高中數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：共線向量問題（解析版）

第20講共線向量問題

參考答案與試題解析

一.解答題（共18小題）

22

1.已知直線/:y=Ax+l,橢圓E:二十一■=1（相＞°）.

9m

（I）若不論左取何值，直線/與橢圓石恒有公共點(diǎn)，試求出機(jī)的取值范圍及橢圓離心率e關(guān)

于機(jī)的函數(shù)關(guān)系式；

（II）當(dāng)左=平時(shí)，直線/與橢圓E相交于A,3兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)若AM=2MB,

求橢圓E的方程.

【解答】解：（I）?直線/恒過定點(diǎn)M（0,l）,且直線/與橢圓E恒有公共點(diǎn)，

02I2

點(diǎn)M（0,1）在橢圓E上或其內(nèi)部，得一+丁,,1（m＞0），

9m

解得用..1,且？nw3.（3分）

（聯(lián)立方程組，用判別式法也可）

當(dāng)］,帆＜3時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，e=J9-m-；

當(dāng)相＞3時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，e=9

m

^9—m2

(1,,m<3)

3

（6分）

y/m1-9

(m>3)

m

y=『+i

消去y得(/+10)x2+6jWx+9(l-m2)=0.

--------1-------7—1

、9m2

9(1-7712)

設(shè)A&,%),B(Xy)，則\+x=X.x,=-7----

222T①1-+10

M（0,l）,.?.由得玉=一2%③.（9分）

由①③得“斕

④.

將③④代入②得，-2（型r）2=9（1"）,解得病=6（疝=一15不合題意，舍去）.

療+io療+10

22

.?.橢圓石的方程為二+匕=1.（12分）

96

2.已知直線/:y=Ax+l(左wO)與橢圓3一+丁=Q(Q〉0)相交于A,5兩個(gè)不同的點(diǎn)，記直

線/與y軸的交點(diǎn)為C.

(I)若左=1,且|A2|=孚，求實(shí)數(shù)。的值；

(II)若a=5,AC=2CB,求％的值，及AAOB的面積.

【解答】解：設(shè)A(x「%),B(x2,y2)

Fy=x+1，口。

(/)聯(lián)立/，,得：4尤2+2》+1-。=0

[3/+y2=a

\AB\=yj2\xl-x2|=^2(a-1)=^^a=2...(6分)

\y=kx+l-/n002k-4

(〃)彳32+25，可得：(3+女2)爐+2日—4=0=_^~~=g9

直線/:丁=區(qū)+1(kWO)與y軸的交點(diǎn)為。(0,1),AC=(—玉，1—必)，CB=(X2,y2-l),...

(9分)

/、2k-4

由AC=2CB得：Xy=-2X2,代入芯+/=一^~~^-,xlx2=-——,

消去人2得：攵2=3=＞左=±J^...(12分)

01?八…?1r72A1I~~16~6「八、

s

^0B=-\OC\\X1-x21=5J(X1+x2y-4X,X2=-J3+fc2)2+=~...(15分)

3.已知直線/:y=履+1(左wO)與橢圓39+尸=a相交于A、3兩個(gè)不同的點(diǎn)，記/與y軸

的交點(diǎn)為C.

(I)若左=1,且|AB|=孚，求實(shí)數(shù)。的值；

(II)若AC=2CB,求AAOB面積的最大值，及此時(shí)橢圓的方程.

【解答】解：設(shè)A($,%),B(X2,y2),

(I)由41,得4/+2》+1-a=0,

[3廠+y2=a

in,i11-a

貝!J%%=—-,F/-—-—,

則|他|=夜|百一解得4=2.

