河北省部分高中2024屆高三年級上冊期末考試數(shù)學試題（解析版）

河北省部分高中2024屆高三上學期期末數(shù)學試題

第I卷（選擇題）

一、選擇題

A二x\0<x<2\.B=x\x2-x>0

1.已知集合,則圖中的陰影部分表示的集合為

A.{小<1或％〉2}B.或1<%<2}

C.1x|l<x<2}D.1x|l<x<2}

【答案】A

【解析】由題可知圖中的陰影部分表示。/AB）,

5=?2_%>0}={巾>1或x<0},

則ADB=R,AC5={M〈XK2},

所以篇B(AC5)={小41或x〉2}.

故選：A.

包x_4cosx

2.函數(shù)町二||12的部分圖象大致為(

\X\H------X

【答案】C

【解析】由題可知，f(x)定義域為{xlxwO},

4cos(-x)_4cosx

又因為八「I1,、2=/w

2

|-x|+2-(-x)閔+#

所以，為偶函數(shù).

當0<尤時，/(x)>0,當/<x<型時，/(x)<0,當里<x<2時，/(%)>0.

22222

故選：C.

22

3.橢圓—+/=1(?！等恕?)的兩焦點為耳，F(xiàn)],以寫8為邊作正三角形，若橢圓恰

好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為()

A.1B.走C.4-273D.73-1

22

【答案】D

【解析】設橢圓與正三角形另兩條邊的交點分別是4B,

易得|A耳|=|A邳=|%|=c,/￡伍=90。,

\AF2\=6c,/.|A/^|+|A/s|=(指+1卜=2a,

e=J=-^=&\

aV3+1，

-------c

2

故選：D.

4.已知/(x)=Asin(Gx+0)(A>O,口>0,冏〈兀)的一段圖像如圖所示，則(

A./(x)=sin

B./(x)的圖像的一個對稱中心為[-],0

71Sir

C./(x)的單調遞增區(qū)間是—+kK,—+kR,keZ

_88

57r

D./(x)的圖像向左平移9個單位長度后得到的是一個奇函數(shù)的圖象

8

【答案】C

rj-i兀(3兀、兀2

【解析】由圖可知A=l,77=7■一一"~--?所以7=?=」，解得①二2,

所以/(%)=sin(2x+0),又函數(shù)過點

5兀37r?37兀ri

解得。=彳+2版,左eZ,因為<兀,所以°=—丁，所以/(x)=sin[2x-■—I,故

4

A錯誤；

因為/(一1)=sin2x(一—=sin(一^^)工0，故B錯誤；

jr37171JT511

令」+2knW2x—二w++2加,keZ,解得'+E<xV經(jīng)+E,keZ,

24288

TTS71

故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為-+br,—+far,keZ,故C正確；

_oo

s

將函數(shù)/(尤)的圖象向左平移彳7r個單位得

8

y=sin2k+y3兀=sin[2x+W)=cos2x為偶函數(shù)，故D錯誤;

4

故選：C

5.設a,b，d都是單位向量，且。與6的夾角為60。,則(c-a的最大值為()

A.3D.|+G

22

【答案】D

【解析】設〃二(1,0),力=、

c=(x,y)=(cos6,sin0),貝方+/=1

2,~T

7

/

所以(c-a'c-b)=(x-l,y).1二」+』一旦

Iz222

sinp+1

cos^+—2sin^J￥三6

+2,〃為奇數(shù)()

6.在數(shù)列｛%,｝中,“1—2,。2—1，"〃+2；必便將，則｛%｝的前20項和

[2a,,,“為偶數(shù)

§20=()

A.621B.622C.1133D.1134

【答案】C

【解析】設包=4"-1，c”=b筋,則4=%=2,q=4=l.

由己知可得,

%,+1一。2"-1=2,即〃=2'

所以也｝為以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，包=2+2(〃—1)=2〃.

。2〃+2=2。2〃，即%+i=2g,

所以｛g｝為以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，C〃=1X2"T=2"T.

所以，｛4｝的前20項和%=(4+=+?+白0)+(。1+。2++4)

=(2+4++20)+(l+2++29)」0X(2+20)

21-2

故選：C.

