高中數(shù)學專項復習：概率與統(tǒng)計中的熱點問題（解析版）

【方法綜述】

概率與統(tǒng)計的問題在高考中的地位相對穩(wěn)定，而由于概率與統(tǒng)計具有較強的現(xiàn)實應(yīng)用背景，在近幾

年的高考中，概率與統(tǒng)計問題在高考中所占的地位有向壓軸題變化的趨勢。概率與統(tǒng)計的熱點問題主要表

現(xiàn)在一是：以數(shù)學文化和時代發(fā)展為背景設(shè)置概率統(tǒng)計問題，二是概率統(tǒng)計與函數(shù)、方程、不等式及數(shù)列

等相結(jié)合的問題。此類問題的解決，需要考生由較強的閱讀理解能力，體現(xiàn)考生的數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析、

數(shù)學運算及邏輯推理等核心素養(yǎng)。先就此類問題進行分析、歸類，以幫助考生提升應(yīng)試能力。

【解答策略】

類型一以數(shù)學文化和時代發(fā)展為背景的概率統(tǒng)計問題

【例1】（2020?淮南一模）如圖為我國數(shù)學家趙爽（約3世紀初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的

示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則A、

C區(qū)域涂色不相同的概率為（）

【答案】D

【解析】【分析】提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同,

利用分步計數(shù)原理求出不同的涂色方案有420種，其中，A、C區(qū)域涂色不相同的情況有240種，由此能求

出A、C區(qū)域涂色不相同的概率.

解：提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，

根據(jù)題意，如圖，設(shè)5個區(qū)域依次為A、B、C、。、E,分4步進行分析：

①，對于區(qū)域A,有5種顏色可選；

②，對于區(qū)域8,與A區(qū)域相鄰，有4種顏色可選；

③，對于區(qū)域E,與48區(qū)域相鄰，有3種顏色可選；

對于區(qū)域。、C,若。與8顏色相同，C區(qū)域有3種顏色可選，

若。與3顏色不相同，。區(qū)域有2種顏色可選，C區(qū)域有2種顏色可選,

則區(qū)域。、C有3+2x2=7種選擇，

則不同的涂色方案有5x4x3x7=420種，

其中，A、C區(qū)域涂色不相同的情況有：

若A,C不同色，則ABCE兩兩不同色，涂色方案有5x4x3x2種，

涂。時只要和AEC不同色即可，有2種，故共有240種，

...A、C區(qū)域涂色不相同的概率為°=黑=?.故選：D.

4207

【例2】（2020全國模擬）冠狀病毒是一個大型病毒家族，己知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（MERS）

和嚴重急性呼吸綜合征QSARS）等較嚴重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒是以前

從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促

和呼吸困難等.在較嚴重病例中，感染可導致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.

某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有〃（“eN*）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：

方式一：逐份檢驗，則需要檢驗〃次.

方式二：混合檢驗，將其中左（左eN*且左22）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.

若檢驗結(jié)果為陰性，這七份的血液全為陰性，因而這左份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結(jié)果為陽

性，為了明確這人份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這％份再逐份檢驗，此時這4份血液的檢驗次數(shù)總共為

k+\.

假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果

的概率為P.現(xiàn)取其中左（左€?4*且左22）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗

的總次數(shù)為。，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為多.

（1）若E（^）=E值），試求「關(guān)于々的函數(shù)關(guān)系式0=〃左）；

（2）若p與干擾素計量居相關(guān)，其中玉,與，%（n>2）是不同的正實數(shù),

_1H-lX22_2

滿足占=1且V〃eN*(/22)都有e~成立.

/=!卬*/一再

(z)求證：數(shù)列｛七｝等比數(shù)歹!I；

11

(〃)當P=1-『時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)

那4

的期望值更少，求左的最大值

￡

【答案】(1)〃攵)=1—、：，(左eN*，且左22).(2)(/)見解析(方)最大值為4.

