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第20講共線向量問題
參考答案與試題解析
一.解答題(共18小題)
22
1.已知直線/:y=Ax+l,橢圓E:二十一■=1(相>°).
9m
(I)若不論左取何值,直線/與橢圓石恒有公共點(diǎn),試求出機(jī)的取值范圍及橢圓離心率e關(guān)
于機(jī)的函數(shù)關(guān)系式;
(II)當(dāng)左=平時(shí),直線/與橢圓E相交于A,3兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)若AM=2MB,
求橢圓E的方程.
【解答】解:(I)?直線/恒過定點(diǎn)M(0,l),且直線/與橢圓E恒有公共點(diǎn),
02I2
點(diǎn)M(0,1)在橢圓E上或其內(nèi)部,得一+丁,,1(m>0),
9m
解得用..1,且?nw3.(3分)
(聯(lián)立方程組,用判別式法也可)
當(dāng)],帆<3時(shí),橢圓的焦點(diǎn)在X軸上,e=J9-m-;
當(dāng)相>3時(shí),橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,e=9
m
^9—m2
(1,,m<3)
3
(6分)
y/m1-9
(m>3)
m
y=『+i
消去y得(/+10)x2+6jWx+9(l-m2)=0.
--------1-------7—1
、9m2
9(1-7712)
設(shè)A&,%),B(Xy),則\+x=X.x,=-7----
222T①1-+10
M(0,l),.?.由得玉=一2%③.(9分)
由①③得“斕
④.
將③④代入②得,-2(型r)2=9(1"),解得病=6(疝=一15不合題意,舍去).
療+io療+10
22
.?.橢圓石的方程為二+匕=1.(12分)
96
2.已知直線/:y=Ax+l(左wO)與橢圓3一+丁=Q(Q〉0)相交于A,5兩個(gè)不同的點(diǎn),記直
線/與y軸的交點(diǎn)為C.
(I)若左=1,且|A2|=孚,求實(shí)數(shù)。的值;
(II)若a=5,AC=2CB,求%的值,及AAOB的面積.
【解答】解:設(shè)A(x「%),B(x2,y2)
Fy=x+1,口。
(/)聯(lián)立/,,得:4尤2+2》+1-。=0
[3/+y2=a
\AB\=yj2\xl-x2|=^2(a-1)=^^a=2...(6分)
\y=kx+l-/n002k-4
(〃)彳32+25,可得:(3+女2)爐+2日—4=0=_^~~=g9
直線/:丁=區(qū)+1(kWO)與y軸的交點(diǎn)為。(0,1),AC=(—玉,1—必),CB=(X2,y2-l),...
(9分)
/、2k-4
由AC=2CB得:Xy=-2X2,代入芯+/=一^~~^-,xlx2=-——,
消去人2得:攵2=3=>左=±J^...(12分)
01?八…?1r72A1I~~16~6「八、
s
^0B=-\OC\\X1-x21=5J(X1+x2y-4X,X2=-J3+fc2)2+=~...(15分)
3.已知直線/:y=履+1(左wO)與橢圓39+尸=a相交于A、3兩個(gè)不同的點(diǎn),記/與y軸
的交點(diǎn)為C.
(I)若左=1,且|AB|=孚,求實(shí)數(shù)。的值;
(II)若AC=2CB,求AAOB面積的最大值,及此時(shí)橢圓的方程.
【解答】解:設(shè)A($,%),B(X2,y2),
(I)由41,得4/+2》+1-a=0,
[3廠+y2=a
in,i11-a
貝!J%%=—-,F/-—-—,
則|他|=夜|百一解得4=2.