7.設實數(shù)/>0,若忙?a—ln(2x)?0對x>0恒成立，貝V的取值范圍為()

「1)「1)葭1]fn1,

A.一，+8|B.-,+?C.0,-D.0,一

_2e)Le)\ej(2e.

【答案】B

【解析】由xe(0,48),則比>0,死2*>0，

當時，ln2x<0,高戊>ln(2x)恒成立,

即任意，>0,得江一山(2可》0對xe10,；恒成立；

當xe]；,+co1時，fe2tt-In(2%)>0<s>2/xe2tt>2xln(2x),

即2tx^tx>In(2光)eln(2x),其中2比>0,ln(2x)>0,

構造函數(shù)E(x)=xe，,x〉0,則F(2tx)>F(ln2x).

F'(x)=(x+V)ex,因為x>0,所以尸(x)>0,尸(x)單調遞增;

In2尤

則有2比2ln(2x),則-----,2xe(l,+oo),

2x

Inx

構造函數(shù)夕(%)二——,XG(1,+00),

貝1］夕(為=匕學，令9(x)=o,解得％=e,

X

當％￡(l,e)時，0(%)>0,當%)單調遞增;

當xe(e,+oo)時，(p\x)<0,。(%)單調遞減,

1eIn2x=

則0⑴皿=*)=］即當'時，|

2xmax

In2尤

故要使t>——,1XG(1,+8)恒成立,則12—,即看的取值范圍為一,+8

2xee

故選：B.

22

8.已知我一工是雙曲線C|：=一七=1.>0/〉0）的左、右焦點，橢圓C2與雙曲線Ci

crb

的焦點相同，c與。2在第一象限的交點為p,若尸耳的中點在雙曲線G的漸近線上，且

尸耳,尸后，則橢圓的離心率是（）

A|B.BC.好D.倉

2235

【答案】C

【解析】根據(jù)題意:設m=|母;|,〃=|尸叢|，設橢圓長半軸長為生,短半軸長為4,雙曲線實

m+n=2a,0〃=?,+a,

半軸長為外，虛半軸長為伉，則由橢圓及雙曲線定義可得：《c，?〃，

m—n=2a2[n=%-a.

又因為且分別為尸耳，片鳥的中點，所以耳

所以耳（-c,0）到漸近線優(yōu)工+。2y=0的距離為閨凹=d=b

/a；+Z?2=2,

m=CL+a,

所以|P娟=機=22，忸閶=〃=2%,結合<,可得：4=3。2①

n=a1-a2

因為尸片1PF2,所以加2+〃2=4/,即(弓+%)2+(G_%)2=4，,

整理得：4；+曷=2°2,將①代入，—a^=2c2,所以e=YL

一93

二、多選題

9.已知復數(shù)z0=l—i,z=x+W(x,yeR),則下列結論正確的是()

A.方程|z-z0|=2表示的z在復平面內對應點的軌跡是圓

B.方程|z-Zo|+|z-Zo|=2表示z在復平面內對應點的軌跡是橢圓

C.方程|z-z0|-卜-嗝卜1表示的z在復平面內對應點的軌跡是雙曲線的一支

D.方程Z+,卜o+z。)=|z-z()|表示的z在復平面內對應點的軌跡是拋物線

【答案】AC

【解析】由復數(shù)模的幾何意義知，

|z-z0|=2表示復平面內點(x,y)與點(1,-1)之間的距離為定值2,

則z在復平面內對應點的軌跡是圓，故A正確；

由復數(shù)模的幾何意義知，

|z—Z。|+1z—,=2表示復平面內點(x,y)到點(1,-1)和(1,1)的距離之和為2,

又2=%-同，不滿足橢圓的定義2a>閨閶，故B不正確；

由復數(shù)模的幾何意義知，

|z-z0卜|z-刁=1表示復平面內點(尤,y)到點(1,-1)和(1,1)的距離之差為1,

又2=,-司，滿足雙曲線的定義2a<|耳耳故C正確；

對于D,z+-(zo+zoj=|Z—ZQ|可化為|z+l|=|z_Zo|,

表示復平面內點(x,y)到點(-1,0)和(L-1)的距離相等，軌跡是直線，

故D不正確，

故選：AC.