【解析】⑴解：由已知，Qk,P(^)=l,得E楂J=k,

心的所有可能取值為1，k+1,

k

P值=1)=(1-"，P^2=k+l)=l-(l-p).

.?.E值)=(1—P?'+(左+—=k+l—

；.p關(guān)于左的函數(shù)關(guān)系式為f(k)=l—(左EN*,且左之2).

11

(2)(力??,證明：當〃=2時,：.—=e^,令q=三=/>0,則4w1,

???玉=1,???下面證明對任意的正整數(shù)〃，兀=0亍.

%—仁

①當〃=1,2時，顯然成立;

女一1k

②假設(shè)對任意的〃=左時，丸="，下面證明〃=k+1時,％=/;

_1k2

由題意，得e3.￡」±L

/=I

2>

32(1)

_1

2

1-e§

<_k工2\_k+2、

+e§-e'§,隊+1-1=0,e「3玉Ji=0.

kJ

kk2k

**.r_口5或Y_-^3-3（負值舍去）????丫成立.

九上+1-&Xk+\~&人左+1-&

...由①②可知,{,}為等比數(shù)列,xn=e^-

（拓）解：由（i）知，P=1一,=1一J,磯芻）>Eg）,.?.左>左+1—左。—p\，得:<?！猵?=[9），

,,1,

/.Ink>—k.

3

設(shè)/（x）=lnx——x（x>0）,尸（x）=.?.當x23時，戶"）<0,即〃x）在[3,+8）上單調(diào)減.

33x

4455

又ln4"3863,-?1.3333,/.ln4>-ln5?1.6094,1.6667..In5<-.

33:33

??"的最大值為4.

【舉一反三】

1.（2020?寧夏高考模擬（理））根據(jù)黨中央關(guān)于“精準”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟部門派四位專家對三個

縣區(qū)進行調(diào)研，每個縣區(qū)至少派一位專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為（）

1111

A.-B.—C.-D.一

6432

【答案】A

【解析】

【分析】每個縣區(qū)至少派一位專家，基本事件總數(shù)〃=36,甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事

件個數(shù)機=6,由此能求出甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率.

【詳解】派四位專家對三個縣區(qū)進行調(diào)研，每個縣區(qū)至少派一位專家

基本事件總數(shù)：n==36

甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數(shù)：m=C；C；&=6

rn6I

二甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為：〃=—=—=—,本題正確選項：A

n366

2.（2020?河北高三期末（理））我國歷法中將一年分為春、夏、秋、冬四個季節(jié)，每個季節(jié)有六個節(jié)氣，如

夏季包含立夏、小滿、芒種、夏至、小暑以及大暑.某美術(shù)學院甲、乙、丙、丁四位同學接到繪制二十四節(jié)

氣的彩繪任務(wù)，現(xiàn)四位同學抽簽確定各自完成哪個季節(jié)中的六幅彩繪，在制簽及抽簽公平的前提下，甲沒

有抽到繪制春季六幅彩繪任務(wù)且乙沒有抽到繪制夏季六幅彩繪任務(wù)的概率為.

7

【答案】—

12

【解析】

【分析】先分類討論求出所求事件數(shù)，再利用古典概型的方法計算概率即可.

【詳解】將“甲沒有抽到繪制春季六幅彩繪任務(wù)且乙沒有抽到繪制夏季六幅彩繪任務(wù)”這一事件可以分為兩類:

第一類：甲抽到夏季六幅彩繪任務(wù)的事件數(shù)為：羯=6,

第二類：甲抽不到夏季六幅彩繪任務(wù)的事件數(shù)為：?g=8,

總的事件數(shù)為：禺=24,故所求概率為：。=一=’.故答案為：—.

241212

3.（2020?湖北模擬）據(jù)《孫子算經(jīng)》中記載，中國古代諸侯的等級從低到高分為：男、子、伯、候、公，

共五級.現(xiàn)有每個級別的諸侯各一人，共五人要把80個橘子分完且每人都要分到橘子，級別每高一級就多

分根個（根為正整數(shù)），若按這種方法分橘子，“公”恰好分得30個橘子的概率是

【答案】-

7

【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項和公式得出首項與公差機的關(guān)系，列舉得出所有的分配方案，從而得

出結(jié)論.

