃)求通項(xiàng)時(shí)，往往采用累加法.

5.（浙江?高考真題）如圖，點(diǎn)列{An},{BJ分別在某銳角的兩邊上，且|44/=|4+/局，4產(chǎn)4+2，〃eN*,

阿紇/=禺+12I，3產(chǎn)紇+2，"eN*.（尸/。表示點(diǎn)尸與前重合）

若"”=|4闖,其為“屹出用的面積，則

A.3,}是等差數(shù)列B.{S：}是等差數(shù)列

C.{d“}是等差數(shù)列D.{4}是等差數(shù)列

【答案】A

【詳解】s,表示點(diǎn)4到對(duì)面直線(xiàn)的距離（設(shè)為"）乘以四月J長(zhǎng)度的一半，

即5,紇2角|,由題目中條件可知屬紇」的長(zhǎng)度為定值，

那么我們需要知道兒的關(guān)系式，

由于4,4和兩個(gè)垂足構(gòu)成了直角梯形，

那么%=%+|4/Jsin。，

其中6為兩條線(xiàn)的夾角，即為定值，

那么斗=：〃+|44「山。）|凡紇」，

S“M=g（A+|44jsin。）同凡」，

作差后：5?+1-S?=|（|4^?+1|-sin0）|5A+1|.都為定值，所以S“M-S”為定值.故選A.

題型二：定義法求通項(xiàng)

指I點(diǎn)I迷I津

方法解讀適合題型

定義法??-a?-1（/7>2,”eN*）為同一常數(shù)={%}是等差數(shù)列

解答題中的證明問(wèn)題

等差中項(xiàng)法2%_i=%+an_2(n>3,neN*)成立Q{an}是等差數(shù)列

a“=pn+q（p,q為常數(shù)）對(duì)任意的正整數(shù)〃都成立

通項(xiàng)公式法

={%,}是等差數(shù)列

選擇、填空題中的判

驗(yàn)證$"=//+由7（/,2為常數(shù)）對(duì)任意的正整數(shù)〃都成立定問(wèn)題

前“項(xiàng)和公式法

={an}是等差數(shù)列

1.（23-24高二下?貴州?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足q=3,%“+1=%?…%，數(shù)列低｝滿(mǎn)足

bn=ata2an-a[—a\----a"n,則40=（）

A.-13B.-14C,-15D.-16

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件求解判斷｛〃｝為等差數(shù)列，求出通項(xiàng)a，得解.

【詳解】由“=q?tz2L—（"+4+L+4），

aL（a：+~L+

'1=ax-2an-。用-a++喙）,

則“+i一"=an（a?+1-1）一生匕，又。同+1=%Lan,

?也+1-2=T，乂4=《-a；=3-3?=-6,

所以數(shù)列也｝為等差數(shù)列，則，=一6+（〃一1卜（一1）=一〃一5,

.?狐=-15.

故選：C.

2.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛g｝各項(xiàng)為正數(shù)，抄“｝滿(mǎn)足6也…??+??+1=2bn+l,若％=2,

111

4=1,貝?。菀?—+???+----=()

a\”242024

1012101120242023

A.------B.------C.—D.—

1013101220252024

【答案】C

【分析】由端=貼用，得a,=四瓦；，再結(jié)合%+-=2%，可得豆+麻；=2匹，進(jìn)而可得數(shù)列｛m｝

是等差數(shù)列，即可求出｛%｝的通項(xiàng)，從而可求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相消法求解即可.

【詳解】因?yàn)閍；=b“be,所以a,=因也+i,

因?yàn)?+%=2%,所以，＞0,J她+i+J"+i或+2=24,

即R+師=2匹,

所以數(shù)列｛收｝是等差數(shù)列，

又％=2,4=1,所以4=4,

所以數(shù)歹計(jì)西｝的公差為何-M=1,首項(xiàng)為揚(yáng)=1,

所以也=n，所以〃=/，

所以%=標(biāo)二="（〃+1），則1=麗包二一一T

一11111111112024

所以1-----F…H--------=1------1--------F*—F--------------=1-------=------

m/qa2?20242232024202520252025.