(II)由口：44,得(3+/)/+2丘+1一4=0,

[3x+y-a

2k1—a

貝(JXy+%2——z-，XiXy—z-

3+/"23+嚴(yán)

由A.C—2cB得(―玉，1—%)=2(々，%—1)，

解得％=—2%，代入上式得：

%+羽=_々=_^7,則

1-'3+k2-3+左2

3_73

c_1?511I_31」31%|3

SMOB=~IOC^Xy-x\=-\x|=3+左2

22-3"麗=萬'

3+肉

伙I

4k

當(dāng)且僅當(dāng)r=3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)尤2=37,xtx2=-2<=-2X\,=,

3+左(3+k)3

又占Tl-a

~6~

則匕￡=二，解得4=5.

63

所以，AAOB面積的最大值為弓，此時(shí)橢圓的方程為3f+必=5.

4.在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(-/0),4(應(yīng),0),尸(x,y),M(x,l),N。,-2),若實(shí)數(shù)幾使得

A2OM-ON=-A.PCO為坐標(biāo)原點(diǎn))

(1)求P點(diǎn)的軌跡方程，并討論尸點(diǎn)的軌跡類型；

(2)當(dāng)X=q-時(shí)，若過點(diǎn)8(0,2)的直線/與(1)中P點(diǎn)的軌跡交于不同的兩點(diǎn)E,F(E在

B,尸之間)，試求AOBE與03尸面積之比的取值范圍.

【解答】解：(1)OM=(x,1),ON=(x,-2),=(%+^,y),A,P=(x-y)

22222222

AOM-ON=AlP-A2P(x-2)2=x-2+y化簡得：(1-A)%+/=2(1-2)

①2=±1時(shí)方程為y=0軌跡為一條直線

②彳=0時(shí)方程為尤丁=2軌跡為圓

/v2

③Xe(-1,0)U(0,1)時(shí)方程為一+—二次=1軌跡為橢圓

22(1—Z)

22

④.2e(-oo,-1)U(1,+oo)時(shí)方程為^------—=1軌跡為雙曲線

22(2—1)

（2）丸=克，.?.尸點(diǎn)軌跡方程為蘭+9=i,

22

SXOBE=-x2x|.r,I,S&OBF=1x2x|xj

=

-S^OBE-,^AOBFl\I：I工2I

設(shè)直線EF直線方程為y=fcc+2,聯(lián)立方程可得：（1+2左2）/+8履+6=0.

3

28k6

.?.△=64左2—24—48左2>0,k>-.X.+X=-----------y,X|-X,=---------y

2f21+2/”21+2公

64公364人2

.（玉+工2）=土+，2,2

k〉—9??------------------Z-e(4,y)

226(1+2左2)

%?馬6(1+2k)x2石

」w（11）U（1，3）

q

由題意可知：S^OBE<S^OBF,所以也必G(-4)-

S^OBF

5.如圖，動(dòng)點(diǎn)〃到兩定點(diǎn)A（-l,0）、3（2,0）構(gòu)成AM4B,ZMBA^IZMAB,設(shè)動(dòng)點(diǎn)對的

軌跡為C.

（I）求軌跡C的方程;

\PR\

（11）設(shè)直線、=-2工+〃?與〉軸交于點(diǎn)「，與軌跡。相交于點(diǎn)。、尺，且|「。|<|刊?|,求

IP0

【解答】解：（I）設(shè)的坐標(biāo)為（x,y）,顯然有x>0,且ywO

當(dāng)NMR4=90。時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,±3）

2tanZMAB

當(dāng)ZMB4W90。時(shí),x手2,由ZMBA^IZMAB有tanNMBA=

1—tan2ZMAB

o\y\

即我x+1

I號(hào)

化簡可得3/—/—3=0

而點(diǎn)（2,±3）在曲線3/-V-3=0上

綜上可知，軌跡C的方程為3f-y2-3=o（x>D；

(II)直線y=-2x+機(jī)與3/一J-3=0(犬＞1)聯(lián)立，消元可得無之一4如+機(jī)2+3=0①

.?.①有兩根且均在(1,+00)內(nèi)