(II)由口:44,得(3+/)/+2丘+1一4=0,
[3x+y-a
2k1—a
貝(JXy+%2——z-,XiXy—z-
3+/"23+嚴(yán)
由A.C—2cB得(―玉,1—%)=2(々,%—1),
解得%=—2%,代入上式得:
%+羽=_々=_^7,則
1-'3+k2-3+左2
3_73
c_1?511I_31」31%|3
SMOB=~IOC^Xy-x\=-\x|=3+左2
22-3"麗=萬'
3+肉
伙I
4k
當(dāng)且僅當(dāng)r=3時(shí)取等號(hào),此時(shí)尤2=37,xtx2=-2<=-2X\,=,
3+左(3+k)3
又占Tl-a
~6~
則匕£=二,解得4=5.
63
所以,AAOB面積的最大值為弓,此時(shí)橢圓的方程為3f+必=5.
4.在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(-/0),4(應(yīng),0),尸(x,y),M(x,l),N。,-2),若實(shí)數(shù)幾使得
A2OM-ON=-A.PCO為坐標(biāo)原點(diǎn))
(1)求P點(diǎn)的軌跡方程,并討論尸點(diǎn)的軌跡類型;
(2)當(dāng)X=q-時(shí),若過點(diǎn)8(0,2)的直線/與(1)中P點(diǎn)的軌跡交于不同的兩點(diǎn)E,F(E在
B,尸之間),試求AOBE與03尸面積之比的取值范圍.
【解答】解:(1)OM=(x,1),ON=(x,-2),=(%+^,y),A,P=(x-y)
22222222
AOM-ON=AlP-A2P(x-2)2=x-2+y化簡(jiǎn)得:(1-A)%+/=2(1-2)
①2=±1時(shí)方程為y=0軌跡為一條直線
②彳=0時(shí)方程為尤丁=2軌跡為圓
/v2
③Xe(-1,0)U(0,1)時(shí)方程為一+—二次=1軌跡為橢圓
22(1—Z)
22
④.2e(-oo,-1)U(1,+oo)時(shí)方程為^------—=1軌跡為雙曲線
22(2—1)
(2)丸=克,.?.尸點(diǎn)軌跡方程為蘭+9=i,
22
SXOBE=-x2x|.r,I,S&OBF=1x2x|xj
=
-S^OBE-,^AOBFl\I:I工2I
設(shè)直線EF直線方程為y=fcc+2,聯(lián)立方程可得:(1+2左2)/+8履+6=0.
3
28k6
.?.△=64左2—24—48左2>0,k>-.X.+X=-----------y,X|-X,=---------y
2f21+2/”21+2公
64公364人2
.(玉+工2)=土+,2,2
k〉—9??------------------Z-e(4,y)
226(1+2左2)
%?馬6(1+2k)x2石
」w(11)U(1,3)
q
由題意可知:S^OBE<S^OBF,所以也必G(-4)-
S^OBF
5.如圖,動(dòng)點(diǎn)〃到兩定點(diǎn)A(-l,0)、3(2,0)構(gòu)成AM4B,ZMBA^IZMAB,設(shè)動(dòng)點(diǎn)對(duì)的
軌跡為C.
(I)求軌跡C的方程;
\PR\
(11)設(shè)直線、=-2工+〃?與〉軸交于點(diǎn)「,與軌跡。相交于點(diǎn)。、尺,且|「。|<|刊?|,求
IP0
【解答】解:(I)設(shè)的坐標(biāo)為(x,y),顯然有x>0,且ywO
當(dāng)NMR4=90。時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,±3)
2tanZMAB
當(dāng)ZMB4W90。時(shí),x手2,由ZMBA^IZMAB有tanNMBA=
1—tan2ZMAB
o\y\
即我x+1
I號(hào)
化簡(jiǎn)可得3/—/—3=0
而點(diǎn)(2,±3)在曲線3/-V-3=0上
綜上可知,軌跡C的方程為3f-y2-3=o(x>D;
(II)直線y=-2x+機(jī)與3/一J-3=0(犬>1)聯(lián)立,消元可得無之一4如+機(jī)2+3=0①
.?.①有兩根且均在(1,+00)內(nèi)
-4mr
----->1
2
設(shè)fM=x2-4mx+m2+3,/.</(I)=1-4m+m2+3>0,,m于2
▲=16m2-4(m2+3)>0
設(shè)Q,R的坐標(biāo)分別為(q,%),(xR,yR),
22
I尸Ql<l尸R|,=2m+^3(m-1),xQ=2m-^3(m-1),
|PR\_xR_2m+《3(府-1)_]+4m
2
IPQIXQ2m_43(/-D2m-^(m-I)
m>\,且機(jī)w2
,2<——^^=<8+473,且——^^=#8
2m—^3(m2-1)2m—^3(m2—1)
.-,1<-1+—^^=<7+46,H.-1+—^^=工7
2m-J3(〃?2-1)2m-小3(相?_1)
,的取值范圍是(1,7)U(7,7+473)
6.如圖,動(dòng)點(diǎn)Af與兩定點(diǎn)4-1,0)、2(1,0)構(gòu)成AM4B,且直線A么、MB的斜率之積為4,
設(shè)動(dòng)點(diǎn)"的軌跡為C.