故選：C.

3.（202牛山西?三模）已知數(shù)列｛。"｝，也”｝對(duì)任意〃€]\*均有。"+1=。"+，也+1=，+2.若%=4=3,貝1]&4=（）

A.530B.531C.578D.579

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列可得〃=2〃+1,再利用累加法求為4?

【詳解】因?yàn)槭笫?+2,可知數(shù)列論,｝是以首項(xiàng)4=3,公差d=2的等差數(shù)列，

所以%=3+2（〃-1）=2〃+1,

a?=a?

又因?yàn)?Ian+bn,即+1-an=bn,

可得。2—％=b1,a3—a2=b2,a4-a3=&???,24—%3=砥,

累加可得出4一%=4+V+4/-----\-b23,

則”3=230+47）=575，所以。?4=578.

2

故選：C.

4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）己知見(jiàn)”,左eN*,數(shù)列｛6｝中，4=2,am+n=am+an,為數(shù)列｛。,｝的前"項(xiàng)和，

Sk+2-Sk^26,貝！］后=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)4+“=（+%，令%=1,根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得%=2”，再由等差數(shù)列前〃項(xiàng)

和與通項(xiàng)關(guān)系即可得結(jié)論.

【詳解］在限=%+4中*令加=1,可得。用=%+%,所以a”+i-a“耳2,又q=2,

所以數(shù)列｛%｝是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則?！?2〃，

所以Sk+2—Sk=ak+i+ak+2=2（后+1）+2（k+2）=4左+6=26,所以左=5.

故選：C.

5.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為n，且滿(mǎn)足%=2,--2=2,則耳。=（）

n+1n

A.110B.200C.65D.155

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式求解即可.

【詳解】因?yàn)?=2，

所以，，，是以2為公差的等差數(shù)列，

qc

又心=4=2,所以—^=2+2（〃-1）=2〃，

1n

故S"=2",所以品=200,

故選：B

題型三：等差中項(xiàng)

:指I點(diǎn)I迷I津

.等差中項(xiàng)的概念

若三個(gè)數(shù)a,A,6成等差數(shù)列，則N叫做。與6的等差中項(xiàng)，且有/=*.

1.（19-20高一下?黑龍江齊齊哈爾?期中）S”是公比不為1的等比數(shù)列｛%｝的前。項(xiàng)和，￡是星和E,的等差

中項(xiàng)，S⑵是$6“和九兒，的等比中項(xiàng)，則4的最大值為（）

488025

A.—B.-C.—D.—

376321

【答案】D

【分析】由品是邑和$6的等差中項(xiàng)，可得又由品"是$6,和彳兒,的等比中項(xiàng)，同時(shí)令

/=!（0<品3,^A=1+~T~（0<t-^,由此即可得到本題答案.

t

【詳解】設(shè)｛與｝的公比為4,由于4工1,所以S3=%,_/）,$6=%產(chǎn)6）,S，**，

1-q1-q\-q

又品是邑和X的等差中項(xiàng)，所以2s9=$3+久，即2v)=%,_/)+”-/)

\—ql-q\-q

化簡(jiǎn)得屋(g3_D(2q3+l)=0,由于“Rl,所以2/+1=0,q3=~^,

所以一%(14")_%(|■—」(1-產(chǎn))_」(1一菽),

a,(l---)

_%(1-產(chǎn))_八64"'

___；012n_；一；

l-q1-q1-q1-q18n\-qi-q

因?yàn)閹住笆?6"和九與"的等比中項(xiàng)，

所以%：=無(wú)?犯8,,，

ill

即[”一方所以a-+)2=41一少(1一小,令"：(0<七小，

\-q1-ql-q：

2

i(I—r)？/+2/+1t[1/n1.

則(17)(1-/)t2+t+lt2+t+l"1+1a

t

125

當(dāng)一,即〃=1時(shí)，％取得最大值，最大值為三.故選：D

421

【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化求解能力和運(yùn)算能力，屬中檔題.

