高中數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：概率與統(tǒng)計(jì)中的熱點(diǎn)問題（解析版）

【方法綜述】

概率與統(tǒng)計(jì)的問題在高考中的地位相對(duì)穩(wěn)定，而由于概率與統(tǒng)計(jì)具有較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用背景，在近幾

年的高考中，概率與統(tǒng)計(jì)問題在高考中所占的地位有向壓軸題變化的趨勢(shì)。概率與統(tǒng)計(jì)的熱點(diǎn)問題主要表

現(xiàn)在一是：以數(shù)學(xué)文化和時(shí)代發(fā)展為背景設(shè)置概率統(tǒng)計(jì)問題，二是概率統(tǒng)計(jì)與函數(shù)、方程、不等式及數(shù)列

等相結(jié)合的問題。此類問題的解決，需要考生由較強(qiáng)的閱讀理解能力，體現(xiàn)考生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、

數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理等核心素養(yǎng)。先就此類問題進(jìn)行分析、歸類，以幫助考生提升應(yīng)試能力。

【解答策略】

類型一以數(shù)學(xué)文化和時(shí)代發(fā)展為背景的概率統(tǒng)計(jì)問題

【例1】（2020?淮南一模）如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的

示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則A、

C區(qū)域涂色不相同的概率為（）

【答案】D

【解析】【分析】提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同,

利用分步計(jì)數(shù)原理求出不同的涂色方案有420種，其中，A、C區(qū)域涂色不相同的情況有240種，由此能求

出A、C區(qū)域涂色不相同的概率.

解：提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，

根據(jù)題意，如圖，設(shè)5個(gè)區(qū)域依次為A、B、C、。、E,分4步進(jìn)行分析：

①，對(duì)于區(qū)域A,有5種顏色可選；

②，對(duì)于區(qū)域8,與A區(qū)域相鄰，有4種顏色可選；

③，對(duì)于區(qū)域E,與48區(qū)域相鄰，有3種顏色可選；

對(duì)于區(qū)域。、C,若。與8顏色相同，C區(qū)域有3種顏色可選，

若。與3顏色不相同，。區(qū)域有2種顏色可選，C區(qū)域有2種顏色可選,

則區(qū)域。、C有3+2x2=7種選擇，

則不同的涂色方案有5x4x3x7=420種，

其中，A、C區(qū)域涂色不相同的情況有：

若A,C不同色，則ABCE兩兩不同色，涂色方案有5x4x3x2種，

涂。時(shí)只要和AEC不同色即可，有2種，故共有240種，

...A、C區(qū)域涂色不相同的概率為°=黑=?.故選：D.

4207

【例2】（2020全國(guó)模擬）冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，己知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（MERS）

和嚴(yán)重急性呼吸綜合征QSARS）等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒是以前

從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促

和呼吸困難等.在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.

某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有〃（“eN*）份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：

方式一：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)〃次.

方式二：混合檢驗(yàn)，將其中左（左eN*且左22）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).

若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這七份的血液全為陰性，因而這左份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)

性，為了明確這人份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這％份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這4份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為

k+\.

假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果

的概率為P.現(xiàn)取其中左（左€?4*且左22）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)

的總次數(shù)為。，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為多.

（1）若E（^）=E值），試求「關(guān)于々的函數(shù)關(guān)系式0=〃左）；

（2）若p與干擾素計(jì)量居相關(guān)，其中玉,與，%（n>2）是不同的正實(shí)數(shù),

_1H-lX22_2

滿足占=1且V〃eN*(/22)都有e~成立.

/=!卬*/一再

(z)求證：數(shù)列｛七｝等比數(shù)歹!I；

11

(〃)當(dāng)P=1-『時(shí)，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)

那4

的期望值更少，求左的最大值

￡

【答案】(1)〃攵)=1—、：，(左eN*，且左22).(2)(/)見解析(方)最大值為4.

【解析】⑴解：由已知，Qk,P(^)=l,得E楂J=k,

心的所有可能取值為1，k+1,

k

P值=1)=(1-"，P^2=k+l)=l-(l-p).

.?.E值)=(1—P?'+(左+—=k+l—

；.p關(guān)于左的函數(shù)關(guān)系式為f(k)=l—(左EN*,且左之2).