(I)求軌跡。的方程;
(II)設(shè)直線y=x+m(機(jī)>0)與y軸交于點(diǎn)P,與軌跡C相交于點(diǎn)。、R,且|PQ|<|PR|,
求些的取值范圍.
【解答】解:(I)設(shè)M(x,y),則
%=x+1'^MB=x-1
直線M4、MB的斜率之積為4,
上=4
x+1x-1
又彳=±1時(shí),必有一個(gè)斜率不存在,
故XH±1
綜上點(diǎn)V的軌跡方程為
4x2-y2-4=0(x^±l)
(II)直線y=x+m與
4丘-yZ-4=0(尤*±1)聯(lián)立,消元
可得3尤2—2mx—m2—4=0@
△=16m2+48>0
當(dāng)1或-1是方程①的根時(shí),加的
值為1或-1,結(jié)合題設(shè)(加>0)可
知,>0且加W1
設(shè)。,R的坐標(biāo)分別為(%,y°),
(4,%),
IPQKIPRI,
m+2y1m2+3
??%R=~,
m-m2+3
q=3,
m+2A/m2+3
-3__乙
IPQIXQm-2y1m2+31-211I
3Vm2
相>0且mwl
33
/.1+—>1,且1+—
mm
2
1<1----------.<3,且
「2尸
Vm
些的取值范圍是(1,
\PQ\
2”
7.在平面直角坐標(biāo)系中,已知A4BC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,3的坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0),
且AC,3c所在直線的斜率之積等于-2,記頂點(diǎn)C的軌跡為曲線E.
(I)求曲線E的方程;
(II)設(shè)直線>=履+2(0<左<2)與y軸相交于點(diǎn)P,與曲線E相交于不同的兩點(diǎn)。,R(點(diǎn)
R在點(diǎn)尸和點(diǎn)。之間),且尸。=比尸尺,求實(shí)數(shù)2的取值范圍.
【解答】解:(I)設(shè)點(diǎn)C(x,y),AABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,3的坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0),
且AC,BC所在直線的斜率之積等于-2,
.?.上.上=-2,
x-1X+1
化簡(jiǎn)得曲線石的方程為:2x2+/=2(y^0);
(II)設(shè)直線y=6+2(0v2)與y軸相交于點(diǎn)尸(0,2),
與曲線石相交于不同的兩點(diǎn)Q,R(點(diǎn)H在點(diǎn)尸和點(diǎn)。之間),設(shè)Q&,%),R%,必)
[y=kx+2
二[2%2+/=2
(2+左之_|_4丘+2=0;
-Ak2
X,+x=-------9x,x=-------...①
1?-2+k2?2+k2
△=165-16-8朽=8左2-16>0,nV>2
又0〈發(fā)<2,:.2<k2<4...@
PQ=(xl,yl-2),PR=(3,%-2),S.PQ=APR,
X[=AX2…③
_Ak?
2
由①②得,
(1+A)X2=--------AX2=----
乙十KZ十K
_21,2、
N--------T=-(1—T)
(1+2)28k2
結(jié)合②得G卻實(shí)數(shù)2的取值范圍.