2.(2022?黑龍江哈爾濱?一模)已知》2+產(chǎn)=4,在這兩個(gè)實(shí)數(shù)之間插入三個(gè)實(shí)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)構(gòu)成等差

數(shù)列，那么這個(gè)等差數(shù)列后三項(xiàng)和的最大值為

A.-y/10B.V10c.-VioD.2而

【答案;c

【分析】根據(jù)題意，用X,丁表示這個(gè)等差數(shù)列后三項(xiàng)和為史型,進(jìn)而設(shè)x=2cos0,y=2sin。，利用三角

4

函數(shù)的性質(zhì)能求最大值.

【詳解】設(shè)中間三項(xiàng)為Ac,則2Z)=x+y,所以6=守，，=審=三亞，

所以后三項(xiàng)的和為6+。+了=中+三亞+了=之詈，

244

又因?yàn)闋t+/=4,所以可令x=2cose,y=2sin。,

g、i3x+9y3/八c.八\3、3Vo-

所以——-——=—(cos9+3sin——sin(0+cp)<———

故選。

【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)和三角函數(shù)的性質(zhì).

3.(23-24高二下?四川成都?期末)若等比數(shù)列｛與｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且3%，：%，2a6成等差數(shù)列，則巴詈1

Z.V?Q-ICt'y

()

A.3B.6C.9D.18

【答案】c

【分析】先根據(jù)等比數(shù)列部分項(xiàng)成等差得出公比，再結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)求值即可.

【詳解】若等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以公比9>0，

且3“5」。7,2〃6成等差數(shù)列，可得2x；“7=2%+3%，47=2。6+3。5，=2。悶5+3%’,

即得q?~2q+3,q?-2q—3=0,(g—3)(g+1)=0,

可得9=3,

93

。10+。4_%q_2_O

一7r一q一"

私+出a\Q+%q

故選：C.

4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足〃臼+%%+%%+=10°，則%=（）

5f5

C.5或一5D.—BK--

22

【答案】C

【分析】根據(jù)式子％/+/%+%%+%%=100的結(jié)構(gòu)特征可進(jìn)行組合與提取公因式，再利用等差數(shù)列性質(zhì)

和等差中項(xiàng)公式不斷簡(jiǎn)化式子即可得解.

【詳解】由題4的+。2。7+。3a9+。7a8=%（%+%）+%（如+為）=2a5a3+2%%=2a5（a3+%）=4a；=100,解得

21

5.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)。>0,b>0,若Ing是ln3"與ln9"的等差中項(xiàng)，則一+7的最小值為（）

【答案】B

【分析】先由等差中項(xiàng)的概念得到。+26=1,然后由基本不等式求解最小值即可.

【詳解】因?yàn)樯?是ln3"與hi貨的等差中項(xiàng)，

所以21n石=ln3°+ln9J即ln3=ln（3。xy）=In3H+勾皿3,

a+2b=1,又。>0,b>0,

.21<21Y。cla4bo

ab\ab）ba\ba

當(dāng)且僅當(dāng)?=竺，即。=<，時(shí)等號(hào)成立.

ba24

故選：B.

題型四：等差數(shù)列的“中點(diǎn)”性質(zhì)

指I點(diǎn)I迷I津

等差數(shù)列“中點(diǎn)”性質(zhì)

若｛aj為等差數(shù)列，且m+n=p+q,貝Ua"+"〃一"p+%

ak+m9。攵+2加，…仍是等差數(shù)歹九公差為md（k,meN*）.

4.S〃，S2-Sn,83〃一§2“，…也成等差數(shù)列，公差為小d.

L（2024?新疆二模）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若&=-1,貝!］品=（）

as

A.SiB.S5C.S6D.S］

【答案】A

【分析】根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可，或根據(jù)題意利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)，再化簡(jiǎn)岳。即

可.

【詳解】因?yàn)樯?T,所以%+。8=0，所以。6+%=。5+%0=0.

%

因?yàn)楣?-邑=。5+。6+〃7+。8+。9+%0=0，所以百0=§4.

