八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第二學(xué)期 期中綜合測(cè)試卷（滬科版 2025年春）

八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第二學(xué)期期中綜合測(cè)試卷（滬科版2025年春）一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分)題序12345678910答案1.要使eq\f(\r(,x＋1),5)有意義，則x的取值范圍為()A．x≤0 B．x≥－1 C．x≥0 D．x≤－12．下列計(jì)算結(jié)果正確的是()A.eq\r(3)＋eq\r(4)＝eq\r(7) B．3eq\r(5)－eq\r(5)＝3C.eq\r(2)×eq\r(5)＝10 D.eq\r(18)÷eq\r(2)＝33．若關(guān)于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0的一個(gè)根為x＝0，則a＝()A．0 B．±1 C．1 D．－14．我們給“△”一個(gè)實(shí)際意義，規(guī)定a△b＝eq\r(a)·eq\r(b)－eq\r(\f(a,b))，則2△3的值為()A.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(2\r(6),3) C.eq\r(6) D.eq\f(4\r(6),3)5．如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則△ABC為()A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．無法確定6．某款發(fā)卡在某電商平臺(tái)上7月24日的銷量為5000個(gè)，7月25日和7月26日的總銷量是30000個(gè)．若7月25日和7月26日較前一天的增長(zhǎng)率均為x，則可列方程為()A．5000(1＋x)2＝30000B．5000(1－x)2＝30000C．5000＋5000(1＋x)＋5000(1＋x)2＝30000D．5000(1＋x)＋5000(1＋x)2＝300007．若a、b是一元二次方程x2＋3x－6＝0的兩個(gè)不相等的根，則a2－3b的值是()A．3 B．－15 C．－3 D．158．等腰三角形的一邊長(zhǎng)為2，它的另外兩條邊的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的值是()A．8 B．9 C．8或9 D．129．如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到BC的中點(diǎn)S的最短距離的平方為()A．4＋4π2 B．4＋16π2C．16＋16π2 D．64＋16π210．如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊DE上，若AE＝eq\r(2)，AD＝eq\r(6)，則兩個(gè)三角形重疊部分的面積為()A.eq\r(2)B．3－eq\r(2)C.eq\r(3)－1D．3－eq\r(3)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)11．如果最簡(jiǎn)二次根式eq\r(3a－8)與eq\r(7)可以合并成一個(gè)二次根式，則a＝________．12．如圖，陰影部分是兩個(gè)正方形，其他三個(gè)圖形是一個(gè)正方形和兩個(gè)直角三角形，則陰影部分的面積之和為________．(第12題)(第14題)13．飛機(jī)起飛前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行時(shí)是勻加速運(yùn)動(dòng)，其公式為s＝eq\f(1,2)at2，如果飛機(jī)起飛前滑行距離s為750m，其中a＝15m/s2，則飛機(jī)起飛的時(shí)間t＝________s.14．如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形和1個(gè)正方形拼接而成，將圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別記為S1、S2、S3.(1)若S1＝25，S3＝1，則S2＝________；(2)若S1＋S2＋S3＝24，則S2＝________．三、(本大題共2小題，每小題8分，共16分)15．計(jì)算：(1)2eq\r(12)－6eq\r(\f(1,3))＋3eq\r(48)；(2)eq\r(27)÷eq\r(3)－2eq\r(\f(1,5))×eq\r(10)＋eq\r(8).16．解方程：(1)2x2－4x－1＝0；(2)(x＋1)2＝6x＋6.四、(本大題共2小題，每小題8分，共16分)17．我校要對(duì)如圖所示的一塊地進(jìn)行綠化，已知AD＝4m，CD＝3m，AD⊥DC，AB＝13m，BC＝12m，求這塊地的面積．18．已知x＝eq\f(\r(3)－1,2)，y＝eq\f(\r(3)＋1,2)，求下列各式的值：(1)x2－xy＋y2；(2)eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＋2.