廣東省六校2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)12月聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

廣東省六校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知雙曲線C:二-4=l（a>0,b>0）的離心率為45,則C的漸近線方程為（

ab

）

A.y=±^-xB..=±2否1

25

C.y=±^-xD.y=±2x

2

2.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上

,這條直線稱為三角形的歐拉線.已知△ZBC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為40,0）,3（0,4）,。（4,4）,則

△48C歐拉線的方程為（）

A.x+y-4=0B.x-y+4：=0

C.x+y+4=0D.x~y-4：=0

3.已知拋物線x*的準(zhǔn)線為/,則/與直線8…，+3=。的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）

4.如圖，在平行六面體/BCD-中，底面/BCD和側(cè)面4/。，都是正方形

/8441=3,48=2,點(diǎn)尸是與空的交點(diǎn)，貝U~AP-ABX=（）

A.4-273B.2C.4D.6

5.在三棱錐P-/BC中，PA=PB=BC=6,AC=60ABLBC,平面平面

ABC,若球。是三棱錐P-4BC的外接球，則球。的表面積為（）

A.96兀B.84兀C.72兀D.48兀

6.已知點(diǎn)。（3,0）和圓M：x2+/-4x-4y+4=0,圓M上兩點(diǎn)/,8滿足

\AO\=2\AD\^BO\=2\BD\,。是坐標(biāo)原點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)尸到直線

4B的最大距離為（）

A."B.2VIC.2+72D.4+V2

22

7.已知。是橢圓〃:/+方=1（0<6<3）上的動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)。到定點(diǎn)尸（2,0）的距離

|尸◎的最小值為1,則橢圓M的離心率的取值范圍是（）

「2八L4i~\rv2L屈一

[3J121[2J131

8.已知矩形/BCD,AB=3,AD<,M為邊DC上一點(diǎn)且OW=1,AM與BD

交于點(diǎn)0,將△4DMr沿著NM折起，使得點(diǎn)。折到點(diǎn)尸的位置，貝Usin/P3。的最

大值是（）

二、多選題（本大題共3小題）

9.已知圓。：/+必=4]是直線/:x+y-6=0上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線尸/,PB%

別與圓C相切于點(diǎn)/,B,則（）

A.圓C上恰有1個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為372-2

B.的最小值是714

C.存在最大值

D.川的最小值是晅

3

22

10.已知橢圓c：L+匕=1的左，右焦點(diǎn)分別為用修，拋物線「以工為焦點(diǎn)，過巴

43

的直線/交拋物線廠于力（網(wǎng),弘）,8（x2,%）兩點(diǎn)，下列說法正確的是（）

A,若玉+迎=8,貝1/引=10

B.當(dāng)甌=4月彳時(shí)，直線/的傾斜角為45°

C.若/（4,2）,尸為拋物線「上一點(diǎn)，則1PMl+「用的最小值為而

D,4|/閶+忸用的最小值為9

H.如圖，三棱臺(tái)/8C-44cl中，〃是/c上一點(diǎn)，/初=3爪,。。口平面/5。

,Z.ABC=90°,AB=BC=CCX=2,AXBX=1,則（）

A.48J/平面3MG

B.平面8Mq，平面3CG4

7

C.三棱臺(tái)NBC-/4。的體積為j

D.若點(diǎn)P在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)（含邊界），且CP與平面"3與4所成角的正切

值為4,則8P長(zhǎng)度的最小值為咨

5

三、填空題（本大題共3小題）

12.已知直線4:ox-y-2024=0,/2：（3。一2卜+即+2025a=0,若八皿，則實(shí)數(shù)。的值

為_______

22

13.已知耳，巴,8分別是橢圓C:=+4=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，連接

ab

2月并延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)P,若為等腰三角形，則橢圓C的離心率為

14.已知實(shí)數(shù)x、V滿足x|x|+My|=l,則|x+y-4]的取值范圍是.