另解：設(shè)等差數(shù)列｛%J的公差為d,

由之■=一］,得％+%=0,

13

所以％+6〃+%+7〃=0,即2%+13〃=0,得％=---d,

10x91-f+45d=-20d,

所以Ho=104+(一d=10x

4x3(1

因?yàn)镾4=4%+—^—d=4x1--^-d\+6d=-20d,

5x4|45

—5%+-^―a=5x]+10(7=---d,

2

6x5|

S6~6%+—-—d—6xJ+15</=-24c/,

7x67r

S7—7%+----a—7xf]+2ld=--d,

2

所以EO=S4

故選：A.

2.（23-24高二下?河南信陽(yáng),期末）數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足?！?2+%-24+1=0,已知。7+%i=&，則｛%｝的前19項(xiàng)和

兒=（）

A.0B.8C.10D.19

【答案】A

【分析】由等差中項(xiàng)得到數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的性質(zhì)由+%1=心+%0得到〃=0，由等差

數(shù)列前?項(xiàng)和公式結(jié)合等差中項(xiàng)得到岳9

【詳解】因?yàn)槭?2+%-2°同=0即2a用=%+2+.“，所以數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，

因?yàn)椤?+%1=%+%0且07+%1=。8，所以。8+%0=08，得%0=0，

所以鳥(niǎo)9=（%+?xl9=2%;19=1也。=0.

故選：A.

3.（23-24高二下?湖北武漢?階段練習(xí)）設(shè)凡為等差數(shù)歹￡4｝的前〃項(xiàng)和，若〃8+%0—3〃9=%—2,貝1]5（）=（）

25

A.5B.10C.——D.15

2

【答案】B

【分析】利用等差中項(xiàng)性質(zhì)得。8+。10=2。9,再利用等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)求解即可.

【詳解】若為+。10—3%=。2—2,由等差中項(xiàng)性質(zhì)得歿+"10=2%，

故一。9=。2一2,即〃2+。9=2,易知Ro=號(hào)（%+%0）=5（。2+。9）=10-

故選：B

4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知邑為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，的+。2。+%6=30,貝IJ%=（）

A.100B.250C.500D.750

【答案】B

【分析】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式，直接利用通項(xiàng)公式和求和公式計(jì)算即可；也可利用等差

數(shù)列的性質(zhì)公式簡(jiǎn)化運(yùn)算.

【詳解】解法一：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為%則%+2d+%+19d+%+15〃=30,BP3+126/）=30,所

以q3=10，故邑$=（%+；）*25=25二=250,

故選：B.

解法二：因?yàn)?+%。+%6=30,所以3&=30,得％3=10，故$25=（%+；）乂25=25q=250,

故選：B.

5.（2021全國(guó)模擬）等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為邑，若的+〃9+〃21的值為常數(shù)，則下列各數(shù)中也是常數(shù)的

是（）.

A.S2lB.S?2C.S23D.$24

【答案】A

【分析】求出a3+ag+a2l=3an,故知的值是常數(shù)，進(jìn)而利用等差下標(biāo)性質(zhì)可知4+%=2%代入前21項(xiàng)的

和的公式中求得星1=21g,進(jìn)而推斷出取為常數(shù)，有此可判斷A,同理可判斷BCD.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)和公差分別為4/,

a

因?yàn)?+%+%i=\+2d+q+8d+q+20d=3(a,+10(/)=3an,

所以知的值是常數(shù)，

對(duì)于A,s,|=21(q+.J=21x2孫=2%也是常數(shù),故A正確；

2122

又寸于B,S?2=---------=11(%+%?)=11(qj+%J=1K<7]|+%]+4=22a”+11“故$22不為定值，故B

錯(cuò)誤；~

對(duì)于c,s23=23(%；/)=23'=2%=2%+23d,

故S23不為定值，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,524=^lpl=12(fl[2+an)=12+d+an+2,>242[1+3&/‘

故邑4不為定值，故D錯(cuò)誤.故選：A.