五、(本大題共2小題，每小題10分，共20分)19．學(xué)完勾股定理之后，同學(xué)們想利用升旗的繩子、卷尺測(cè)算出學(xué)校旗桿的高度．小明發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了1m，當(dāng)他把繩子的下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，請(qǐng)你幫小明求出旗桿的高度．20．關(guān)于x的一元二次方程x2＋mx＋m－2＝0.(1)求證：無論m取任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)該方程兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)根為x1，x2，試問是否存在m使x12＋x22＋m(x1＋x2)＝m2＋1成立，若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．六、(本題滿分12分)21．某校為表彰“學(xué)生節(jié)”中表現(xiàn)優(yōu)異的學(xué)生，計(jì)劃購買古典詩詞和散文兩類圖書作為獎(jiǎng)品．已知古典詩詞類圖書每本60元，散文類圖書每本40元．為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，商家決定對(duì)古典詩詞類圖書推出銷售優(yōu)惠活動(dòng)，但是散文類圖書售價(jià)不變．若購買古典詩詞類圖書不超過40本時(shí)，均按每本60元價(jià)格銷售；超過40本時(shí)，每增加2本，單價(jià)降低1元．(1)如果購買古典詩詞類圖書46本，則每本古典詩詞類圖書的單價(jià)是________元；(2)如果該校共購買圖書100本，用去購書款4750元，則該校購買古典詩詞類圖書多少本？七、(本題滿分12分)22．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止，若設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位．(1)當(dāng)t＝2時(shí)，CD＝________；(2)求當(dāng)t為何值時(shí)，△CBD是直角三角形(D不能與A，C重合)；(3)求當(dāng)t為何值時(shí)，△CBD是等腰三角形(D不能與A，C重合)．八、(本題滿分14分)23．定義：我們把關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0與cx2＋bx＋a＝0(ac≠0，a≠c)稱為一對(duì)“和諧方程”．如2x2－5x＋3＝0的“和諧方程”是3x2－5x＋2＝0.(1)寫出一元二次方程x2＋2x－15＝0的“和諧方程”：_____________________________________；(2)已知一元二次方程x2＋2x－15＝0的兩根為x1＝3，x2＝－5，它的“和諧方程”的兩根為x3＝－eq\f(1,5)，x4＝____________．根據(jù)以上結(jié)論，猜想ax2＋bx＋c＝0的兩根x1，x2與其“和諧方程”cx2＋bx＋a＝0的兩根x3，x4之間存在的一種特殊關(guān)系為__________，證明你的猜想；(3)已知關(guān)于x的方程2024x2＋bx－1＝0的兩根是x1＝－1，x2＝eq\f(1,2024).請(qǐng)利用(2)中的結(jié)論，求出關(guān)于x的方程(x－1)2－bx＋b＝2024的兩根．

答案一、1.B2.D3.D4.B5.A6.D7．D點(diǎn)撥：因?yàn)閍、b是一元二次方程x2＋3x－6＝0的兩個(gè)不相等的根，所以a＋b＝－3，a2＋3a－6＝0，即a2＝－3a＋6，則a2－3b＝－3a＋6－3b＝－3(a＋b)＋6＝－3×(－3)＋6＝9＋6＝15.8．B9.A10.D二、11.512.6413.1014.(1)13(2)8三、15.解：(1)原式＝4eq\r(3)－2eq\r(3)＋12eq\r(3)＝14eq\r(3).(2)原式＝3－2eq\r(2)＋2eq\r(2)＝3.16．解：(1)因?yàn)閍＝2，b＝－4，c＝－1，所以Δ＝b2－4ac＝16－4×2×(－1)＝24，所以x＝eq\f(－（－4）±\r(24),2×2)＝eq\f(2±\r(6),2)，所以x1＝eq\f(2＋\r(6),2)，x2＝eq\f(2－\r(6),2).(2)原方程可變形為(x＋1)2－6(x＋1)＝0，分解因式，得(x＋1)(x＋1－6)＝0，所以x＋1＝0或x＋1－6＝0.所以x1＝－1，x2＝5.四、17.解：如圖，連接AC.∵AD⊥DC，∴AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(42＋32)＝5(m)，∴AC2＋BC2＝52＋122＝132＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴這塊地的面積為S△ABC－S△ACD＝eq\f(1,2)×5×12－eq\f(1,2)×3×4＝24(m2)．18．