江西省臨川某中學(xué)2024-2025學(xué)年度高一年級上冊第三次月考（12月）數(shù)學(xué)試題【含解析】

臨川二中2024-2025學(xué)年度上學(xué)期高一

第三次月考數(shù)學(xué)卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.命題“三》〉1,Inx—x+l〉0，，的否定為（）

A.3x>1,lnx-x+l<0B,3x<l,lnx-x+l>0

C.Vx<l,lnx-x+l>0D,Vx>l,lnx-x+l<0

【答案】D

【解析】

【分析】利用特稱命題的否定即可得.

【詳解】命題lnx-x+1〉0”的否定為：“Vx〉l,Inx-x+1<0

故選：D.

2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是區(qū)間（0,+。）上的增函數(shù)的是（）

A.y=lnxB.y=2x

C.y=x-D.y=x3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除AB,根據(jù)單調(diào)性排除C,即可得到正確答案.

【詳解】對A：因為函數(shù)歹=1皿的定義域為Q+oo）,

所以函數(shù)>=1皿是非奇非偶函數(shù)，可排除A；

-I11

對B：因為2T=—,21=2，則一/2,且一+2w0,

222

所以函數(shù)歹=2工是非奇非偶函數(shù)，可排除B；

對C：幕函數(shù)y=?在（0,+oo）上單調(diào)遞減，所以可排除C；

對D：因為函數(shù)y=/的定義域為R,定義域關(guān)于原點對稱，

33

（_x）=-X,所以歹=》3為奇函數(shù)，

又y=Y在（0,+8）上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：D

3.已知。＞0,且〃eN"下列三個式子，正確的個數(shù)為（）

]_—n

1

①②療=a；@an

a

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】利用指數(shù)募的運算性質(zhì)可判斷①③；利用根式的運算性質(zhì)可判斷②.

【詳解】因為。＞0,“22且〃eN*，

對于①,①錯;

對于②,當(dāng)〃為奇數(shù)時，位=a；當(dāng)"為偶數(shù)時，折=同=。，②對;

—n

1_!

對于③,。一1I二優(yōu)WQ",③錯.

a

所以，正確的個數(shù)為1.

故選：B.

4.設(shè)機e(0,l),若a=lg機，b=\gm2,c=（lg機則（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【答案】C

【解析】

【分析】由對數(shù)運算公式可得6=21g冽，由條件結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得1g加＜0,結(jié)合不等式性質(zhì)比較

a,b,c大小.

【詳解】?.“（0,1）,

??.Q=lg加<0,Z7=1gm2=21gm<1gm=<2,c=(Igm)2>0,

--c>a>b.

故選：C.

5.函數(shù)/(x)=2'與g(x)=—1—1的交點橫坐標(biāo)所在的一個區(qū)間是()

A.(-7,-6)B.(-6,-5)C,(-5,-4)D.(-4,-3)

【答案】B

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)以》)=2工+；》+1,再根據(jù)零點的存在性定理即可得解.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)/z(x)=2x+；x+l,

因為函數(shù)y=2￡和了=；x+l都是增函數(shù)，

所以〃(尤)是增函數(shù),又〃(―6)<0,A(-5)>0,

所以函數(shù)的零點在(一6,-5)內(nèi),

即函數(shù)/(x)=2'與g(x)=-的交點橫坐標(biāo)所在的一個區(qū)間是(-6,-5).

故選：B.

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及特殊點的函數(shù)值來確定正確答案.

【詳解】Jx，+1-x>=|x|-x>0,Vx2+1-x>0，

令yJx2+1-x=1,Vx2+1=x+l,x=0<

所以/(x)的定義域是{x|xwO},

7

2f+2、2r+2、

x2+1-xj,所以/(x)是奇函數(shù),

<Vx2+1-xJ

圖象關(guān)于原點對稱,所以CD選項錯誤.

5

=___2___<0,所以A選項錯誤，所以B選項正確.

ln(V2-l)

故選：B

7.下列選項中，是“0是集合M={x|ax2+2x+l=0,Q￡R}的真子集，，成立的必要不充分條件的是

()

A.ae(-oo,0)B.ae(-<?,0]

C.ae(-co,l]D.ae(-co,2)

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可知河|XE,即方程口/+2》+1=0有實數(shù)解，當(dāng)。=0時，符合題意，當(dāng)時，由

A=4-4a>0解得。的范圍即為“。是集合拉={x|ax2+2x+l=0,aeR}的真子集”成立的充要條件，即

為所選選項的真子集，進而可得正確選項.