11

(2)(力??,證明：當(dāng)〃=2時(shí),：.—=e^,令q=三=/>0,則4w1,

???玉=1,???下面證明對(duì)任意的正整數(shù)〃，兀=0亍.

%—仁

①當(dāng)〃=1,2時(shí)，顯然成立;

女一1k

②假設(shè)對(duì)任意的〃=左時(shí)，丸="，下面證明〃=k+1時(shí),％=/;

_1k2

由題意，得e3.￡」±L

/=I

2>

32(1)

_1

2

1-e§

<_k工2\_k+2、

+e§-e'§,隊(duì)+1-1=0,e「3玉Ji=0.

kJ

kk2k

**.r_口5或Y_-^3-3（負(fù)值舍去）????丫成立.

九上+1-&Xk+\~&人左+1-&

...由①②可知,{,}為等比數(shù)列,xn=e^-

（拓）解：由（i）知，P=1一,=1一J,磯芻）>Eg）,.?.左>左+1—左?！猵\，得:<?！猵?=[9），

,,1,

/.Ink>—k.

3

設(shè)/（x）=lnx——x（x>0）,尸（x）=.?.當(dāng)x23時(shí)，戶"）<0,即〃x）在[3,+8）上單調(diào)減.

33x

4455

又ln4"3863,-?1.3333,/.ln4>-ln5?1.6094,1.6667..In5<-.

33:33

??"的最大值為4.

【舉一反三】

1.（2020?寧夏高考模擬（理））根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門派四位專家對(duì)三個(gè)

縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為（）

1111

A.-B.—C.-D.一

6432

【答案】A

【解析】

【分析】每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家，基本事件總數(shù)〃=36,甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事

件個(gè)數(shù)機(jī)=6,由此能求出甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率.

【詳解】派四位專家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家

基本事件總數(shù)：n==36

甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù)：m=C；C；&=6

rn6I

二甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為：〃=—=—=—,本題正確選項(xiàng)：A

n366

2.（2020?河北高三期末（理））我國(guó)歷法中將一年分為春、夏、秋、冬四個(gè)季節(jié)，每個(gè)季節(jié)有六個(gè)節(jié)氣，如

夏季包含立夏、小滿、芒種、夏至、小暑以及大暑.某美術(shù)學(xué)院甲、乙、丙、丁四位同學(xué)接到繪制二十四節(jié)

氣的彩繪任務(wù)，現(xiàn)四位同學(xué)抽簽確定各自完成哪個(gè)季節(jié)中的六幅彩繪，在制簽及抽簽公平的前提下，甲沒

有抽到繪制春季六幅彩繪任務(wù)且乙沒有抽到繪制夏季六幅彩繪任務(wù)的概率為.

7

【答案】—

12

【解析】

【分析】先分類討論求出所求事件數(shù)，再利用古典概型的方法計(jì)算概率即可.

【詳解】將“甲沒有抽到繪制春季六幅彩繪任務(wù)且乙沒有抽到繪制夏季六幅彩繪任務(wù)”這一事件可以分為兩類:

第一類：甲抽到夏季六幅彩繪任務(wù)的事件數(shù)為：羯=6,

第二類：甲抽不到夏季六幅彩繪任務(wù)的事件數(shù)為：?g=8,

總的事件數(shù)為：禺=24,故所求概率為：。=一=’.故答案為：—.

241212

3.（2020?湖北模擬）據(jù)《孫子算經(jīng)》中記載，中國(guó)古代諸侯的等級(jí)從低到高分為：男、子、伯、候、公，

共五級(jí).現(xiàn)有每個(gè)級(jí)別的諸侯各一人，共五人要把80個(gè)橘子分完且每人都要分到橘子，級(jí)別每高一級(jí)就多

分根個(gè)（根為正整數(shù)），若按這種方法分橘子，“公”恰好分得30個(gè)橘子的概率是

【答案】-

7

【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式得出首項(xiàng)與公差機(jī)的關(guān)系，列舉得出所有的分配方案，從而得

出結(jié)論.