10.如圖，AC為圓錐SO的底面圓。的直徑，點8是圓。上異于A,。的動點，SO=OC=2,

則下列結論正確的是()

A.圓錐SO的側面積為2a兀

Q

B.三棱錐S-ABC體積的最大值為一

3

,（7171^

c./S4B的取值范圍是工,§

D.若AB=BC,E為線段AB上的動點，則SE+CE的最小值為2卜療+1）

【答案】BD

2

【解析】在RtASOC中，SC=y/scP+OC=2A/2-則圓錐的母線長/=20，半徑

r=OC=2,

對于A,圓錐SO的側面積為：iirl-40兀，A錯誤；

對于B,當O3_LAC時，的面積最大，此時SABC=gx4x2=4,

11Q

則三棱錐S—ABC體積的最大值為：—X5exSO=-x4x2=—,B正確；

3AB33

對于C,△S4B是等腰三角形，SA=SB,又因為SV+502=16=AC?,貝I]

兀

ZASC=-,

2

依題意，0<NAS3〈二，而N5AB=/—L/AS3,因此NSABe（女,四），C錯誤；

22242

JT

對于D,由筋=3。,4。=4,ZABC=-,得AB=BC=26，有△S4B為等邊三

角形，

將ASAB以A3為軸旋轉到與，ABC共面的位置，得到S.AB,貝I]凡A3為等邊三角

IT

形，NS]B4=—,如圖，

3

AC

E

于是（S石+CE）山。=,因為S1B=BC=2A/2,ZS.BC=AS.BA+ZABC=y,

S.C2=S.B2+BC2-2S.B-BC-cos—=8+8+8^=4（^+1）2,

6

所以（SE+CE）min=S]C=2（G+1）,D正確.

故選：BD

11.如圖，曲線>=上下有一系列正三角形，設第〃個正三角形Q"T《QM（。0為坐標原

點)的邊長為4,貝4()

?記S"為｛q,｝的前〃項和，則匕+i為Sn

31

C.記s”為數(shù)列｛%｝的前九項和，則5〃=^確1+]4+1

D.數(shù)列｛%｝的通項公式為an=y

【答案】ABD

【解析】選項A,由題意知以《。1為邊長為4的等邊三角形，如圖。Qi=q,

可得三四二飆，解得q=g,

因為點[在曲線y=4上,

又由題意知△Q1EQ2為邊長為出的等邊三角形，則=4，

則鳥心+今,日出)，可得日出=，％+1，解得出=g，故A正確;

選項B,由0_1匕2,為邊長為孫的等邊三角形，

可得心心.+曾,母。向)，故B正確；

選項C,由點匕+1在曲線＞=、&上，則,氏M=/r+?，

31

整理得S〃=］/9「2。角，

3131

由4+i＞。，可知s〃9。^“〃9+1+5%+1，故c錯誤；

391

選項D,當幾22時，可得S〃一1=一，

所以風=S〃—S〃_1=］?！?1-耳?！?1一5?),

3

可化為萬(q+|+a?)(a?+1-a?)=an+l+an,

2

因為?！ā?,則。"+1+。“〉0,所以4+1_%=§,〃》2,

▽中*_42_2_2_2

又因為%an+i-an=j,neN,4=§，

即數(shù)列｛%｝是以］2為首項，:2為公差的等差數(shù)列，

所以數(shù)列｛%｝的通項公式為4=§+("—l)x§=T，故D正確.

故選：ABD.