-4mr

----->1

2

設(shè)fM=x2-4mx+m2+3,/.</(I)=1-4m+m2+3>0,,m于2

▲=16m2-4(m2+3)>0

設(shè)Q,R的坐標(biāo)分別為(q,%),(xR,yR),

22

I尸Ql<l尸R|，=2m+^3(m-1),xQ=2m-^3(m-1),

|PR\_xR_2m+《3(府-1)_]+4m

2

IPQIXQ2m_43(/-D2m-^(m-I)

m>\,且機(jī)w2

,2<——^^=<8+473,且——^^=#8

2m—^3(m2-1)2m—^3(m2—1)

.-,1<-1+—^^=<7+46,H.-1+—^^=工7

2m-J3(〃?2-1)2m-小3(相？_1)

，的取值范圍是(1,7)U(7,7+473)

6.如圖，動(dòng)點(diǎn)Af與兩定點(diǎn)4-1,0)、2(1,0)構(gòu)成AM4B,且直線A么、MB的斜率之積為4,

設(shè)動(dòng)點(diǎn)"的軌跡為C.

(I)求軌跡。的方程；

(II)設(shè)直線y=x+m(機(jī)>0)與y軸交于點(diǎn)P,與軌跡C相交于點(diǎn)。、R,且|PQ|<|PR|,

求些的取值范圍.

【解答】解：(I)設(shè)M(x,y),則

%=x+1'^MB=x-1

直線M4、MB的斜率之積為4,

上=4

x+1x-1

又彳=±1時(shí)，必有一個(gè)斜率不存在，

故XH±1

綜上點(diǎn)V的軌跡方程為

4x2-y2-4=0(x^±l)

(II)直線y=x+m與

4丘-yZ-4=0(尤*±1)聯(lián)立，消元

可得3尤2—2mx—m2—4=0@

△=16m2+48>0

當(dāng)1或-1是方程①的根時(shí)，加的

值為1或-1,結(jié)合題設(shè)(加>0)可

知，>0且加W1

設(shè)。，R的坐標(biāo)分別為(％,y°),

(4,%)，

IPQKIPRI，

m+2y1m2+3

??%R=~，

m-m2+3

q=3，

m+2A/m2+3

-3__乙

IPQIXQm-2y1m2+31-211I

3Vm2

相>0且mwl

33

/.1+—>1,且1+—

mm

2

1<1----------.<3，且

「2尸

Vm

些的取值范圍是（1，

\PQ\

2”

7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知A4BC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,3的坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0),

且AC,3c所在直線的斜率之積等于-2,記頂點(diǎn)C的軌跡為曲線E.

(I)求曲線E的方程；

(II)設(shè)直線＞=履+2(0＜左＜2)與y軸相交于點(diǎn)P,與曲線E相交于不同的兩點(diǎn)。，R(點(diǎn)

R在點(diǎn)尸和點(diǎn)。之間)，且尸。=比尸尺，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

【解答】解：(I)設(shè)點(diǎn)C(x,y),AABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,3的坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0),

且AC,BC所在直線的斜率之積等于-2,

.?.上.上=-2,

x-1X+1

化簡得曲線石的方程為：2x2+/=2(y^0)；

(II)設(shè)直線y=6+2(0v2)與y軸相交于點(diǎn)尸(0,2),

與曲線石相交于不同的兩點(diǎn)Q,R(點(diǎn)H在點(diǎn)尸和點(diǎn)。之間)，設(shè)Q&,%)，R%,必)

[y=kx+2

二[2%2+/=2

(2+左之_|_4丘+2=0；

-Ak2

X,+x=-------9x,x=-------...①

1?-2+k2?2+k2

△=165-16-8朽=8左2-16>0,nV>2

又0〈發(fā)<2,:.2<k2<4...@

PQ=(xl,yl-2),PR=(3,%-2),S.PQ=APR,

X[=AX2…③

_Ak?

2

由①②得，

(1+A)X2=--------AX2=----

乙十KZ十K

_21,2、

N--------T=-(1—T)

(1+2)28k2

結(jié)合②得G卻實(shí)數(shù)2的取值范圍.

