河南省新鄉(xiāng)市2024-2025學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

河南省新鄉(xiāng)市2024-2025學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

2024.12

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡

上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z==會則|z|=

A.72B弓C.lD.2

2.函數(shù)/(%)="_2eXT+5的圖象在點(1,f(l))處的切線方程是

A.y=5x-lB.y=x+lC.y=-x+5D.y=x+3

3.為了增強學(xué)生的體質(zhì)，某中學(xué)每年都要舉行一次全校一分鐘跳繩戚數(shù)(人數(shù))

8

測試.已知某次跳繩測試中，某班學(xué)生的一分鐘跳繩次數(shù)的頻數(shù)5

-2

分布直方圖如圖所示，則該班學(xué)生一分鐘跳繩次數(shù)的中位數(shù)的估9

8

6

計值為(結(jié)果精確到整數(shù))3

A.127B.136

80100120140160180跳繩次數(shù)

C.133D.138

4.若函數(shù)/(%)=，%-%2應(yīng)(%)=ln(a-2x)的定義域分別為A,B,且

力n8=則f(a)=

11

A.OB.-C.-D.1

4Z

5.若直線l:y=x+m與圓。(久一2)2+。+5)2=16的兩個交點為人，B,且|4B|=2四,則m=

A.—11或-3B.-9或-5C.—11或-5D.-9或-3

6.將函數(shù)y=sinx圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼目v坐標(biāo)不變，再將所得圖象向右平移

兀/3個單位長度后得到函數(shù)f(x)的圖象，若f(x)在區(qū)間與兀]上恰有5個零點，則①的取值范圍是

A.[5，SB.陪C(5即D.(6用

【高三數(shù)學(xué)第1頁(共4頁)】

7.“蝠”與“?！卑l(fā)音相同，在中國文化中，蝙蝠圖案經(jīng)常寓意福氣臨門.某

商家設(shè)計的折疊儲物凳是正三棱臺形狀，如圖，其側(cè)面展開圖形似蝙蝠.每個

側(cè)面梯形的上底長為避分米，下底長為24分米，梯形的腰長為小?分米，

忽略儲物凳的表面厚度，則該正三棱臺儲物凳的儲物容積為

A.歲立方分米B.7避立方分米

C.7立方分米D微立方分米

8.當(dāng)x,y,zG[0,+8),且x,y,z有且只有一個為0時，p(x,y,z)=9土+言；+1三,則

兒y_rz.z-rX

A.p(x,y,z)既無最大值,也無最小值

B.p(x,y,z)的最大值為4,最小值為2

C.p(x,y,z)的最大值為4,p(x,y,z)無最小值

D.p(x,y,z)的最小值為2,p(x,y,z)無最大值

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知cosasi叩則以下等式可能成立的有

14

A.sinacosp=--B.cos20c=-

14

C.sinasinp=—-D.cos2p=-

10.已知拋物線C:y=8%的焦點為F,過點F的直線1的斜率為k,且1與C交于A,B兩個不同的

點(點A在x軸的上方).下列說法正確的是

A.若k=2,則|AB|=10

B.若|AF=2BF,則k=2#

C.點A,B的縱坐標(biāo)之積與k有關(guān)

D.若|OA|=2|OB|(O為坐標(biāo)原點)，則LAF|〈2|BF|

11.在四棱錐P-ABCD中，AB=2,AD=CD=1,AB_LAD,AD_LDC,動點E生平面ABCD,且BE_LCE,F

是AE的中點，則

A.DF〃平面EBC

B.DE的長可能為3

C^BA-~BEe(1-A/2,1+?

D.點F在半徑為零的球面上

4

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若橢圓-4r+^=l(neN*)的離心率為en,則4=,

13.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,(b,c.=梟,ABC的面積S=道,則a+4bl的最小

sin/i—sin/ju-rc

值為▲,此時4ABC的周長為▲.

14.如圖，機器人從A點出發(fā)，每次可以向右或向上沿著線走一個單位(每個小正方形的一條邊長為一個

單位)，要走到B點，不同的走法共有▲種.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

設(shè)函數(shù)f(x)=3x—e3x~2.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)比較與的大小；

(3)若關(guān)于x的不等式f(x)<lga|的解集為R,求a的取值范圍.

