滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)常見題型專練：比例線段（5種題型）（解析版）

第06講比例線段（5種題型）

O【知識(shí)梳理】

一.相似圖形

（1）相似圖形

我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形.

（2）相似圖形在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用非常廣泛，對(duì)于相似圖形，應(yīng)注意：

①相似圖形的形狀必須完全相同；

②相似圖形的大小不一定相同；

③兩個(gè)物體形狀相同、大小相同時(shí)它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況.

（3）相似三角形

對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形.

比例的性質(zhì)

（1）比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng).兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做

比例的內(nèi)項(xiàng).

（2）常用的性質(zhì)有：

①內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積.若包=3，則

bd

②合比性質(zhì).若旦=義，則空曳=￡曳.

bdbd

③分比性質(zhì).若包=2,則目二

bdbd

④合分比性質(zhì).若2=2,則生也=￡生.

bda-bc-d

⑤等比性質(zhì).若且=2=3=皿（b+d+…+/W0）,則丘葉.......—.

bdnb+d+...+nn

三.比例線段

（1）對(duì)于四條線段。、b、c、d,如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，如ab

=cd（即ad=bc）,我們就說這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.

（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之

比是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長(zhǎng)度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系.

四.黃金分割

（1）黃金分割的定義：A8

如圖所示，把線段42分成兩條線段AC和2C（AOBC）,且使AC是4B和BC的比例中項(xiàng)（KPAB：AC

=AC：BC）,叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段A8的黃金分割點(diǎn).

其中AC=GJ"0.61808,并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).

2

（2）黃金三角形：黃金三角形是一個(gè)等腰三角形，其腰與底的長(zhǎng)度比為黃金比值.

黃金三角形分兩種：①等腰三角形，兩個(gè)底角為72°,頂角為36°.這樣的三角形的底與一腰之長(zhǎng)之比為

黃金比：近二1；②等腰三角形，兩個(gè)底角為36。，頂角為108°；這種三角形一腰與底邊之長(zhǎng)之比為黃金

2

比：后T.

2

（3）黃金矩形：黃金矩形的寬與長(zhǎng)之比確切值為返二1.

2

五.平行線分線段成比例

（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

（2）推論1：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平

行于三角形的第三邊.

（3）推論2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交的直線，所截得的三角形的

三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.

W【考點(diǎn)剖析】

相似圖形（共2小題）

1.（2022秋?蛹橋區(qū)期中）下列各組圖形中，一定相似的是（）

A.任意兩個(gè)正方形B.任意兩個(gè)平行四邊形

C.任意兩個(gè)菱形D.任意兩個(gè)矩形

【分析】根據(jù)相似圖形的概念進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A、任意兩個(gè)正方形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比也相等，故一定相似，符合題意；

8、任意兩個(gè)平行四邊形對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，對(duì)應(yīng)角也不一定相等，故不一定相似，不符合題意；

C、任意兩個(gè)菱形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，但對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似，不符合題意；

。、任意兩個(gè)矩形對(duì)應(yīng)角相等，但對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，故不一定相似，不符合題意，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似圖形的概念，掌握對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的多邊形，叫做相似多邊形

是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?泗縣期中）下列各組圖形中，一定相似的是（）

A.兩個(gè)矩形B.兩個(gè)菱形

C.兩個(gè)等腰三角形D.兩個(gè)正方形

【分析】根據(jù)相似圖形的概念進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A、任意兩個(gè)矩形對(duì)應(yīng)角相等，但對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，故不一定相似，不符合題意，

8、任意兩個(gè)菱形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，但對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似，不符合題意；

C、任意兩個(gè)等腰三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，但對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似，不符合題意；

。、任意兩個(gè)正方形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比也相等，故一定相似，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似圖形的概念，掌握對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的多邊形，叫做相似多邊形

是解題的關(guān)鍵.

比例的性質(zhì)（共8小題）

3.（2023?無為市一模）若3a=46（ab豐0）,則下列比例式成立的是（）

A.包2B.包2C.包/D.包用

4334b44b

【分析】根據(jù)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積即可得出正確選項(xiàng).