解：由題意可知等級(jí)從低到高的5個(gè)諸侯所分的橘子個(gè)數(shù)組成等差為m的等差數(shù)列，

設(shè)“男”分的橘子個(gè)數(shù)為小，其前〃項(xiàng)和為8,則必=5。1+殳魯Xir=80,

即。1+2m=16,且〃1，機(jī)均為正整數(shù)，

若“1=2,貝！J根=7,此時(shí)的=30,

若〃i=4,m=6,此時(shí)〃5=28,

若。1=6,加=5,此時(shí)〃5=26,

若。i=8,m=4,此時(shí)。5=24,

若〃i=10,m=3,此時(shí)〃5=22,

若。1=12,m=2,此時(shí)怒=20,

若。1=14,m=l,此時(shí)卷=18,

“公”恰好分得30個(gè)橘子的概率為4.

類型二概率統(tǒng)計(jì)與函數(shù)、方程、不等式及數(shù)列等相結(jié)合的問題

【例3】.（2020?浙江模擬）甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝的比賽制度，規(guī)定每一局比賽都沒

有平局(必須分出勝負(fù))，且每一局甲贏的概率都是P，隨機(jī)變量X表示最終的比賽局?jǐn)?shù)，若則

O

()

A.E(X)=—B.E(X)>—C.D(X)>—D.D(X)<—

28481

【答案】|

【解析】【分析】X的可能取值為2,3,求出每個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率，即可得到E(X),Eg,進(jìn)而得到。

(X).求導(dǎo)，研究函數(shù)在(0,5)上的單調(diào)性，即可求出。(X)的最大值.

O

解：X的可能取值為2,3,

P(X=2)=p2+(1-p)2=2p2-2p+l,

尸(X=3)=C；?p(l-p)T=2p-2p2,

E(X)=2x(2p2-2p+l)+3(2p-2P2)=-2p2+2p+2,

E(*)=4x(2尸2-2p+l)+9x(2p-2p2)=-10p2+10p+4,

D(X)=E(X2)-E2(X)=-10p2+10/>+4-(-2p2+2p+2)2=-4p4+8/?3-6p2+2p,

因?yàn)镋(X)以p=，■為對(duì)稱軸，開口向下，

所以E(X)在pG(0,￡■)時(shí)，E(X)單調(diào)遞增，

所以E(X)<-2X(4-)2+2X^-+2=-^--排除A,B.

33y

D'(X)=-16P3+24戶-12p+2,

D"(X)=-12(2p-1)2<0,

所以。(X)在pG(0,1)上單調(diào)遞減，

19

又當(dāng)〃=合時(shí)，。(X)=善>。，

O/f

所以當(dāng)pe(0,1)時(shí)，。(X)>0,

所以pe(0,1)時(shí)。(X)單調(diào)遞增，

32

所以。(X)<-4X(y)4+8X(4)-6X(^-)+2X4=-^-.故選：D.

oo6ol

【例4】.(2020?開福區(qū)模擬)設(shè)一個(gè)正三棱柱ABC-DER每條棱長(zhǎng)都相等，一只螞蟻從上底面ABC的某

頂點(diǎn)出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個(gè)頂點(diǎn)，算一次爬行，若它選擇三個(gè)方向爬行的概率相等，若

螞蟻爬行10次，仍然在上底面的概率為尸io,則尸io為()

A.今嗎嚴(yán)2B.（1）14

C/9卷D.'g嚴(yán)總

【答案】-

7

【解析】【分析】根據(jù)題意假設(shè)螞蟻爬〃次仍在上底面的概率為尸"，那么它前一步只有兩種情況：也許本來(lái)

就在上底面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率是管尸展1；也許是上一步在下底面，則第幾-1

o

步不再上底面的概率是1-尸”一1,如果爬上來(lái)，其概率應(yīng)是（1-兩件事情是互斥的，因此，

O

P"+1（1—P,L1），整理得‘尸"=9尸"-1+,；構(gòu)造等比數(shù)列｛B-1■｝，即可得尸”=

解：設(shè)螞蟻爬〃次仍在上底面的概率為尸,“那么它前一步只有兩種情況：

A：如果本來(lái)就在上底面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率是?1%」；

B,如果是上一步在下底面，則第〃-1步不再上底面的概率是1-P展1，如果爬上來(lái)，其概率應(yīng)是1（1-

O

Pn-1）.

21

A,2事件互斥，因此，P”=耳幺_1+§（1_0_1）；

整理得0=即產(chǎn)武彥=3（尸"一一春）；

構(gòu)造等比數(shù)列｛P"-]｝,公比為首項(xiàng)為B-[=■1-[=4，

可得分=￡（￡）"+"1?