12.如圖，尸為拋物線。：爐=20%(。＞0)的焦點，O為坐標原點，過y軸左側一點尸作拋

物線C的兩條切線，切點為A、B,PA、P3分別交y軸于M、N兩點,則下列結論一定正

確的是()

B.ZAFB+ZAPB=180°

、\OM\_\FA\\OM||AM|

D.---------=---------

.|ON|一|必|ION||MP|

【答案】AD

【解析】設拋物線C：=2px(p>0)上一點V(Xo，%),則y；=2°Xo,

過點M(Xo，%)的切線方程為y-%=左(%一天),

聯(lián)立方程組［%=々a—%。)，整理的9_女y_&+$=0,

y=2pxkk

DP

令A=0,解得左二工，即過拋物線上一點的切線的斜率為上,

對于A中，設4三,%),3(區(qū),%),(%7%)，則過點A的切線方程為y=￡x+4,

2p2pX/

令x=0,可得y=/,即M

又由拋物線c：V=2內的焦點為砥T，°)，所以=-y-

7T

則上MF4轉=一1，所以"F，,，即/尸兒田=萬，

7T

同理可得NPNE=—，則P,N,￡M四點共圓，所以NAPfi+NMFN=ji,所以A正確;

2

對于B中，若點p在準線尤=-§上，可直線A5的方程為%y=p(x—B),

此時直線過焦點/(^,0),則NA￡B=71,所以NAFB+/4PB>7I,所以B錯誤；

對于C中，由M(0,&),N(0,&),可得感=—正，

22|ON|%

Pyt+p

|網(wǎng)=%十萬2P2y；+p2

陷Pyfpy^+p2'

222P+2

若^^=探‘可得』=y+勺,則=-靖%-%。2,

|0N|\FB\y2yl+p^

所以X%=-p2,此時直線AB過焦點產，

設直線y=-x—'）,代入拋物線y2=2px,可得y2_2￡y_p2=0,

2k

設方程的兩根為M,為，可得M%=-PO

即當直線過拋物線焦點時，兩交點的縱坐標之積為-/J?,

而直線A5不一定過拋物線的交點，所以C錯誤;

對于口中‘由耨"I’可得|0M「_才

|0N「只，

聯(lián)立方程組、2，解得x=B匹,即P（牛，仁”）,

py2P22p2

A7=-^―Y-4-9-

才1y；

I肪!|2_4p24負才+昌=%2\OM\\MA\_

所以D正確.

|MP|2—心,一〉沁;+p2）-￡'所）ON|\MP\

4P24

故選：AD.

第II卷（非選擇題）

三、填空題

3m+n

13.10gzi3=m,\ogb2=n(b>。,且6wl),則b的值為.

【答案】54

【解析】因為log&3=m,log&2=〃(Z?>0,且"1),

所以有加"=31"=2,則所"+〃=廣，出=僅，")3“=33義2=54.

故答案為：54.

14.在等比數(shù)列｛%｝中，/，%是函數(shù)/(x)=gx3—4d+4x—1的極值點，則生=

【答案】2

【解析】/，(X)=X2-8X+4,

由題。3，%是方程I?—8元+4=0的兩個不等實根，

則由韋達定理的%=4>O>/+%=8>。，所以%>。,%>。

又。5是。3，%的等比中項且。5與。3，％同號，則=4,%>0=>%=2.

故答案為：2.

22

15.設雙曲線「：鼻嘖=1(a>0,〃>0)的左、右焦點分別為《和工，以「的實軸

為直徑的圓記為c,過點耳作c的切線/,/與r的兩支分別交于A,B兩點，且

3

cosZF.BF^-,則：T的離心率的值為.

【答案】叵

2

【解析】設直線/與圓C的切點為尸，則［0固=。，OPLPF,,

由|0娟=。，得|尸局="0與］—.呼=商-a?=b，

過點F2作EQ，AB于點。，則OP//F2Q,

由。為6耳的中點，得忸。|=2|尸制=2m0蜀=2|0尸|=2a,

因為cosN^Bg=丁/耳2區(qū)為銳角，所以sinN￡B&=Jl-cos2N4BE=-,

\ppI_依囿_生_區(qū)5a33a

2--

有?'~sinZF,BF242>得忸。|=忸用儂/48g=5X^=5,

所以閨卻=|耳@+怛0=2。+弓，由雙曲線的定義知，

|班|—|郎I=2a,BP2b+—--=2a,解得人=細，

222

又°2=儲+32,所以0=畫，所以雙曲線的離心率為0=工=7叵.故答案為：叵.