【解答】解：V3a=4ZJ（MW0）,

??tz：4=Z?：3,

??a?—b——,

43

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)：兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，熟記比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?蒙城縣期末）已知工甚三，求工的值.

23x

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)化簡(jiǎn)得y=2x,即可得出答案.

【解答】解：由工色工，得3y=2（2y-x）,

23

化簡(jiǎn)，得y=2x,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查比例的性質(zhì)，正確變形是解題的關(guān)鍵.

5.（2022秋?寧國(guó)市期末）已知：工工三,求它經(jīng)三的值.

2342x

【分析】直接利用已知設(shè)x=2a,y=3a,z=4a,進(jìn)而代入得出答案.

【解答】解：?.任々生，

234

?y=3〃，Z=4Q,

?x+y+z=2a+3a+4a_9a=9

2x~2X2a4aT

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確用同一未知數(shù)表示出各數(shù)是解題關(guān)鍵.

6.（2023?合肥一模）若色土那么巨的值等于（）

a4a

A.AB.$C.-2D

425-4

【分析】把國(guó)土=3化成1-k=l,即可求出2的值.

a4a4a

【解答】解：：反土二，

a4

1-電=旦，

a4

?.?—b_——1.

a4

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的運(yùn)算，掌握分式的運(yùn)算法則是關(guān)鍵.

7.（2022秋?安徽期中）若三=工，則絲匕=（）

25X

A.AB.A2c.9

255

【分析】利用比例的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：?..三=工，

25

?-?—y=―5,

X2

.2x+y

=2+工

=2+$

2

—_—9,

2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.（2022秋?迎江區(qū)期中）已知線段°、6、c滿足包&一且a+26+c=26.

326

（1）求。、b、c的值；

（2）若線段x是線段。、。的比例中項(xiàng)，求x.

【分析】（1）設(shè)比值為比然后用人表示出a、b、C,再代入等式求解得到怎然后求解即可；

（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義列式求解即可.

【解答】解：（1）設(shè)旦=上=￡_=左，

326

貝!Ja—3k,b=2k,c=6k,

所以，3Z+2X2k+6左=26,

解得k=2,

所以，〃=3義2=6,

匕=2義2=4,

c=6X2=12；

（2）???線段x是線段〃、Z7的比例中項(xiàng)，

.??/=而=6*4=24,

；?線段尤=2五.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，比例線段，利用“設(shè)人法”用左表示出a、b、C可以使計(jì)算更加簡(jiǎn)便.

9.（2022秋?金安區(qū)校級(jí)月考）已知包=2=且=2,且6+我后0.

bdf

（1）求也巨的值；

b+d+f

（2）若b-2d+3于=5,求a-2c+3e的值.

【分析】（1）利用等比性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答；

（2）利用等比性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：（1）:2=2=旦=2,且6+我用0,

bdf

?a+c+e_9

b+d+f

??.Ac+e的值為2；

b+d+f

（2）,包=￡=且=2,

bdf

???a—---2-c-—_3e乙_，0

b-2d3f

?a-2c+3e9

b-2d+3f

■:b-2d+3/=5,

：.a-2c+3e=2X5=10,

：.a-2c+3e的值為10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握等比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2022秋?宣州區(qū)期末）（1）若三求x-y+z的值;

357x+y-z

（2）若且2a-6+3c=21,求a：b：c.

346

【分析】（1）設(shè)比值為比然后用左表示出尤、y、Z,再代入代數(shù)式即可解答；

（2）設(shè)比值為匕然后用上表示出a、b、c,再代入等式求出發(fā)值，然后相比即可.

【解答】解：（i）設(shè)三J」=k'

357

??X=3Z,y~~5kfz=7上,

?x-y+z3k-5k+7k5k_5.

x+y-z3k+5k-7kk

（2）設(shè)史2&上電=總

346

貝!Ja=3Z-2,b=4k,c=6k-5,

所以，2（3左-2）-4k+3（6k-5）=21,

解得k—2,

所以a=6-2=4,6=8,c—1,

所以a：b：c=4：8：7.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)左法”表示出。、6、c是解決本題的關(guān)鍵.