因此第10次仍然在上底面的概率尸10=4。）10+4-故選：D.

【舉一反三】

1.（2020?越城區(qū)模擬）隨機(jī)變量占有四個(gè)不同的取值，且其分布列如下：

2sinasinP3cosasinp3sinacospcosacos/3

P21t

555

則E?）的最大值為（)

C.逅D.1

A.-1B.-Vs

V5

【答案】C

1o1

【解析】【分析】依題意，f=1-X-,所以E1(自)=—(2sinasinP+3cosasinP+3sinacosP)+COSaCOS[3

555

39Q9

=一(cosacos/?+sincifsin(3)+—(sinasin/?+cosacos)=—sin(a+p)+—cos(a-p),根據(jù)a,

5555

P的情況討論即可得到E?）的最大值.

19

解：依題意，t=l-X—,

55

i9

所以E(自)=—(2sinasinp+3cosasinp+3sinacosp)+—COSCLCOSP

55

o9

=一(cosacos/3+sincifsinp)+—(sinasin/3+cosacos[3)

55

32

=-sin(a+P)+—cos(a-P),

55

n

a、-+2k冗

JT4

所以當(dāng)a+p=-^-+2k兀，a-(3=2E,(左￡z)時(shí)，即(MZ)時(shí),

°n

6—+2kH

29

E?）取得最大值1■q=：!.故選：D.

Ilgx|,得＜x410;；：：：；，則方程[/（尤）Y-af

2.（2020?天心區(qū)模擬）已知函數(shù)/（尤）=若，

-X2-2X,X40

（x）+b=0有五個(gè)不同根的概率為（

1

ABC—

-34.5

【答案】C

【解析】【分析】畫出函數(shù)/G）的圖象，結(jié)合圖象求得由方程,（元）]2-af（x）+。=0有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)

根時(shí)/（x）的取值范圍；再構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出關(guān)于。、。的不等式組表示的平面區(qū)

域，計(jì)算平面區(qū)域面積比即可.

|lgx|,需10

解:畫出函數(shù)f（X）=<的圖象,如圖1所示;

-X2-2X,X40

令/(x)=t,由方程[/■(尤)]2-af(x)+6=0有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

即方程於-w+b=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根“、t2,

由/(x)的圖象知，*<0,且0<攵<1;

設(shè)g(r)=t2-at+b,

'g(O)=b<0

由二次函數(shù)g(r)的圖象與性質(zhì)可得，、、，

g(l)=l-a+b>0

又不等式組(-10201表示的平面區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為2的正方形，其面積為4,

且滿足條件的區(qū)域如陰影部分，其面積2-尹尚，如圖2所示；

圖2

3.(2019?湛江一模)已知空間直角坐標(biāo)系中的四個(gè)點(diǎn)A(4,1,1),B(4,-2,-1),C(-2,-2,-

1),。(-2,1,-1).經(jīng)過(guò)A,B,C,。四點(diǎn)的球記作球從球/內(nèi)部任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P落在三棱

錐A-BCD內(nèi)部的概率是.

【答案】36

343H

【解析】

【分析】由A,B,C,。四點(diǎn)的坐標(biāo)知，三點(diǎn)在平行于my坐標(biāo)面的平面上，且三角形BCD是以C

為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故球心在過(guò)8。中點(diǎn)且垂直于xoy坐標(biāo)面的直線上，設(shè)出球心坐標(biāo)，即可求出球

心，然后求出三棱錐的體積及球的體積，可得.

解：依題意：BCD三點(diǎn)在平行于xoy坐標(biāo)面的平面上，且滿足[[(4+2)2+(-2-1)1+(-1+1)2]=[(4+2)

2+(-2+2)2+(-1+1)2]+[(-2+2)2+(-2-1)2+(-1+1)2],即BD2=BC2+CD2,

.?.△BCD是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，，①)中點(diǎn)￡(1,-1)至必88三頂點(diǎn)的距離相等，又

3C￡)三點(diǎn)在豎坐標(biāo)皆為-1,故三點(diǎn)在平行于xoy坐標(biāo)面的平面內(nèi)，所以球心在過(guò)E且垂直于xoy坐標(biāo)面的