解：由題意可知等級從低到高的5個諸侯所分的橘子個數(shù)組成等差為m的等差數(shù)列，

設(shè)“男”分的橘子個數(shù)為小，其前〃項和為8,則必=5。1+殳魯Xir=80,

即。1+2m=16,且〃1，機均為正整數(shù)，

若“1=2,貝！J根=7,此時的=30,

若〃i=4,m=6,此時〃5=28,

若。1=6,加=5,此時〃5=26,

若。i=8,m=4,此時。5=24,

若〃i=10,m=3,此時〃5=22,

若。1=12,m=2,此時怒=20,

若。1=14,m=l,此時卷=18,

“公”恰好分得30個橘子的概率為4.

類型二概率統(tǒng)計與函數(shù)、方程、不等式及數(shù)列等相結(jié)合的問題

【例3】.（2020?浙江模擬）甲乙兩人進行乒乓球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝的比賽制度，規(guī)定每一局比賽都沒

有平局(必須分出勝負)，且每一局甲贏的概率都是P，隨機變量X表示最終的比賽局數(shù)，若則

O

()

A.E(X)=—B.E(X)>—C.D(X)>—D.D(X)<—

28481

【答案】|

【解析】【分析】X的可能取值為2,3,求出每個變量對應(yīng)的概率，即可得到E(X),Eg,進而得到。

(X).求導，研究函數(shù)在(0,5)上的單調(diào)性，即可求出。(X)的最大值.

O

解：X的可能取值為2,3,

P(X=2)=p2+(1-p)2=2p2-2p+l,

尸(X=3)=C；?p(l-p)T=2p-2p2,

E(X)=2x(2p2-2p+l)+3(2p-2P2)=-2p2+2p+2,

E(*)=4x(2尸2-2p+l)+9x(2p-2p2)=-10p2+10p+4,

D(X)=E(X2)-E2(X)=-10p2+10/>+4-(-2p2+2p+2)2=-4p4+8/?3-6p2+2p,

因為E(X)以p=，■為對稱軸，開口向下，

所以E(X)在pG(0,￡■)時，E(X)單調(diào)遞增，

所以E(X)<-2X(4-)2+2X^-+2=-^--排除A,B.

33y

D'(X)=-16P3+24戶-12p+2,

D"(X)=-12(2p-1)2<0,

所以。(X)在pG(0,1)上單調(diào)遞減，

19

又當〃=合時，。(X)=善>。，

O/f

所以當pe(0,1)時，。(X)>0,

所以pe(0,1)時。(X)單調(diào)遞增，

32

所以。(X)<-4X(y)4+8X(4)-6X(^-)+2X4=-^-.故選：D.

oo6ol

【例4】.(2020?開福區(qū)模擬)設(shè)一個正三棱柱ABC-DER每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面ABC的某

頂點出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若

螞蟻爬行10次，仍然在上底面的概率為尸io,則尸io為()

A.今嗎嚴2B.（1）14

C/9卷D.'g嚴總

【答案】-

7

【解析】【分析】根據(jù)題意假設(shè)螞蟻爬〃次仍在上底面的概率為尸"，那么它前一步只有兩種情況：也許本來

就在上底面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率是管尸展1；也許是上一步在下底面，則第幾-1

o

步不再上底面的概率是1-尸”一1,如果爬上來，其概率應(yīng)是（1-兩件事情是互斥的，因此，

O

P"+1（1—P,L1），整理得‘尸"=9尸"-1+,；構(gòu)造等比數(shù)列｛B-1■｝，即可得尸”=

解：設(shè)螞蟻爬〃次仍在上底面的概率為尸,“那么它前一步只有兩種情況：

A：如果本來就在上底面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率是?1%」；

B,如果是上一步在下底面，則第〃-1步不再上底面的概率是1-P展1，如果爬上來，其概率應(yīng)是1（1-

O

Pn-1）.

