高一數(shù)學上學期期末復習解答題壓軸題二十一大題型專練（范圍：第一、二、三章）（解析版）

2024-2025學年高一上學期期末復習解答題壓軸題二十一大題型專練

(范圍：第一、二、三章)

【人教A版(2019)]

集合中元素的個數(shù)問題。|

1.(24-25高一上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習)已知集合力={x\ax2+bx+10,aGR,b&R].

(1)當a=2時，4中只有一個元素，求b的值；

(2)當6=2時，4中至多有一個元素，求a的取值范圍.

【解題思路】(1)借助根與系數(shù)的關系計算即可得；

(2)分a=0及a70進行討論，若a=0,可計算出結(jié)果，若a40,則需借助根與系數(shù)的關系計算.

【解答過程】(1)當a=2時，A=[x\2x2+bx+l=0,beR],

由2中只有一個元素，則有41=。2-8=0,解得b=±2近；

(2)當b=2時，A={x|ax2+2x+1=0,a€R},

由2中至多有一個元素，故4中可能沒有元素或1個元素，

當a=0時，4={x|2x+1=0}={-卦，符合要求；

當aKO時，對a/+2久+1=0有：

△2=4-4aW0,解得a21；

綜上所述：a=0或a>1.

2.(23-24高一上?河南濮陽?階段練習)設數(shù)集N由實數(shù)構(gòu)成，且滿足：若力1且％去0),則之eA

1—X

(1)若2E4則4中至少還有幾個元素？

(2)集合/是否為雙元素集合？請說明理由；

(3)若/中元素個數(shù)不超過8,所有元素的和為日，且/中有一個元素的平方等于所有元素的積，求集合/

中的元素.

【解題思路】(1)利用給定的定義，依次計算即得.

(2)由XC4求得/中其它元素，再判斷不相等即可.

(3)由(2)中信息，可得萬€4,小€力，再結(jié)合已知列出方程求解即得.

【解答過程】(1)由2C4得為=一1€4則一=因此」r=2e4

1-21-(-1)21--

所以/中至少還有兩個元素為一1,1.

(2)不是雙元素集合.理由如下：

一

由久e力，得一e4，則一~T~=~~~GA,

1-XX

1—1-—X

而％H1且久H0,X2—x+1=(%—|)2+1>0,即％2—%+1工0,%(1—%)w1,

于是支W--，由，-2,x+1W—X,得(％—l)2W—Xf貝！J----W-----,

1—x1—xx

因此集合/中至少有3個元素，所以集合N不是雙元素集合.

(3)由(2)知4中有二個兀素為光、——>――(%W1且%W0),且％,——,--=—1,

i—xxl-xX

依題意，4中除上述3個元素外，還有其它元素，設/中有一個元素為血，

貝！J」一64EA,且m?—?叱^=—1,

l—mm1—mm

于是/中的元素為工且集合力中所有元素之積為11

1—%xi—mm

由4中有一個元素的平方等于所有元素的積，設(占)2=1或(?)2=1,解得％=2或久=/

此時2E4—1GAfE依題意，:+2—1+??1+———F---=?，

22l—mm3

整理得6m3—19m2+zn+6=0,即(m—3)(2m+l)(3m—2)=0,解得m=—；或3或(，

所以集合A中的兀素為2,—1,—g,3,|\

3.(23-24高一上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習)已知集合人中的元素全為實數(shù)，且滿足：若QE4則產(chǎn)C4

l—a

(1)若a=-3,求出4中其他所有元素.

(2)0是不是集合力中的元素？請你取一個實數(shù)a€A(a7-3),再求出4中的元素.

【解題思路】(1)根據(jù)定義直接計算即可得到力中其他所有元素；

(2)先假設064依定義判斷即可；取a=3,根據(jù)定義直接計算即可得到4中其他所有元素.

【解答過程】(1)由題意可知：—364

川1+(-3)_工e41+—E)_1p4—2GA1+2——3GX

WJ1-(-3)-2EA，!-(_!)-3i-l-2671,1-2~3GA，

所以力中其他所有元素為W，2.

(2)假設a=0e4,則^^—1EA,

1—0

而當1"時，當不存在，假設不成立,

所以0不是力的元素,

取。=3,則裳=-264^1=964日=3C4

所以當3e4,4中的兀素是：3,—2,—p|\

4.(23-24高三上?山東濰坊?期末)已知集合{龍仙》2一3久+2=0,比eR}.

(1)若集合/是空集，求。的取值范圍；

(2)若集合N中只有一個元素，求。的取值范圍；

(3)若/中至多有一個元素，求a的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)空集轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的情況求解.

(2)根據(jù)。分類討論，從而解決問題.