四、解答題（本大題共5小題）

15.如圖，在四面體/2C。中，平面4BC_L平面/CD,ABA.BC,AC=AD=2,

BC=CD=1.

（1）求四面體N8C。的體積；

（2）求平面/2C與平面ABD所成角的正切值.

16.已知點(diǎn)P、。的坐標(biāo)分別為（-2,0）、（2,0）直線加、加相交于點(diǎn)且它們

的斜率之積是-

4

（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；

（2）若直線48與點(diǎn)M的軌跡交于48兩點(diǎn)，且O/JLO8,其中點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn).試

判斷點(diǎn)。到直線的距離是否為定值.若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理

由.

17.如圖，在斜三棱柱N3C-4qG中，V/3C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)面

BCCB為菱形，NBB[C=60°,AB1=3.

A

(1)求證：BXCX1BXA-

(2)若P為側(cè)棱34上(包含端點(diǎn))一動(dòng)點(diǎn)，求直線pq與平面/CG4所成角的正弦

值的取值范圍.

18.已知雙曲線C的漸近線方程為6x±y=0,過右焦點(diǎn)P(2,0)且斜率為左的直線/

與C相交于A、8兩點(diǎn).點(diǎn)3關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)￡.

(1)求雙曲線C的方程：

(2)求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)《22時(shí)，求△)￡尸面積的最大值.

19.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸(x,y)繞坐標(biāo)原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角夕

至點(diǎn)P(x',y').

fx'=xcos。一ysin0,

⑴試證明點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)公式：

(2)設(shè)。40,2萬)，點(diǎn)用(0,-1)繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角d至點(diǎn)點(diǎn)<再繞坐標(biāo)

原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)角。至點(diǎn)心，且直線4A的斜率左=-1,求角夕的值；

(3)試證明方程x2+星=6的曲線。是雙曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo).

參考答案

1.【答案】D

【詳解】由題意可得e，=Jl+與=5可得2=2,

因此，雙曲線。的漸近線方程為y=±^x=±2x.

a

故選：D.

2.【答案】A

【詳解】由N(0,0),8(0,4),C(4,4),得工BC,則的垂心為8(0,4),外心為

(2,2),

2-4

所以V/3C歐拉線的方程為了=”工+4,即x+y-4=0.

2—0

故選：A

3.【答案】D

【詳解】對(duì)于拋物線/=弋，2P二,可得。=:，所以，其準(zhǔn)線方程為k-2

224o

7

1X=-------

y=一16

聯(lián)立＜8,解得＜

1

8x—4>+3=0y=--

18

因此，/與直線8x-4y+3=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為［一記,藍(lán))

故選：D.

4.【答案】B

AB1

【詳解】在平行六面體N3CD-48￡。中，AD,AAXLAD,AB=AD=AAX=2,

由點(diǎn)P是c。與CA的交點(diǎn)，^AP=AD+DP=Al5+^(DC+DDl)=^AB+^AA}+Al5

'''?,，???--------*I???,--------*

而AB】=AB+AAyf因止匕AP,AB^=—(AB+AAX+2AD).(AB+AA^

-2----2)兀

1---?-----1°22-2

=3(4B+44+2AB-AA1)=-(2+2+2X2X2XCOS—)=2.

故選：B

5.【答案】B

【詳解】在V/3C中，BC=6,AC=66,AB1BC,則/8=P/=P8=6,/C中點(diǎn)Q

為V4BC的外心,

于是OO]_L平面/5C,取48中點(diǎn)。，連接尸。，則而平面平面

ABC,

平面尸48c平面48c=48,PZ>u平面尸N8,則尸。_1_平面48C,OOJ/PD,

令正VE48的外心為Q，則。，為尸。的3等分點(diǎn)，OID=-PD=-X-AB=43,

一332

又。。2,平面尸則。。2，9，而則四邊形。。］。。2是矩形，

Oq=QD=6,因此球0的半徑/=。/="(0>+(3&y=5，

所以球。的表面積為S=4TIR2=84兀.