-A3

--------T>---

(l+A)2163A2-10A+3<01,°口，，

,=>—<幾<3且彳大1.

'A1A2-22+1>03

--------T<一

(1+Z)24

點(diǎn)R在點(diǎn)P和點(diǎn)。之間，

綜上，實(shí)數(shù)沈的取值范圍：(1,3)

8.已知拋物線C:^=2px經(jīng)過點(diǎn)尸(1,2),過點(diǎn)。(0,1)的直線/與拋物線C有兩個(gè)不同的交

點(diǎn)A,B,且直線R4交y軸于直線交y軸于N.

(I)求直線/的斜率的取值范圍；

(II)設(shè)。為原點(diǎn)，QM=AQO,QN=〃Q。，求證：,+工為定值.

【解答】解：(I)拋物線C：V=2px經(jīng)過點(diǎn)尸(1,2),，4=2p,解得p=2,

設(shè)過點(diǎn)(0,1)的直線方程為y=京+1,A(w,%),B(X2,%)

聯(lián)立方程組可得,消y可得左2f+(2%-4)x+l=0,

[y=kx+1

.?.△=(2左一4)2—4^>0,且女中0解得左<1,

口?c21_1

.H.左W(J,石+馬-7—，不馬—,

又?叢、PB要與y軸相交，.■.直線/不能經(jīng)過點(diǎn)(1,-2),即4w-3,

故直線/的斜率的取值范圍(-8,-3)。(-3,0)U(0,1)；

(II)證明：設(shè)點(diǎn)M(0,y“)，N(0,yQ,

則QM=（0,加一1）,20=（0,-1）

因?yàn)镼M=2。。，所以%-1=-N,故彳=1-%，同理〃=1-y”

直線心的方程為===

1-%]_江2+%

4

令彳=0,得力/=豆一，同理可得如=0：,

2+%2+%

因?yàn)?=」一+」-=2+2

入41一％1-Mv2-％2-%

8—2%%8-2（依+1）（仇+1）

（2—%）（2—%）1—左（石+%2）+42玉X2

2

8—2[kx^x2+左（玉+x2）+1]

4-2k

8-2（1++1）

k

4—2%

1-+1

k

4-2k

4-2x

k—2,

4—2%

2-

k

111工為定值.

/.—+—=2,.1----F

2AA

y

9.如圖，已知拋物線C:yZ=2px經(jīng)過點(diǎn)尸(1,2),過點(diǎn)。(0,1)的直線/與拋物線C有兩個(gè)不

同的交點(diǎn)A,B.

(1)求直線/的斜率的取值范圍；

(2)設(shè)。為原點(diǎn)，直線上4交y軸于直線PB交y軸于N.OQ=4M。，OQ=/uNQ,

求證：％+〃為定值.

【解答】解：(1)拋物線C:y?=2px經(jīng)過點(diǎn)尸(1,2),;.4=20,解得p=2,

設(shè)過點(diǎn)(0,1)的直線方程為y=Ax+l,A(X],M)，BQ2，%)；

聯(lián)立方程組可得,

[y=kx+l

消y可得左2爐+(2左一4)%+1=0,

.?.△=(2左一4)2—442>0,且女中0解得左<1,

故直線/的斜率的取值范圍(-8,0)U(0,1)；

(2)證明：設(shè)點(diǎn)M(0,y.)，N(0QN)，

則MQ=(O,1,OQ=(0,1)；

因?yàn)镺Q=2M。，所以1=〃1-坨)，故；l=—L—,同理〃=_L_,

IfIf

直線"的方程為丫-2="且5-1)=上*1)=」一D，

Ifl_yL_2-y,

4

令x=0,得％=0L,同理可得

2+必2+為

因?yàn)獒?〃=」一+'=2+"左=8-2%%

1-%i-yN2-％2-%(2-%)(2-%)

?-4_2k]、

8-2(何+1)(飽+1)_8-2M?為/+人(占+尤2)+1]+k+',

22

1-k{xx+x2)+kxxx21-k{xx+x2)+kx1x214-2、?1

k

即有/l+〃為定值.