題型五：an與sn的關(guān)系'

r-----------------------------------------------------------------------------------------------

"旨I點(diǎn)I迷I津

ISn,S2n—Sn,83〃一S2”，…也成等差數(shù)列，公差為〃2d.

;等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即S〃，邑S，,S3〃-S2〃成等差數(shù)列

1.(2021?云南昆明三模)已知數(shù)列｛0｝的前〃項(xiàng)和為S“，a,=l,S“+ET=4/("22,"eN*),貝1]%。=()

A.414B.406C.403D.393

【答案】B

【分析】利用兩式相減得見(jiàn)+i+a”=8〃+4,再利用兩式相減可得%+2-?！?8(”22),由此可得。2“=即+6,

進(jìn)一步可得答案.

S+S=4n2

【詳解】由"/、2，兩式相減得邑+「5,1=8力+4,即4用+4=即+4.

同|+邑=4(〃+1)-

仿“口+〃“=8〃+4/、

再由向"。?兩式相減得。升2-%=8〃22,由S2+S1=16,得的=14,

&+2+%+1=即+12

故｛2“｝為以14為首項(xiàng)，8為公差的等差數(shù)列，故出“=14+(〃-1卜8=8"+6,

故4oo=8x50+6=406.

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)遞推關(guān)系求出數(shù)列｛%｝的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以14為首項(xiàng)，8為公差的等差數(shù)列，是解

題的關(guān)鍵，屬于較難題目.

2.(22-23高三上海金山?模擬)對(duì)于實(shí)數(shù)X,卜]表示不超過(guò)x的最大整數(shù).已知正數(shù)數(shù)列｛/｝滿(mǎn)足

1C一111

S"=5。"+7J，〃eN*，其中已為數(shù)列｛?"｝的前〃項(xiàng)和，則網(wǎng)+及^+…+瓦]=

232352415171

280

【答案】B_

【分析】由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列｛S/｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，求得S〃=6,由此可求

111

同*閃*…*閑

【詳解】由%+，］,令〃=1,得%=：%+」，???%>0,得4=1.

21an）21ax）

當(dāng)〃22時(shí)，S”;1）,即s；—S；_］=l.

21

因此，數(shù)列｛S〃2｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，

：.S：=n,即.

11111_J_

貝肉+函+「瓦r司+阿…十詢(xún)

=1x3+—x5+—x7+—x9+—xll+—xl3+—xl5+—xl7

2345678

280

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查等差關(guān)系的確定，考查數(shù)列求和，屬難題.

2

3.（23-24高三上?安徽?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和Sn=pn+qn+r（.P，4/為常數(shù)，且°片0,〃eN*）,

貝h｛?！埃堑炔顢?shù)歹『'是"廠(chǎng)=0"的（）

A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

［答案］A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義及充分條件與必要條件定義判斷即可.

【詳解】若｛%｝是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d（dHO）,則s"="/+與=,

所以T=0,

若尸=0,貝!JS〃=p〃2+4〃（p，o）,

當(dāng)〃=1時(shí)，ax=Sx=p+q,當(dāng)時(shí)，4=一S〃_i=22〃+夕一夕，止匕時(shí)〃=1也滿(mǎn)足，

所以*=2pn+q-p,于是有=2p,｛a〃｝是等差數(shù)列，

所以“｛%｝是等差數(shù)列〃是〃r=0〃的充要條件.

故選：A

4.（2023高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)S〃是數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和，且Q=T,Q*=S〃SM，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是

-l,n=l

B.a

n——>2,?€N

n

為等差數(shù)列D.—+—+—=-5050

51°20i1n0n0

【答案】A

【分析】由。用=s“s用可得一一一：=—1,即數(shù)列是以［=—1為首項(xiàng)，―1為公差的等差數(shù)列可

?〃+i，［3"5

判斷C,由S"求出％可判斷A,B；由等差數(shù)列的前“項(xiàng)和公式可判斷D.