三.比例線段（共7小題）

11.（2023?廬陽區(qū)校級(jí)一模）已知線段a=9,匕=4,則線段。和b的比例中項(xiàng)為6.

【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的概念，當(dāng)兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相同時(shí)，就叫比例中項(xiàng)，再列出比例式即可得出結(jié)果.

【解答】解：設(shè)線段〃和b的比例中項(xiàng)為C,

b=4,

.?旦=￡_

cb

?\c1=ab=4X9=36,

解得：c=±6,

又??,線段不能是負(fù)數(shù)，

-6舍去,

??c1—-6,

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】考查了比例中項(xiàng)的概念，掌握比例中項(xiàng)的概念是解決問題的關(guān)鍵.

12.（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）已知三條線段。、b、c,其中a=lc?z,b=4cm,c是a、6的比例中項(xiàng)，則c

—2cm.

【分析】由c是a、b的比例中項(xiàng)，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，列出比例式即可得出線段c的長(zhǎng)，注意線段不

能為負(fù).

【解答】解：根據(jù)比例中項(xiàng)的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)，得：比例中項(xiàng)的平方等于兩條線段的乘積.

所以C2—4X1,

解得：c=±2（線段是正數(shù)，負(fù)值舍去）.

則c=2cm.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例線段；理解比例中項(xiàng)的概念，這里注意線段不能是負(fù)數(shù).

13.（2022秋?金安區(qū)校級(jí)月考）已知線段a,b,c滿足a：b：c=2：3：4,且a+b-c=3.

（1）求線段a,b,c的長(zhǎng).

（2）若線段是線段a,6的比例中項(xiàng)，求線段機(jī)的長(zhǎng).

【分析】（1）利用a：b：c—2：3：4,可設(shè)a=2怎b—3k,c=4k,由a+i>-c=3得2左+3左-4%=3,然后

解出左的值即可得到。、b、c的值；

（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義得到加2=湖，gpm2=6X9）然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解.

【解答】解：（1）Va：b：c=2：3：4,

.\a=2k,b=3k,c=4k,

a+b-c=3,

-k-Ak=3,

解得k=3,

??〃=6,Z?=9,c~~12；

（2）???加是〃、b的比例中項(xiàng)，

?tin—■ab,

???m2=6X9,

:?％=3加或x=-3加（舍去），

即線段m的長(zhǎng)為3^6?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段：對(duì)于四條線段。、b.c.d,如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）

與另兩條線段的比相等，如。：b=c：d（即Qd=bc）,我們就說這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線

段.注意利用代數(shù)的方法解決較為簡(jiǎn)便.

14.（2022秋?宣城月考）若Gb=l：2,且人是〃，c的比例中項(xiàng)，則兒c等于（）

A.1：3B.1：2C.2：3D.2：1

【分析】由6是a,C的比例中項(xiàng)，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義可得：曳上，再結(jié)合G6=1：2即可解答.

bc

【解答】解：?.?匕是〃，c的比例中項(xiàng),

???—a二b，

bc

Z?=l：2,

.?上一_」，即6：c=l：2,

cb2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了比例線段、比例中項(xiàng)的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟記比例中項(xiàng)的定義及其變形是解題關(guān)

鍵.

15.（2023?亳州模擬）如圖，點(diǎn)尸把線段AB分成兩部分，且2尸為AP與A3的比例中項(xiàng).如果A2=2,那

么AP=3-75.

APB

【分析】根據(jù)黃金分割的定義結(jié)合已知條件得BP=Y1二LAB,即可得出結(jié)論.

2

【解答】解：???點(diǎn)P把線段48分成兩部分，且8尸為AP與的比例中項(xiàng)，

：.BP2=AB'AP,

:.BP=^"AB=^"

*2=旄-1，

22

：.AP=AB-BP=2-（V5-1）=3-、底

故答案為：3-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是黃金分割的概念，把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線

段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割.

16.（2022秋?埔橋區(qū)期中）求證：三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例.