21

A,2事件互斥，因此，P”=耳幺_1+§（1_0_1）；

整理得0=即產(chǎn)武彥=3（尸"一一春）；

構(gòu)造等比數(shù)列｛P"-]｝,公比為首項為B-[=■1-[=4，

可得分=￡（￡）"+"1?

因此第10次仍然在上底面的概率尸10=4。）10+4-故選：D.

【舉一反三】

1.（2020?越城區(qū)模擬）隨機變量占有四個不同的取值，且其分布列如下：

2sinasinP3cosasinp3sinacospcosacos/3

P21t

555

則E?）的最大值為（)

C.逅D.1

A.-1B.-Vs

V5

【答案】C

1o1

【解析】【分析】依題意，f=1-X-,所以E1(自)=—(2sinasinP+3cosasinP+3sinacosP)+COSaCOS[3

555

39Q9

=一(cosacos/?+sincifsin(3)+—(sinasin/?+cosacos)=—sin(a+p)+—cos(a-p),根據(jù)a,

5555

P的情況討論即可得到E?）的最大值.

19

解：依題意，t=l-X—,

55

i9

所以E(自)=—(2sinasinp+3cosasinp+3sinacosp)+—COSCLCOSP

55

o9

=一(cosacos/3+sincifsinp)+—(sinasin/3+cosacos[3)

55

32

=-sin(a+P)+—cos(a-P),

55

n

a、-+2k冗

JT4

所以當a+p=-^-+2k兀，a-(3=2E,(左￡z)時，即(MZ)時,

°n

6—+2kH

29

E?）取得最大值1■q=：!.故選：D.

Ilgx|,得＜x410;；：：：；，則方程[/（尤）Y-af

2.（2020?天心區(qū)模擬）已知函數(shù)/（尤）=若，

-X2-2X,X40

（x）+b=0有五個不同根的概率為（

1

ABC—

-34.5

【答案】C

【解析】【分析】畫出函數(shù)/G）的圖象，結(jié)合圖象求得由方程,（元）]2-af（x）+。=0有五個不同的實數(shù)

根時/（x）的取值范圍；再構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出關(guān)于。、。的不等式組表示的平面區(qū)

域，計算平面區(qū)域面積比即可.

|lgx|,需10

解:畫出函數(shù)f（X）=<的圖象,如圖1所示;

-X2-2X,X40

令/(x)=t,由方程[/■(尤)]2-af(x)+6=0有五個不同的實數(shù)根，

即方程於-w+b=0有兩個不同的實數(shù)根“、t2,

由/(x)的圖象知，*<0,且0<攵<1;

設(shè)g(r)=t2-at+b,

'g(O)=b<0

由二次函數(shù)g(r)的圖象與性質(zhì)可得，、、，

g(l)=l-a+b>0

又不等式組(-10201表示的平面區(qū)域為邊長為2的正方形，其面積為4,

且滿足條件的區(qū)域如陰影部分，其面積2-尹尚，如圖2所示；

圖2

3.(2019?湛江一模)已知空間直角坐標系中的四個點A(4,1,1),B(4,-2,-1),C(-2,-2,-

1),。(-2,1,-1).經(jīng)過A,B,C,。四點的球記作球從球/內(nèi)部任取一點P,則點P落在三棱

錐A-BCD內(nèi)部的概率是.

【答案】36

343H

【解析】

【分析】由A,B,C,。四點的坐標知，三點在平行于my坐標面的平面上，且三角形BCD是以C

為直角頂點的直角三角形，故球心在過8。中點且垂直于xoy坐標面的直線上，設(shè)出球心坐標，即可求出球

心，然后求出三棱錐的體積及球的體積，可得.