16.（15分）

11

如圖，在AABC中，ZC=90°,AB=2AC=4,AD=-AC,AE=-AB'^△ADE沿DE折起得到四棱錐4

Z4

一BCDE,且平面.A'DE1平面BCDE.

(1)證明：四棱錐4—BCDEA-BCDE的高為亨,

(2)求直線A，E與平面ABC所成角的正弦值.

【高三數(shù)學(xué)第3頁(共4頁)】

17.(15分)

某項編程技能比賽分為兩輪：第一輪初賽，賽題由6道基礎(chǔ)編程題和4道中級編程題組成，

基礎(chǔ)編程題每題答對得5分，中級編程題每題答對得10分，初賽至少得60分才能進入第二

輪復(fù)賽，否則淘汰；第二輪復(fù)賽，賽題由2道中級編程題和2道高級編程題組成，中級編程

題每題答對得10分，高級編程題每題答對得20分.所有的題答錯都不扣分.已知甲同學(xué)能答

21

對每道基礎(chǔ)編程題，中級編程題每題答對的概率為高級編程題每題答對的概率為I且各

題答對與否互不影響.

(1)求甲同學(xué)初賽被淘汰的概率；

(2)已知甲同學(xué)第一輪初賽得滿分70分，求甲同學(xué)兩輪比賽所得總分X的分布列及期望.

18.(17分)

已知雙曲線C:，—總\=l(a)0)的左、右焦點分別為Fi,F2,且\FrF2\=2G.

(1)求C的漸近線方程.

2

(2)點Q為C的左支上一點，且COSZ%QF2=5A，B分別為C的左、右頂點，過點(2,0)

的直線交C的右支于E,F兩點，其中點E在x軸上方，直線EA與FB交于點P.

①求直線FiQ的方程；

②證明：點P到直線的距離為定值.

19.(17分)

在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點.若點列｛AJ中的3個相鄰的點.4?,41+1,4?+2滿足

04-2=pOAn+i'-q5a>€N*),則稱關(guān)于x的方程久2=p%_q是｛4｝的特征方程，將方程

%2=px-q的實數(shù)根稱為｛4n｝的特征根.已知.4。,0)4(0,1),，點列｛A｝的特征根為1和

AAAA>n

⑴求2.OB“KM——OA”,OCM=OA“+L2OA”.

432

(2)設(shè)猴=(n+4n-6n+4n-l)~0Bn-砧求數(shù)列｛/n｝的前n項和Sn;

(3)若｛an｝是公差為d(dWO)的等差數(shù)列，且各項都為正整數(shù)，即和d是已知的常數(shù)，求點

列以J的特征根.

【高三數(shù)學(xué)第4頁(共4頁)

2024—2025學(xué)年高三第一次模擬考試

數(shù)學(xué)參考答案

1.A【解析】本題考查復(fù)數(shù)的運算與模,考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

中.3-i_(3—i)(—2i)_5+5i_「，..._/_pr

因為z_]_2i_(l_2i)(l+2i)_5_1+丁r所r以|2|一/12+122—\/^.

2.D【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

由題意可得/(7)=312—2-7.則/'(1)=1,因為/(1)=4,所以所求切線的方程為、一4

=x-1,即y=x+3.

3.D【解析】本題考查頻數(shù)分布直方圖與中位數(shù)，考查數(shù)據(jù)處理能力.

由圖可知該班的總?cè)藬?shù)為6+8+12+18+6=50,因為6+8=14<25,14+12>25,所以中位

數(shù)位于第三組，由120線X(140—120)*138.3,得中位數(shù)的估計值為138.

4.A【解析】本題考查函數(shù)的定義域與集合的交集,考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

A={a:|x—j2>0}=[0,l],B={iffl—2.r>0}=(—oo,y),因為403=10,4),所以^'

=1.故/(a)=/(l)=0.