【分析】過C作CE〃D4,交8A的延長(zhǎng)線于E,根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖所示，即為所求,

已知：△ABC中，N8AC的平分線交BC于點(diǎn)

求證:M

證明：過C作CE〃D4,交BA的延長(zhǎng)線于E.

是角平分線,

?,.Z1=Z2.

：./3=/E,

J.AC^AE,

又空迪

AEDC

.AB=BD

,■ACDC'

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查比例線段，關(guān)鍵是正確畫出圖形，理清圖中角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

17.（2022秋?無為市期中）（1）已知包上且a+6-2c=6,求a的值.

654

（2）已知線段。=4c:w,線段6=9cm線段c是線段a,6的比例中項(xiàng)，求線段c的長(zhǎng).

【分析】（1）利用設(shè)左法進(jìn)行計(jì)算即可解答；

根據(jù)線段比例中項(xiàng)的概念得出a：c=c：b,再根據(jù)a=4cm,b=9cm,求出c的值，注意把負(fù)值舍去.

【解答］解：（1）設(shè)包&=￡=4，

654

:?a=6k,b=5k,c=4k,

*.*a+b-2c=6,

：?6k+5k-8k=6,

:.k=2,

??〃=6斤=12,

??.〃的值為12；

（2）?.?線段c是線段a和笠的比例中項(xiàng),a=4cm,b=9cm,

.*.c2=tzZ?=36,

解得：c=±6,

又??,線段長(zhǎng)是正數(shù)，

.*.c=6cm.

【點(diǎn)評(píng)】（1）考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握設(shè)左法進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

（2）考查了比例線段，寫比例式的時(shí)候一定要注意順序，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行求解.

四.黃金分割（共7小題）

18.（2023?灘溪縣模擬）如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)、,若A8=AC=CZ）=2,ZADB=108°,則

AD的值為（）

A.V5-1B.3-VsC.叵D.Vs

2

【分析】先證明AD=BD,設(shè)AD=BD=x,則BC=2+x.作AELBC于點(diǎn)E,根據(jù)AD2-DE^^AC2-

CF列方程求解即可.

【解答】解：???/AO8=108°,

.\ZCDA=180°-108°=72°.

\9AB=AC=CD=2,

：.ZCAD=ZCDA=72°,

AZB=ZC=180°-72°-72°=36°,

AZBAD=ZCDA-ZB=36°,

：.AD=BD.

設(shè)AZ)=5Z)=x,則5C=2+x.

如圖，作于點(diǎn)E,

9：AB=AC=CD=2,

?"?BE=CE=yBC=l+yx'

?■?DE=CD-CE=l^-x-

,/AD2-DE2=AC2-CEr,

22

X2-(1-^x)=22-(l-?^-x)'

解得xi=4^-rxi=-點(diǎn)-i(舍去)?

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰二角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

19.(2022秋?安徽期中)若線段MN的長(zhǎng)為2c〃z,點(diǎn)尸是線段MN的黃金分割點(diǎn)，則最短的線段的長(zhǎng)

為()

A.(>/5-1)cmB.、5-]cwzC.(3-、后)cmD.cm

22

【分析】較長(zhǎng)的線段MP的長(zhǎng)為xcm則較短的線段長(zhǎng)是(2-X)cm.根據(jù)黃金分割的定義即可列方程

求解.

【解答】解:較長(zhǎng)的線段MP的長(zhǎng)為X?！保瑒t較短的線段長(zhǎng)是(2-x)cm.

則/=2(2-x),

解得-1或-y/s-1(舍去).

較短■的線段長(zhǎng)是2-(-1)=3-JG(cm)

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，與一元二次方程的解法，正確理解黃金分割的定義是關(guān)鍵.

20.(2022秋?宣城期末)如果點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)(AOBC),那么下列結(jié)論正確的為()

A.ifiQB.里亞TC.BC2^ACABD.AC2=BC?AB

ABBC2

【分析】根據(jù)黃金分割的概念進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：：點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AOBC,

是8C和的比例中項(xiàng)，即些.遍-1,

ACAB2

：.AC2=ABBC,

選項(xiàng)A、B、C結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)。結(jié)論正確，符合題意,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線段是解決問題

的關(guān)鍵.