解：依題意：BCD三點在平行于xoy坐標面的平面上，且滿足[[(4+2)2+(-2-1)1+(-1+1)2]=[(4+2)

2+(-2+2)2+(-1+1)2]+[(-2+2)2+(-2-1)2+(-1+1)2],即BD2=BC2+CD2,

.?.△BCD是以C為直角頂點的直角三角形，，①)中點￡(1,-1)至必88三頂點的距離相等，又

3C￡)三點在豎坐標皆為-1,故三點在平行于xoy坐標面的平面內(nèi)，所以球心在過E且垂直于xoy坐標面的

直線上，設(shè)球心/坐標為(1,-/，z),則DF=AF,即J(_2-1)2+(I+^_)2+(-1-Z)2=

^(4-1)2+(l+y)2+(l-z)2，得z=0,所以球的半徑r=J,

所以，球的體積丫=4兀=3=，兀心)3=34：兀，

o020

三棱錐A-BCD是以直角三角形BCD為底，高為2的三棱錐，

其體積Vi=^-sBCDX2=-1XyX3X6X2=6,

oJ/

6

點尸落在三棱錐A-BCD內(nèi)部的概率是：P=」=343冗

V7444兒

6

【強化訓練】

1.(2020?安徽高考模擬(理))2019年5月22日具有“國家戰(zhàn)略”意義的“長三角一體化”會議在蕪湖舉行；

長三角城市群包括：上海市以及江蘇省、浙江省、安徽省三省部分城市，簡稱“三省一市”.現(xiàn)有4名高三學

生準備高考后到上海市、江蘇省、浙江省、安徽省四個地方旅游，假設(shè)每名同學均從這四個地方中任意選

取一個去旅游，則恰有一個地方未被選中的概率為()

279817

A?—B.—C.------D.—

641625616

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)排列組合的知識分別求解出恰有一個地方未被選中的情況和所有情況，利用古典概型計算可

得結(jié)果.

【詳解】4名同學去旅游的所有情況有：4,=256種

恰有一個地方未被選中共有：&=144種情況

,1449

二恰有一個地方未被選中的概率：p=----=：本題正確選項：B

25616

2.設(shè)函數(shù)/(%)~ax+(x>l),若a是從0,1,2三個數(shù)中任取一個，b是從1,2,3,4,5五個數(shù)中任取一

個，那么/(尤)>>恒成立的概率是()

3721

A.-B.—C.-D.一

51552

【答案】A

【解析】思路：設(shè)事件。為“。乃從所給數(shù)中任取一個”，則〃(O)=3x4=12,所求事件為事件A，

要計算4所包含的基本事件個數(shù)，則需要確定。，。的關(guān)系，從恒成立的不等式入手，/(%)>力恒成立,

只需/⑴血＞從而/(%)==+—1)H---------Ha+1,當awO時,

X—1

ClyX-1)H-------+a+122.u(x—1)---------卜a+1=2y+a+1,

x—1

所以當ax—1)=------n%=1+—時，/(x)min=2y[a+a+1=

)x-1

所以(&+1丁〉6,得到關(guān)系后即可選出符合條件的(a,b)：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),

(2,3),(2,4),(2,5)共8個，當a=0時,/(x)=l+^->l,

X—1

/、/\/八〃(A)3

所以(0,1)符合條件，綜上可得"(A)=9,所以。(A)=*^=w

3.(2020?湖北高考模擬(理))生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個人才識技藝過人，這里的“六藝”其

實源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校在周末

學生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”

和“樂”必須分開安排的概率為()

71131

A.—B.—C.—D.一

606604

【答案】C

【解析】

【分析】分情況討論，由間接法得到“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮"和"樂''必須分開的事件個數(shù)，不考慮限制因

素，總數(shù)有4種，進而得到結(jié)果.

【詳解】

當“數(shù)”位于第一位時，禮和樂相鄰有4種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有種情況，由間接法得

到滿足條件的情況有M-C：月制

當“數(shù)”在第二位時，禮和樂相鄰有3種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有種,

由間接法得到滿足條件的情況有M用制

共有：發(fā)制+團-。：再看種情況，不考慮限制因素，總數(shù)有星種，

故滿足條件的事件的概率為：/,故答案為：c.