10.已知點(diǎn)尸(1,2)在拋物線C:;/=2px上，過點(diǎn)。(0,1)的直線/與拋物線C有兩個(gè)不同的交

點(diǎn)A、B,且直線R4交y軸于/,直線尸3交y軸于N.

(1)求直線/的斜率的取值范圍；

(2)設(shè)。為原點(diǎn)，QM=AQO,QN=〃QO,試判斷工+工是否為定值，若是，求工+工值；

AjU4"

若不是，求工+工的取值范圍.

24

【解答】解：(1)因點(diǎn)尸(1,2)在拋物線C:：/=2/上，則22=2pL解得p=2,

所以拋物線C的方程為/=4%.

令直線/的斜率為左，則直線/方程為：y=kx+l,

由消去y并整理得，k2x2+2(k-2)x+l=0,

直線/與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、3,則.2“，2八，解得k<1且發(fā)#0,

又直線上4,PB與y相交，而點(diǎn)(1,-2)在拋物線C上，則直線/不能過點(diǎn)(1,-2),

否則R4或尸3之一平行于y軸，矛盾，因此女工-3,

綜上得：k<1,左力。且左H：—3,

所以直線/的斜率的取值范圍(-8,-3)D(-3,0)U(0,1).

(2)設(shè)點(diǎn)/(0,%),N(0，VN),QM=(0,yM-1),00=(0,-1),

而。M=X。。，貝!J2=1-y”，同理〃=1-%，

設(shè)A(%i,%)，B(X2，%)，

由公V+2(后一2)x+l=0,知天+X2=—筌3,玉々=土,

直線B4方程：y_2=^^(無一1),即1一2=^4。_1),則/_2=^—(x_l),

If]_5_2+y

4

令x=。，得%=0%，同理%=0%，

2+%2+y2

于是得J_+!=]+]=2+M+2+%=8-2%%=8-2(何+l)(g+D

_

X41-%1-＞N2-%2-%(2-%)(2-%)(1)(1~kx2)

只”沙2112左—4

2

_8-2[kxxx2+k(xx+x2)+1]_k2k?+_8左一2x4_2

1--占+/)+/玉%\\k2k~^\k2-\4%—4-，

k2k2

所以工+工為定值2.

2//

11.已知0M:(尤-1)2+，=工，直線/:尤=-工，動(dòng)圓N與:-Af相外切，且與直線/相切.設(shè)

-42

動(dòng)圓圓心N的軌跡為C,過點(diǎn)。(0,1)的直線/與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B.

(1)求直線/的斜率的取值范圍；

(2)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)P(l,2),直線以交y軸于直線交y軸于N,QM=AQO,

QN=fiQO,求證：,+工為定值.

A4

11*----------1

【解答】解：⑴由題意設(shè)N(羽y),且由題意可得x+[=J(x-iy+y2一3,

整理可得：y2=4.r；

所以曲線C的方程為：9=4尤；

由題意可得直線的的斜率存在且不為0,設(shè)直線鉆的方程為：y=kx+l,設(shè)A(x「％),

B?,%)

聯(lián)立直線與拋物線的方程：f,=丘+1,整理可得：k2x2+2(k-2)x+l=0,

[y=4尤

可得△=4(左一2)2-4公＞0,解得左＜1,且女工0,

所以直線/的斜率的取值范圍(-8,0)U(0,1).

k

(2)證明：由(1)可得：xl+x2=--~^-,再4=2，

直線班的方程為：y-2=^^(x-l),令x=0可得尸口^+2=1丑+2,可得

M—1X.—1Xy—1

M(0,Z^±l+2),

玉一1

一3+1+2,

同理可得N的坐標(biāo)％=

%2—1

由QN=piQO,可得,=2=1-,

所以

22左一4

XT?石一1_12玉％2一（石+冗2）k2*7

3='+」二2，

1

4〃l-yMl-yN(女一1居(k-l)x2k-1XxX2k-1

所以_L+_L為定值2.