解：因?yàn)閤＝eq\f(\r(3)－1,2)，y＝eq\f(\r(3)＋1,2)，所以x＋y＝eq\r(3)，xy＝eq\f(1,2).(1)x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝(eq\r(3))2－3×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).(2)eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＋2＝eq\f(y2＋x2＋2xy,xy)＝eq\f(（x＋y）2,xy)＝eq\f(（\r(3)）2,\f(1,2))＝6.五、19.解：設(shè)旗桿的高度是xm，則繩子的長(zhǎng)度是(x＋1)m.根據(jù)題意得x2＋52＝(x＋1)2，解得x＝12.答：旗桿的高度是12m.20．(1)證明：因?yàn)棣ぃ絤2－4(m－2)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4>0，所以無論m取任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)解：不存在．理由：由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝－m，x1x2＝m－2,因?yàn)閤12＋x22＋m(x1＋x2)＝m2＋1，所以(x1＋x2)2－2x1x2＋m(x1＋x2)＝m2＋1，所以m2－2(m－2)－m2＝m2＋1，整理得m2＋2m－3＝0，解得m＝－3或m＝1，由方程有兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)根可得x1x2>0，即m－2>0，所以m>2，所以不存在m使x12＋x22＋m(x1＋x2)＝m2＋1成立．六、21.解：(1)57(2)設(shè)該校購買古典詩詞類圖書x本，①若x≤40，由題意得60x＋40(100－x)＝4750，解得x＝37.5，不是整數(shù)，舍去；②若x>40，由題意得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(60－\f(x－40,2)))x＋40(100－x)＝4750，解得x1＝30，x2＝50，因?yàn)閤>40，所以x＝50.答：該校購買古典詩詞類圖書50本．七、22.解：(1)2(2)根據(jù)題意，得∠C≠90°且當(dāng)∠CBD＝90°時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，不符合題意，∴若△CBD是直角三角形，則∠CDB＝90°.此時(shí)BD⊥AC，即BD為AC邊上的高．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(82＋62)＝10，S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)AB·BC，即eq\f(1,2)×10·BD＝eq\f(1,2)×8×6，解得BD＝4.8，∴CD＝eq\r(BC2－BD2)＝eq\r(62－4.82)＝3.6.∵3.6÷1＝3.6(秒)，∴t＝3.6.(3)①當(dāng)CD＝BC時(shí)，CD＝6.6÷1＝6(秒)．②當(dāng)BD＝BC時(shí)，如圖，過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，則CF＝FD＝eq\f(1,2)CD.由(2)易得CF＝3.6，∴CD＝2CF＝2×3.6＝7.2.7．2÷1＝7.2(秒)．③當(dāng)CD＝BD時(shí)，∠C＝∠CBD.∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠A＝90°，∠CBD＋∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠A，∴BD＝AD，∴BD＝AD＝CD.∵AC＝10，∴CD＝5.5÷1＝5(秒)．綜上所述，當(dāng)t＝6或7.2或5時(shí)，△CBD是等腰三角形．八、23.解：(1)－15x2＋2x＋1＝0(2)eq\f(1,3)；互為倒數(shù)證明：因?yàn)橐辉畏匠蘟x2＋bx＋c＝0的兩根為x1＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)，cx2＋bx＋a＝0的兩根為x3＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2c)，x4＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2c)，所以x1·x4＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)·eq\f(－b－\r(b2－4ac),2c)＝eq\f(b2－（b2－4ac）,4ac)＝eq\f(4ac,4ac)＝1，x2·x3＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)·eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2c)＝