(3)根據(jù)至多一個分為一個和沒有一個情況即可解決.

【解答過程】⑴當a=0時，集合4={久|一3%+2=0}=8，

因為/是空集，

所以a70且4=(-3)2-4ax2c0,

所以a>I，

o

所以a的取值范圍是{a|a>1j.

(2)因為N中只有一個元素，

當a=0時，集合力={x|-3x+2=0}={'},符合題意，

當aR。時，要使/中只有一個元素，

所以且A=(-3)2-4ax2=0,

所以a=，

O

綜上所述，。的取值范圍是a=0或(

(3)因為/中至多只有一個元素，

所以N為空集或/只有一個元素，

由(1)、(2)可知a=0或a2苫，

8

所以。的取值范圍是：a=?；騛2]

O

題型2a根據(jù)集合間的關系求參數(shù)

5.(24-25高一上?河北廊坊?階段練習)設集合A={x\x2+4x=0),B=(x\x2+2(a+l)x+a2-1=0}.

(1)若BU4求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若4UB,求實數(shù)。的取值范圍

【解題思路】(1)由BU4對集合B進行分類討論：①若8=0,②若B為{0},{-4},③若B=4={-4,0},

由此求得a的值即可.

(2)先化簡集合4,B,再由能求得a的值.

【解答過程】(1)集合4={%|%2+4久=0}={-4,0},B=[x|x2+2(a+l)x+a2-1=0}

BQA,

①若B=0,則4=4(a+l)2-4(a2-1)=8a+8<0

則a<-1；

②若B={0}或{-4},則A=4(a+l)2-4(a2-1)=8a+8=0

解得：a=-1,將a=-1代入方程/+2(a+l)x+a?-1=0得：/=0得：x=o,即B={0}符合要求;

③若8—A—{—4,0},則人=8a+8>0,即a>—1

即/+2(a+l)x+a2-1=0的兩根分別為一4、0,

則有a?-1=0且-2(a+1)=-4,

則a=1

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是{a|aW-1或a=l}.

(2)AQB,,-.B=A={0,-4},

則八=8a+8>0,即a>一1

即0和一4是方程/+2(a+l)x+a2-1=0的兩根

?,?0—4=-2(a+1)=—4

0x(-4)=a2-1=0

解得：a=1或a=-1(舍去)

故Q=1.

6.(24-25高一上,山西大同?階段練習)已知集合/=[x\x2+4x—a=0}

(1)若。=5,請寫出集合”的所有子集；

(2)若集合8=｛百%2+2%=。｝,且/q8,求a的取值范圍.

【解題思路】(1)當a=5時，求出集合4即可寫出集合”的所有子集;

(2)對集合力中的元素個數(shù)進行分類討論，結(jié)合4UB可得出關于實數(shù)a的等式或不等式，綜合可得出實數(shù)a

的取值范圍.

【解答過程】(1)解：當a=5時，4={M/+4%-5=0}={-5,1},

所以，集合4的所有子集有:0、{一5}、{1}、{-5,1}.

(2)解：因為B={x|x2+2%=0}={-2,0},分以下幾種情況討論：

①當月=0時，對于方程/+4%—a=0,△=16+4a<0,解得a<—4；

②當集合4只有一個元素時，對于方程/+4%—a=0,A=16+4a=0,可得a=—4,

此時，A={x\x2+4x+4=0}={-2},此時，AQB；

③當集合4有兩個元素時，因為則4=B,即4={-2,0},

即關于x的方程/+4x—a=0的兩根分別為—2、0,

所以，-一8-a=0,無解.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是{a|a<-4}.

7.(23-24高一上?吉林四平?階段練習)已知集合P={%￡R|x2-3x+b=0},Q=(%eR|(x+l)(x2+3x-

4)=。}.

(1)若b=4,存在集合M使得P為M的真子集且M為Q的真子集，求這樣的集合M；

(2)若集合P是集合Q的一個子集，求b的取值范圍.

【解題思路】(1)確定P=0,并求出集合Q,寫出Q的真子集即得；

(2)分類討論，P=0時滿足題意，P40時，由集合Q中的元素屬于集合P,分別代入求出參數(shù)b,得集合P

檢驗即可.

【解答過程】(1)當b=4時，方程/—3x+b=0的根的判別式△=(—3)2—4xlx4<0,所以P=0.

又。={xeR|(x+1)(/+3x—4)=0}={-4,-1,1},故PcQ.

由已知，得M應是一個非空集合，且是Q的一個真子集，

用列舉法可得這樣的集合M共有6個，分別為{—4},{—1},{1},{-4,—1],{-4,1],{-1,1}.