22

12.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓E:三+[=13>6>0）,其中6=a，

ab2

過橢圓E內(nèi)一點(diǎn)尸（1,1）的兩條直線分別與橢圓交于點(diǎn)A,C和3,D,且滿足AP=ZPC,

BP=APD,其中2為正常數(shù).當(dāng)點(diǎn)C恰為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，對應(yīng)的2=3.

7

（1）求橢圓E的離心率；

（2）求a與6的值；

（3）當(dāng)2變化時(shí)，左加是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由.

【解答】（本小題滿分16分）

解:（1）因?yàn)?=且0,

2

所以加=34,整理得〃一°2=3儲(chǔ)，即4°2=02,

444

所以離心率e=￡=1.…(4分)

a2

(2)因?yàn)镃(a,O),A=-,

7

所以由4P=2尸C,得A(12—5。,空),…0分)

77

將它代入到橢圓方程中，

得(12—5,2+=解得。=2,

49a249x.

4

所以a=2,6=石.…(10分)

(3)解法一：設(shè)A&,y),B(X2,%),C(x3,%),D1，乂)，

由A尸=4尸C,得1,...(12分)

22

又橢圓的方程為土+匕=1，

43

2222

所以由工+里=1,至+”=1,

4343

得3X：+4%2=120,M3(^—+1)2+4(^-^-+1)2=12@,

?14

12

22

由②得,-^[3(1-^)+4(1-yj]+-[3(1-^)+4(1-yi)]=5,

即![(3尤；+4y；)+7—2(3%+4%)]+1[7-(3%,+4^)]=5,

/_pAZT\/曰rA19+144—54?z八、

結(jié)合①，得3玉+4/=------------，...(14分)

2A+2

19+144-5萬

同理,有3%+4y2=

2X+2

所以3%,+4%=3X2+4%，

從而二A=—3,即左一3為定值.…(16分)

%-％244

(3)解法二：設(shè)A(%,%),B(X2,y2),C(%3，%)，。(%，”)，

fx+Ax.=1+4

由AP-PC,得「「

1%+丸％=1+4

L.E1[修+2%=1+4八、

同理24..(12分)

[為+2%=1+2

將A,3坐標(biāo)代入橢圓方程得卜J，％』？，

13%+4%=12

兩式相減得3(菁+々)(七一工2)+4(%+%)(%-%)=。，

即3(玉+%2)+4(必+%)勤=0,...(14分)

同理，3(%+/)+4(%+”)左CD=。，

而=kcD，所以3(毛+兄4)+4(必+為)配=°，

所以3A(X3+%4)+44(%+yJ^AB=0，

所以3(%+2X3+%2+丸%4)+4(%+4%+%+4y4)kAB=0，

即6(l+/l)+8(l+X)左=0,所以第8=-彳為定值.…(16分)

13.已知橢圓C：W+/=l(a>6>0)的離心率為電，右焦點(diǎn)為尸，過尸作x軸的垂線交

雙曲線工-/=1的兩條漸近線于E,G,得到三角形OEG的面積為1.

4

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)尸，M,N的三個(gè)點(diǎn)都在橢圓C上，設(shè)睦V的中點(diǎn)為。，且PO=2OQ,試判斷APM2V

的面積是否為定值，并說明理由.

【解答】解：(1)因?yàn)闄E圓C：5+/=13>6>O)的離心率為日，

所以a=應(yīng)c,

雙曲線9-丁=i的兩條漸近線的方程為>=±],

設(shè)FG=t,則OF=2t,

因?yàn)槿切蜲EG的面積為1,所以L2r-2f=l,所以"走，c=OF=2t=y/2,

22

a=yflc=2,

22

所以橢圓。的方程為土+匕=1；

42

(2)①當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，

因?yàn)镻O=2O。,

所以。（-1,0）,此時(shí)MN的方程為x=-l；

或。（1,0）,此時(shí)的方程為x=l.