直線上，設(shè)球心/坐標(biāo)為(1,-/，z),則DF=AF,即J(_2-1)2+(I+^_)2+(-1-Z)2=

^(4-1)2+(l+y)2+(l-z)2，得z=0,所以球的半徑r=J,

所以，球的體積丫=4兀=3=，兀心)3=34：兀，

o020

三棱錐A-BCD是以直角三角形BCD為底，高為2的三棱錐，

其體積Vi=^-sBCDX2=-1XyX3X6X2=6,

oJ/

6

點(diǎn)尸落在三棱錐A-BCD內(nèi)部的概率是：P=」=343冗

V7444兒

6

【強(qiáng)化訓(xùn)練】

1.(2020?安徽高考模擬(理))2019年5月22日具有“國(guó)家戰(zhàn)略”意義的“長(zhǎng)三角一體化”會(huì)議在蕪湖舉行；

長(zhǎng)三角城市群包括：上海市以及江蘇省、浙江省、安徽省三省部分城市，簡(jiǎn)稱“三省一市”.現(xiàn)有4名高三學(xué)

生準(zhǔn)備高考后到上海市、江蘇省、浙江省、安徽省四個(gè)地方旅游，假設(shè)每名同學(xué)均從這四個(gè)地方中任意選

取一個(gè)去旅游，則恰有一個(gè)地方未被選中的概率為()

279817

A?—B.—C.------D.—

641625616

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)排列組合的知識(shí)分別求解出恰有一個(gè)地方未被選中的情況和所有情況，利用古典概型計(jì)算可

得結(jié)果.

【詳解】4名同學(xué)去旅游的所有情況有：4,=256種

恰有一個(gè)地方未被選中共有：&=144種情況

,1449

二恰有一個(gè)地方未被選中的概率：p=----=：本題正確選項(xiàng)：B

25616

2.設(shè)函數(shù)/(%)~ax+(x>l),若a是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，b是從1,2,3,4,5五個(gè)數(shù)中任取一

個(gè)，那么/(尤)>>恒成立的概率是()

3721

A.-B.—C.-D.一

51552

【答案】A

【解析】思路：設(shè)事件。為“。乃從所給數(shù)中任取一個(gè)”，則〃(O)=3x4=12,所求事件為事件A，

要計(jì)算4所包含的基本事件個(gè)數(shù)，則需要確定。，。的關(guān)系，從恒成立的不等式入手，/(%)>力恒成立,

只需/⑴血＞從而/(%)==+—1)H---------Ha+1,當(dāng)awO時(shí),

X—1

ClyX-1)H-------+a+122.u(x—1)---------卜a+1=2y+a+1,

x—1

所以當(dāng)ax—1)=------n%=1+—時(shí)，/(x)min=2y[a+a+1=

)x-1

所以(&+1丁〉6,得到關(guān)系后即可選出符合條件的(a,b)：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),

(2,3),(2,4),(2,5)共8個(gè)，當(dāng)a=0時(shí),/(x)=l+^->l,

X—1

/、/\/八〃(A)3

所以(0,1)符合條件，綜上可得"(A)=9,所以。(A)=*^=w

3.(2020?湖北高考模擬(理))生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個(gè)人才識(shí)技藝過(guò)人，這里的“六藝”其

實(shí)源于中國(guó)周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校在周末

學(xué)生業(yè)余興趣活動(dòng)中開展了“六藝”知識(shí)講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”

和“樂”必須分開安排的概率為()

71131

A.—B.—C.—D.一

606604

【答案】C

【解析】

【分析】分情況討論，由間接法得到“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮"和"樂''必須分開的事件個(gè)數(shù)，不考慮限制因

素，總數(shù)有4種，進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】

當(dāng)“數(shù)”位于第一位時(shí)，禮和樂相鄰有4種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有種情況，由間接法得

到滿足條件的情況有M-C：月制

當(dāng)“數(shù)”在第二位時(shí)，禮和樂相鄰有3種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有種,

由間接法得到滿足條件的情況有M用制

共有：發(fā)制+團(tuán)-。：再看種情況，不考慮限制因素，總數(shù)有星種，

故滿足條件的事件的概率為：/,故答案為：c.