(2)當P=0時，P是Q的一個子集，此時對于方程好一3久+6=0,

有A=9—4b<0,所以b

4

當PW0時，因為Q={-4,-1,1},所以當一16P時，

(-1)2—3x(—1)+b=0,即b=—4,此時P={司/-3%—4=0}={4,—1},

因為4￡Q,所以P不是Q的子集;

同理當-46P時，b=-28,P=[7,-4},也不是Q的子集;

當leP時，b=2,P={1,2},也不是Q的子集.

綜上，滿足條件的b的取值范圍是{中>*

8.(23-24高一上?安徽安慶?階段練習)已知集合4={%|0<ax+l<5},B=[x|-|<%<2].

(1)若4cB,求實數(shù)a的取值范圍.

(2)是否存在實數(shù)a,使得力=8?若存在求出a的值；若不存在，請說明理由.

【解題思路】(1)分a=0,a<0,a>0得到集合/,再利用力UB求解；

(2)分a=0,a<0,a>0得到集合力,再利用4=B求解；

【解答過程】(1)當a=0時，4=R,AUB不成立；

當a<0時，因為4UB,所以?。12,解得a〈一8；

--<2

a

當a>0時，=因為4=B,所以,：一1，解得a22,

Va--2

綜上：實數(shù)a的取值范圍是a<-8或a22；

(2)當a=0時，A=R,4=B不成立；

當a<0時，A-^x\^<x<_^]>A=B,不成立；

(-=2

當a>0時，4={x[-1<xW§，因為4=8,所以,°「解得a=2；

Va~2

綜上：實數(shù)a的值是2.

題型3N交、并、補集的混合運算及其含參問題。|

9.(24-25高一上?貴州?期中)已知集合2={x|-3WxW4},B={x\2a-l<x<a+3}.

(1)當a=2時，求，A\JB,AQB；

(2)若=求a的取值范圍.

【解題思路】(1)當a=2時，寫出集合8,利用并集和交集的定義可得出集合4U8、AQB；

(2)由題意可得BU4分B=0、B40兩種情況討論，在B=0時，可得出關于實數(shù)a的不等式；在BH0

時，根據(jù)集合的包含關系可得出關于實數(shù)a的不等式組，綜合可得出實數(shù)a的取值范圍.

【解答過程】(1)當a=2時，B={x|3<x<5},且4={x|—3WxW4},

則力UF={x|—3<x<5},AdB={x|3<x<4}.

(2)因為力CB=B,所以BU4

當B=0時，2a-12a+3,解得a24；

(2a—1<a+3

當B牛0時，貝I82a-1>-3,解得一1<a<1.

(a+3<4

綜上，a的取值范圍是同一1<a<1或a>4}.

10.(24-25高一上?湖南長沙?階段練習)已知全集0=氐集合力={久|2<%<9},S={x||2x-3|<7}.

⑴求BU(CM；

(2)已知集合聞={久|a<x<2a—2},若“=((：/),求實數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)化簡集合8,根據(jù)集合的交并補運算求解；

(2)要分河等于空集和不等于空集兩種情況討論.再根據(jù)已知求出。的取值范圍.

【解答過程】(1)F={x||2x-3|<7]={x|-7<2x-3<7}={x|-2<x<5},

集合4={x|2<x<9},故=[x\x<2或x>9},

則BU(CM=(一％5]U[9,+8).

(2)QJB=[x\x<-2或%>5],

當M=0時，a22a-2,二aW2,合題意；

當MK0時，{.a>2—txrCL>2

2a-2<-2叫a>5

所以a>5,

綜上可得，a的取值范圍為(-8,2]U[5,+8).

11.(24-25高一上?江西南昌?期中)設全集為U=R,集合力=[x\x2-7x-8>0],B={x\a+l<x<2a-

3).

(1)當a=6時，求4UB和ZCCRB

(2)在①BnCR4=0;②ACB=8；③AUB=4這三個條件中任選一個作為已知條件，求實數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)首先解二次不等式求得集合4然后將a代入確定集合B,最后根據(jù)集合的交、并、補運

算法則進行求解即可；

(2)首先根據(jù)集合間運算的結(jié)果可得B￡A,然后分8=。和B牛。兩種情況分類討論求解參數(shù)取值范圍即

可

【解答過程】(1)由不等式/一7%-8>0,解得：％<-1或%>8,因此可得：4={x|x<-1或%>8},

將a=6代入集合B中可得：B={x\7<x<9},

因此4UB=(x\x<-1或x>7}；

又CRB={x\x<7或x>9},得：AnCRB={x\x<-1或乂>9).