As6。

4.（2020?富陽區(qū)模擬）已知數(shù)列｛斯｝滿足。1=0,且對任意"GN*,斯+i等概率地取斯+1或許-1,設(shè)斯

的值為隨機變量貝I（）

A.P（&=2）=/B.E/）=1

C.P（窗=0）<P?5=2）D.P（45=。）<P?3=。）

【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)題意，分別分析出自“當〃分別取2,3,4,5時所對應(yīng)的值，以及每個與的對應(yīng)的概

率，即可判斷出正確選項.

解：依題意。2=1或。2=-1，且尸（。2=1）=P（。2=-1）=￡，

自3=的的可能取值為股+1=2,a2-1=0,。2+1=0，。2-1=-2,

p/=2）

224

p（43=。）=2X4-X4-=4，

222

P?3=-2）=卻《=3，

224

E（及）=2x工+0x=+（-2）x—=0,由此排除A和B-,

424

Q=〃4的可能取值為的+1=3,。3-1=1，的+1=-1，。3-1=-3,

P33）=-j-P々3=2）=-1,

P（Q=l）=P（h=2）+（F0）=S,

28

/P（&=0）+P（=-2）3

P?4=-1）=--------3-----------------3i--------=3，

28

p（0=-3）=［尸（&3=-2）=《..

No

次=碼的可能取值為4,2,0,-2,-4.

P&=。）=P（"=】）+P（&L1）T，

28

P（…=P（"=3）+P（"」）二」,

24

所以P?5=0）＞P（&5=2）,排除C.

Q1

因為尸（&5=0）=亭P（g3=0）=5，所以尸儂=0）＜P（&3=0），故選：D.

82

5.（2020?全國高三模擬）某農(nóng)貿(mào)市場出售西紅柿，當價格上漲時，供給量相應(yīng)增加，而需求量相應(yīng)減少,

具體調(diào)查結(jié)果如下表：

表1市場供給量表2市場需求量

單價單價

22.42.83.23.6443.42.92.62.32

（元/kg）（元/kg）

供給量需求量

50607075809050606707580

(1000kg)(1000kg)

根據(jù)以上提供的信息，市場供需平衡點（即供給量和需求量相等時的單價）應(yīng)在區(qū)間（）

A.（2.3,2.6）內(nèi)B.（2.4,2.6）內(nèi)C.（2.6,2.8）內(nèi)D.（2.8,2.9）內(nèi)

【答案】C

【解析】由已知中表格所給的數(shù)據(jù)，我們結(jié)合答案中的四個區(qū)間，分別分析區(qū)間端點對應(yīng)的供給量與需求

量的關(guān)系，如果區(qū)間兩個端點的表示供給量與需求量的關(guān)系的不等號方向是相反的，則市場供需平衡點（即

供給量和需求量相等時的單價）應(yīng)在該區(qū)間.

解答:解：：單價等于2.8時，供給量=70

當單價小于2.6時，由于2.6V2.8

供給量＜70

而此時，需要量＞70

故此時，供給量（需要量

而當單價等于2.6時，需求量=70

當單價大于2.8時，V2.8＞2.6

，供給量＞70

而此時，需要量＜70

故此時，供給量〉需要量

綜上所述，市場供需平衡點（即供給量和需求量相等時的單價）應(yīng)在區(qū)間（2.6,2.8）內(nèi)，故選C

6.（2019?四川成都七中高考模擬（理））如果｛4｝不是等差數(shù)列，但若mkeN*，使得為+以+2=2%+「

那么稱｛4｝為“局部等差”數(shù)列.已知數(shù)列｛七｝的項數(shù)為4,記事件4：集合｛%,/,玉,/｝除｛1,2,3,4,5｝,

事件3：｛七｝為“局部等差”數(shù)列，則條件概率P（3|A）=（）

471

A.—B.—C.一

15305

【答案】C

【解析】

P(AB)

【分析】分別求出事件A與事件3的基本事件的個數(shù),用尸（5|A）=計算結(jié)果.

