備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第7節(jié)-二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布

第7節(jié)二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布1.通過具體實(shí)例,了解伯努利試驗(yàn),掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征,并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.2.了解超幾何分布,理解超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系,并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.3.通過誤差模型,了解正態(tài)分布的意義,理解正態(tài)曲線的性質(zhì),會(huì)用正態(tài)分布解決實(shí)際問題.1.兩點(diǎn)分布對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn),用A表示“成功”,A表示“失敗”,定義X=1如果P(A)=p,則P(A)=1-p,那么X的分布列如表所示.X01P1-pp我們稱X服從或.

一般地,如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,那么E(X)=,D(X)=.2.二項(xiàng)分布(1)n重伯努利試驗(yàn)①我們把只包含個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).

②我們將一個(gè)伯努利試驗(yàn)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn).顯然,n重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征:

同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次;各次試驗(yàn)的結(jié)果.

(2)二項(xiàng)分布一般地,在n重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=,k=0,1,2,…,n.

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作.

(3)二項(xiàng)分布的均值與方差如果X～B(n,p),那么E(X)=,D(X)=.

(1)兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的特殊情況.(2)二項(xiàng)分布是放回抽樣問題(獨(dú)立重復(fù)).3.超幾何分布(1)超幾何分布一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為P(X=k)=CM其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.(2)超幾何分布的均值設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布,則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中,不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù).令p=MN,則p是N件產(chǎn)品的,而Xn是抽取的n件產(chǎn)品的,則E(Xn)=p,即E(X)=nM超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征:(1)考察對(duì)象分兩類.(2)已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù).(3)從中抽取若干個(gè)個(gè)體,考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型,其實(shí)質(zhì)是古典概型.4.正態(tài)分布(1)連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量不是離散型的,它們的取值往往充滿某個(gè)甚至,但取一點(diǎn)的概率為,我們稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量.

(2)正態(tài)密度函數(shù)①f(x)=1σ對(duì)任意的x∈R,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為,簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.

②若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機(jī)變量X服從分布,記為X～N(μ,σ2).特別地,當(dāng),時(shí),稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

③若X～N(μ,σ2),則如圖所示,X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域的面積,而P(a≤X≤b)為區(qū)域的面積.

(3)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱;②曲線在x=μ處達(dá)到峰值1σ③當(dāng)|x|無限增大時(shí),曲線無限接近x軸;④當(dāng)σ取固定值時(shí),正態(tài)曲線的位置由μ確定,且隨著μ的變化而沿x軸平移,如圖所示.當(dāng)μ取定值時(shí),因?yàn)榍€的峰值1σ2π與σ成反比,而且對(duì)任意的σ>0,曲線與x軸圍成的面積總為1.因此,當(dāng)σ較小時(shí),峰值高,曲線“”,表示隨機(jī)變量X的分布比較;當(dāng)σ較大時(shí),峰值低,曲線“”,表示隨機(jī)變量X的分布比較(4)正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ,σ2),則E(X)=,D(X)=.

(5)正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)的概率P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈,

P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈,

P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈.

在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則.對(duì)于X～N(μ,σ2),由x=μ是正態(tài)曲線的對(duì)稱軸知(1)對(duì)任意的a有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);(2)P(X<x0)=1-P(X≥x0);(3)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).1.(選擇性必修第三冊(cè)P59例1改編)設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A和A,且P(A)=m,令隨機(jī)變量ξ=1,A.m B.2m(1-m)C.m(m-1) D.m(1-m)2.若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),ξ在區(qū)間(4,+∞)上取值的概率是0.2,則ξ在區(qū)間(0,2)上取值的概率為()A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.83.箱中有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個(gè)球,從箱中一次摸出2個(gè)球,記下號(hào)碼并放回,如果兩球號(hào)碼之積是4的倍數(shù),則獲獎(jiǎng).若有4人參與摸獎(jiǎng),恰好有3人獲獎(jiǎng)的概率是.