-A3
--------T>---
(l+A)2163A2-10A+3<01,°口,,
,=>—<幾<3且彳大1.
'A1A2-22+1>03
--------T<一
(1+Z)24
點(diǎn)R在點(diǎn)P和點(diǎn)。之間,
綜上,實(shí)數(shù)沈的取值范圍:(1,3)
8.已知拋物線C:^=2px經(jīng)過點(diǎn)尸(1,2),過點(diǎn)。(0,1)的直線/與拋物線C有兩個(gè)不同的交
點(diǎn)A,B,且直線R4交y軸于直線交y軸于N.
(I)求直線/的斜率的取值范圍;
(II)設(shè)。為原點(diǎn),QM=AQO,QN=〃Q。,求證:,+工為定值.
【解答】解:(I)拋物線C:V=2px經(jīng)過點(diǎn)尸(1,2),,4=2p,解得p=2,
設(shè)過點(diǎn)(0,1)的直線方程為y=京+1,A(w,%),B(X2,%)
聯(lián)立方程組可得,消y可得左2f+(2%-4)x+l=0,
[y=kx+1
.?.△=(2左一4)2—4^>0,且女中0解得左<1,
口?c21_1
.H.左W(J,石+馬-7—,不馬—,
又?叢、PB要與y軸相交,.■.直線/不能經(jīng)過點(diǎn)(1,-2),即4w-3,
故直線/的斜率的取值范圍(-8,-3)。(-3,0)U(0,1);
(II)證明:設(shè)點(diǎn)M(0,y“),N(0,yQ,
則QM=(0,加一1),20=(0,-1)
因?yàn)镼M=2。。,所以%-1=-N,故彳=1-%,同理〃=1-y”
直線心的方程為===
1-%]_江2+%
4
令彳=0,得力/=豆一,同理可得如=0:,
2+%2+%
因?yàn)?=」一+」-=2+2
入41一%1-Mv2-%2-%
8—2%%8-2(依+1)(仇+1)
(2—%)(2—%)1—左(石+%2)+42玉X2
2
8—2[kx^x2+左(玉+x2)+1]
4-2k
8-2(1++1)
k
4—2%
1-+1
k
4-2k
4-2x
k—2,
4—2%
2-
k
111工為定值.
/.—+—=2,.1----F
2AA
y
9.如圖,已知拋物線C:yZ=2px經(jīng)過點(diǎn)尸(1,2),過點(diǎn)。(0,1)的直線/與拋物線C有兩個(gè)不
同的交點(diǎn)A,B.
(1)求直線/的斜率的取值范圍;
(2)設(shè)。為原點(diǎn),直線上4交y軸于直線PB交y軸于N.OQ=4M。,OQ=/uNQ,
求證:%+〃為定值.
【解答】解:(1)拋物線C:y?=2px經(jīng)過點(diǎn)尸(1,2),;.4=20,解得p=2,
設(shè)過點(diǎn)(0,1)的直線方程為y=Ax+l,A(X],M),BQ2,%);
聯(lián)立方程組可得,
[y=kx+l
消y可得左2爐+(2左一4)%+1=0,
.?.△=(2左一4)2—442>0,且女中0解得左<1,
故直線/的斜率的取值范圍(-8,0)U(0,1);
(2)證明:設(shè)點(diǎn)M(0,y.),N(0QN),
則MQ=(O,1,OQ=(0,1);
因?yàn)镺Q=2M。,所以1=〃1-坨),故;l=—L—,同理〃=_L_,
IfIf
直線"的方程為丫-2="且5-1)=上*1)=」一D,
Ifl_yL_2-y,
4
令x=0,得%=0L,同理可得
2+必2+為
因?yàn)獒?〃=」一+'=2+"左=8-2%%
1-%i-yN2-%2-%(2-%)(2-%)
?-4_2k]、
8-2(何+1)(飽+1)_8-2M?為/+人(占+尤2)+1]+k+',
22
1-k{xx+x2)+kxxx21-k{xx+x2)+kx1x214-2、?1
k
即有/l+〃為定值.