故選：B

【詳解】設(shè)滿足100=2|。0的動(dòng)點(diǎn)。(x,y),貝［2j(x—3)?+/，

整理得/+，-8》+12=0,則點(diǎn)。的軌跡是以(4,0)為圓心，2為半徑的圓，

依題意，點(diǎn)48在圓X，+y-8x+12=0上，圓M:(x-2)2+(y-2)2=4的圓心Af(2,2),

半徑為2,

因?yàn)?(4—2)2+(0—2)2=2亞e(0,4),所以兩圓相交，

貝IJ直線方程為x_y_2=0,

點(diǎn)M(2,2)到直線的距離d=^=血，所以點(diǎn)P到直線4B的最大距離為2+VL

故選：C

7.【答案】D

【詳解】由題意可設(shè)：Q(3cos/6sine),

貝ij聞『=(3cos6-2)2+/sin26=(3cos6-2)2+/(1_cos?

=(9-62)COS26?-12COS<9+4+^2,

令f=cos6e[-l,l],則\PQ(=(9-b2)t2-12t+4+b2,

注意至U0<6<3,則9一弱>(),

可知以。=(9-〃)/-⑵+4+〃的圖象開口向上，對(duì)稱軸為f=/^>o,

y-b

當(dāng)占<1,即0<〃<3時(shí)，可知在內(nèi)的最小值為了［$7

整理得/一6/+9=0,解得〃=3,不合題意；

當(dāng)占21,即3V〃<9時(shí)，可知〃。在［T1］內(nèi)的最小值為"1）=1,符合題意;

綜上所述：3<Z?2<9.

可得橢圓M的離心率e=（=2二，9；?卜,半,

所以橢圓/的離心率的取值范圍是,，手.

故選：D.

8.【答案】A

【詳解】在矩形/BCD,4B=3,AD=6DM^1,

h

由tan/BDC=］-可得/8Z）C=30°,由tan4MO=G可得N/MD=60°,

則ZDQM=90°,即8。_L/M,

可知折起后，必有,PQ^BQ=Q,尸。,JB。u平面P8。，

故平面P30,

因?yàn)槭谴_定的直線，故對(duì)任意點(diǎn)P,尸,瓦。都在同一個(gè)確定的平面內(nèi)，

因?yàn)槭?。0=孚，可知點(diǎn)P在以點(diǎn)。為圓心，半徑為事的圓上（如圖），

由圖知，當(dāng)且僅當(dāng)尸2與該圓相切時(shí)，/網(wǎng)。取到最大值，貝UsinNPB。也取到最大

值，

此時(shí)48尸0=90。，50=述，則sin/PB。的最大值為志=：

故選:A.

9.【答案】ABD

【詳解】圓。：/+r=4的圓心C（0,0）,半徑7=2,

對(duì)于A,點(diǎn)C到直線/的距離"=鬢=3行，點(diǎn)P到直線/的距離的最小值為

"-r=3亞-2，

因此圓C上恰有1個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為3亞-2,A正確；

對(duì)于B,|PA|=VlPC|2-MC|2=7lPC|2-r2>>]d2-r2=V14,當(dāng)且僅當(dāng)尸Cl/時(shí)取等

號(hào),B正確；

對(duì)于CD,由PC垂直平分48得，SPACB=11PC|=2S.PAC=|PA\\AC\,

則I油1=設(shè)=4-懵24n高=孚，當(dāng)且僅當(dāng)PC'/時(shí)取等號(hào)，D正確

,C錯(cuò)誤.