4.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽,則所選3人中女生人數(shù)不超過1人的概率是.

n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(2021·安徽合肥模擬)某地歷史文化積淀深厚,民俗和人文景觀豐富,科教資源眾多,自然風(fēng)光秀美,成為中小學(xué)生“研學(xué)游”的理想之地.為了將來更好地推進(jìn)“研學(xué)游”項(xiàng)目,某旅游學(xué)校一位實(shí)習(xí)生在某旅行社實(shí)習(xí)期間,把“研學(xué)游”項(xiàng)目分為科技體驗(yàn)游、民俗人文游、自然風(fēng)光游三種類型,并在前幾年該旅行社接待的全省高一學(xué)生“研學(xué)游”的學(xué)校中,隨機(jī)抽取了100所學(xué)校,統(tǒng)計(jì)如下:研學(xué)游類型科技體驗(yàn)游民俗人文游自然風(fēng)光游學(xué)校數(shù)404020該實(shí)習(xí)生在明年省內(nèi)有意向組織高一“研學(xué)游”的學(xué)校中,隨機(jī)抽取了3所學(xué)校,并以統(tǒng)計(jì)的頻率代替學(xué)校選擇“研學(xué)游”類型的概率(假設(shè)每所學(xué)校在選擇研學(xué)游類型時(shí)僅選擇其中一類,且不受其他學(xué)校選擇結(jié)果的影響).(1)若這3所學(xué)校選擇的“研學(xué)游”類型是“科技體驗(yàn)游”和“自然風(fēng)光游”,求這兩種類型都有學(xué)校選擇的概率;(2)設(shè)這3所學(xué)校中選擇“科技體驗(yàn)游”的學(xué)校數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.與二項(xiàng)分布有關(guān)的期望、方差的求法(1)求隨機(jī)變量ξ的期望與方差時(shí),可首先分析ξ是否服從二項(xiàng)分布,如果ξ～B(n,p),則用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p)求解,可大大減少計(jì)算量.(2)有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布,但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,這時(shí),可以綜合應(yīng)用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及E(ξ)=np,求出E(aξ+b),同樣還可求出D(aξ+b).[針對(duì)訓(xùn)練](2021·四川遂寧高三三模)某校數(shù)學(xué)教研組,為更好地提高該校高三學(xué)生《圓錐曲線》的選擇填空題的得分率,對(duì)學(xué)生《圓錐曲線》的選擇填空題的訓(xùn)練運(yùn)用最新的教育技術(shù)做了更好的創(chuàng)新,其學(xué)校教務(wù)處為了檢測(cè)其質(zhì)量指標(biāo),從中抽取了100名學(xué)生的訓(xùn)練成績(jī)(總分50分),經(jīng)統(tǒng)計(jì)質(zhì)量指標(biāo)得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求所抽取的樣本平均數(shù)x(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(2)將頻率視為概率,從該校高三學(xué)生中任意抽取4名學(xué)生,記這4名學(xué)生《圓錐曲線》的選擇填空題的訓(xùn)練的質(zhì)量指標(biāo)值位于(10,30]內(nèi)的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.超幾何分布在心理學(xué)研究中,常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響,具體方法如下:將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列.[典例遷移1](變結(jié)論)在本例第(2)問,若用X表示接受乙種心理暗示的男志愿者人數(shù),求X的分布列.[典例遷移2](變結(jié)論)在本例第(2)問,若用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)與男志愿者人數(shù)之差,求X的分布列.求超幾何分布的分布列的步驟第一步,驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布,并確定參數(shù)N,M,n的值;第二步,根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率;第三步,用表格的形式列出分布列.正態(tài)分布角度一正態(tài)分布的計(jì)算(2021·安徽合肥高三二檢)為了解A市高三學(xué)生的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考情況,該市教研機(jī)構(gòu)組織了一次檢測(cè)考試,并隨機(jī)抽取了部分高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖,試估計(jì)該市參加此次檢測(cè)考試的學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?chǔ)?(精確到個(gè)位);(2)研究發(fā)現(xiàn),本次檢測(cè)考試的數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ=μ0,σ=19.3.①按以往的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),數(shù)學(xué)成績(jī)能達(dá)到升一本分?jǐn)?shù)要求的學(xué)生約占46%,據(jù)此估計(jì)在本次檢測(cè)考試中達(dá)到升一本的數(shù)學(xué)成績(jī)是多少分(精確到個(gè)位)?