(2)選①由8CCR4=0,可知BU4

當B=0時，a+122a-3,解得：aW4；

當BR0時，可得：無解，或[a+YFL，解得：°27；

I2a—3<—1Ia+1>8

綜上所述aG(-oo,4]U[7,+oo)；

選②由ZnB=B,可知BUZ,

當8=0時，a+1>2a-3,解得：a<4；

當BK0時，可得：『"I；”—/，無解，或『+二巴~3,解得：&27；

I2a—3<—1Ia+1>8

綜上所述aG(-oo,4]U[7,+oo)；

選③由4UB=4可知

當B=0時，a+1>2a-3,解得：a<4；

10-3

當BK0時，可得：[V!!,'無解，或『+二差13,解得：a>7；

I2a—3<—1Ia+1>8

綜上所述QG(-00,4]U[7,+00).

12.(24-25高一上?江西南昌?階段練習)設集合A={%氏2一8久+12=0},B={x|%2+2(a+l)x+a2-

13=0).

(1)若4rB={2},求實數(shù)a的值；

(2)若AU8=4求實數(shù)a的取值范圍；

(3)若全集U=R,An(Ci/B)=A,求實數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)由4C8={2},得26B,由此可得關于a的方程求解并驗證即可得；

(2)由SUB=4得BU4按集合B中元素的個數(shù)分類討論即可求；

(3)由4n(CuB)=4得4CiB=0,轉(zhuǎn)化為2,6均不是方程d+2(a+l)x+a2-13=0的根，解不等式可

得.

【解答過程】(1)4=[x\x2—8%+12=0}={2,6},B={x|x2+2(a+l)x+a2—13=0}.

???XnB={2},2eB,則22+2(￡1+1)2+￡12-13=0,

即/+4a—5=0,解得a=1或—5.

驗證：當a=1時，B={x|x2+4x-12=0]={—6,2},

則4C8={2},滿足題意；

當a=-5時，B={x|x2—8%+12=0)=X,

則4rB=￡2,6},不滿足題意.

綜上可知，若anB={2},則a=l.

(2)若ZUB=4,則BU4又4={2,6},

①當B=0時，則關于％的方程/+2g+l)x+a2-13-0沒有實數(shù)根，

則4=4(a+I)2-4(a2-13)=8(a+7)<0,解得a<-7,

故當a<-7時，B=0c4滿足題意；

②當8力0,即aN—7時，

若集合B中只有一個元素，則△=8(a+7)=0,

即當a=-7時，8={x|/—12X+36=0}={6}U{2,6},BQA,滿足題意；

若集合B中有兩個元素，貝必=8(a+7)>0,

即當a>—7時，要使BU4則B=4={2,6},

所以2和6是方程/+2(a+l)x+a?—13=0的兩根，

則由韋達定理得6：-2(。+1),解得&=—5,滿足條件a>—7.

綜上所述，a<-7=-5.

所以，若4UB=4則實數(shù)a的取值范圍為(—8,-7]U{—5}.

(3)若全集U=R,ACl(CyB)=A,貝iMuCuB,即4CB=0.

A={x\x2-8x+12=0]={2,6},B={x\x2+2(a+l)x+a2_13=0}.

故2WB,且6《B,

則22+4(a+1)+a?—13豐0,且6?+12(ci+1)+a?-13豐0,

解得aK1且aK—5且a片—7.

若力n(CyB)=A,則實數(shù)a的取值范圍為(一8,-7)U(-7,-5)U(-5,1)U(1,+8).

題型4N集合的新定義問題。|

13.(24-25高一上?浙江紹興?期中)定義兩種新運算“十”與“③”，滿足如下運算法則：對任意的a,beR,

有a十b=ab,a0b=ab+1.設全集U={x\x=aQb+a0b,O<a<b<3且aGZ,bGZ],A=

2

[x]4(a十b)+0<a<b<3且aEZ,bEZ}fB=[x\x—3x+m=0}.

(1)求集合U；

(2)求集合A；

(3)集合4B是否能滿足(3M)CB=0?若能，求出實數(shù)小的取值范圍；若不能，請說明理由.

【解題思路】(1)根據(jù)新定義運算可得U=[x\x=abab1,0<a<b<3,a,bEZ],分。=l,b=

a=l,b=2與Q=2,b=2討論即可求解；

(2)根據(jù)新定義運算可得4(a十6)+等=4ab+限代入a=l,b=2即可求解；

(3)易知C(M={3,4},假設集合4B能滿足(QA)CB=0,則8=0,或3￡B且4《B,代入求解即可.

