幾何最值問題4種類型（費馬點、胡不歸模型、阿氏圓模型、瓜豆原理）（原卷版）

重難點突破14幾何最值問題4種類型

（費馬點、胡不歸模型、阿氏圓模型、瓜豆原理）

重難點題型突破

證明過程及結(jié)論

與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見的費馬點結(jié)論

費馬點

加權(quán)費馬點常見題型解讀（5種）

幾

何

模型解讀

最胡不歸模型

值

問

兩點在圓外

題令

兩點在圓內(nèi)

4阿氏圓模型

當(dāng)軌跡為直線時，運用"胡不歸模型"求解

種求PA+kPB的最小值問題時

類當(dāng)軌跡為圓形時，運用"阿氏圓模型"求解

型

【條件】瓜豆原理運用滿足的三個條件（”一定兩動、定角、定比"）;

瓜豆原理結(jié)論證明

重難點題型突破

題型01費馬點

【基礎(chǔ)】費馬點概念：三角形內(nèi)部滿足到三個頂點距離之和最小的點，稱為費馬點.

結(jié)論:

1）對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點；對于

2）有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點.

（注意：通常涉及費馬點的試題中三角形的最大頂角小于120°）

【解題思路】運用旋轉(zhuǎn)的方法，以AABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點之間線段最短,

得出最短長度.

結(jié)論證明過程：

情況一：當(dāng)aABC各角不超過120°時，

將AAPB繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AAPB

貝!JAAPBeAA'P'BBP=BP'AP=AP'NA'P'B=/APB

而NP，BP=60°貝ijAP'BP為等邊三角形

NBPP'=/P'BP=NBP'P=60°

：PA+PB+PC=P'A'+PP'+PCWA'C

.,.當(dāng)A，、P\P、C四點共線時，PA+PB+PC的最小值為AC

此時NBPC=180°-ZBPP'=12O°

NAPB=NAPB=180°-ZBPZP=120°

NAPC=360°-ZAPB-ZBPC=120°

情況二（僅需理解）：當(dāng)△ABC有一個內(nèi)角不小于120°時,

延長BA至C使得AC=AC,做NC'AP'=NCAP,

并且使得AP'=AP,PC'=PC,則△APC之△APC

VZBAC^120°

ZPAP'=180°-ZBAP-ZC'AP'=1800-ZBAP-ZCAP=180°-NBACW

2/32P'

B

60°

等腰三角形PAP中，AP2PP

...PA+PB+PC》PP'+PB+PC>BC'=AB+AC（（只有當(dāng)P、A重合時取等號））

所以，當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120。時，所求的P點就是鈍角的頂點.

【費馬點的作法】（當(dāng)^ABC各角不超過120。）

D

A

/\X-x

*

F

作法：1）如圖，分另Ij以AABC中的AB、AC為邊，作等邊AADB、等邊AAEC

2）連接CD、BE,則AADC經(jīng)AABE（手拉手模型）

3）記CD、BE交點為P,點P為費馬點.

4）以BC為邊作等邊ABCF,連接AF,必定經(jīng)過點P,且BE=AF=CD.

【擴展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見的費馬點結(jié)論

如圖所示，以邊AB、AC分別向△ABC外側(cè)作等邊三角形，連接DC、EB,交點為點P,點P為費馬點.

圖形結(jié)論

等腰三角形A①NAPB=/BPC=NAPC=120°；

②4ABP與4ACP全等；

③4BCP為等腰三角形；

?△ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

為費馬點時和最小.

等邊三角形①AP=BP=CP；

②NAPB=NBPC=/APC=120°；

③AABP、AACP,Z\BCP全等；

W④點P是垂心，是aABC各邊的高線的交點；

⑤點P是4ABC各邊的中線的交點；

3/32

⑥點p是內(nèi)心，是在三角形三個內(nèi)角的角平分線的

交點；

⑦AABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

為費馬點時和最小.

直角三角形A______E①4ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

V

為費馬點時和最?。?/p>

②NAPB=NBPC=/APC=120°

Bc

【進階】

加權(quán)費馬點模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費馬點問題線段前面系數(shù)都是1,如果現(xiàn)在求

mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1,那么此類題目就叫做“加權(quán)費馬點”.