5.B【解析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

因為圓心(2,—5)到直線/的距離d=^gn=J16一(號與？，整理得|，〃+7|=2,解得

m=-9或一5?

6.B【解析】本題考查三角函數(shù)圖象的變換與函數(shù)的零點，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

依題意可得f(z)=sin[3(]一3)].當(dāng)彳漂[個，兀]時如(%一七)&3箋4因為在

區(qū)間:三,J上恰有5個零點，所以4右等<5式，解得643〈當(dāng).

7.D【解析】本題考查正三棱臺的體積的實際應(yīng)用，考查直觀想象的核心素養(yǎng)與應(yīng)用意識.

如圖，在正三棱臺ABC-A.B!Ci中，AB=2向，4向=V3,AA,=

JTW，將棱臺補全為正三棱銖P-ABC.設(shè)O為底面ABC的中心，連接

尸O,AO,則PO_[_底面ABC,而AOU平面ABC,貝UPOJ_AO.因為

1O

A|B尸子AB,所以PA=2AA=2/n.AO=?AB-sin600=2,所

,_____Pf)

以FO=，P=2—AO：=4&■，則三棱臺ABC-A|BC的高分=方=2反該正三棱臺的上

【高三數(shù)學(xué)?參考答案第1頁(共7頁)】?25-210C-

底面積S尸中義（阮=苧，下底面積S2=%（2g）2=3點，所以該正三棱臺儲物凳的

儲物容積V=J（S1+x/^+Sz?=J（半+崢+3點）義2點=引.

JJ4乙乙

8.A【解析】本題考查不等式與新定義函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng).

p（0,y,z）=-r-F2=F2,

、+之i+三

y

N2

由一C（0,+8）,得-----￡（0,2）,

yi十三

y

則#（0,y,z）e（2,4）.

由對稱性可得2Vp既無最大值,也無最小值.

9.BC【解析】本題考查三角恒等變換，考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).

112

當(dāng)sinacos/?=—"時,siMa-0）=sinacos0-cosasin/?=———?1.貝ljsinacos/?=

乙Cto

122

一5不可能成立,A錯誤.由cos《&由*=可,可知Q4|COS所以cos2a=2cos2a-IE

[「一11貝4COS2a=§4可能成立‘B油跳取510=一93，85。4=至，$由56=不’此時

cosasin/?=—,sinasinR=一"5■，則sinasin/?-=-'■可能成立,C正確.由cosasin￡=彳，可

j乙Vo

知^"&|sin.所以cos2/?=l—2sir/8e[—l*].則8s20="不可能成立,D錯誤.

10.ABD【解析】本題考查直線與拋物線的綜合，考查數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

設(shè)人（見，、），5（4，?8）.對于選項人,當(dāng)左=2時,/：3=2*=」，代入一=8工，得一一6?

+4=0,則HA+78=6,|4口|=一心+以,+力=6+4=10,人正確.對于選項B,過點A,B分

別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為P,Q（圖略）,不妨設(shè)|BF|=m,則|BQ|=m|AF|=|AF|=

2m,|AB|=3m,則k=tan/PAB=M（3‘”）；一（九一，"）-=2五，B正確.對于選項C,設(shè)直

線I：a=〃?》+2,代入y2=8x,得/一8my—16=0,則3,A3,B=-16為定值，點A,B的縱

坐標(biāo)之積與k無關(guān),C錯誤.對于選項D,由|OA|=21OB|,得通+/=4」+4北，即高

22

+8]八=4遙+32ZB，即（7人+4）=（2j-B+6）+8.rit—20,由|AF|=-。+2,|BF\=xli+

2,可得（|AF|+2）2=（2|BF|+2）2+8ZB—20.因為點A在1軸的上方，所以j<2,則

8HB-20V0,所以（|4尸|+2）2〈（2|8尸|+2）2,所以也尸|〈2|8'|丁正確.

11.ACD【解析】本題考查立體幾何初步，考查空間想象能力與推理論證能力.