As6。

4.（2020?富陽(yáng)區(qū)模擬）已知數(shù)列｛斯｝滿足。1=0,且對(duì)任意"GN*,斯+i等概率地取斯+1或許-1,設(shè)斯

的值為隨機(jī)變量貝I（）

A.P（&=2）=/B.E/）=1

C.P（窗=0）<P?5=2）D.P（45=。）<P?3=。）

【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)題意，分別分析出自“當(dāng)〃分別取2,3,4,5時(shí)所對(duì)應(yīng)的值，以及每個(gè)與的對(duì)應(yīng)的概

率，即可判斷出正確選項(xiàng).

解：依題意。2=1或。2=-1，且尸（。2=1）=P（。2=-1）=￡，

自3=的的可能取值為股+1=2,a2-1=0,。2+1=0，。2-1=-2,

p/=2）

224

p（43=。）=2X4-X4-=4，

222

P?3=-2）=卻《=3，

224

E（及）=2x工+0x=+（-2）x—=0,由此排除A和B-,

424

Q=〃4的可能取值為的+1=3,。3-1=1，的+1=-1，。3-1=-3,

P33）=-j-P々3=2）=-1,

P（Q=l）=P（h=2）+（F0）=S,

28

/P（&=0）+P（=-2）3

P?4=-1）=--------3-----------------3i--------=3，

28

p（0=-3）=［尸（&3=-2）=《..

No

次=碼的可能取值為4,2,0,-2,-4.

P&=。）=P（"=】）+P（&L1）T，

28

P（…=P（"=3）+P（"」）二」,

24

所以P?5=0）＞P（&5=2）,排除C.

Q1

因?yàn)槭?5=0）=亭P（g3=0）=5，所以尸儂=0）＜P（&3=0），故選：D.

82

5.（2020?全國(guó)高三模擬）某農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)出售西紅柿，當(dāng)價(jià)格上漲時(shí)，供給量相應(yīng)增加，而需求量相應(yīng)減少,

具體調(diào)查結(jié)果如下表：

表1市場(chǎng)供給量表2市場(chǎng)需求量

單價(jià)單價(jià)

22.42.83.23.6443.42.92.62.32

（元/kg）（元/kg）

供給量需求量

50607075809050606707580

(1000kg)(1000kg)

根據(jù)以上提供的信息，市場(chǎng)供需平衡點(diǎn)（即供給量和需求量相等時(shí)的單價(jià)）應(yīng)在區(qū)間（）

A.（2.3,2.6）內(nèi)B.（2.4,2.6）內(nèi)C.（2.6,2.8）內(nèi)D.（2.8,2.9）內(nèi)

【答案】C

【解析】由已知中表格所給的數(shù)據(jù)，我們結(jié)合答案中的四個(gè)區(qū)間，分別分析區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的供給量與需求

量的關(guān)系，如果區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的表示供給量與需求量的關(guān)系的不等號(hào)方向是相反的，則市場(chǎng)供需平衡點(diǎn)（即

供給量和需求量相等時(shí)的單價(jià)）應(yīng)在該區(qū)間.

解答:解：：?jiǎn)蝺r(jià)等于2.8時(shí)，供給量=70

當(dāng)單價(jià)小于2.6時(shí)，由于2.6V2.8

供給量＜70

而此時(shí)，需要量＞70

故此時(shí)，供給量（需要量

而當(dāng)單價(jià)等于2.6時(shí)，需求量=70

當(dāng)單價(jià)大于2.8時(shí)，V2.8＞2.6

，供給量＞70

而此時(shí)，需要量＜70

故此時(shí)，供給量〉需要量

綜上所述，市場(chǎng)供需平衡點(diǎn)（即供給量和需求量相等時(shí)的單價(jià)）應(yīng)在區(qū)間（2.6,2.8）內(nèi)，故選C

6.（2019?四川成都七中高考模擬（理））如果｛4｝不是等差數(shù)列，但若mkeN*，使得為+以+2=2%+「

那么稱｛4｝為“局部等差”數(shù)列.已知數(shù)列｛七｝的項(xiàng)數(shù)為4,記事件4：集合｛%,/,玉,/｝除｛1,2,3,4,5｝,

事件3：｛七｝為“局部等差”數(shù)列，則條件概率P（3|A）=（）

471

A.—B.—C.一

15305

【答案】C

【解析】

P(AB)

【分析】分別求出事件A與事件3的基本事件的個(gè)數(shù),用尸（5|A）=計(jì)算結(jié)果.