【關(guān)鍵】系數(shù)的改變只是影響了旋轉(zhuǎn)角度的改變，依然考的是旋轉(zhuǎn).

已知：在RtZ^ABC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5,ZkABC內(nèi)部有一點P,連接PA,PB,PC

A

4/32

△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得ACDE

此時4PCE為等腰直角三角形，即PE=V2PC

因止匕原式=PA+PB+&PC=ED+PB+PE,則當(dāng)B、P、E、D

四點共線時取得最小值，BD長度即為所求，在Rt^BFD

中有勾股定理可得BD=V5F*2+FD2=V91

△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得4CDE

此時4PCE為等腰三角形且NPCE=120°,即

PE=V3PC,因此原式=PA+PB+V5PC=ED+PB+PE,則當(dāng)

B、P、E、D四點共線時取得最小值，BD長度即為所求,

在RtABFD中有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=

760+30V3

思路：原式=2(PA+知B+遺PC)

22

1)將PC邊繞點C旋轉(zhuǎn)60°,然后過點P作PFLCE于

點F,則PF=遑PC2)利用三角形中位線來處理；3)

PA前的系數(shù)是1,不需要轉(zhuǎn)化，所以旋轉(zhuǎn)APCB.

過程：ABCP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得ACDE,然后過

點P作PFLCE于點F,此時4PCE為等邊三角形，即

PF=^pc,過點F作FG〃DE,貝?。軫G=-PB,則當(dāng)A、P、

22

F、G四點共線時取得最小值，AG長度即為所求，在Rt

△ACG中有勾股定理可得AG=VCG+AC2=V341原式

=2(PA+|PB+^PC)=2734

過程：AACP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得ACDE,然后過

點P作PFLCE于點F,此時4PCE為等邊三角形，即

PF+gpc,過點F作FG〃DE,貝ijFG=-AP,則當(dāng)B、P、

22

F、G四點共線時取得最小值，BG長度即為所求，在Rt

△BCG中有勾股定理可得BG=JCG+AC?=7.5,原式=4

5/32

（工PA+PB+避PC）=26

22

備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識進行求解.

【費馬點專項訓(xùn)練】

1.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，ZBAC=90°,AB^AC,點P是A3邊上一動點，作PDLBC

于點。，線段上存在一點。，當(dāng)Q4+Q3+QC的值取得最小值，且4。=2時，貝U9=.

2.（2021?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，已知矩形48C。，AB=4,BC=6,點M為矩形內(nèi)一點，點E為BC

邊上任意一點，則MA+MO+ME的最小值為.

3.（2021?遼寧丹東?統(tǒng)考中考真題）已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點.如

果ATIBC是銳角（或直角）三角形，則其費馬點尸是三角形內(nèi)一點,且滿足NAPB=乙BPC=1PA=120。.（例

如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）.若AB=AC=小,BC=2W,尸為△ABC的費馬點，貝UP4+

PB+PC=；若48=2舊,8。=2,4C=4,尸為△ABC的費馬點，則P2+PB+PC=.

4.（2022下?福建三明?八年級統(tǒng)考期中）【問題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽的法國律師皮耶?德?費

馬，提出一個問題：求作三角形內(nèi)的一個點，使它到三角形三個頂點的距離之和最小后來這點被稱之為“費

馬點”.

如圖，點P是△ABC內(nèi)的一點，將AAPC繞點2逆時針旋轉(zhuǎn)60。到則可以構(gòu)造出等邊△APP'得4P=

PP',CP=CP',所以P4+PB+PC的值轉(zhuǎn)化為「「'+「8+「￡，的值，當(dāng)B,P,P',C四點共線時，線段BC

的長為所求的最小值，即點P為△4BC的“費馬點”.

6/32

c'

(1)【拓展應(yīng)用】

如圖i,點p是等邊AaBC內(nèi)的一點，連接pa,PB,PC,將APAC繞點a逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△ap'c'.

①若尸4=3,則點P與點P'之間的距離是；

②當(dāng)P4=3,PB=5,PC=4時，求NAP，C，的大??；

(2)如圖2,點P是A4BC內(nèi)的一點，且NB4c=90。，AB=6,AC=2V3,求24+PB+PC的最小值.