21.(2022秋?埔橋區(qū)期中)若線段AB=2c機(jī)，C是A8的黃金分割點(diǎn)，MBOAC,則8C的長(zhǎng)為()

A.、5+1cB.(V5~l)cmC.-]5D.(^5+1}cm

zM

22

【分析】利用黃金分割的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：：點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，5.BC>AC,AB=2cm,

:.BC=^一148=立X2=(V5-1)cm,

22

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵.

22.(2023?雨山區(qū)一模)數(shù)學(xué)中，把返二1這個(gè)比例稱為黃金分割比例.鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半

2

徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如圖，尸是A3的黃金分割點(diǎn)(AP>BP),若線段AB

的長(zhǎng)為8cm,則BP的長(zhǎng)為(12-)___cm.

B

【分析】根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：：點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)（AP>8P）,線段AB的長(zhǎng)為8c%,

?AP小T

??-=------,

AB2

??AP='^>21X8=（4^/5-4）。”'

BP=AB-AP=12-4^5.

故答案為：（12-4遙）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割的比例線段，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵.

23.（2022秋?霍邱縣期中）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點(diǎn)P是線

段A8（AP>BP）上一點(diǎn)，若滿足里,里二1,則稱點(diǎn)P是A8的一個(gè)黃金分割點(diǎn).黃金分割在日

APAB2

常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺最好.若

舞臺(tái)長(zhǎng)20米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)點(diǎn)8進(jìn)入，則他至少走多少米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上？（結(jié)果

保留根號(hào)）

APB

【分析】根據(jù)黃金分割的概念，可求出4P,BP,即可求解.

【解答】解：由題意知AB=20米，BP^AP=^5-1,

APAB2

???研=20乂^^=（13-10）米，

???BP=20-（1075-10）=（30-10V5）米，

答：主持人從舞臺(tái)一側(cè)點(diǎn)8進(jìn)入，則他至少走（30-10灰）米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線段是解決問題的

關(guān)鍵.

24.（2023?合肥一模）設(shè)點(diǎn)C是長(zhǎng)度為8c機(jī)的線段的黃金分割點(diǎn)（AOBC）,貝。AC的長(zhǎng)為.而望

【分析】根據(jù)黃金比值為痣二1計(jì)算即可.

2

【解答】解：：點(diǎn)C是長(zhǎng)度為8cm的線段A8的黃金分割點(diǎn)，AOBC,

.?.AC=?-145=4^5-4(cm),

2

故答案為：4ym-4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是黃金分割的概念和黃金比值，把線段A8分成兩條線段AC和BC（AOBC）,且

使AC是和8c的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割.

五.平行線分線段成比例（共8小題）

25.（2023?鏡湖區(qū)校級(jí)一模）如圖，如圖，在△ABC中，D、E分別在邊AB,AC±,DE//BC,處二,

DB2

AE=9,則EC的長(zhǎng)度為（）

A.4B.6C.12D.15

【分析】由DE//BC,得嫗?，進(jìn)而即可求解.

ECDB

【解答】解：；DE〃BC,

?.?-A-E--A-D---3,

ECDB2

?.?-9---3,

EC2

；.EC=6.

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線截線段成比例定理，掌握平行線截得的對(duì)應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵.

26.（2023?蕭縣一模）如圖，五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A,

B,C都在橫線上.若線段AB=5,則線段8c的長(zhǎng)是（）

52

【分析】過點(diǎn)A作平行橫線的垂線，交點(diǎn)8所在的平行橫線于交點(diǎn)C所在的平行橫線于E,根據(jù)平

行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可.

【解答】解：過點(diǎn)A作平行橫線的垂線，交點(diǎn)8所在的平行橫線于D交點(diǎn)C所在的平行橫線于E,

BCDEBC

解得：BC=^,

2

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

27.（2022秋?霍邱縣期中）如圖，a//b//c,直線如"與a,6,c分別相交于點(diǎn)A,B,C和點(diǎn)D,E,F.若

AB：BC=2：3,DF=10,求EV的長(zhǎng).