取BE的中點G,連接CG,FG,則FG〃AB〃CD,且FG=^AB=CD.所以四邊形CDFG

【高三數(shù)學(xué)?參考答案第2頁（共7頁）】?25-210C-

為平行四邊形.則DF%G,因為DFC平面EBCCGU平面EBC,所

以FD〃平面EBC,A正確.設(shè)BC的中點為M,連接ME,MD,MA.

由題意可知,四邊形ABCD是直角梯形,可求得BC=J2.DM=^-.

因為BE，CE,所以E在以M為球心，號為半徑的球面上運動（但不

經(jīng)過平面ABCD）,則DEVDM+ME=4^+掾<3,B錯誤.或?~BE=BA?（BM+

ME）=~BA-~BM+BA-ME=1+\BA\?|ME|?COS<KA,ME>=1+^cos<&4,ME>,

因為說與流不共線，所以cos〈示，磁〉6（—1,1）,所以市?就C（1一笈,1+V?）,C

正確.設(shè)AM的中點為N,連接FN,則FN=jME=y.所以F在以點N為球心，牛為半

徑的球面上運動,D正確.

12.與：片如【解析】本題考查橢圓的離心率與數(shù)列的交匯,考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

由。=小一、'得仆="?<孝"=1一島=擊'與=〃+1，所以給=

〃（2+〃+1）一〃2+3〃

2=-2-.

13.8；5+/13【解析】本題考查解三角形與基本不等式的交匯，考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核

心素養(yǎng).

由半=空=三1及正弦定理，得二^=4-，即由余弦定理可得,2

sinA-sini5b-rca-b。十c

=a2+62-2"cosC,所以cosC=y.因為CG（0,“），所以.。二告，則S=yaZ>sinC=

乙J乙

與解得H=4,則a+4〃》2/^=8,當(dāng)且僅當(dāng)a=4/=l時，等號成立，此時c=

22

,y4+l-2X4XlXJ=7T3,AABC的周長為5+JU.

14.401【解析】本題考查排列組合的實際應(yīng)用，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng)以及分類

【高三數(shù)學(xué)?參考答案第3頁（共7頁）】?25-210C-

1種.故不同的路線共有1X28+5X36+10X15+6X6+7X1=401種.

15.解：(l)/'Cr)=3—3e斯T.................................................2分

29

當(dāng)與時/(0)<O,/Cr)單調(diào)遞減；當(dāng)eVf時單調(diào)遞增.……4分

因此,/(①)的單調(diào)遞減區(qū)間為(￡,+8),單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,3)........................6分

oJ

(2)2002>2001>1,.................................................................................................................7分

由(1)知/(*)在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以/金。。)〉/9。02)..................9分

(3)因為關(guān)于1的不等式/(i)Vlga的解集為R.所以不等式/(.r)<lga對zGR恒成

立，....................................................................10分

所以lga>/Cr)a=/(7)=2—l=l，........................................................................12分

解得a>10,即a的取值范圍為(10,+8).....................................................................13分

1

16.(1)證明:依題意可知3M^AC=J^=5/IJNBAC=60°,........................................1分

/LuZ

因為/18=24。=4*。=基。1.1￡=98,所以40=砥=1,................................2分

所以AADE與AA'DE都是邊長為I&1正三角形.............................3分

取DE的中點M,連接A'M,則A'MllzE.....................................................................4分

又因為平面A'DE_L平面BCDE,平面4公年D平面BCDE=DE,所以A'M_L平面

BCDE..................................................................—...............................................................5分

因為A'M=4,所以四棱錐A'-BCDE的高為與...............................6分

(2)解：以直線CB為1軸，直線CD為)軸.而#的方向為.1/V

軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則C(0,0,0),—>

夙2篇,0,0).E龍的,0),A，(旦？，當(dāng)..........9分

42/

，

CB=(2\/^,0,0),CA=(^d..............................10分”

設(shè)平面A'BC的法向埴為”=(2?，了,z),則由n?CB=n?CA，=0.

273^=0,

得［條+梟+受=0，

....................................................................................11分

取z=5,得〃=(0,—2/,5)............................................................................................12分

八￡=(亨,：,一亨),cos<n,ArE)_*?■_一3點_3ym

|“||芽|737X137,力

【高三數(shù)學(xué)參考答案第4頁供7頁)】-25-210C-

°、一、y°"一?