將x=—l,代入橢圓方程二+t=1得，M（T逅），N（—1,鳴,

4222

所以APMN的面積為，|A/N|?|尸。|=gx而x3=dF.

由橢圓軸對稱性得：當(dāng)MN的方程為x=l時(shí)，APMN的面積也為偵；

2

②當(dāng)直線跖V的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線MN方程為y=kx+m,

設(shè)M{xx,y）,N{X2,%）,P（%3，%）,

因?yàn)镸N的中點(diǎn)為。，且尸0=20。，所以APMN的重心是坐標(biāo)原點(diǎn)O,

所以…

[%+%+%=0

r2v2

聯(lián)立y=kx+m^—+=1,

得(2k1+l)x2+4hwc+2療一4=0,A=8(2+4jt2-m2),

Mz,A_L-4km2m2-4

*>0nnN'T，Xi+X)=------，--，

"22^+11-2k2+1

所以％=2：f：i，%=-(%+%)=—左(%+x2)—2m=-2：：］，

故尸(半,-告)，

2k2+12k2+1

因?yàn)辄c(diǎn)尸在橢圓上，所以代入橢圓整理得力=3=，滿足△>(),

2

Op-1-1

因而用與人滿足的等式關(guān)系為①

2

J18(2+4^-〃，2)

當(dāng)△>()時(shí),

―2r+1-2r+1

因?yàn)锳PMN的重心是坐標(biāo)原點(diǎn)O,所以APMZV的面積為AOA/N的面積的3倍,

設(shè)直線/與y軸交于點(diǎn)￡>,則D(O,in).

znrzzAL13A/8777-(2+Ak~~1TI~)

那么XPMN的面積為：3x-ODx-x=△——--------,

2X1l-22(2公+1)

關(guān)系式（i）代入得s=偵,

2

綜合①②得，APMN的面積為定值當(dāng)

2

22

14.雙曲線上:----^-r-=l（4z>0,Z?>0）,已知Q（%o,%）（%（）。土。）是雙曲線石上一'點(diǎn)，A>B

ab~

分別是雙曲線后的左右頂點(diǎn)，直線QA,Q5的斜率之積為1.

（I）求雙曲線的離心率；

（II）若雙曲線后的焦距為20,直線過點(diǎn)尸（2,0）且與雙曲線E交于M、N兩點(diǎn)，若

MP=3PN,求直線/的方程.

【解答】解：（I）Q?,%）（/?！?。）是雙曲線石上一點(diǎn)，

可得斗^=1，即"SV

由題意可得A(-a,0),B(a,0),

kk

^QA^QB

可得a

(II)由題意可得c=\/5\a=b=l9

雙曲線的方程為尤2-丁=1,

設(shè)直線/的方程為y=-x-2）,（左。0,女。士1）,聯(lián)立雙曲線的方程,

可得（1-左2）/+4左2%一1一4左2=0,

設(shè)加（西，乂），N（%2，%），

4k21+4F小

則mil占+々=_匚出，g=_，①

又MP=3PN,可得2-西=3(尤2-2),②

由①②可得％=?當(dāng)，-4-2k2

1-k2

代入①可得3/=15,解得％=±行，

則直線I的方程為y=土石(x-2).

15.已知圓。:/+丁=2,過點(diǎn)A(l,l)的直線交圓。所得的弦長為差，且與x軸的交點(diǎn)為

2

雙曲線E：r尤2-之V=1的右焦點(diǎn)尸(c,0)(02),雙曲線E的離心率為3.

a2b12

(1)求雙曲線E的方程；

(2)過點(diǎn)P(—,5)作動(dòng)直線/交雙曲線右支于/、N兩點(diǎn)，點(diǎn)0異于M,N,且在線段

上運(yùn)動(dòng)，并滿足關(guān)系此=也，試證明點(diǎn)。恒在一條直線上.