【詳解】Sn是數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和，且q==S?Sn+l,

則sn+l-s?=snsn+l,整理得一一一J=-1(常數(shù))，

?〃+1%

所以數(shù)列是以(=-I為首項(xiàng)，-I為公差的等差數(shù)列，故c正確;

所以《=T_("T)=_〃，故s“=-L

3〃n

11

所以當(dāng)〃22時(shí)，％=S〃-3一產(chǎn)士一乙，％=-1不適合上式,

n-1n

一=1

11_*故8正確，A錯(cuò)誤;

------------>2,72GN

、〃一1n

所以3十不+不+...+^—=一(1+2+3+...+100)=—5050,故D正確.

3]?2?33100

故選：A.

311

5.(22-23高三重慶沙坪壩模擬)已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和5,=彳/-3〃，設(shè)a=——Z為數(shù)列他,｝的前

22anan+\

〃項(xiàng)和.若對(duì)任意的〃eN*,不等式幾北＜12〃+4恒成立，則實(shí)數(shù)彳的取值范圍為()

A.(-＜?,64)B.(^?,48)C.(-oo,32)D.(16,+??)

【答案】A

【分析】根據(jù)a“,S”的關(guān)系求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，再根據(jù)裂項(xiàng)相消法求得7,,從而根據(jù)不等式恒成立求

實(shí)數(shù)4的取值范圍.

31「31-

n

【詳解】當(dāng)〃22時(shí)，an=Sn-Sn_x=-^~2~一IP--1)二3〃一2,

當(dāng)〃=1時(shí)。i=H=l滿(mǎn)足上式，

所以%=3〃一2,〃￡N*,

、_1_1_1111)

aa

所以“nn+\的一2)(3〃+1)3\3n-23〃+lJ'

所以％=4+2+…+a+…+;點(diǎn)

3v4)3147)313〃-23n+lJ

所以＜=!卜一不=)=/7,由，北＜12〃+4可得2-＜12"+4,

3?+1)3〃+13〃+1

即X＜4(3"+1'=4x［9〃+L+6］恒成立，因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)y=4(9x+工+6)在［1,+s)單調(diào)遞增，

n\n)x

所以當(dāng)"=1時(shí)4x(9“+：+6］有最小值為64,所以彳＜64,故選:A.

題型六：雙等差數(shù)列sn比值型

【指I點(diǎn)I迷I津：

?

；若｛%｝與也,｝為等差數(shù)列，且前〃項(xiàng)和分別為S“與SJ,則?=今工.

I

/7〃+45

1.(23-24高三?甘肅定西?階段練習(xí))已知兩個(gè)等差數(shù)列｛。"｝和｛4｝的前?項(xiàng)和分別為4和反，且才=，

則魯=（）

b5

A.5B.6C.9D.11

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得.

47〃+45

【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列｛%｝和｛4｝的前”項(xiàng)和分別為4和4，且才丁，

a5（%+“9）不（。1+〃9）A7x9+45

所以￡1=2-------=2--------=&=/X…，=9

&汾+d）B，9+3.

故選：C

3.（23-24高三?江西撫州模擬）已知等差數(shù)列｛%｝與也｝的前〃項(xiàng)和分別為工&且?=黑^,則，^

的值為（）

13211321

A.—B.—C.—D.—

11102220

【答案】D

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式，結(jié)合已知條件求解即可.

【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列｛叫與｛2｝的前〃項(xiàng)和分別為總工，且背=￡丁，

22

所以設(shè)=kn（2n+3）=2kn+3kn,Tn=kn（n+1）=kn+kn,

%+"9_勿5_%

所外力十九一跖一小

二工一邑

4o一四

_（50"+15左）一（32"+12左）

一（100N+10N）—（81左+9"）

65-44_21

-110-90-20,

故選：D

S3〃+2

3.（2022高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知S〃，T〃分別為等差數(shù)列｛的｝,｛加｝的前〃項(xiàng)和，-±=~―設(shè)點(diǎn)/是

Tn4〃+5

直線(xiàn)外一點(diǎn)，點(diǎn)尸是直線(xiàn)3C上一點(diǎn)，且萬(wàn)=歿方方+2工，則實(shí)數(shù)2的值為（)

289