【分析】根據(jù)兩條直線被一組平行線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例，求解即可.

【解答】-：a//b//c,

?.A?-B--D--E,

BCEF

VAB：BC=2：3,DF^IQ,

.10-EF2

??-----=--,

EF3

:.EF=6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，掌握

平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵.

28.（2022秋?潛山市月考）如圖，點(diǎn)、F、D、E分別在△ABC的邊A3、AC上，已知。E〃8C,FE//CD,

AF=3,AD=5,求48的長(zhǎng).

A

【分析】平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：；FE〃CD,AF=3,AD=5,

?AF=AE

'ADAC'

.AE=3

'AC

JDE//BC,

?AD=AE

'ABAC'

.5=3

'ABS'

故AB的長(zhǎng)為空.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵.

29.（2022秋?長(zhǎng)豐縣校級(jí)期末）如圖，已知A8〃CD〃EF,那么下列結(jié)論正確的是（）

C入D

CDADDF_BCAD_BEAD_BC

CB=DFAD=CEAF=BCDF'CE

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理逐個(gè)判斷即可.

【解答】解：A.,：AB//CD//EF,

B.'：AB//CD//EF,

.?.更=%,故本選項(xiàng)不符合題意;

ADBC

C.\"AB//CD//EF,

.?.嶇=幽，故本選項(xiàng)不符合題意；

AFBE

D."：AB//CD//EF,

.?.嶇=幽，故本選項(xiàng)符合題意；

DFCE

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解

此題的關(guān)鍵.

30.（2023?蜀山區(qū)二模）如圖，在△ABC中，ZACB=9Q°,角平分線BE與中線C。交于點(diǎn)凡若AC=

16,BC=12,則巫的值為（）

BF

【分析】作于8，延長(zhǎng)C。到M,使DM=CD,連接由勾股定理求出A8的長(zhǎng)，由三角形

面積公式求出CE的長(zhǎng)，由名△ADC（SAS）,得到BM=AC=16,ZM=ZECF,得至U

推出因此世1=理=且_=旦.

BFMB168

【解答】解：作EH_LAB于”，延長(zhǎng)CZ）到使QM=CD,連接

VZACB=90°,AC=16,BC=12,

-'-AB=VAC2+BC2=20,

尸平分NABC,

:.EH=EC,

VAABC的面積=的面積+△BCE的面積,

-1AC?BC=—AB-EH+^BC'CE,

222

.,.16X12=20CE+12C￡,

:.CE=6,

'：AD=BD,NADC=/BDM,

：.^BDM^AADC(SAS),

：.BM=AC=16,ZM=ZECF,

：.CE//MB,

:.ACEFsAMBF,

?EF=CE=_6_=2

??麗MB16S-

故選：B.

虞

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，關(guān)

鍵是通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形，相似三角形.

31.（2022秋?固鎮(zhèn)縣校級(jí)期中）如圖，AB//CD//EF,A尸與BE相交于點(diǎn)G,且AG=4、GD=2、。尸=8,

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可.

【解答】'JAB//CD//EF,

?BC=AD

,CEDF，

：AG=4,GD=2,DF=8,

.BC_2+4_3

'CE~3~1'

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

32.（2023?固鎮(zhèn)縣一模）如圖，互相垂直的兩條公路AM、AN旁有一矩形花園ABC。，其中AB=30米，AD

=20米.現(xiàn)欲將其擴(kuò)建成一個(gè)三角形花園APQ,要求P在射線AM上，。在射線AN上，且尸。經(jīng)過點(diǎn)

C.

(1)。0=10米時(shí)，求△APQ的面積.

(2)當(dāng)。。的長(zhǎng)為多少米時(shí)，△APQ的面積為1600平方米.

【分析】(1)由。C〃AP,得到毀=型，代入數(shù)據(jù)求得AP=90,于是得到結(jié)論;

AQAP

(2)設(shè)￡>Q=尤米，則AQ=x+20,根據(jù)平行線分線段成比例定理得到阿=或，得到方程^^=司1,

QAAPx+20AP

求出”=30(x+20),解一元二次方程即可得到結(jié)論.