5.(2023?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題)1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條

直線上的三個點A,B,C,求平面上到這二個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托

里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空,

②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角

形的某個頂點)

當(dāng)小4BC的三個內(nèi)角均小于120。時，

如圖1,將AAPC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△A得C,連接PP，，

7/32

由PC=P'C,LPCP'=60°,可知APCP'為①三角形,故PP'=PC,y.P'A'=PA,i^PA+PB+PC=

PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,當(dāng)B,P,P',A在同一條直線上時，P4+P8+PC取最小值，如圖2,最小值為4B,此時的

P點為該三角形的“費馬點”，且有N4PC=乙BPC=乙4PB=③；

已知當(dāng)△力BC有一個內(nèi)角大于或等于120。時，“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若N84C2120。,

則該三角形的“費馬點，為④點.

(2)如圖4,在AaBC中，三個內(nèi)角均小于120。，且AC=3,BC=4,41c8=30。，已知點尸為△ABC的“費

馬點”，求P4+PB+PC的值；

(3)如圖5,設(shè)村莊A,B,C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知4C=4km,BC=2V3km,乙4cB=60。.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站尸沿直線向A,B,C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站尸到村莊A,B,C的鋪設(shè)成本分別為。

元/km,。元/km,&a元/km,選取合適的尸的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.(結(jié)果用

含a的式子表示)

6.(2021上?江蘇蘇州?八年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？计谥?背景資料：在已知A/IBC所在平面上求一點

P,使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.這個問題是法國數(shù)學(xué)家費馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托

里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”.如圖1,當(dāng)△ABC三個內(nèi)角均小于120。時，費馬點P在AABC

內(nèi)部，當(dāng)41PB=NAPC=乙CPB=120。時，則PA+PB+PC取得最小值.

8/32

(1)如圖2,等邊△ABC內(nèi)有一點P,若點尸到頂點A、B、C的距離分別為3,4,5,求乙4PB的度數(shù)，為了

解決本題，我們可以將AABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到AACP，處，此時AACP，三AABP這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，

將三條線段P4PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出乙4PB=；

知識生成：怎樣找三個內(nèi)角均小于120。的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點與△ABC的另一頂點，則連線通過三角形內(nèi)部的費馬點.請同學(xué)們探索以下問

題.

(2)如圖3,△ABC三個內(nèi)角均小于120。，在AaBC外側(cè)作等邊三角形△ABB1連接CB，,求證：CB'^AABC

的費馬點.

(3)如圖4,在RTA2BC中，ZC=90°,AC=1,Z.ABC=30°,點尸為A4BC的費馬點，連接2P、BP、CP,求

P4+PB+PC的值.

(4)如圖5,在正方形ABCD中，點E為內(nèi)部任意一點，連接4E、BE、CE,且邊長4B=2；求4E+BE+CE的

最小值.

7.(2022?山東德州?統(tǒng)考一模)若一個三角形的最大內(nèi)角小于120。，則在其內(nèi)部有一點所對三角形三邊的張

角均為120。，此時該點叫做這個三角形的費馬點.如圖1,當(dāng)△ABC三個內(nèi)角均小于120。時，費馬點尸在

△ABC內(nèi)部，此時N4PB=乙BPC=NCPA=120°,PA+PB+PC的值最小.

9/32

(1)如圖2,等邊三角形ABC內(nèi)有一點P,若點尸到頂點A,B,C的距離分別為3,4,5,求乙4PB的度數(shù).為

了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將△繞頂點A旋轉(zhuǎn)到處，連接PP',此時AZCP'三△4BP,

這樣就可以通過旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段出，PB,PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出N4PB=.

(2)如圖3,在圖1的基礎(chǔ)上延長BP,在射線8尸上取點D,E,連接AE,AD.使AD=AP,乙DAE=APAC,

求證：BE=PA+PB+PC.

(3)如圖4,在直角三角形ABC中，^ABC=90°,AACB=30°,4B=1,點P為直角三角形ABC的費馬

點，連接AP,BP,CP,請直接寫出24+PB+PC的值.