故選：ABD

10.【答案】AD

【詳解】A選項(xiàng)，由題意得用（1,0）,故拋物線方程為產(chǎn)=4x,

由拋物線定義得1/*=玉+X2+2=8+2=10,A正確；

B選項(xiàng)，由于直線/的斜率為0時(shí)，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合要求，舍去,

設(shè)直線48：X=陽(yáng)+1,聯(lián)立_/=4x,得了2_4中-4=0,

設(shè)）潭（工2，>2），則%=-4%

由韋達(dá)定理得%+%=4租,%%=-4,

33

故一3%=4加4y；=—4,解得必=±1,加=一7必=±^，

4

故直線/的斜率為±],傾斜角不為45°,B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，由題意得，準(zhǔn)線方程為--1,過點(diǎn)尸作尸G垂直x=-1于點(diǎn)G,

由拋物線定義得1PM=|PG|,

故1PM+|尸刃=|PG|+|尸周，

要想求得|尸M+I尸用的最小值，則過點(diǎn)M作“0垂直直線X=-1于點(diǎn)0,

故1PM+1尸用的最小值為M@,最小值為4+1=5,C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，由題意得|/閭=%+1,忸與|=尤2+1,

由于必％=-4,故再無必上=1，

16

4Mg|+忸g|=4工］+4+x2+1=4無］+X。+5,

因?yàn)閄］,%>0,由基本不等式得41+\BF21=4玉+/+522+5=9,

當(dāng)且僅當(dāng)4蒼=馬時(shí)，等號(hào)成立，

所以4|/閭+忸閭的最小值為9,D正確.

故選AD.

11.【答案】ACD

R「AD1

【詳解】對(duì)于A,令BGnqc=。，連接MO,由qc""c,器=釜=：,得

BCAB2

BQBG_1

~OC~1SC^~2,

由4W=』CW,得坐=1=跑，則

2MC2OC

而MOu平面3clM,/與（Z平面3clM,則/4//平面3clM,A正確;

對(duì)于B,由CG，平面48C,4Bu平面/8C,得CQ_L48,而/8_LBC,

C￡n8C=C,CG，BCu平面BCC",則平面8C。4，在BC上取點(diǎn)N,

使得BN=LNC,則也=則，MNHAB,因此平面8CG4，

2MCNC

即點(diǎn)M在平面BCG可上的投影為線段3C上靠近點(diǎn)8較近的3等分點(diǎn)N,又點(diǎn)N不

在直線8G，

則過點(diǎn)M與平面8CC4垂直的直線不在平面內(nèi)，因此平面BMC1與平面

3CC4不垂直，B錯(cuò)誤；

，S\/431G-2xlxl=g,Sv/Bc=-1X2X2=2,

對(duì)于C,依題意，ZAiBiCi=90

三棱臺(tái)48C-44C]的體積jz=；g+FI+2)x2=g,C正確；

對(duì)于D,由選項(xiàng)B知，平面8CC￡,而/Bu平面則平面/844_1平

面BCCg,

過C作C"，3用于平面4844口平面BCG4=84，則C//L平面

在直角梯形8CG4中，sinNCBB廣冷,在直角V87/中，

4

CH=CBsinNCBB1:〒,

BH=當(dāng),由CP與平面所成角的正切值為4,得tan/CPH=4,

HP=———=—，

tanNCPH5

因此尸點(diǎn)軌跡是以“為圓心，當(dāng)為半徑的圓在側(cè)面43片4內(nèi)圓弧，8P的最小值為

BH衛(wèi)衛(wèi),D正確.

55

B

故選：ACD

12.【答案】0或1

【詳解】直線4:辦—y-2024=0,Z2:(3〃-2)x+ay+2025〃=0,

由4J_，2,得Q(3Q_2)_Q=0,解得Q=0或〃=],

所以實(shí)數(shù)a的值為0或1.