【詳解】由題意知，事件A共有C；?國(guó)=120個(gè)基本事件,事件B：“局部等差”數(shù)列共有以下24個(gè)基本事件,

（1）其中含1,2,3的局部等差的分別為1,2,3,5和5,1,2,3和4,1,2,3共3個(gè)，含3,2,1

的局部等差數(shù)列的同理也有3個(gè)，共6個(gè).

含3,4,5的和含5,4,3的與上述（1）相同，也有6個(gè).

含2,3,4的有5,2,3,4和2,3,4,1共2個(gè)，

含4,3,2的同理也有2個(gè).

含1,3,5的有1,3,5,2和2,1,3,5和4,1,3,5和1,3,5,4共4個(gè)，

含5,3,1的也有上述4個(gè)，共24個(gè)，

241

.-.P（B|A）=—=—.故選C.

'71205

7.（2020雁塔區(qū)校級(jí)模擬）為了解某次測(cè)驗(yàn)成績(jī)，在全年級(jí)隨機(jī)地抽查了100名學(xué)生的成績(jī)，得到頻率分

布直方圖（如圖），由于某種原因使部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道后5組的學(xué)生人數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)90分以下人

數(shù)為38,最大頻率為b,則b的值為.

【答案】Q32

【解析】【分析】由已知中抽查了100名學(xué)生的成績(jī)，90分以下人數(shù)為38,可得五組的累積頻數(shù)為62,設(shè)

第四組的頻數(shù)為訪后5組的學(xué)生人數(shù)成等比數(shù)列的公比為q結(jié)合最大頻率為6,根據(jù)等比數(shù)

列的前"項(xiàng)和公式及（工）4<62,求出q,a,進(jìn)而得到答案.

q

解：由抽查了100名學(xué)生的成績(jī)，90分以下人數(shù)為38,

則90分以上人數(shù)為100-38=62人，為后五組的累積頻數(shù)

由于后5組的學(xué)生人數(shù)成等比數(shù)列，

設(shè)第四組的頻數(shù)為。，公比為q則

S$=a（1口）=62=°（^4+（?3+^2+（?+l）

1-q

由各組人數(shù)均為整數(shù)，故（工）。62,

q

故q=4,a=32,貝|%=需=0.32,故答案為：0.32

8.（2020?寧波校級(jí)模擬）某保險(xiǎn)公司新開設(shè)了一項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，規(guī)定該份保單在一年內(nèi)如果事件E發(fā)生，則

該公司要賠償。元，假若在一年內(nèi)E發(fā)生的概率為p,為使公司受益的期望值不低于。的擊，公司應(yīng)要求

該份保單的顧客繳納的保險(xiǎn)金最少為元.

【答案】5+0.1）a

【解析/分析1用隨機(jī)變量自表示此項(xiàng)業(yè)務(wù)的收益額，x表求顧客繳納的保險(xiǎn)金，則&的所有可能取值為X,

x-a,且尸（自=x）=1-夕，P（自=x-a）=p,Eg=x（1-72）+（x-〃）p=x-ap,由公司受益的期望值

不低于?的焉，由求出公司應(yīng)要求該份保單的顧客繳納的保險(xiǎn)金最少金額.

解：用隨機(jī)變量&表示此項(xiàng)業(yè)務(wù)的收益額，X表求顧客繳納的保險(xiǎn)金，

則&的所有可能取值為X,尤-4,

且尸(自=x)=1-p,P(0=X-4)=p,

J.E^=x(1-p)+(x-a)p=x-ap,

?..公司受益的期望值不低于a的擊，

..x-即弓萬(wàn)a，

.,.x>（p+0.1）a（元）.故答案為：（p+0.1）a.

9.“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容,

立足全體黨員、面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)，現(xiàn)已日益成為老百姓了解國(guó)家動(dòng)態(tài)，緊跟時(shí)代脈搏的熱門app.該

款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”和“視聽學(xué)習(xí)”兩個(gè)學(xué)習(xí)板塊和“每日答題”、“每周答題”、“專項(xiàng)答題”、“挑戰(zhàn)答題”

四個(gè)答題板塊.某人在學(xué)習(xí)過(guò)程中，將六大板塊依次各完成一次，貝『‘閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊

之間最多間隔一個(gè)答題板塊的學(xué)習(xí)方法有種.