8.(2021?河南鄭州?鄭州外國語中學(xué)?？寄M預(yù)測)閱讀材料：平面幾何中的費馬問題是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)

家、被譽為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾?德?費馬提出的一個著名的幾何問題.1643年，在一封寫給意大利數(shù)學(xué)

家和物理學(xué)家托里拆利的私人信件中，費馬提出了下面這個極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請求托里拆

利幫忙解答：給定不在一條直線上的三個點A,B,C,求平面上到這三個點的距離之和最短的點尸的位置.托

里拆利成功地解決了費馬的問題.后來人們就把平面上到一個三角形的三個頂點A,B,C距離之和最小的

點稱為的費馬-托里拆利點，也簡稱為費馬點或托里拆利點.問題解決：

(1)費馬問題有多種不同的解法，最簡單快捷的還是幾何解法.如圖1,我們可以將A8PC繞點8順時針

旋轉(zhuǎn)60。得到連接P。，可得ABP。為等邊三角形，故PD=PB,由旋轉(zhuǎn)可得。E=PC,因

PA+PB+PC=PA+PD+DE,由_可知，B4+P2+PC的最小值與線段_的長度相等；

(2)如圖2,在直角三角形內(nèi)部有一動點P,/BAC=90°,ZACB=30°,連接B4,PB,PC,若AB=2,

求PA+PB+PC的最小值；

(3)如圖3,菱形ABCD的邊長為4,ZABC=60°,平面內(nèi)有一動點E,在點E運動過程中，始終有/BEC=90。，

連接AE、DE,在△&￡>￡內(nèi)部是否存在一點P,使得P4+PD+PE最小，若存在，請直接寫出E4+PD+PE的

最小值；若不存在，請說明理由.

10/32

A

9.（2020.江蘇南通?南通市新橋中學(xué)?？家荒＃?）【操作發(fā)現(xiàn)】

如圖1,將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)50。，得到AAOE,連接則NA8O=度.

（2）【解決問題】

①如圖2,在邊長為近的等邊三角形ABC內(nèi)有一點P,ZAPC=90°,ZBPC=120°,求AAPC的面積.

②如圖3,在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,P是△ABC內(nèi)的一點，若PB=1,B4=3,ZBPC=135°,

則PC=.

（3）【拓展應(yīng)用】

如圖4是A,B,C三個村子位置的平面圖，經(jīng)測量4B=4,BC=3V2,ZABC=75°,P為△ABC內(nèi)的一個

動點，連接E4,PB,PC.求E4+P3+PC的最小值.

【加權(quán)費馬點專項訓(xùn)練】

1.（2021.全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，乙4c8=30。,3。=6,4。=5,在△ABC內(nèi)部有一點P,

連接P4PB、PC.（加權(quán)費馬點）求：

(2)PA+PB+魚PC的最小值

(3)P2+PB+V5PC的最小值;

11/32

(4)2P4+PB+gPC的最小值

(5)工PA+PB+且PC的最小值;

(6)2P4+4PB+2百PC的最小值

(7)4P4+2PB+2gPC的最小值;

(8)3P4+4PB+5PC的最小值

題型02胡不歸模型

【模型介紹】從前有一位姓胡的小伙外出學(xué)習(xí)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即決定回家.小伙子

略懂?dāng)?shù)學(xué)常識，考慮到“兩點之間線段最短”的知識，雖然他所在求學(xué)的地方與家之間布滿了砂石，但他

還是義無反顧的踏上了歸途.當(dāng)他趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，

老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”之后的歲月，小伙子不斷的反思：如果我當(dāng)時先沿著驛

道走一段距離，再通過砂石區(qū)域回家，是否能見到父親最后一面呢？如果可以，他應(yīng)該沿著驛道走多遠再

通過砂石區(qū)域回家呢？這就是流傳千百年的“胡不歸問題.

如圖，A是出發(fā)點，B是目的地，直線m是一條驛道，而驛道靠目的地一側(cè)全是砂石，為了選擇合適的

路線，假設(shè)通過驛道速度為vl米/秒，通過砂石區(qū)域速度為v2米/秒(vl>v2),小伙子需要在直線m上

選取一點C,再折往至B,求點C在何處時，用時最短(A-C-B)?

由題目可知A、B為定點，點C在直線m上運動，求tAC+tBC的最小值.