【解答過程】(1)因為對任意的a,beR,有a^b=ab,a0b^ab+l,

全集U={x\x=a?b-^-a0b,O<a<b<3且a6Z,bGZ},

所以U=[x\x=ab+ab+1,0<a<b<3,a,beZ]

因為0Va<bV3,a,b€Z,所以a=l,b=l,或a=l,b=2,或a=2,b=2.

當a=1,b=l時，ah++1=14-1+1=3；

當a=1,b=2時，ab+ah+l=2+l+l=4；

當a=2,b=2時，ab+W+l=4+4+l=9,

所以U={3,4,9}.

(2)4(a十b)+等=4a6+號,

因為0<a<b<3且aeZ,beZ,所以a=l,b=2,

所以4(a十b)+竽=4ab+竽=4x1x2+?=9

所以4={9}.

(3)因為U={3,4,9},4={9},所以C(M={3,4}.

假設集合48能滿足(CM)nB=0,

則8=0,或3cB且4cB.

又B={x|x2—3%+m=0},

當3=0時，△=(一3尸一4mV0,解得m>；;

當3cB時，32-3x3+m=0,解得血=0；

當4EB時，42—3x4+m=0,解得m=-4.

所以若30B且4￡8,則血H0且血。一4.

綜上所述，實數(shù)小的取值范圍為｛小6＞、｝.

所以集合4B能滿足（CMCB=0,實數(shù)6的取值范圍為＞*

14.（24-25高一上?內(nèi)蒙古包頭?階段練習）設正整數(shù)4,若由實數(shù)組成的集合4=｛的,a?,…，aj滿足:

對人中任意四個不同的元素a,b,c,d,均有ab+cdE4則稱“為“九集合.

⑴判斷集合力I={。彳,1,2}和42=《,1,2,3}是否為“4集合，說明理由；

(2)若集合4={0,第,y,z}為“4集合，求A中大于1的元素的可能個數(shù).

【解題思路】(1)由山集合的定義即可得出答案.

(2)由題意可得{%,y,z}={xy,yz,xz},不妨設x<y<z,分類討論％<y<z<0,x<y<0<z,x<0<

yVz和0V%VyVz結(jié)合集合的性質(zhì)即可得出答案.

【解答過程】(1)集合&={0，-2}是山集合，

當{{a,b},{c,d}}={{0、},{1,2}}時，0x1+1x2=2641；

當{{a,b},{c,d}}={{0,1},{1,2}}時，0xl+[x2=le4i；

當{{a,b],{c,d}}={{0,2},{111}}時，0x2+(xl=1e&；

集合力2=L2,3}不是叫集合，

取{{a,b},{c,d}}={{g1},{2,3}},則ab+cd=：x1+2x3=曰《4，不滿足題中性質(zhì).

(2)當{{a,b},{c,d}}={{0,z},{居y}}時，ab+cd=xyEA,

當{{{a,b},{c,d}}}={{0,x},{y,z}}時,ab+cd=yzEA,

當{{a,b},{c,d}}={{0,y],(z,%}}時，abcd=xzEA,

因此{居y,z]={xy,yz,xz},不妨設%<y<z,

①當％VyVzCO時，顯然yz>0,則yz￡4與yzE4矛盾；

②當％<y<0<z時，貝阮z<yz<xy,止匕時xz=x,yz=y,xy=z,貝！Jz=l,xy=1,

經(jīng)驗證，此時4={x3,O,l}是H4集合，元素大于1的個數(shù)為0；

③當％<0<y<z時,則<xy<0,與{居y,z}={xy,yz,%z}矛盾；

④當OVxVyVz時，貝ijxyV久zVyz,xy=x,xz=y,yz=z,于是y=l,z=：>L

經(jīng)驗證，此時4={0,x,l3}是H4集合，元素大于1的個數(shù)為1,

所以力中大于1的元素的可能個數(shù)為0或1.

15.(24-25高一上?浙江?期中)對于數(shù)集定義M的特征函數(shù)：/時(久)=11；”2AL，對于兩個數(shù)集M、N,

I—1,%tM

定義MG)N={x\fM(x)■/w(x)=-1}.

(1)已知集合力={1,3,7,9},B={2,37,8},

(i)求力(1)的值，并用列舉法表示2⑤出

(ii)若用card(M)表示有限集合M所包含的元素個數(shù)，已知集合X是正整數(shù)集的子集，求card(X③4)+

card(X⑤B)的最小值(無需證明)；

(2)證明:=力0)QB(X)

【解題思路】(1)分析可知當元素x與數(shù)集M、N的關系相同時，x生M區(qū)N,不同時xeM(g)M①結(jié)合題

意直接運算即可；②根據(jù)給定的定義分析得出取最小值的條件，即可求得答案；

(2)結(jié)合(1)中結(jié)論分析證明即可.