【詳解】若"0是集合M={x|ax2+2x+l=0,aeR}的真子集”

所以A/={x|ax2+2x+1=0,aeR}w0,

所以方程辦2++1=0有實數(shù)解，

當(dāng)a=0時，由2x+l=0可得x=符合題意，

當(dāng)aW0時，由△=4-4a>0可得a<1,

所以。W1且aW0,

綜上所述：M={x|ax2+2x+l=O,aeR)^0的充要條件為a<l；

即“0是集合河=卜|a—+2x+1=0,aeR}的真子集”成立充要條件為a<l；

所選集合是a<1的必要不充分條件，則應(yīng)是所選集合的真子集,

由選項判斷A,B,C都不正確，選項D正確；

故選：D.

8.荀子《勸學(xué)》中說：“不積蹉步，無以至千里；不積小流，無以成江海.”所以說學(xué)習(xí)是日積月累的過程,

每天進步一點點，前進不止一小點.我們可以把（1+1%）365看作是每天的“進步”率都是1%,一年后是

1.01365?37.7834;而把看作是每天“退步”率都是1%,一年后是0.99兆5B0.0255.若“進步”的值

是“退步”的值的10倍，大約需經(jīng)過（參考數(shù)據(jù)：lgl01"2.0043,lg99“L9956）（）天.

A.100天B.105天C.110天D,115天

【答案】D

【解析】

【分析】結(jié)合已知條件，利用對數(shù)運算即可求解.

【詳解】設(shè)經(jīng)過x天“進步”的值是“退步”的值的10倍.

則10x0.99、=1.01、，即（澈『=10,

故恒（黑）7gio=i，故戶舟畫引⑸

故大約經(jīng)過115天.

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出選項中，有多項符合題目

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，選錯的不得分.

9.托馬斯說：“函數(shù)是近代數(shù)學(xué)思想之花”，根據(jù)函數(shù)的概念判斷：下列關(guān)系屬于集合2={-1,0,1}到集合

8={0,1}的函數(shù)關(guān)系的是（）

A.y=2xB,y=\x\

12

C.y=-D.y=x

x

【答案】BD

【解析】

【分析】通過分析不同函數(shù)中對應(yīng)的集合A中元素的值，即可得出結(jié)論.

【詳解】由題意，

4={—1,0,1},8={0,1}

A項，在y=2x中，當(dāng)x=—1,0』時，對應(yīng)函數(shù)值為一2,0,2,與集合B不對應(yīng)，A錯誤；

B項，在>=國中，當(dāng)x=-l,0,l時，對應(yīng)的函數(shù)值分別為1,0,1,B正確；

C項，在>=工中，當(dāng)x=-1,0』時，定義域不合要求，C錯誤；

X

D項，在>=/中，當(dāng)x=-1,0/時，對應(yīng)的函數(shù)值分別為1,0,1,D正確；

故選：BD.

10.下列命題成立的是()

A.若a<6<0,則/+/〉+B.若a〉b〉0,則a—>b——

ab

C.若a<6<0,貝！|—<—D.若a〉b〉0,則一<-----

abaa+2

【答案】BD

【解析】

【分析】利用特殊值和不等式的性質(zhì)即可確定正確答案.

【詳解】對于A選項，取。=—2,b=-l,則/+63=_9<_6=。2人+仍2,所以A選項錯誤.

對于B選項，若a〉b〉0,則a-；=(b—》+(a—b)(l+答)》b",所以B選項正確.

對于C選項，取a=—2,b=-l,貝H=V>-1=；,所以C選項錯誤.

a2b

對于選項，若則所以選項正確.

DQ>b>0,——--------<-------------8-+--2,D

aa(a+2)a(a+2)a+2

故選：BD.

11.已知定義在R上的函數(shù)y=/(x),對任意實數(shù)。也c滿足/+62=02,均有

/(。)+/伍)+/(。)=0.函數(shù)g(x)=/(x)+2x+3在xe[-2,2]的最大值和最小值分別為M，加.則下

列說法正確的是()

A./(x)必為奇函數(shù)

B./(x)可能為偶函數(shù)

C.M+加不一定為定值，且與/(x)的單調(diào)性有關(guān)

D.M+加為定值，且定值為6

【答案】ABD

【解析】

【分析】賦值法判斷A,B,再運用奇偶性質(zhì)求出最大最小值之和判斷C,D.

【詳解】令a=8=c=0,滿足/+62=02,則有/(o)+/(o)+/(o)=o,貝g/(o)=o；

^a=-x,b=O,c=x,滿足/+〃=°2,則有/(一》)+/(0)+/吊)=0,gpf(-x)=-f(x),

且定義域為R關(guān)于原點對稱，故函數(shù)/(X)為奇函數(shù)；A正確.

若/(x)=0,則/(x)符合題意且為偶函數(shù)；則B正確.