【詳解】由題意知，事件A共有C；?國=120個基本事件,事件B：“局部等差”數(shù)列共有以下24個基本事件,

（1）其中含1,2,3的局部等差的分別為1,2,3,5和5,1,2,3和4,1,2,3共3個，含3,2,1

的局部等差數(shù)列的同理也有3個，共6個.

含3,4,5的和含5,4,3的與上述（1）相同，也有6個.

含2,3,4的有5,2,3,4和2,3,4,1共2個，

含4,3,2的同理也有2個.

含1,3,5的有1,3,5,2和2,1,3,5和4,1,3,5和1,3,5,4共4個，

含5,3,1的也有上述4個，共24個，

241

.-.P（B|A）=—=—.故選C.

'71205

7.（2020雁塔區(qū)校級模擬）為了解某次測驗成績，在全年級隨機地抽查了100名學生的成績，得到頻率分

布直方圖（如圖），由于某種原因使部分數(shù)據(jù)丟失，但知道后5組的學生人數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)90分以下人

數(shù)為38,最大頻率為b,則b的值為.

【答案】Q32

【解析】【分析】由已知中抽查了100名學生的成績，90分以下人數(shù)為38,可得五組的累積頻數(shù)為62,設(shè)

第四組的頻數(shù)為訪后5組的學生人數(shù)成等比數(shù)列的公比為q結(jié)合最大頻率為6,根據(jù)等比數(shù)

列的前"項和公式及（工）4<62,求出q,a,進而得到答案.

q

解：由抽查了100名學生的成績，90分以下人數(shù)為38,

則90分以上人數(shù)為100-38=62人，為后五組的累積頻數(shù)

由于后5組的學生人數(shù)成等比數(shù)列，

設(shè)第四組的頻數(shù)為。，公比為q則

S$=a（1口）=62=°（^4+（?3+^2+（?+l）

1-q

由各組人數(shù)均為整數(shù)，故（工）。62,

q

故q=4,a=32,貝|%=需=0.32,故答案為：0.32

8.（2020?寧波校級模擬）某保險公司新開設(shè)了一項保險業(yè)務(wù)，規(guī)定該份保單在一年內(nèi)如果事件E發(fā)生，則

該公司要賠償。元，假若在一年內(nèi)E發(fā)生的概率為p,為使公司受益的期望值不低于。的擊，公司應(yīng)要求

該份保單的顧客繳納的保險金最少為元.

【答案】5+0.1）a

【解析/分析1用隨機變量自表示此項業(yè)務(wù)的收益額，x表求顧客繳納的保險金，則&的所有可能取值為X,

x-a,且尸（自=x）=1-夕，P（自=x-a）=p,Eg=x（1-72）+（x-〃）p=x-ap,由公司受益的期望值

不低于?的焉，由求出公司應(yīng)要求該份保單的顧客繳納的保險金最少金額.

解：用隨機變量&表示此項業(yè)務(wù)的收益額，X表求顧客繳納的保險金，

則&的所有可能取值為X,尤-4,

且尸(自=x)=1-p,P(0=X-4)=p,

J.E^=x(1-p)+(x-a)p=x-ap,

?..公司受益的期望值不低于a的擊，

..x-即弓萬a，

.,.x>（p+0.1）a（元）.故答案為：（p+0.1）a.

9.“學習強國”學習平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳習近平新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容,

立足全體黨員、面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺，現(xiàn)已日益成為老百姓了解國家動態(tài)，緊跟時代脈搏的熱門app.該

款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”和“視聽學習”兩個學習板塊和“每日答題”、“每周答題”、“專項答題”、“挑戰(zhàn)答題”

四個答題板塊.某人在學習過程中，將六大板塊依次各完成一次，貝『‘閱讀文章”與“視聽學習”兩大學習板塊

之間最多間隔一個答題板塊的學習方法有種.