10.已知點(diǎn)尸(1,2)在拋物線C:;/=2px上,過點(diǎn)。(0,1)的直線/與拋物線C有兩個(gè)不同的交
點(diǎn)A、B,且直線R4交y軸于/,直線尸3交y軸于N.
(1)求直線/的斜率的取值范圍;
(2)設(shè)。為原點(diǎn),QM=AQO,QN=〃QO,試判斷工+工是否為定值,若是,求工+工值;
AjU4"
若不是,求工+工的取值范圍.
24
【解答】解:(1)因點(diǎn)尸(1,2)在拋物線C::/=2/上,則22=2pL解得p=2,
所以拋物線C的方程為/=4%.
令直線/的斜率為左,則直線/方程為:y=kx+l,
由消去y并整理得,k2x2+2(k-2)x+l=0,
直線/與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、3,則.2“,2八,解得k<1且發(fā)#0,
又直線上4,PB與y相交,而點(diǎn)(1,-2)在拋物線C上,則直線/不能過點(diǎn)(1,-2),
否則R4或尸3之一平行于y軸,矛盾,因此女工-3,
綜上得:k<1,左力。且左H:—3,
所以直線/的斜率的取值范圍(-8,-3)D(-3,0)U(0,1).
(2)設(shè)點(diǎn)/(0,%),N(0,VN),QM=(0,yM-1),00=(0,-1),
而。M=X。。,貝!J2=1-y”,同理〃=1-%,
設(shè)A(%i,%),B(X2,%),
由公V+2(后一2)x+l=0,知天+X2=—筌3,玉々=土,
直線B4方程:y_2=^^(無一1),即1一2=^4。_1),則/_2=^—(x_l),
If]_5_2+y
4
令x=。,得%=0%,同理%=0%,
2+%2+y2
于是得J_+!=]+]=2+M+2+%=8-2%%=8-2(何+l)(g+D
_
X41-%1->N2-%2-%(2-%)(2-%)(1)(1~kx2)
只”沙2112左—4
2
_8-2[kxxx2+k(xx+x2)+1]_k2k?+_8左一2x4_2
1--占+/)+/玉%\\k2k~^\k2-\4%—4-,
k2k2
所以工+工為定值2.
2//
11.已知0M:(尤-1)2+,=工,直線/:尤=-工,動(dòng)圓N與:-Af相外切,且與直線/相切.設(shè)
-42
動(dòng)圓圓心N的軌跡為C,過點(diǎn)。(0,1)的直線/與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B.
(1)求直線/的斜率的取值范圍;
(2)設(shè)O為原點(diǎn),點(diǎn)P(l,2),直線以交y軸于直線交y軸于N,QM=AQO,
QN=fiQO,求證:,+工為定值.
A4
11*----------1
【解答】解:⑴由題意設(shè)N(羽y),且由題意可得x+[=J(x-iy+y2一3,
整理可得:y2=4.r;
所以曲線C的方程為:9=4尤;
由題意可得直線的的斜率存在且不為0,設(shè)直線鉆的方程為:y=kx+l,設(shè)A(x「%),
B?,%)
聯(lián)立直線與拋物線的方程:f,=丘+1,整理可得:k2x2+2(k-2)x+l=0,
[y=4尤
可得△=4(左一2)2-4公>0,解得左<1,且女工0,
所以直線/的斜率的取值范圍(-8,0)U(0,1).
k
(2)證明:由(1)可得:xl+x2=--~^-,再4=2,
直線班的方程為:y-2=^^(x-l),令x=0可得尸口^+2=1丑+2,可得
M—1X.—1Xy—1
M(0,Z^±l+2),
玉一1
一3+1+2,
同理可得N的坐標(biāo)%=
%2—1
由QN=piQO,可得,=2=1-,
所以
22左一4
XT?石一1_12玉%2一(石+冗2)k2*7
3='+」二2,
1
4〃l-yMl-yN(女一1居(k-l)x2k-1XxX2k-1
所以_L+_L為定值2.