因為/(x)與2x為奇函數(shù)，故/(x)+2x也為奇函數(shù)，設(shè)其在[-2,2]的最大值與最小值分別為Mo與

加0，

由奇函數(shù)的性質(zhì)M0+%。=0,對于函數(shù)g(x)=/(x)+2x+3,其最大值與最小值分別為

M=Mo+3,m=m0+3,

故M+優(yōu)=6,C錯誤，D正確.

故選:ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，則/(x)的值域為.

【答案】[-1,2]

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象即可得出函數(shù)的值域.

【詳解】由圖象可知，函數(shù)f(x)的值域為[T,2].

故答案為：[T2].

13.已知函數(shù)/(力=1080.5(/-"+3。)在(2,+00)上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍.

【答案】[■4,4]

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合真數(shù)大于零，列出不等式求解即可.

【詳解】由題意，函數(shù)〉=/—"+3。在（2,+8）上單調(diào)遞增,

且Y一ax+3a〉0對于xe（2,+co）恒成立，

為2

則《2,解得一4<。<4,

2~—2a+3a>0

即實數(shù)。的取值范圍為[-4,4].

故答案為：[-4,4].

x2+4、

14.已知函數(shù)/（x）=<jx,若對任意的西e[2,+8）,都存在唯一的/e（-oo,2）,滿足

2A&x<2

/（X2）=/（%1）,則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】0Wa<4

【解析】

【分析】利用基本不等式求出2時的值域，由題意/（x）可得在2時的值域包含在x<2時的值域

范圍，且V24時一個y的值只能有2個x值與之對應(yīng)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求解實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】當(dāng)xN2時，函數(shù)/（x）=x+±22jx?？=4,當(dāng)且僅當(dāng)％即x=2時，等號成立，

所以>=二在[2,+8）上的值域為[4,+8）,且/（X）=X+±在[2,+8）上單調(diào)遞增；

XX

當(dāng)x<2時，則/（X）=2-4,

①當(dāng)a<2時，由y=2,單調(diào)遞增，/=卜-4在（-e,a）上單調(diào)遞減，在（a,2）上單調(diào)遞增，

所以/（x）=2i在（-叫。）上單調(diào)遞減，在（凡2）上單調(diào)遞增，且/⑷=1<4,

要使對任意的王e[2,+8）,都存在唯一的馬6（一。,2）,滿足/（》2）=/（玉），

則2酎4<4,所以|2-a|42,解得0<a<4,又。<2,所以0〈a<2；

②當(dāng)a22時，/（x）=2°r在（-。,2）上單調(diào)遞減，要使對任意的玉e[2,+。），

都存在唯一的/e（-°°，2）,滿足/（》2）=/（苞），則2>2<4，解得a<4,

又所以2VQ<4；

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是0Wa<4.

故答案為：0Wa<4

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.

15.化簡求值：

(1)2T+2-(e-l)(+-7=------164；

V5+2

(2)lgVs+lgyj20+1g——1g25

【答案】⑴7+V5

(2)-1

【解析】

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)、根式運算來求得正確答案.

(2)根據(jù)對數(shù)運算來求得正確答案.

【小問1詳解】

2V+2-(e-l),

V5-2

(33)J+2+

=32+2+V5-2-2=7+V5.

【小問2詳解】

lgV5+lgV20+lg；—lg25

=lglO+lgW2=l-2=-l

16.已知函數(shù)/(x)=a*,(a>0且aw1).

(1)若/(D+/(—l)=g，求〃2)+〃一2)的值；

Q

(2)若函數(shù)/(x)在［-1』上的最大值與最小值的差為求實數(shù)。的值.

17

【答案】⑴/(2)+/(-2)=—

(2)。的值為3或4.

3

【解析】

【分析】(1)利用/(l)+/(—l)=g,求出。，得到結(jié)果.

(2)判斷函數(shù)/(x)在上的單調(diào)性，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，通過已知條件列方程求解即可.

【小問1詳解】

v/(x)=ax,+=

.??/(l)+/(T)=a+X,

解得：〃=2或。=一，

2

17

當(dāng)a=2時，/(x)=2工，/(2)+/(-2)=22+2-2=—,

當(dāng)”;時，/(*)=0,/⑵+/(-2)=出+出=5'

故+=

【小問2詳解】

當(dāng)a〉l時，/(》)=/在［-1』上單調(diào)遞增，

Q

/OOmin=/⑴一/(一1)="/=『

化簡得3/—8。一3=0，

解得：(舍去)或。=3.

當(dāng)0<4<1時，/(》)=/在［—1』上單調(diào)遞減，

Q

???/(X)max-/Wmin=/(-1)-/(1)=G-。,

化簡得3a2+8”3=0.

解得：a=-3(舍去)或。=’.

3

綜上，實數(shù)。的值為3或』.