【解答】解：⑴'：DC//AP,

?QD=CD

AQAP

?20=30

*'30AP

；.AP=90,

FAPQ=/AQ?AP=1350米2；

(2)設(shè)OQ=尤米，貝1]4。=尤+20,

"."DC//AP,

.QD=DC

"QAAP'

,——30

??x+20一而,

.AP—30(x+20)

X

由題意得—x-3(j^x+20-'.X(x+20)=1600,

2x

化簡(jiǎn)得37-200x+1200=0,

解x=60或型■.

3

經(jīng)檢驗(yàn)：尤=60或型是原方程的根，

3

：.DQ的長(zhǎng)應(yīng)設(shè)計(jì)為60或俳米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例，求三角形的面積，一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握平行線分

線段成比例定理是解題的關(guān)鍵.

廿【過關(guān)檢測(cè)】

一、單選題

1.（2022秋?安徽六安?九年級(jí)統(tǒng)考期末）生活中到處可見黃金分割的美，如上圖，在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)：使雕

像的腰部以下。與全身b的高度比值接近0.618,可以增加視覺美感，若圖中6為2米，則。約為（）.

A.1.52米B.1.38米C.1.42米D.1.24米

【答案】D

【分析】根據(jù)線段比例的定義列出a,b的比例關(guān)系，再代入6的值求a即可；

【詳解】解：回雕像的腰部以下“與全身6的高度比值接近0.618,

0-^0.618,

b

勖為2米，

0（1=2x0.618=1.236=1.24（米）；

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了線段的比例：若。鼬=左，說明。是6的左倍；掌握線段比例的概念是解題關(guān)鍵.

2.（2023春?安徽安慶?九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知?=9=；=-3,則（）

bdfa-c+2e

11

A.—3B.3C.—D.

33

【答案】C

【分析】由:=；=彳=一3,可得a=-36,c=-3d,e=-3f,再代入計(jì)算即可.

bdf

【詳解】解：畤=。=/=-3

bdf

團(tuán)a=-3b,c=-3d,e=-3/,

b-d+2fb-d+2fb-d+2f1

a-c+2e-3b+3d-6f-3（b-d+2f）3'

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是比例的基本性質(zhì)，熟練地把比例式化為等積式是解本題的關(guān)鍵.

3.（2023春?安徽合肥?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若5。=66彳0,則2的值是（）

a

5611

A.—B.—C.—D.一

6556

【答案】A

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：回5a=6bw0,

回。70,b^O,

故將等式5a=6b兩邊都除以6a,

得：（=-,

6a

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?安徽蚌埠?校聯(lián)考一模）主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺最

好.若舞臺(tái)長(zhǎng)20米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)進(jìn)入，設(shè)他至少走X米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上（BP長(zhǎng)為

尤），則x滿足的方程是（）

III

APB

A.（20-X）2=20XB.x2=20（20-%）

C.x（20-x）=202D.以上都不對(duì)

【答案】A

【分析】點(diǎn)尸是A3的黃金分割點(diǎn)，且尸PB=x,則PA=20T,則空=空，即可求解.

APAB

BPAP

【詳解】解：由題意知，點(diǎn)尸是AB的黃金分割點(diǎn)，且*尸A,PB=x,則P-/"

:.AP2=BP?AB，

...(20—尤y=20元.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線段是解決問題的關(guān)

鍵.

5.（2022秋?安徽滁州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）若線段AB=2,點(diǎn)P是線段A2的黃金分割點(diǎn)，且第，則

AP的長(zhǎng)為（

A,上音?A/5-I

D.----------------C.3-75D.75-1

22

【答案】D

【分析】根據(jù)黃金分割的定義即可解答.