22
12.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)橢圓E:三+[=13>6>0),其中6=a,
ab2
過橢圓E內(nèi)一點(diǎn)尸(1,1)的兩條直線分別與橢圓交于點(diǎn)A,C和3,D,且滿足AP=ZPC,
BP=APD,其中2為正常數(shù).當(dāng)點(diǎn)C恰為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí),對(duì)應(yīng)的2=3.
7
(1)求橢圓E的離心率;
(2)求a與6的值;
(3)當(dāng)2變化時(shí),左加是否為定值?若是,請(qǐng)求出此定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
【解答】(本小題滿分16分)
解:(1)因?yàn)?=且0,
2
所以加=34,整理得〃一°2=3儲(chǔ),即4°2=02,
444
所以離心率e=£=1.…(4分)
a2
(2)因?yàn)镃(a,O),A=-,
7
所以由4P=2尸C,得A(12—5。,空),…0分)
77
將它代入到橢圓方程中,
得(12—5,2+=解得。=2,
49a249x.
4
所以a=2,6=石.…(10分)
(3)解法一:設(shè)A&,y),B(X2,%),C(x3,%),D1,乂),
由A尸=4尸C,得1,...(12分)
22
又橢圓的方程為土+匕=1,
43
2222
所以由工+里=1,至+”=1,
4343
得3X:+4%2=120,M3(^—+1)2+4(^-^-+1)2=12@,
?14
12
22
由②得,-^[3(1-^)+4(1-yj]+-[3(1-^)+4(1-yi)]=5,
即![(3尤;+4y;)+7—2(3%+4%)]+1[7-(3%,+4^)]=5,
/_pAZT\/曰rA19+144—54?z八、
結(jié)合①,得3玉+4/=------------,...(14分)
2A+2
19+144-5萬
同理,有3%+4y2=
2X+2
所以3%,+4%=3X2+4%,
從而二A=—3,即左一3為定值.…(16分)
%-%244
(3)解法二:設(shè)A(%,%),B(X2,y2),C(%3,%),。(%,”),
fx+Ax.=1+4
由AP-PC,得「「
1%+丸%=1+4
L.E1[修+2%=1+4八、
同理24..(12分)
[為+2%=1+2
將A,3坐標(biāo)代入橢圓方程得卜J,%』?,
13%+4%=12
兩式相減得3(菁+々)(七一工2)+4(%+%)(%-%)=。,
即3(玉+%2)+4(必+%)勤=0,...(14分)
同理,3(%+/)+4(%+”)左CD=。,
而=kcD,所以3(毛+兄4)+4(必+為)配=°,
所以3A(X3+%4)+44(%+yJ^AB=0,
所以3(%+2X3+%2+丸%4)+4(%+4%+%+4y4)kAB=0,
即6(l+/l)+8(l+X)左=0,所以第8=-彳為定值.…(16分)
13.已知橢圓C:W+/=l(a>6>0)的離心率為電,右焦點(diǎn)為尸,過尸作x軸的垂線交
雙曲線工-/=1的兩條漸近線于E,G,得到三角形OEG的面積為1.
4
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)尸,M,N的三個(gè)點(diǎn)都在橢圓C上,設(shè)睦V的中點(diǎn)為。,且PO=2OQ,試判斷APM2V
的面積是否為定值,并說明理由.
【解答】解:(1)因?yàn)闄E圓C:5+/=13>6>O)的離心率為日,
所以a=應(yīng)c,
雙曲線9-丁=i的兩條漸近線的方程為>=±],
設(shè)FG=t,則OF=2t,
因?yàn)槿切蜲EG的面積為1,所以L2r-2f=l,所以"走,c=OF=2t=y/2,
22
a=yflc=2,
22
所以橢圓。的方程為土+匕=1;
42
(2)①當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí),
因?yàn)镻O=2O。,
所以。(-1,0),此時(shí)MN的方程為x=-l;
或。(1,0),此時(shí)的方程為x=l.