3

17.函數(shù)=—c,其中ceR.

(1)若c=l,求/(x)的零點；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個零點為，x2(xt<x2),求4再+々的最小值及取得最小值時的。值.

【答案】(1)1和100

(2)[40,+“)

【解析】

【分析】(1)將。=1代入，令/(x)=0,結(jié)合對數(shù)運算求得x的值即可得出答案；

(2)將兩個零點用。表示，結(jié)合基本不等式即可得解.

【小問1詳解】

當(dāng)c=l時，/(x)=|l-lgx|-l,

令/(x)=0,可得—=所以lgx=0或lgx=2,

解得x=l或x=100,即函數(shù)/(x)的零點為1和100；

【小問2詳解】

令/(x)=0,可得(_lgx|=c,顯然此時c>0,

可得1-Igx=c或1一Igx=-c,由$<々得％=10?或%=101+c,

則4^+x,=4x101-c+101+e>2V4xlO1-exlO1+c=40，

當(dāng)且僅當(dāng)4x10?=101+c，即c=lg2時等號成立，

故4再+x2的取值范圍為[40,+。).

18.環(huán)保生活，低碳出行，電動汽車正成為人們購車的熱門選擇.某型號的電動汽車在國道上進行測試，

國道限速80km/h.經(jīng)多次測試得到該汽車每小時耗電量M(單位：Wh)與速度v(單位：km/h)的數(shù)據(jù)

如下表所示：

V0104060

M0132544007200

為了描述國道上該汽車每小時耗電量M與速度v的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：

①M(v)=￡v3+bv2+cv；②A/2(V)=1OOO[|J+a；③=3001og“v+6.

(1)當(dāng)80時，請選出你認為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型(需說明理由)，并求出相應(yīng)的函

數(shù)解析式；

(2)現(xiàn)有一輛同型號電動汽車從A地行駛到B地，其中高速上行駛200km,國道上行駛30km,若高速

路上該汽車每小時耗電量N(單位：Wh)與速度v(單位：km/h)的關(guān)系滿足"(丫)=2y_101，+200

(80WvW120),則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少？

【答案】(1)M(v)='v3+bv2+cv符合，M,(y)=—v3-2v2+150v

4040

(2)當(dāng)高速路上速度為80km/h,國道上速度為40km/h時，總耗電量最少，為33500Wh

【解析】

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性排除②，根據(jù)定義域排除③即可；

(2)根據(jù)題意可得高速路上的耗電量/(v)=400(v+39-5),再分析了什)的單調(diào)性求得告訴上的耗電量,

V

再根據(jù)⑴中求得的M(")=，/_2”2+150V,可得國道上的耗電量〃(v)=30由(v—Of+llO],根據(jù)

二次函數(shù)的最值分析最小值即可

【小問1詳解】

因為函數(shù)M2(V)=IO°O1|]+。是定義域上的減函數(shù)，又可3(。)無意義，所以函數(shù)

AG(v)=100。+。與M3(v)=300log/+6不可能是符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型,

1a,

故加;。)=打丫3+加2+”是可能符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型.

1

Q=----

M(10)=132540

由<拉](40)=4400,

得:b=-2,所以2V2+i50v

M(60,=7200

c=180

【小問2詳解】

由題意，IWJ速路上的耗電量/。)=N(v)x-----=400(vH--------5)

VV

任取匕,匕e[80,120],當(dāng)匕<匕時，/(v,)-/(v2)=40°?！肛?T㈣<0

所以函數(shù)y=/(v)在區(qū)間[80,120]上是增函數(shù)，所以/“=/(80)=30500wh

國道上的耗電量h(v)=M.(v)x—=30(—V2-2V+150)=30[—(v-40)2+110]

―v4040

所以。⑺mm="(40)=3300Wh

所以當(dāng)高速路上速度為80km/h,國道上速度為40km/h時，總耗電量最少，為33500Wh

2

19.已知函數(shù)/(x)=lgmH-----，meR.

2X

(1)當(dāng)機=一1時，求函數(shù)/(x)的定義域；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)+2xlg2有且僅有一個零點，求實數(shù)機的取值范圍；

(3)任取4x2&[t,t+2],若不等式|/(再)一/(%)卜1對任意才且1,21恒成立，求實數(shù)加的取值范

圍.

【答案】(1)("J)

(2)[O,+c?)U{-l}

(3)[----,+oo)

12

【解析】

2

【分析】(1)將機=一1代入/(X)中，根據(jù)—1+級＞0,解出不等式即可；

(2)由題可知，函數(shù)g(x)=lg[M++2xlg2有且僅有一個零點，則可得機伍)2+2?2=1=0方程

有且僅有一個根，然后求出機的范圍；

(3)由條件可得/(