【解答過程】(1)對于兩個數(shù)集M、N,

若XeM,x€N,則fM(x)=/N(X)=-1，艮叮M(X),%(△)=1，X住M區(qū)N;

若xG.M,x生N,則fM(x)=-1JN(X)=1，-fN[x)=-1,xEM?N；

若xeM,x€N,貝U/M(X)=l，/w(x)=-1，即/M(X),/N(X)=-Lx€MSN；

若x&M,x電N,貝1=FN(X)=L即"NGO=LxgM0AT；

綜上所述：當元素x與數(shù)集M、N的關系相同時，x生M?N,不同時xeM(g)N.

①因為集合4={1,3,7,9},B={2,37,8),

且1€力，所以。(1)=-L

又因為4CB={3,7},所以力<8)B=口,2,8,9}；

②對任意X6X,

若元素尤與數(shù)集M、N的關系相同時，久任*(8)用且萬任*(8)7；

若元素X與數(shù)集M、N的關系不相同時，xex集M或xex便)N；

若card(X③4)+card(X?B)取到最小值，則XU4UB,

當X為{1,2,8,9}的子集與{3,7}的并集時，此時card(X?X)+card(X0B)取到最小值4.

(2)由(1)可知：對于兩個數(shù)集M、N,

綜上所述：當元素x與數(shù)集M、N的關系相同時，貝

可得/'40B(X)=1=力⑺"B。)；

當元素X與數(shù)集M、N的關系不同時，則xe"(8)N,

可得<408(x)=-1=AW■

綜上所述：fA?B(.x)=fA(x)-

16.(24-25高一上?江蘇泰州?階段練習)對于給定的非空集合4,定義集合力+={x\x=\a+b\,aEA,bGA],

A~={x\x=|a,—b\,aeA,beA},當A+c4一=0時，則稱A具有學生性質(zhì).

(1)判斷集合a={0,4},B={1,5,6}是否具有攣生性質(zhì)，請說明理由；

(2)設集合。={%吊3支32025,乂€可扣€2且7142025,若C具有攣生性質(zhì)，求n的最小值；

xx

(3)設集合D={久1，冷，久3，％4}，乂1<久2<乂3〈久4，若=D,求證：+X4-2+3-

【解題思路】(1)直接根據(jù)集合的攣生性質(zhì)可判斷結(jié)果；

(2)求出C+,C-,由它們的交集為空集即可得出所求的答案；

(3)求出。一中的可能元素，結(jié)合IT=。即可得出所求的結(jié)論.

【解答過程】⑴由題意可得：4+={0,4,8},力一={0,4},

B+=[2,6,7,10,11,12},B-={0,1,4,5},

而2+C4-={0,4}片0,B+C=0,

所以力不具有享生性質(zhì)，B具有學生性質(zhì).

(2)由題意可得：L={0,1,2,...,2025—九},

C+={2n,2n++2025,…，4050),

因為C+ntT=0,所以2025-n<2n,即n>些=675,

又因為neN,所以n的最小值是676.

xxx

(3)集合D={x1,x2,x3,x4}，l<%2<3<4'

則0,X2-xltx3-Xi,X4-X-L，X3—X2,X4—x2,%4-芯3都屬于集合!>一,

xx-x

又因為0<尤2-<刀3一刀1<%4一，且町-x2<X4-2>43?

由于0一定是。一中的元素，且為最小元素，結(jié)合￡>-=D,可知％1=0,

此時。={0,%2，%3，%4}，故3%2，萬3，%4，萬3-萬2，X4-X2>X4-都屬于集合°一，

由于。-=。，且0<犯<刀3<%4，故必然％3-尤2，%4-%2，z4-刀3與久2，%3，中的某一個元素相等，

又因為0<%4-乂3<乂4一欠2,比3-％2<%4-％2，所以%4-%2是%3-％2，X4-X2,X4-*3三者中的最大值，

故Xj-只能與％2或％3相等，又％4-刀3力°，工3—%2十0，

因此只能％4一久2=*3，且%3~X2=X4-X3=X2

所以+X4-X2+X3.

題型5；、充分條件與必萋條件O|

17.(24-25高一上?山東荷澤?階段練習)已知集合U為實數(shù)集，A={x\x<-5或8},B={x|a-l<%<

2a+1}.

（1）若口=5,求（Cu力）C8；

（2）設命題p：xea；命題q：x&B,若命題p是命題q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】（1）由題意可得B={久|4WxWll},再利用補集與交集定義計算即可得；

（2）由題意可得集合8是集合力的真子集，再分B=0及B豐0討論并計算即可得.