②已知A市高三學(xué)生約有10000名,某學(xué)生在此次檢測(cè)考試中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?07分,則該學(xué)生在全市的排名大約是多少?[說明:P(x≥x1)=1-Φ(x1-μσ)表示x≥x1的概率,Φ(x1-μσ)用來將非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,即X～N(0,1),從而利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表Φ(x0),求x≥x1時(shí)的概率P(x≥x1),這里x0=(x1-μ參考數(shù)據(jù):Φ(0.7054)=0.54,Φ(0.6772)=0.46,Φ(0.21)=0.5832](1)利用3σ原則求概率問題時(shí),要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ,σ進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系,確定它們屬于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一個(gè).(2)利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問題,涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱,及曲線與x軸之間的面積為1.注意下面結(jié)論的活用:①正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱,從而在關(guān)于x=μ對(duì)稱的區(qū)間上概率相同.②P(X<a)=1-P(X≥a),P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a).解此類問題的關(guān)鍵是利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性,把待求區(qū)間內(nèi)的概率向已知區(qū)間內(nèi)的概率轉(zhuǎn)化.解題時(shí)要充分結(jié)合圖形進(jìn)行分析、求解,要注意數(shù)形結(jié)合思想及化歸思想的運(yùn)用.角度二正態(tài)分布的應(yīng)用(2021·山西模擬)某紡織廠為了生產(chǎn)一種高端布料,準(zhǔn)備從A農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批優(yōu)質(zhì)棉花.廠方技術(shù)人員從A農(nóng)場(chǎng)存儲(chǔ)的優(yōu)質(zhì)棉花中隨機(jī)抽取了100份棉花,分別測(cè)量了其纖維長(zhǎng)度(單位:mm)的均值,得到100個(gè)樣本數(shù)據(jù),并制成頻數(shù)分布表如表:長(zhǎng)度/mm[23,25)[25,27)[27,29)[29,31)[31,33)[33,35)[35,37)[37,39]頻數(shù)4916241814105(1)求這100個(gè)樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組數(shù)據(jù)取該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);(2)由得到的數(shù)據(jù)可以認(rèn)為這批棉花的纖維長(zhǎng)度X服從正態(tài)分布,即X～N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù)x,σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布,求P(X≥μ-2σ);②紡織廠將A農(nóng)場(chǎng)送來的這批優(yōu)質(zhì)棉花進(jìn)行二次檢驗(yàn),從中隨機(jī)抽取20份測(cè)量其纖維長(zhǎng)度的均值Yi(i=1,2,…,20),得到的數(shù)據(jù)如表:Y1Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y8Y9Y1024.131.832.728.228.434.329.134.837.230.8Y11Y12Y13Y14Y15Y16Y17Y18Y19Y2030.625.232.927.135.928.933.929.535.029.9若這20個(gè)樣本中纖維長(zhǎng)度的均值Y≥μ-2σ的頻率不低于①中的P(X≥μ-2σ),則可判斷該批優(yōu)質(zhì)棉花合格,否則認(rèn)為A農(nóng)場(chǎng)送來的棉花摻雜了次品,判斷該批棉花不合格,按照此依據(jù)判斷A農(nóng)場(chǎng)送來的這批棉花是否為合格的優(yōu)質(zhì)棉花,并說明理由.附:若Z～N(μ,σ2),則P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545;12.事件在[μ-3σ,μ+3σ]之外的為小概率事件,一旦發(fā)生,則說明生產(chǎn)存在問題,則要調(diào)整生產(chǎn).[針對(duì)訓(xùn)練](2021·山東濰坊模擬)為了嚴(yán)格監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,某企業(yè)每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10000個(gè)零件,并測(cè)量其內(nèi)徑(單位:cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的內(nèi)徑X服從正態(tài)分布N(μ,σ2).如果加工的零件內(nèi)徑小于μ-3σ或大于μ+