將x=—l,代入橢圓方程二+t=1得,M(T逅),N(—1,鳴,
4222
所以APMN的面積為,|A/N|?|尸。|=gx而x3=dF.
由橢圓軸對(duì)稱性得:當(dāng)MN的方程為x=l時(shí),APMN的面積也為偵;
2
②當(dāng)直線跖V的斜率存在時(shí),
設(shè)直線MN方程為y=kx+m,
設(shè)M{xx,y),N{X2,%),P(%3,%),
因?yàn)镸N的中點(diǎn)為。,且尸0=20。,所以APMN的重心是坐標(biāo)原點(diǎn)O,
所以…
[%+%+%=0
r2v2
聯(lián)立y=kx+m^—+=1,
得(2k1+l)x2+4hwc+2療一4=0,A=8(2+4jt2-m2),
Mz,A_L-4km2m2-4
*>0nnN'T,Xi+X)=------,--,
"22^+11-2k2+1
所以%=2:f:i,%=-(%+%)=—左(%+x2)—2m=-2::],
故尸(半,-告),
2k2+12k2+1
因?yàn)辄c(diǎn)尸在橢圓上,所以代入橢圓整理得力=3=,滿足△>(),
2
Op-1-1
因而用與人滿足的等式關(guān)系為①
2
J18(2+4^-〃,2)
當(dāng)△>()時(shí),
―2r+1-2r+1
因?yàn)锳PMN的重心是坐標(biāo)原點(diǎn)O,所以APMZV的面積為AOA/N的面積的3倍,
設(shè)直線/與y軸交于點(diǎn)£>,則D(O,in).
znrzzAL13A/8777-(2+Ak~~1TI~)
那么XPMN的面積為:3x-ODx-x=△——--------,
2X1l-22(2公+1)
關(guān)系式(i)代入得s=偵,
2
綜合①②得,APMN的面積為定值當(dāng)
2
22
14.雙曲線上:----^-r-=l(4z>0,Z?>0),已知Q(%o,%)(%()。土。)是雙曲線石上一'點(diǎn),A>B
ab~
分別是雙曲線后的左右頂點(diǎn),直線QA,Q5的斜率之積為1.
(I)求雙曲線的離心率;
(II)若雙曲線后的焦距為20,直線過點(diǎn)尸(2,0)且與雙曲線E交于M、N兩點(diǎn),若
MP=3PN,求直線/的方程.
【解答】解:(I)Q?,%)(/?!?。)是雙曲線石上一點(diǎn),
可得斗^=1,即"SV
由題意可得A(-a,0),B(a,0),
kk
^QA^QB
可得a
(II)由題意可得c=\/5\a=b=l9
雙曲線的方程為尤2-丁=1,
設(shè)直線/的方程為y=-x-2),(左。0,女。士1),聯(lián)立雙曲線的方程,
可得(1-左2)/+4左2%一1一4左2=0,
設(shè)加(西,乂),N(%2,%),
4k21+4F小
則mil占+々=_匚出,g=_,①
又MP=3PN,可得2-西=3(尤2-2),②
由①②可得%=?當(dāng),-4-2k2
1-k2
代入①可得3/=15,解得%=±行,
則直線I的方程為y=土石(x-2).
15.已知圓。:/+丁=2,過點(diǎn)A(l,l)的直線交圓。所得的弦長(zhǎng)為差,且與x軸的交點(diǎn)為
2
雙曲線E:r尤2-之V=1的右焦點(diǎn)尸(c,0)(02),雙曲線E的離心率為3.
a2b12
(1)求雙曲線E的方程;
(2)過點(diǎn)P(—,5)作動(dòng)直線/交雙曲線右支于/、N兩點(diǎn),點(diǎn)0異于M,N,且在線段
上運(yùn)動(dòng),并滿足關(guān)系此=也,試證明點(diǎn)。恒在一條直線上.