【解答過程】（1）當a=5時，B={x\4<x<11},且加力={m一5<x<8},

故（Cu力）CB={%|4<%<8]；

（2）?.?命題p是命題q的必要不充分條件，...集合8是集合4的真子集，

當B=0,即a-l>2a+l,即a<—2時，此時滿足題意；

當B片0,即a—lW2a+l,即a2—2時，

只需2a+1W—5或a-128,即aW-3或a29,

又a2—2,所以a>9；

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為（一8,-2）U[9,+8）.

18.（24-25高一上?四川達州,階段練習）已知集合2={x|x2—x-12<0},B={x\2m—1<x<m+1].

（1）若xe4是xeB的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若4。8力0,求實數(shù)小的取值范圍.

【解題思路】（1）由若工€4是的必要不充分條件得到5A,再分B是否為空集時討論即可；

（2）分8是否為空集時討論得到AnB=0的范圍，最后取其補集即可；

【解答過程】（1）4={x|—3WxW4},

?.?若x€4是x€B的必要不充分條件，則8A,

①當8=0時，有m+lW2?n-l,解得m22.

—342171—1

②當BH0時，有m+1<4且等號不同時成立，解得一14mV2.

2m—1<m4-1

綜上得m>-1.

（2）當4nB=0時

①當3=0時，有6+142血-1,解得m22.

②當BH0時，有2m—1Vnt+1,解得mV2.

有zn+1<—3或2m—1>4,解得m<—4或TH>|,即得m<—4,

所以當4nB=0時，m工―4或zn22,

則時，-4VmV2.

19.(24-25高一上?廣東珠海?階段練習)已知p：%>3或x〈一；，q：x>a,r：-y/m<x<y/m(jn>0).

(1)若p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍；

(2)若-ip是r的必要條件，求m的最大值.

【解題思路】(1)根據(jù)充分條件與必要條件的定義列不等式，即可得參數(shù)范圍；

(2)寫出」p,再結(jié)合必要條件的定義列不等式，即可得參數(shù)最值.

【解答過程】(1)設命題p與q表示的集合分別為4和3,

即/={x\x<—[或久>3],B={x\x>a},

又p是q的必要不充分條件，

則收

所以3,

即a6[3,+oo)；

(2)設命題r表示的集合為C,

則C={x\-y/m<x<-Jm},

又命題-ip表示的集合為CRZ=^x|-|<x<3j,

-?p是r的必要條件，

所以CGCRZ,

則「標Mm<1

(而W34

又TH>0,

所以0VTH工；，

即小的最大值為"

4

20.(24-25高一上?河南鄭州?階段練習)已知集合4={%|/-5%-640},集合B={%|?n+1<%<2m—

l,mER}.

(1)若/GB=0,求實數(shù)血的取值范圍；

(2)設命題p：xEA；命題q：xEB,是否存在實數(shù)使得命題q是命題p的必要不充分條件？若存在，求出

實數(shù)血的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【解題思路】(1)分8=0、討論，根據(jù)交集的運算和空集的定義結(jié)合不等式即可求解；

(2)命題q是命題p的必要不充分條件可得集合4是集合B的真子集，再列出相應不等式組，即可求解.

【解答過程】(1)由題意可得4={%1-1WxW6},由ZCB=0,

當B=0時，則m+1-解得?n<2；

當B片。時，貝『魯+.黑T或解得a>5；

綜上所述：實數(shù)小的取值范圍為(-8,2)U(5,+8)

(2)不存在，理由如下：

假設存在小使得命題q是命題p的必要不充分條件，

則命題q是命題p的必要不充分條件，可得集合4是集合B的真子集，

m+1<2m—1

則2m-1>6,此不等式組無解,

m+1<—1

所以假設不成立，即不存在加.

故不存在小使得命題q是命題p的必要不充分條件.

題型6N全稱量詞與存在量詞中的含參問題

21.(24-25高一上?湖北黃岡?期中)已知命題p:關于光的方程+2久一1=0有實數(shù)根.命題q:Vx￡[1,4],

不等式一%2+4%—3>m2-47n恒成立.

(1)若命題p為真命題，求實數(shù)機的取值范圍;

(2)若命題p與命題q一真一假，求實數(shù)小的取值范圍.

【解題思路】(1)p為真命題，則方程+2%-1=0有實數(shù)根，分巾=0與m彳0兩種情況討論即可.

(2)由一元二次不等式恒成立求得當命題q為真命題時小的范圍，利用交集運算求解即可.

【解答過程】(1)若命題p為真命題，則關于久的方程m/+2x-1=0有實數(shù)根,

當m=0時，2%-1=0有實數(shù)根,

當mW0時，則4=4+4m>0,解得m>—1且mW0,

綜上，實數(shù)血的取值范圍為[-1,+8).