^、=tAC+tBC，+叱+因為vl,v2為定值，所以只需求BC+豈"的最小值即可，因此需

要在圖中構(gòu)造出長度為恐AC的替換線段.因為vl>v2,所以設(shè)"=sina,則在AC外側(cè)作/CAM=a,過點C

%%

作CELAM,則嶗=^=sina,所以CE="4C,原問題轉(zhuǎn)化為工(BC+CE)的最小值，顯然垂線段最短，即

過點B作AM的垂線，與直線m的交點C即為所求點.

12/32

【解題關(guān)鍵】在求形如“PA+KPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+KPB”

型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型.（若k>1,則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）.

【胡不歸模型專項訓(xùn)練】

1.（2023上?四川樂山?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，Z.BAC=90°,ZS=60°,AB=4,若。是BC邊

上的動點，則24。+DC的最小值是（）

A.6B.8C.10D.12

2.（2022?遼寧鞍山?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-x2+bx+3的圖像與無軸交于A、

C兩點，與無軸交于點C（3,0）,若P是無軸上一動點，點。的坐標(biāo)為（0,-1）,連接尸。，則/PD+PC的最

A.4B.2+2V2C.2V2D.|+|企

3.（2022.內(nèi)蒙古鄂爾多斯.統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC=4,ZCAB=30°,ADLBC,垂足

為D,P為線段上的一動點，連接尸8、PC.則以+2PB的最小值為.

13/32

4.（2023?遼寧錦州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtAABC中,^ACB=90°,^ABC=30°,AC=4,按下列步

驟作圖：①在AC和上分別截取45、AE,使力。=AE.②分別以點。和點E為圓心，以大于抄E的長為

半徑作弧，兩弧在NB4C內(nèi)交于點M.③作射線力M交BC于點E若點尸是線段4F上的一個動點，連接CP,

則CP+的最小值是

5.（2020?陜西?模擬預(yù)測）如圖，四邊形48CD是菱形，42=8,且乙43c=60。，M為對角線BD（不含8

點）上任意一點，則AM+抑/的最小值為

6.（2023?湖南湘西?統(tǒng)考中考真題）如圖，O。是等邊三角形A8C的外接圓，其半徑為4.過點B作

于點E,點P為線段BE上一動點（點P不與8,E重合），貝UCP+：8P的最小值為

7.（2023下?全國?九年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系，力（1,1）,直線/:y=[x+l經(jīng)過點H在直

線，上運動，求最小值.

14/32

8.(2022?四川成都?四川省成都市七中育才學(xué)校校考模擬預(yù)測)拋物線y="+bx+百分別交無軸于點

4(1,0),8(-3,0),交y軸于點C,拋物線的對稱軸與無軸相交于點。，點M為線段OC上的動點，點N為

(1)求拋物線的表達式；

(2)線段MN,NC在數(shù)量上有何關(guān)系，請寫出你的理由;

(3)在N移動的過程中，OM+//C是否有最小值，如果有，請寫出理由.

9.(2022下?重慶?八年級統(tǒng)考期末)已知，在正方形A8C。中，點E,歹分別為上的兩點，連接BE、CF,

并延長交于點G,連接。G,H為CF上一點、,連接88、DH,4GBH+乙GED=90°

(1)如圖1,若以為CF的中點，且4F=2DF,DH=當(dāng),求線段A8的長;

(2)如圖2,若BH=BC,過點2作B/1CH于點/,求證：BI+^-DG=CG；

(3)如圖2,在(1)的條件下，尸為線段(包含端點A、D)上一動點，連接CP,過點B作BQ1CP于點

Q,將ABCQ沿8C翻折得△BCM,N為直線AB上一動點，連接MN,當(dāng)ABCM面積最大時，直接寫出彳AN+

MN的最小值.

10.(2021?四川綿陽?統(tǒng)考三模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=|尤+2與無軸交于點A,與y軸交于點

C.拋物線y=a/+b尤+c的對稱軸是尤=—|且經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為點8.

15/32

(1)求二次函數(shù)>=加+法+。的表達式；

⑵點尸為線段A2上的動點，求AP+2PC的最小值；

(3)拋物線上是否存在點過點M作MN垂直x軸于點N,使得以點A,M,N為頂點的二角形與△ABC

相似？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

11.(2021?全國?九年級專題練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線"：y=Rx+百和直線8y=

+b相交于y軸上的點8，且分別交x軸于點A和點C.