2a22

16.如圖，對于曲線G所在平面內的點。，若存在以。為頂點的角戊，使得對于曲線G上

的任意兩個不同的點A3恒有成立，則稱角a為曲線G的相對于點O的“界

角”，并稱其中最小的“界角”為曲線G的相對于點。的“確界角''.已知曲線C：

xel1+1,%>0

>=1,（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），點。為坐標原點，曲線C的相對于點。

—x2+l,x<0

16

的“確界角”為P,則sin/7=.

【答案】1

xe'T+1,%>0

【解析】函數(shù)y=1,，

—x~+1,尤<0

116

因為%>0,y'=（%+l）ex-1>0,

所以該函數(shù)在(-8,0)單調遞減，在(0,+9)單調遞增.

￥|1

過原點作y=xe-+1的切線，設切點A(x1,x1e-+1),

由y'=(x+l)ei,則切線OA的斜率為%=

直線。4:y—(無聲1+1)=(石+1)爐-(尤_%)過(0,0),

-x^e'11-1=（―6—七）e*11,/.xje'11—1=0（西〉0）,

即e'E=x>，由函數(shù)y=e>i與》=》一2的圖象在(0,+co)有且只有一個交點,

且當事=1時滿足方程，故方程有唯一解七=1,則匕=2；

1,+1的切線，設切點8卜2，\君+1)，

過原點作y=—x

16

由y'=%'得切線的斜率a=卜2,

則切線05:V-后+1]=：1々(％-%2)過原點(0,0)，

116)8

則k2=——,則有k]k2=—1,

???兩切線垂直，曲線C相對于點。的“確界角”為萬，

四、解答題

17.已知平面內點〃（羽y）與兩個定點A（4,0）,B（l,0）的距離之比等于2.

（1）求點M的軌跡方程；

（2）記（1）中的軌跡為C,過點g］的直線/被C所截得的線段的長為2百，求直

線/的方程.

解：（1）己知A（4,0）,5（l,0）,

由題意可知，--=2,坐標代入得半［：=2,整理得x2+y2=4,

MBJ（x_l）2+y2

故點M的軌跡方程為X2+/=4；

（2）當直線/的斜率不存在時，此時直線/的方程為x=l,

由圓。:一+丁2=4,則圓心為（0,0）,半徑為2,

此時弦長為242?-f=2>/3，滿足題意；

當直線/的斜率存在時，不妨設斜率為人,

則直線/的方程為y—：=左卜—1）,即質—y—左+；=0,

,1

—k_|__

則圓心（0,0）到直線/的距離=2=.

+（-1）2

因為直線/被C所截得的線段的長為2月，

-k+-3

所以儲+(6)2=2?,則2=1,所以

d=I2==i解得人一了

，42+(-1)-

所以直線/的方程為3x+4y—5=0.

綜上，滿足條件的直線/的方程為％=1或3x+4y—5=0.

18.如圖所示，在四棱維P—A6CD中，上4，面43?！?,45,5。,43,4。，且

PA=AB=BC^-AD=2.

2

(1)求尸3與CD所成的角；

(2)求直線與面P4C所成的角的余弦值.

解:(1)因為？面所以兩兩垂直，故建立如圖所示

的空間直角坐標系4(0,0,0),尸(0,0,2),B(2,0,0),0(0,4,0),C(2,2,0)

則依=(2,0,-2),CD=(-2,2,0)

PBD

cosPB,CD\1=,S>=1,所以PB與CD所成的角為60

\PB\\CD\2

(2)AP=(0,0,2),AC=(2,2,0),設平面PAC的法向量為m=(x,y,z

z=0

mJ_AP/n_LAC,y+x=。'令kT則加=(1,T°),

設直線尸。與面P4C所成的角的為。，又P￡>=（0,4,-2）,

sin0=|cosm,PZ)|=jm-PD710

m\PD\-7

直線。。與面PAC所成的角的余弦值為巫

5

19.已知數(shù)列｛?！埃凉M足?！?1+2,“eN*，且出，。5，構成等比數(shù)歹人

（1）求數(shù)列｛q｝的通項公式;

n

（2）設d=2an+l,求數(shù)列出｝的前〃項和S“.