\PN\\ON\

【解答】解：(1)設(shè)過點(diǎn)A(l,l)的直線為y—1=左(九—1),

即為依一y+l—左=0,

圓心。到直線的距離為d=匕色

由弦長公式可得2,產(chǎn)一屋=2也一屋=?，

解得

5

由解得左=一2或二.

y/1+ie52

則直線為y-l=_2(x_l),令y=0,貝|尤=：＜2舍去,

或直線y-l=-g(x-l),令y=0,貝l|x=3>2成立，

即有c=3,

由離心率為3.即6=￡=』.解得a=2,b—A/C2—a2=下.

2a2

22

則雙曲線E的方程為上-乙=1；

45

設(shè)過點(diǎn)尸(一，5)作動(dòng)直線/交雙曲線右支于%)、N(x2,%)兩點(diǎn)，

點(diǎn)Q(x,y),

則5龍;-4y；=20,54-4yf=20,

\PM\\MQ\,

|PN|一|ON|'

；?設(shè)需=^5則，MQjQN,

則,—川J%+生-x,%一2%=5%+?為,7

1-2-3'1+2―.，1-A—'1+2―，'

玉-Zx玉+AX_4弘一必

則22——xXM+2%

1-A1+231-21+2

玉2-A2X2_4]

即2

1-2231-22

則5x『-4x5"淬產(chǎn)4M2一422%2_5%24yJ一分每2—4%?)20-2022

1-22—-1-A21-22

4

即—x-4y=4,

即x—3y=3,

故％-3丁一3二0,

故點(diǎn)。恒在一條直線上％-3,-3=。.

22

16.點(diǎn)尸在以月，罵為焦點(diǎn)的雙曲線方=l(q>0,6>0)上，已知尸丑尸鳥，

|「耳|=2|「乙|,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(I)求雙曲線的離心率e；

(II)過點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于/；,g兩點(diǎn)，且?！?。呂:-日，

2PP.+PP.=0,求雙曲線E的方程；

(III)若過點(diǎn)。(加，0)(根為非零常數(shù))的直線/與(2)中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂

點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N,且MQ=XQN(X為非零常數(shù))，問在x軸上是否存在定點(diǎn)G,使

片鳥_L(GM-XGN)?若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解答】解：(I)\PFl\=2\PF2\,\PF1\-\PF2\=2a,.[尸用=4。,\PF2\=2a

222

PF,1PF2(M+(2a)=(2c):.e=y/5

22

u吟

漸近線為y=±2x設(shè)6(網(wǎng)，2占)，P2(x2,-2%)，P(x,y)

279

OR,OF^——3飛%2=—~，??玉w=a，

2PPX+PPZ=O

._2%+々_2(2%-x2)

代入E化簡占了2=：。2，，。2=2

(HI)假設(shè)在X軸上存在定點(diǎn)GQ,O)

使用8_L(GM-/IGN),

設(shè)/:彳=勿+租，Af(%,,%)，N(x4,%)

聯(lián)立I與E的方程得(4F-1)丁+8kmy+4病_8=0

-8km

(1)

~4k2-l

故,

4m2-8...

-九

GMGN={x3-t-AX4+At,y3-2yJ月8=(2何,0)

F,F21(GM-AGN)ox3-t-Ax4+At=0ok(y3-A,y4)+(l-A.)m+(2-l)r=0(3)

由MQ=AQNy3+Ay4=0/.y3=-Ay4(4)

.-.(3)即為263+(1-4)m+(4-1?=0(5),將(4)代入(1)(2)

2_??

有為=(XT)“m代入(5)得r=上

2kmm

2

故在x軸上存在定點(diǎn)G(—,0)使FF1(GM-4GN).

mX2

22

17.設(shè)直線/:y=x+〃z,雙曲線￡:二-與=1(a>0,6>0),雙曲線的離心率為6,/與E交