【答案】432

【解析】

【分析】先分間隔一個(gè)與不間隔分類計(jì)數(shù)，再根據(jù)捆綁法求排列數(shù)，最后求和得結(jié)果.

【詳解】若“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊相鄰，則學(xué)習(xí)方法有2團(tuán)=240種；

若“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊之間間隔一個(gè)答題板塊的學(xué)習(xí)方法有2C：閡=192種;

因此共有240+192=432種.故答案為：432

10.（2020?路南區(qū)校級(jí)月考）如圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，

三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC、直角邊A3、直角邊AC,AABC的三邊所圍成的區(qū)域.若

3c=10,過(guò)點(diǎn)A作于。，當(dāng)AABZ）面積最大時(shí)，黑色區(qū)域的面積為.

【答案旁

【解析】

【分析】AABC的三邊所圍成的區(qū)域記為/,黑色部分記為〃，其余部分記為〃/,由題意，計(jì)算△A3。的面

積，求出面積取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的。值，再計(jì)算區(qū)域II的面積Su.

g

解：因?yàn)锽C=10,^ZABC=-f

ggg

所以AB=10cos-^-,B￡)=ABcos-^-=10COS2-2-=5(\+cosO

eee

AD=ABsin----=1Osin-----cos=5sin0,

222

119R

所以不5￡>?AO=Kx5sinO?5(1+cos。)=7^sin6(1+cos。)，

設(shè)/(0)=sin。(1+cos。),Oe(0,兀)，

1JT

則/(0)=2cos2d+cos0-1=0,解得COS6=5，得。=〒；

TT1

當(dāng)ee(0,—)時(shí)，cos。*,f(6)>0,/(9)為增函數(shù)；

Oc?

jrI

當(dāng)?！?-r-?兀)時(shí)，cosOf(9)V0,f(0)為減函數(shù)；

o4

所以，當(dāng)0=2時(shí)，f(0)最大，△A8￡)面積最大，

O

設(shè)AABC的三邊所圍成的區(qū)域記為/,黑色部分記為〃，其余部分記為/〃，

此時(shí)，區(qū)域n的面積為%=*兀?(號(hào))2+/兀.(苧)27nl

=(-^-)2+-^-7I,(-^-)2-)2-S]]=SJ,

222222

且Si=—AB*AC=—x1Osin-^-x1Ocos-^-=25sin0=,

22222

故當(dāng)△480面積最大時(shí)，區(qū)域II的面積為理!■.故答案為：逝返.

11.(2020?廣東模擬)水痘是一種傳染性很強(qiáng)的病毒性疾病，易在春天爆發(fā).市疾控中心為了調(diào)查某校高一

年級(jí)學(xué)生注射水癥疫苗的人數(shù)，在高一年級(jí)隨機(jī)抽取5個(gè)班級(jí)，每個(gè)班抽取的人數(shù)互不相同，若把每個(gè)班

級(jí)抽取的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù).己知樣本平均數(shù)為7,樣本方差為4,則樣本數(shù)據(jù)中的最大值是.

【答案】10

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)和方程列式，然后利用二次函數(shù)的判別式小于零，求得樣本數(shù)據(jù)的最大值.

【詳解】設(shè)五個(gè)班級(jí)的數(shù)據(jù)分別為a<〃<c<d<e,根據(jù)平均數(shù)和方差得；=7,

7)2+優(yōu)-7)2+"-7)2+(八7)2+(—7)2=4,顯然各個(gè)括號(hào)為整數(shù).

5

沒a—7,b—7,c—7,d—7,e—7分別為p,q,r,s,t(p,q,r,s,t&Z),

p+q+r+s+，=O

則42.2.2.2-2cc，

p+q+r+s+t=20

設(shè)/(x)=(x—P)2+(%—4)2+(x-r)2+(x-5)2+(x-Z)2

=4%2-2(p+q+r+s)x+(p2+/+產(chǎn)+$2)=4爐+24+20-產(chǎn),

由已知/(九)>0,則判別式/<0,即4/一4x4(20—產(chǎn))<0,

解得t<4,即/W3,所以e=7+/W10,即樣本數(shù)據(jù)中的最大值是10.

12.(2020