(2)命題q為真命題，則4],不等式一支2+4%-32血2一4m恒成立,

當％c[l,4]時，―/+4%—3=—(%—2尸+1E[―3,1],

則*_4m<—3,解得1Wm43.

m>—1

當p真q假時，有{或/1，則一lWmVl或血>3；

當p假q真時，有則解集為：。

綜上，-1WmV1或m>3,

故實數(shù)加的取值范圍為[一1,1)U(3,+8).

22.(24-25高一上?河北石家莊?階段練習)已知命題p:V%6[1,+8)，。-2/4。.命題qT%E{%|1￡%工

3},%+a>0.

(1)寫出兩個命題p,q的否定；

(2)若兩個命題都是真命題，求實數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)結(jié)合含有量詞的命題的否定即可求解；

(2)結(jié)合含有量詞的命題的真假，列出不等式即可求解.

【解答過程】(1)因為p:V%€[1,+8),。一2/40,

所以非p：3%G[1,+co),a—2/>0,

因為q:6(x\l<%<3},%+a>0,

所以一iq:VxG{x|l<x<3},x+a<0；

(2)因為p:V]€[1,+8),a-工o,所以a￡2%2,

又無Nl,故2/22,故a￡2,

命題q:3%6{%|1<x<3},%+a>0.

即6{x|<%<3},a>—x,又一3<—x<-1,故a>—3.

綜上，當兩個命題都是真命題時,a的取值范圍為{a|-3<a<2}.

23.(24-25高一上?天津?階段練習)設命題p:VxGR,不等式+mx+；>0恒成立：命題q：me>

1).

(1)若p為真命題，求實數(shù)血的取值范圍；

(2)若命題p、q有且只有一個是真命題，求實數(shù)6的取值范圍.

【解題思路】(1)對血進行分類討論，由此列不等式來求得m的取值范圍.

(2)根據(jù)p真q假或p假q真，列不等式來求得血的取值范圍.

【解答過程】(1)對于命題p:VxGR,不等式血/+mx+1>0恒成立，

當m=0時，|>0恒成立.

當mH0時，貝懦，’八，解得0VmV2.

=mz-2m<0

綜上所述，TH的取值范圍是04znV2.

(2)由四>1得四一1=m+1-3+m=-20,

3—m3—m3—m3—m

所以儼m：2)(3-少2。，解得1口<3.

若p真q假，則"0<m<2"且“?n<1或m>3",則0<m<1.

若p假q真，則"TH<0或>2"且“1<m<3"，則2<m<3.

綜上所述，血的取值范圍是0<mVl或2Wm<3.

24.(24-25高一上?湖南衡陽?階段練習)已知集合/={%|1<%<7},B={%|-3m+1<%<m-1},且

BH0.

(1)若命題p:V%C4,%E8是真命題，求實數(shù)血的取值范圍；

(2)若命題%￡4是假命題，求實數(shù)m的取值范圍.

【解題思路】(1)由命題p為真命題可得4GB,且BH0,再根據(jù)子集列不等式求解范圍即可；

(2)由%WZ是假命題，則久E4是真命題，即再列不等式求解即可.

【解答過程】(1)由命題p為真命題可得4旦8,且BW0

—3m+1<m—1

則-3m+1<1,解得m>8.

m-1>7

即實數(shù)血的取值范圍為［8,+8).

(2)vq-.\/xEB,%￡4是假命題

q:3%GB,久€/是真命題，即

—3m+1<m—1

???-3m4-1<7,解得m>2,

、m-1>1

即實數(shù)血的取值范圍為［2,+oo).

利用作差法、作商法比較大小

25.(24-25高一上?廣東廣州?階段練習)(1)已知xeR,比較3好一%+1與2/+乂一1的大??；

(2)已知xeR,比較3久3與3/-x+1的大小；

【解題思路】(1)利用作差法可比較兩數(shù)的大小.

(2)利用作差法可得出3/一(3/一x+1)=(3尤2+1)。,1),進而分類討論可得出結(jié)果.

【解答過程】(1)根據(jù)作差法有：3支2一萬+1一(2/+刀—1)=/一2久+2=0-1)2+1>0,

所以3/—%+1>2%2+x—1；

(2)根據(jù)作差法有：3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(%-1)=(3x2+1)(久-1)且3x2+1>0,

當%>1時，%—1>0,則3%3>3%2—%+1；

當％=1時，x—1=0,貝！J3x3=3x2—x+1；

當％V1時，%—1<0,則3x3<3x2—x+1；

綜上所述，當》>1時，3爐>3久2一%+1；

當久=1時，3久3