\PN\\ON\
【解答】解:(1)設(shè)過點(diǎn)A(l,l)的直線為y—1=左(九—1),
即為依一y+l—左=0,
圓心。到直線的距離為d=匕色
由弦長(zhǎng)公式可得2,產(chǎn)一屋=2也一屋=?,
解得
5
由解得左=一2或二.
y/1+ie52
則直線為y-l=_2(x_l),令y=0,貝|尤=:<2舍去,
或直線y-l=-g(x-l),令y=0,貝l|x=3>2成立,
即有c=3,
由離心率為3.即6=£=』.解得a=2,b—A/C2—a2=下.
2a2
22
則雙曲線E的方程為上-乙=1;
45
設(shè)過點(diǎn)尸(一,5)作動(dòng)直線/交雙曲線右支于%)、N(x2,%)兩點(diǎn),
點(diǎn)Q(x,y),
則5龍;-4y;=20,54-4yf=20,
\PM\\MQ\,
|PN|一|ON|'
;?設(shè)需=^5則,MQjQN,
則,—川J%+生-x,%一2%=5%+?為,7
1-2-3'1+2―.,1-A—'1+2―,'
玉-Zx玉+AX_4弘一必
則22——xXM+2%
1-A1+231-21+2
玉2-A2X2_4]
即2
1-2231-22
則5x『-4x5"淬產(chǎn)4M2一422%2_5%24yJ一分每2—4%?)20-2022
1-22—-1-A21-22
4
即—x-4y=4,
即x—3y=3,
故%-3丁一3二0,
故點(diǎn)。恒在一條直線上%-3,-3=。.
22
16.點(diǎn)尸在以月,罵為焦點(diǎn)的雙曲線方=l(q>0,6>0)上,已知尸丑尸鳥,
|「耳|=2|「乙|,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(I)求雙曲線的離心率e;
(II)過點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于/;,g兩點(diǎn),且?!?-日,
2PP.+PP.=0,求雙曲線E的方程;
(III)若過點(diǎn)。(加,0)(根為非零常數(shù))的直線/與(2)中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂
點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N,且MQ=XQN(X為非零常數(shù)),問在x軸上是否存在定點(diǎn)G,使
片鳥_L(GM-XGN)?若存在,求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【解答】解:(I)\PFl\=2\PF2\,\PF1\-\PF2\=2a,.[尸用=4。,\PF2\=2a
222
PF,1PF2(M+(2a)=(2c):.e=y/5
22
u吟
漸近線為y=±2x設(shè)6(網(wǎng),2占),P2(x2,-2%),P(x,y)
279
OR,OF^——3飛%2=—~,??玉w=a,
2PPX+PPZ=O
._2%+々_2(2%-x2)
代入E化簡(jiǎn)占了2=:。2,,。2=2
(HI)假設(shè)在X軸上存在定點(diǎn)GQ,O)
使用8_L(GM-/IGN),
設(shè)/:彳=勿+租,Af(%,,%),N(x4,%)
聯(lián)立I與E的方程得(4F-1)丁+8kmy+4病_8=0
-8km
(1)
~4k2-l
故,
4m2-8...
-九
GMGN={x3-t-AX4+At,y3-2yJ月8=(2何,0)
F,F21(GM-AGN)ox3-t-Ax4+At=0ok(y3-A,y4)+(l-A.)m+(2-l)r=0(3)
由MQ=AQNy3+Ay4=0/.y3=-Ay4(4)
.-.(3)即為263+(1-4)m+(4-1?=0(5),將(4)代入(1)(2)
2_??
有為=(XT)“m代入(5)得r=上
2kmm
2
故在x軸上存在定點(diǎn)G(—,0)使FF1(GM-4GN).
mX2
22
17.設(shè)直線/:y=x+〃z,雙曲線£:二-與=1(a>0,6>0),雙曲線的離心率為6,/與E交
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