解:(1)由。,+i=a“+2,得%+「為=2,

所以數(shù)列｛4｝是以2為公差的等差數(shù)列,

又。2，。5，％4構成等比數(shù)歹U，

2

得a；=a2a14,即(q+8)=(q+2)(q+26),

整理解得％=1,

所以=1+2(〃-1)=2/7-1.

(2)4=2"-%M=2'L(2"+1),

2K

貝l]Sn=3x2*+5x2+...+(2n+l)x2,

23+1

2Sn=3x2+5x2++(2n+l)x2",

兩式相減得-邑=3乂2+2(22+23+-+2")-(2"+1).2向，

即—S“=6+2x2-(I2:J一(2〃+1).2向

=6+2n+2-8-(2n+l)-2向=2"+1(l-2n)-2,

1-2

所以S,=(2〃-1)-2向+2.

20.在ABC中，角A,5c的對邊分別為的面積為S,已知——=a2cosB

tanB

+abcosA.

(1)求角B；

q

(2)若b=3,4A5C的周長為/,求了的最大值.

45

解：(1)因為-----=a2cosB+abcosA,

tan8

g、i4x—acsinBcosB

所以22Al入“

-------------------=acosD+abcosA

sinB

即2ccosB=acosB+bcosA,

由正弦定理，得2sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B),

因為A+3=%—C,

所以2sinCcos5=sinC,

因為C￡(0,?),所以sinCwO,所以cos3二;，

又86(0,兀)，所以8

⑵由余弦定理，得/=/+02—2accosB，即9="+°2—a。,

[廠一

所以9=(〃+C)2-3QC,即=§(〃+-9,

因為S=-acsinB=^-ac，/=a+c+3,

24

所以S，Gac_^[(a+c)2—9]

I4(a+c+3)12(a+c+3)

所以*=――(a+c-

I12v

又acW（"c）（當且僅當。=c時取等號）,

4

所以9=（。+c）2-3ac>+0（當且僅當a=c=3時取等號）,

所以a+c46（當且僅當〃=c=3時取等號），

所以上=業(yè)伍+「一3）三也X（6-3）=出（當且僅當a=c=3時取等號）,

112v712v74

即?的最大值為且.

I4

21.已知橢圓=>7）經(jīng)過點M-2,

（1）求E的標準方程；

（2）過點N（0,6）的直線/交E于C,。兩點（點。在點。的上方），E的上、下頂點分別

為A,B,直線與直線8。交于點。，證明：點。在定直線上.

（1）解：因為E過點/，所以/+而二？［=1，整理得（44—7）（4—16）=0.

因為二〉7,所以〃=16,

22

所以E的標準方程為工+匕=1；

169

(2)證明：設直線/的方程為丁="+6,。(%,乂)，￡>(x2,y2),A(0,3),B(0,-3).

聯(lián)立<J~,整理得(9+16K)/+192fcv+432=0,△>0,

9x+16y=144v7

192左432

X+X=-------7,X修=-------7

1-9+16421-9+1642

%-3

所以直線AO的方程為丁=以一X+3①,

X2

直線的方程y=3②,

石

解法一:

由①②得皿=(%—3)石=(3+3)七

田①②倚%+3%(%+3)(2+9)%

432576左2—14必

左、%2+3(%1+%2)—3%k

9+16左29+16左2_=9446F=_1

kxx+9尤2,4320432左03

x2k------+9%,

9+16左229+16左22

3

所以

3

所以點。在定直線y=2上運動，故點。在定直線上.

解法二(和積轉化)：

9

所以=一1(%2+%2)，

由①②彳J。-3.履也+3玉_-)+3芯

%+3kx1Xl+9x2_/玉+9)+9々

3x-9X13

￡^二一9§，所以幾二

3

所以點。在直線y=5上運動，故點。在定直線上.

解法三(點代平方差)：

22

因為。在E上，所以2+&=1,

169

所以5+3)也-3)=_.

916

日n為一3_9%

即二一—記.斤3

由①②得2kzi_____

y°+3%+3x2y+3I16Jy2+316(2+9)(3+9)

432

=__9____________________=_2__________9+16-2_________=_』，

2