故直線A'E與平面A'BC所成角的正弦值為之等...........................15分

OI

17.解：（1）若甲同學(xué)初賽不被淘汰，則他答對中級編程題的數(shù)量至少為咋言=3,……1分

設(shè)甲同學(xué)通過初賽為事件A,則甲同學(xué)在初賽的4道中級編程題中答對3道或4道，所以

P(A)=C^(y)3X..........................................4分

故甲同學(xué)初賽被淘汰的概率P(了)=1一P(A)=1一|1=&.....................5分

(2)設(shè)y為甲同學(xué)第二輪復(fù)賽的得分，丫的取值集合為{0,10,20,30,40,50,60},

X=Y+70,X的取值集合為{70,80,90,100,110,120,130}.......................6分

?1\2?2\24

P(X=70)=P(y=0)=(y)x(y)=的,..................................7分

P(X=80)=P(y=T0)^((^X-X-)X(-)■=—,..........................8分

/O0o01

P(X=90)=P(y=20)=(1-)2X(4)2+(T)Zx(C2XTX4)=lT?............9分

OOOo01

P(X=100)=P(Y=30)=CiX^^XCiX^X^-=^,....................10分

J<7-oool

P(X=110)=P(y=40)=(1)2X(ClV^.1)+(j)ZX(y)2=1y,........P分

P(X=120)=P<y=50)=(C|X^-x4)X(^}2=^,........................12分

OO01

p(x=i30)=p(y=60)=(4)2x(4)z=^-...............................13分

xO\J'ol

X的分布列為

X708090100110,120130

P41620161744

n8181si818181

.........................................................................14分

故E(X)=70X^r+80X^7+90X^7+100X^7+110X^7+120X^r+130Xyr=-^-.???

olololoioloiolo

.....................................................................15分

on290

【注】本題也可以先求得E(Y)=^■，再得E(X)=E(y+7O)=E(Y)+7O=—.

JJ

18.⑴解:由題意可知|F|FzI=242+^2+3=2-,..............................1分

則。=1,==\/42+3=2,....................................................2分

故C的漸近線方程為'=±2?...............................................3分

⑵①解:設(shè)IBQ|=，，則|FzQ|=/+2,......................................4分

【高三數(shù)學(xué)?參考答安第5頁（共7頁）】?25-210C-

由余弦定理可得|FIQ|2+|F2Q|2-2|BQ||F2Q|COSNF|QFZ=|FFZ|2,

4

即?+。+2）2—彳*/+2）=20,.................................................5分

解得，=4（負(fù)根已舍去），....................................................6分

所以IKQ|2+|FIFZ|Z=|F2Q|2,則FIQ-LFJFZ，

故直線F|Q的方程為工=一所.............................................7分

②證明：易知直線EF的斜率不為0,則可設(shè)直線EF：a="?》+2,.................8分

x=my+2^

設(shè)E&L），（12，山），聯(lián)立yv2得（4——1*2+]67”+]2=0,.........9分

產(chǎn)——=1,

"+認(rèn)=病=？"山=病二13=16（4/+3）＞0恒成立，..................1。分

由題意得4,1—且2Vo，解得........................11分

告ei）,

直線EA：y=-^r（;r+D,直線FB：y12分

?T]十I

日-HT陽工―1_殳2-1）"_（見食十1萬1

聯(lián)“可得不1一寸西一詬誨而13分

加）1%+（?1+，2）—。2-（潦Mi

15分

1%+3〃

3（潦g3

解得工=方，故動點P在直線1上，......................................16分

所以點P到直線EQ的距離為十一（一痣）=西+義?故點P到直線BQ的距離為定值.

...................................................................17分

19.解：（1）因為點列｛A“｝的特征根為1和2,所以（A“｝的特征方程為合=37一2,所以西乙

=3。4+：-2血,.........................................................1分

則OA”+；—OA”+；=2（OA“+；—