故答案為：0或1

13.【答案】爭(zhēng)修

【詳解】由為等腰三角形，4|=|人則有|尸切=|尸鳥而

\PFl\+\PF2\=2a,

|PB|=|PFX|+1BFX|,^\PFi\=m,則|P5|=〃+加，|PF2\=2a-m,

由Q+加=2。一加，得加="|,則I尸片,

在中，cos

ABFiF?ABFXF2=||

a

IWF+I片&『―|尸正『

在VP片g中,cosZPFiF?=

2\PFi\\FiF2\ac

cosZP￡￡+cos4G￡=0,即￡=土生,整理得3c2=/,則？=9=桂

aaca3

14.【答案】［4-0,4)

【詳解】當(dāng)xNO,了20時(shí)，曲線方程可化為尤2+r=i；

當(dāng)xWO,yNO時(shí)，曲線方程可化為「一尤2=1；

當(dāng)xVO,yWO時(shí)，曲線方程可化為-x2-r=i,即曲線小|+MM=1不出現(xiàn)在第三象

限；

當(dāng)xNO,”0時(shí)，曲線方程可化為/一r=1,

作出曲線xW+M"=l的圖形如下圖所示:

設(shè)^t=xy—4,即xy—t—4=0,

由圖可知，當(dāng)直線無+夕--4=。與圓/+/=1相切，且切點(diǎn)在第一象限時(shí),

則W^=l,且T-4<0,解得"亞一4，

由因?yàn)殡p曲線X?-/=1、了2-工：!=1的漸近線方程均為工士^=0,

當(dāng)直線工+>_/_4=0與直線x+y=O重合時(shí)，?=-4,

所以，-4</4應(yīng)-4，故舊+了-4|=卜同4-血,4）.

故答案為：［4-72,4）.

15.【答案】⑴"；

8

⑵江

7

【詳解】（1）在四面體/8C。中，在平面/CD內(nèi)過點(diǎn)。作DOL/C于O,

由平面/2。，平面/。。，平面48CCI平面NCZ?=/C,得。01平面4BC,

lc￡)

…，則…J…

于是。O=CZ)sinNNCD=姮，在VABC中，AB1BC,BC=\,則AB=d2,—I2=行

4

SBC=；AB.BC=F，所以四面體/BCD的體積展式"。=?今乎邛

（2）由（1）知，。01平面NBC,NBu平面N8C,則DO_L/8,

過。作OE//BC交N8于E,連接DE,由N8JLBC,得OE，4B,

而?！?口。。=。,。￡,。。<=平面。0￡,則4g_L平面。OE,又DEu平面DOE,

因此"_LDE,/DE。是平面N8C與平面所成的角，

由（1）知OC=J,40二,由器=獎(jiǎng)，得0￡=:，

44BCAC8

所以平面/2C與平面所成角的正切值tanNDEO=2^=名嶼.

OE7

16.【答案】⑴）+廿=l（xw±2）

（2）是定值，且定值為冬5

5

【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)M（x,y）,則xw±2,

由題意可得%整理可得上+r=1.

x+2x-244

所以，點(diǎn)M的軌跡方程為:+/=l(xw±2).

(2)由題意可知，直線04、02的斜率存在且都不為零,

設(shè)直線。4的方程為N=辰，則直線OB的方程為y=-^x,

224+442

=x+y=-----

■l+4k2

則原點(diǎn)。到直線的距離為

d_|。/|燧_|04|Qg|_]_]_2>/5

\AB\J\O^+\OB?|[?].[1+4-2+75.

加工「\OB^\4^+4

因此，點(diǎn)O到直線的距離為乂.