(1)求△ABC的面積；

(2)點E坐標(biāo)為(5,0),點尸為直線。上一個動點，點尸為y軸上一個動點，求當(dāng)EF+CF最小時，點/

的坐標(biāo)，并求出此時PF+^OP的最小值.

12.(2019?四川綿陽?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=a/(a>0)的圖象向右平移1個

單位，再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物線,該拋物線與％軸交于點48(點2在點8的左側(cè)),。4=1,

經(jīng)過點4的一次函數(shù)y=kx+b(k豐0)的圖象與y軸正半軸交于點C,且與拋物線的另一個交點為D,A4BD的

面積為5.

16/32

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；

(2)拋物線上的動點E在一次函數(shù)的圖象下方，求/4CE面積的最大值，并求出此時點E的坐標(biāo)；

(3)若點P為無軸上任意一點，在(2)的結(jié)論下，求+的最小值.

13.(2019?湖南張家界?統(tǒng)考中考真題)已知拋物線y=a/+c(a40)過點力(1,0)，B(3,0)兩點，與y

軸交于點C,OC=3.

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；

(2)過點A作AM18C,垂足為求證：四邊形為正方形；

(3)點尸為拋物線在直線BC下方圖形上的一動點，當(dāng)4PBe面積最大時，求點P的坐標(biāo)；

(4)若點。為線段OC上的一動點，問：力Q+：QC是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在,

請說明理由.

題型03阿氏圓模型

【模型由來】已知平面上兩點A、B,則所有滿足PA=k?PB(kWl)的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最

先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”，又稱阿波羅尼斯圓.

【模型解讀1】如圖1所示，。。的半徑為r,點A、B都在。0外，P為。0上的動點，已知r=k?OB.連

17/32

接PA、PB,則當(dāng)PA+kPB的值最小時，P點的位置如何確定?

思路：如圖2,在線段0B上截取0C,使OC=k?r（即吆=k=匕）且NBOP=NCOP,則可說明△BPO

OP0B

與△PCO相似，即署=k.故本題求PA+kPB的最小值可以轉(zhuǎn)化為PA+PC的最小值，其中A與C為定點，P

為動點，故當(dāng)A、P\C三點共線時，PA+kPB的最小值為線段AC的長.

具體步驟：

1：連接動點至圓心0（將系數(shù)不為1的線段兩端點分別與圓心相連接），即連接OP、0B；

2：計算連接線段OP、OB長度；

3：計算兩線段長度的比值OP/OB="k"；

4：在0B上截取一點C,使得OC/OP=OP/OB構(gòu)建母子型相似：

5：連接AC,與圓0交點為P,即AC線段長為PA+K*PB的最小值.

【模型解讀2】如圖點A,B在。。上，。41OB,OA=0B=12,點C是。4的中點，D在。B上，0D=10,

點尸是。。上一動點，則2尸。+尸。的最小值______,PC+3產(chǎn)。的最小值________.

18/32

A

【詳解】解：如圖1,延長04到E,使。4=AE,連接PE、0P,

??CAny—?、1.八.[p.?OP10C1.OP0C1

.0A=0P,。為0A中點，.??一=—=—,

0E20P2OE0P2

ZC0P=ZP0E,:.△OCPs^OPE,—=

OEPE2

：.PE=2PC,...ZPC+PD=PE+P瓦即當(dāng)E、尸、。三點共線時，2PC+PD有最小值,

最小值為j。方2+。02=V242+102=26；

如圖2,延長。3到R使0F==,連接PROP,

"：OD=lO,OP==OA=n,=

-ZD0P=ZP0F,:.△ODPS△OPF,.琮=箓=|,沙,

...PC+^PD=PC+PF,即當(dāng)C、P、P三點共線時，PC+^PD有最小值,

最小值為力。62+。尸2==15.6.

【模型總結(jié)】

對于阿氏圓而言：當(dāng)系數(shù)kVl的時候，一般情況下，考慮向內(nèi)構(gòu)造。

19/32

當(dāng)系數(shù)k>l的時候，一般情況下，考慮向外構(gòu)造。

【注意事項】針對求PA+kPB的最小值問題時，當(dāng)軌跡為直線時，運用“胡不歸模型”求解；

當(dāng)軌跡為圓形時，運用“阿氏圓模型”求解.