【詳解】解：回點(diǎn)P是線段A3的黃金分割點(diǎn)，且釬＞旅,

回4尸=叵口

AB=y[5-l,

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了黃金分割，應(yīng)該熟記黃金分割的公式：較長(zhǎng)線段二原線段長(zhǎng)的鋁倍，熟練掌握上述

知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

6.（2022秋?安徽六安?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，乙〃4〃4,兩條直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)4

三3,則蕓DF的值為（）

2DF

23

C.一D.-

2355

【答案】D

DEAft

【分析】由黑==，設(shè)AB=3a則3c=2。，根據(jù)平行線分線段成比例得DF就,代入計(jì)算即通

nC2

Afi3

【詳解】解：

nC2

設(shè)4^=3〃貝lj5C=2a,

I.//l2//l3,

3a

團(tuán)-D-E-=-A--B=---A--B--3

DFACAB+BC3a+2a5

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是找到對(duì)應(yīng)線段成比例.

7.（2023秋?安徽池州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB〃CD〃￡F,那么下列結(jié)論正確的是（）

BCADBEADBC

C.-----=------

CBDFADCEAFBC~DF~~CE

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理逐個(gè)判斷即可.

【詳解】解：A.^\AB//CD//EF,

?祟除有,故本選項(xiàng)不符合題意;

DFCECB

B.^\AB//CD//EF,

團(tuán)D蕓F=C笠F，故本選項(xiàng)不符合題意;

ADnC

C.^AB//CD//EF,

故本選項(xiàng)不符合題意;

AFBE

D.^AB//CD//EF,

團(tuán)票=含，故本選項(xiàng)符合?

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此

題的關(guān)鍵.

8.（2022秋?安徽宿州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各組線段中，成比例的是（）

A.2cm,3cm,4cm,5cmB.2cm,4cm,6cm,8cm

C.3cm,6cm,8cm,12cmD.lcm,3cm,5cm,15cm

【答案】D

【分析】分別計(jì)算各組數(shù)中最大與最小數(shù)的積和另外兩數(shù)的積，然后根據(jù)比例線段的定義進(jìn)行判斷即可得

出結(jié)論.

【詳解】解：A、02x5^3x4,回選項(xiàng)A不成比例；

B、02x8^4x6,團(tuán)選項(xiàng)B不成比例；

C、133x12w6x8,回選項(xiàng)C不成比例；

D、01x15=3x5,團(tuán)選項(xiàng)D成比例.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段，解題關(guān)鍵是掌握判斷四條線段是否成比例的方法.

9.（2022秋?安徽蕪湖?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線《〃"〃心若等于2,BC=4,DE=3,則線

段E產(chǎn)的長(zhǎng)為（）

【答案】B

【分析】已知直線/"4/4，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得到一個(gè)含有昉與已知線段的比例式，

從而可求得政的長(zhǎng).

【詳解】解：回直線4〃4〃4，

ABDE

"BC~EF

,2_3

"4-

EF=6,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，掌握三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例是解題

的關(guān)鍵.

Ar）9

10.（2022秋,安徽滁州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，DE//BC,—若AC=8,貝U

DB3

EC=)

BC

2416832

A.—B.—C.-D.—

5555

【答案】A

A/zAr)9a

【分析】根據(jù)平行線所截線段成比例可知替=M=:,貝U有名=1然后問題可求解.

ECDB3AC5

AD0

【詳解】解：^\DE//BC,黑=

DB3

AEAD2

團(tuán)---=---=一，

ECDB3

EC3

團(tuán)—=—,

AC5

團(tuán)AC=8,

324

團(tuán)￡C=—AC=——；

55

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線所截線段成比例，熟練掌握平行線所截線段成比例是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.（2022秋?安徽宿州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）若。=4cm,>=9cm,則線段a,b的比例中項(xiàng)是cm.

【答案】6

【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義可求得c的值.

【詳解】解：設(shè)線段a,b的比例中項(xiàng)是xcm,

團(tuán)〃=4cm,Z?=9cm,

^lx2=ab=36f

取=6cm.

故答案為：6

【點(diǎn)睛】本題主要考查比例中項(xiàng)的定義，掌握若c為a、6的比例中項(xiàng)，則有，="是解題的關(guān)鍵.

12.（2023,安徽滁州??？家荒＃┮阎龡l線段“、b、c,其中°=1cm,6=4cm,c是。、匕的比