5

17.【答案】(1)證明見解析

取8。的中點(diǎn)為。"C￡名為菱形，且/88夕=60。,

所以vqBC為等邊三角形，BCLBfi,

又V/3C為等邊三角形，則3C，/。，

所以8CL平面AOB,,

又BC〃B\G，Bg，平面AOB］，耳/u平面/。片,

所以耳

(2)如圖所示,

由余弦定理可得

(后+(6)2-321271

cosZAOB=心，所以乙4。4=胃,

l2x6x6

由(1)得3C_L平面/。鳥，因?yàn)锽Cu平面4BC,所以平面/。與，平面/8C,

所以在平面/。耳內(nèi)作Oz_LQ4,則OzJ_平面N3C,

以。4。。,Oz所在直線為x軸、V軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示:

字"，小

則'i--^",0,2

\乙)

7\

設(shè)元=(xfyfz)是平面44的一個(gè)法向量，=(-73,1,0),

-V3x+y=0

3n-AC=0

AQ=M,則即,3百3

n-AC^O--x+2v+-z=0

I22

取z=l得力

設(shè)麗畫

=4(OV/lVl),、

、fV33S凡3)

CP=C]B+BP=C]B+ABB]=石一匚+TT；12

、77

7

設(shè)直線pq與平面/CG4所成角為e，

則sin。=卜os。7,萬卜ac、p63

[4(.，-32+3)VoxA/A*—3A+3

3

令/(%)=(0W4V1),則/⑷在［0,1］單調(diào)遞增,

V13x7A2-32+3

V39岳

所以/(%)￡3

-IF513

故直線PG與平面/CG4所成角的正弦值的取值范圍為胃，嚕

2

18.【答案】⑴龍2一匕=1

3

⑵證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為&,0

(3)18

22

【詳解】(1)根據(jù)題意，設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為方=1(°>0,6>0),

a1+b2=4

bi-=1

由題意可得一=6,解得Q，廠，故雙曲線C的方程為/-匕=1.

Q[b=j33

a>0,b>0

(2)當(dāng)人=0時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)A、8為雙曲線的頂點(diǎn)，不合乎題意;

當(dāng)左N0時(shí)，設(shè)加二,，則直線/的方程為x=7肛+2,

設(shè)點(diǎn)4(X1，y。、S(x2)y2)>則點(diǎn)￡(尤2,-%)，

由對(duì)稱性可知，直線/E過x軸上的定點(diǎn)7。,0),

x=my+2

聯(lián)立可得(3療+12my+9=0,

3/__/=3

3機(jī)2-1/036(/+1)>0'解得加爭(zhēng)土￡,

由題意可得

A=144/n2-36(3m2-l

12m9

由韋達(dá)定理可得必+%=-3加2-1'"%一3加2_1

則4E的斜率為3E="十%,直線/E的方程為>-必=必+)2(》一再),

演—x2x{-x2

將點(diǎn)7的坐標(biāo)代入直線/￡的方程可得一必

西~X2

曰，乂(占一工2)y+xy(my+2)y+(my+2)y

口J倚/=再----------=-X-1--2----2-t=-----1-----2------2------I

%+為必+歹2%+%

18m

=迦及+2=匈4+2」，

%+%__12m2

3m2-1

此時(shí)，直線/E過定點(diǎn)（goj.

綜上所述，直線/￡過定點(diǎn)?[go]

\（119

（3）因?yàn)樽?2,則加=7￡。,彳,且必為=c2[<0，

左I2」3m-1

^=|M-|hl-hll=1x|x^+^|=|-^3=^7=-n-

A

乙乙乙?D，YI1J.D，11々

---3

m

因?yàn)楹瘮?shù)〃加）=：-3加在（0,；上單調(diào)遞減，

1—^—=18

故當(dāng)加二時(shí)，Sv取最大值，且最大值為。310.

22~2

乃7萬11%

19.【答案】（1）證明見解析；（2）U=一、--、—（3）證明見解析；焦點(diǎn)

266

坐標(biāo)為4(-26,-2)與巴(26,2).

【詳解】（1）設(shè)將x軸正半軸繞坐標(biāo)原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)角。至點(diǎn)OP,OP=r,

x=rcoscr,、=TCOS(6+〃),

則，由任意角的三角比定義，有.和

[y=rsmayf=〃sin(e+a).

x=rcosaco