【阿氏圓模型專項訓(xùn)練】

1.（2021?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在昭AASC中，ZACB=90°,CB=1,AC=9,以C為圓心、3為

半徑作。C,尸為。C上一動點，連接AP、BP,則:AP+BP的最小值為（）

2.（2023?陜西咸陽??？既＃┤鐖D，在菱形ABC。中，對角線47、BD相交于點。，點E、P分別是?！?、OC

上的兩個動點，且EF=4,尸是EF的中點，連接。P、PC、PD,若AC=12,BD=16,貝IPC+^PD的最小

4

值為.

3.（2022?四川瀘州?四川省瀘縣第一中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，A8為。。的直徑，AB=2,點C與點D在4B的

同側(cè)，且4D14B,BC1AB,AD=1,BC=3,點P是。。上的一動點，則乎PD+PC的最小值為.

20/32

C

D

4.（2022上?浙江.九年級專題練習(xí)）如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，2（0,4）,B（4,0）,P是第一象限內(nèi)一動

點，OP=2,連接4P、BP,則BP+^aP的最小值是.

5.（2020?江蘇常州?統(tǒng)考一模）如圖，在O。中，點A、點B在。。上，AAOB=90°,。4=6,點C在。力上,

且。C=24C,點。是。8的中點，點M是劣弧48上的動點，貝UCM+2DM的最小值為.

6.（2021.全國.九年級專題練習(xí)）如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為。O,尸是。。上一動點，則魚出

+PB的最小值為.

7.（2021.全國?九年級專題練習(xí)）如圖，已知正方ABC。的邊長為6,圓B的半徑為3,點尸是圓B上的一

個動點，貝UP。—的最大值為.

21/32

AD

IB）C

8.（2020?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，乙B=90。,AB=CE=2,以點8為圓心作圓8與4C相

切，點P為圓8上任一動點，貝UPA+'PC的最小值是________.

C

9.（2018?甘肅天水?校聯(lián)考一模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,。：8的半徑為2,點P是。B上的

一個動點，則PD-|PC的最大值為____.

.D

二

Aco

10.（2023下?江蘇宿遷?九年級?？奸_學(xué)考試）圖1圖2圖3

JX

圖4圖5

22/32

【問題呈現(xiàn)】如圖1,ZAOB=90°,。4=4,。8=5,點P在半徑為2的。。上，求|4P+BP的最小值.

【問題解決】小明是這樣做的：如圖2,在0A上取一點C使得OC=1,這樣可得箓=[=:，又因為

ZCOP=ZPOA,所以可得△COPSAPOA,所以生="=工，得CP=工2「所以工+BP=CP+BP.

APOA222

又因為CP+BP>CB70c2+OB2,所以〃P+BP最小值為.

2-

【思路點撥】小明通過構(gòu)造相似形（圖3）,將同P轉(zhuǎn)化成”，再利用"兩點之間線段“最短“求出CP+8P的

最小值.

【嘗試應(yīng)用】如圖4,ZAOB=6Q°,OA=10,。8=9,點P是半徑為6的。。上一動點，求4P+；BP的最小

值.

【能力提升】如圖5,ZABC=120°,BA=BC=8,點。為平面內(nèi)一點且切9=3CD,連接AD,則△A8O面

積的最大值為

11.（2022?廣東惠州?統(tǒng)考一模）如圖1,拋物線y=a/+bx-4與％軸交于人、B兩點，與y軸交于點C,其

中點a的坐標(biāo)為（-1,。），拋物線的對稱軸是直線x=|.

圖1圖2

⑴求拋物線的解析式；

（2）若點P是直線BC下方的拋物線上一個動點，是否存在點P使四邊形2BPC的面積為16,若存在，求出點P的

坐標(biāo)若不存在，請說明理由；

（3）如圖2,過點B作BF1BC交拋物線的對稱軸于點F,以點C為圓心，2為半徑作OC,點Q為OC上的一個

動點，求字BQ+FQ的最小值.