【答案】432

【解析】

【分析】先分間隔一個與不間隔分類計數(shù)，再根據(jù)捆綁法求排列數(shù)，最后求和得結(jié)果.

【詳解】若“閱讀文章”與“視聽學習”兩大學習板塊相鄰，則學習方法有2團=240種；

若“閱讀文章”與“視聽學習”兩大學習板塊之間間隔一個答題板塊的學習方法有2C：閡=192種;

因此共有240+192=432種.故答案為：432

10.（2020?路南區(qū)校級月考）如圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，

三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC、直角邊A3、直角邊AC,AABC的三邊所圍成的區(qū)域.若

3c=10,過點A作于。，當AABZ）面積最大時，黑色區(qū)域的面積為.

【答案旁

【解析】

【分析】AABC的三邊所圍成的區(qū)域記為/,黑色部分記為〃，其余部分記為〃/,由題意，計算△A3。的面

積，求出面積取最大值時對應(yīng)的。值，再計算區(qū)域II的面積Su.

g

解：因為BC=10,^ZABC=-f

ggg

所以AB=10cos-^-,B￡)=ABcos-^-=10COS2-2-=5(\+cosO

eee

AD=ABsin----=1Osin-----cos=5sin0,

222

119R

所以不5￡>?AO=Kx5sinO?5(1+cos。)=7^sin6(1+cos。)，

設(shè)/(0)=sin。(1+cos。),Oe(0,兀)，

1JT

則/(0)=2cos2d+cos0-1=0,解得COS6=5，得。=〒；

TT1

當ee(0,—)時，cos。*,f(6)>0,/(9)為增函數(shù)；

Oc?

jrI

當?！?-r-?兀)時，cosOf(9)V0,f(0)為減函數(shù)；

o4

所以，當0=2時，f(0)最大，△A8￡)面積最大，

O

設(shè)AABC的三邊所圍成的區(qū)域記為/,黑色部分記為〃，其余部分記為/〃，

此時，區(qū)域n的面積為%=*兀?(號)2+/兀.(苧)27nl

=(-^-)2+-^-7I,(-^-)2-)2-S]]=SJ,

222222

且Si=—AB*AC=—x1Osin-^-x1Ocos-^-=25sin0=,

22222

故當△480面積最大時，區(qū)域II的面積為理!■.故答案為：逝返.

11.(2020?廣東模擬)水痘是一種傳染性很強的病毒性疾病，易在春天爆發(fā).市疾控中心為了調(diào)查某校高一

年級學生注射水癥疫苗的人數(shù)，在高一年級隨機抽取5個班級，每個班抽取的人數(shù)互不相同，若把每個班

級抽取的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù).己知樣本平均數(shù)為7,樣本方差為4,則樣本數(shù)據(jù)中的最大值是.

【答案】10

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)和方程列式，然后利用二次函數(shù)的判別式小于零，求得樣本數(shù)據(jù)的最大值.

【詳解】設(shè)五個班級的數(shù)據(jù)分別為a<〃<c<d<e,根據(jù)平均數(shù)和方差得；=7,

7)2+優(yōu)-7)2+"-7)2+(八7)2+(—7)2=4,顯然各個括號為整數(shù).

5

沒a—7,b—7,c—7,d—7,e—7分別為p,q,r,s,t(p,q,r,s,t&Z),

p+q+r+s+，=O

則42.2.2.2-2cc，

p+q+r+s+t=20

設(shè)/(x)=(x—P)2+(%—4)2+(x-r)2+(x-5)2+(x-Z)2

=4%2-2(p+q+r+s)x+(p2+/+產(chǎn)+$2)=4爐+24+20-產(chǎn),

由已知/(九)>0,則判別式/<0,即4/一4x4(20—產(chǎn))<0,

解得t<4,即/W3,所以e=7+/W10,即樣本數(shù)據(jù)中的最大值是10.

12.(2020