4

23/32

12.(2021.全國.九年級專題練習(xí))如圖，RtAABC,NACB=90。，AC=BC=2,以C為頂點的正方形CDEP

(C、D、E、尸四個頂點按逆時針方向排列)可以繞點C自由轉(zhuǎn)動，且8=/，連接ARBD

(1)求證：△BDCWXAFC

(2)當(dāng)正方形。跖有頂點在線段AB上時，直接寫出80+爭⑦的值；

(3)直接寫出正方形?！晔D(zhuǎn)過程中，8。+也。的最小值.

13.(2017下?江蘇鹽城?九年級階段練習(xí))如圖1,拋物線y=ax2+(a+3)x+3(a*0)與無軸交于點力(4,0),

與y軸交于點8,在無軸上有一動點E(zn,0)(0＜?。?),過點E作x軸的垂線交直線于點N,交拋物

線于點P,過點P作PM±AB于點M.

(2)設(shè)APMN的周長為G，AAEN的周長為。2，若篙=，求機的值.

(3)如圖2,在(2)的條件下，將線段OE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)得到。E',旋轉(zhuǎn)角為a(0。＜a＜90。)，連接E%、

E'B,求E2+|OB的最小值.

14.(2021?全國?九年級專題練習(xí))如圖1,在R72A8C中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,圓C的半徑為

2,點P為圓上一動點，連接AP,BP,求：

@AP+^BP,

24/32

@2AP+BP,

?^AP+BP,

④4P+3BP的最小值.

15.（2021上.江蘇宿遷.九年級?？计谀﹩栴}提出：如圖①，在RtA4BC中，4。=90。，C8=4,C4=6,

0c的半徑為2,P為圓上一動點，連接AP、BP,求的最小值.

（1）嘗試解決:為了解決這個問題,下面給出一種解題思路:如圖①，連接CP,在CB上取一點D,使CD=1,

則啜=S=3又乙PCD=&BCP,所以APCDS^BCP.所以段=（="

CrCDZDrCr2

所以PD=|PB,所以4P+：BP=4P+PD.

請你完成余下的思考，并直接寫出答案：NP+[BP的最小值為________；

（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求]4P+BP的最小值

（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，Z.COD=90°,0c=6,0A=3,0B=5,P是CB上一點，

求2P4+PB的最小值.

AC

k

Bu

圖①圖①備用圖圖②

16.（2019?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-5x+5與x軸,y軸分別交于A,

C兩點，拋物線y=x?+bx+c經(jīng)過A,C兩點，與x軸的另一交點為B

圖1圖2

25/32

（1）求拋物線解析式及B點坐標(biāo)；

（2）若點M為x軸下方拋物線上一動點，連接MA、MB、BC,當(dāng)點M運動到某一位置時，四邊形AMBC

面積最大，求此時點M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；

（3）如圖2,若P點是半徑為2的。B上一動點，連接PC、PA,當(dāng)點P運動到某一位置時，PC+^PA的值

最小，請求出這個最小值，并說明理由.

題型04瓜豆原理

【模型介紹】在幾何雙動點問題中，當(dāng)兩個動點與定點滿足一定條件時，這兩動點的運動規(guī)律會出現(xiàn)“種

線得線、種圓得圓”的關(guān)聯(lián)性，這種關(guān)聯(lián)性，形象地用中國一句俗語“種瓜得瓜、種豆得豆”來形容，取

名為“瓜豆原理”.

【條件】瓜豆原理運用滿足的三個條件（”一定兩動、定角、定比”）；

①有一個定點、兩個動點，且一個動點（從動點）因另一個動點（主動點）的運動而隨之運動；

②兩個動點與定點所連線組成的夾角是定角；

③兩個動點到定點的距離的比值是定值.

【模型一】如圖，點O是定點，點A、B是動點，NAOB=a且"=k,如果A點的運動軌跡是直線，那么

證明過程：如下圖，假設(shè)此時點A運動到點A，，點B運動到點B，,且滿足NA，OB=a,=k

所以/AOA=/BOB\—=—,=k因此△AOA，S/^BOB'.../CtAA=/OBB，，—,=k

...點B在運動過程中，BB5與OB5的夾角始終保持不變，且夾角與/OAA，相等，所以點B的運動軌跡是一

條直線.

直線BB，與直線AA，的夾角為a（8字模型自行證明）