空間幾何體-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)學(xué)案（含答案）

專題六空間幾何體

【題型分析】

考情分析：

從近幾年高考的情況來(lái)看，以柱體、錐體和球體為背景求空間幾何體的表面

積與體積是高考常考內(nèi)容，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，屬于簡(jiǎn)單題.

題型1空間幾何體的最短距離問(wèn)題

典例精析

例1

如圖，在底面為正三角形的直三棱柱中，AB=2?AAi=2,〃為AC

的中點(diǎn)，一只小蟲(chóng)從點(diǎn)Bi沿三棱柱ABC-AiBrQ的表面爬行到點(diǎn)M處，則小蟲(chóng)

爬行的最短路程為.

方法總結(jié)：

空間幾何體的最短距離問(wèn)題，一般是將空間幾何體展開(kāi)成平面圖形，轉(zhuǎn)化成求平

面中兩點(diǎn)間的最短距離問(wèn)題，注意展開(kāi)后對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)和邊.

跟蹤訓(xùn)練

如圖，在正三棱錐UA3C中，VA=VB=VC=8,ZAVB=ZAVC=ZBVC=30°,過(guò)

點(diǎn)A作截面AER,其中點(diǎn)E,R分別在VB,VC上，則△AER的周長(zhǎng)的最小值為

A.6V2B.6V3

C.8V2D.8V3

題型2空間幾何體的表面積和體積問(wèn)題

典例精析

例2多選題如圖，在圓臺(tái)中，四邊形ABCD為其軸截面，

AB=AD=BC=^CD=2,則（

A.線段AC=2^/3

B.該圓臺(tái)的表面積為1171

C.該圓臺(tái)的體積為7百兀

D.沿著該圓臺(tái)的表面，從點(diǎn)C到AD中點(diǎn)的最短距離為5

方法總結(jié)：

1.求解空間幾何體表面積的類型及方法

只需將它們沿著棱“剪開(kāi)”，展開(kāi)成平面圖形，

求多面體的表面積利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面

積

可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程及其幾何特征入手，

求旋轉(zhuǎn)體的表面積將其展開(kāi)后求表面積，但要搞清楚它們的底面

半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系

求不規(guī)則幾何體的表通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、

面積臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的

表面積，再通過(guò)求和或作差，求出所給幾何體

的表面積

2.求空間幾何體體積的常用方法

公式法對(duì)于規(guī)則幾何體的體積問(wèn)題，可以直接利用公式進(jìn)行求解

把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或

割補(bǔ)法者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成

熟悉的幾何體，便于計(jì)算其體積

一個(gè)幾何體無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的.如果一個(gè)幾何體

等體積的底面面積和高較難求解，我們可以采用等體積法進(jìn)行求解.等

法體積法是通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法，多

用來(lái)解決有關(guān)錐體體積的問(wèn)題，特別是求三棱錐的體積

E跟蹤訓(xùn)練

（2024年新高考全國(guó)/卷）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們

的高均為百，則圓錐的體積為（）.

A.2，57iB.3百兀C.6百?？?9遍兀

題型3球的相關(guān)問(wèn)題

典例精析

例3（改編）《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語(yǔ)，指的是一段類

似隧道形狀的幾何體.如圖，在“羨除23CDER中，底面A3CD是正方形，EF//

平面ABCD,△ADE和^BCF均為等邊三角形，且EF=2AB=6,則這個(gè)幾何體

的外接球的表面積為.

方法總結(jié)：

1.求空間多面體的外接球半徑的常用方法

(1)補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到

正方體或長(zhǎng)方體中去求解.

(2)定義法：到空間多面體的各個(gè)頂點(diǎn)距離

均相等的點(diǎn)為該空間多面體的外接球的球心，借助底面的外接圓圓心，找其垂線,

則球心一定在垂線上，再根據(jù)球心到其他頂點(diǎn)的距離等于半徑，列關(guān)系式求解即

可.

2.幾何體內(nèi)切球問(wèn)題的處理策略

解題時(shí)常用以下結(jié)論確定球心和半徑：

(1)球心在過(guò)切點(diǎn)且與切面垂直的直線上；

(2)球心到各面的距離相等；

3V

(3)利用體積求多面體內(nèi)切球的半徑廠，即r=s(V為多面體的體積).

表面積

同跟蹤訓(xùn)練

已知某種有蓋的圓柱形容器底面圓的半徑為1+V2,高為100,現(xiàn)有若干個(gè)半徑

為魚(yú)的實(shí)心球，則該圓柱形容器內(nèi)最多可以放入個(gè)這種實(shí)心球.

【真題改編】

1.(2024年新高考全國(guó)/卷，T5改編)已知圓柱和圓錐的側(cè)面積相等，圓錐的軸截

面為邊長(zhǎng)為2的正三角形，則圓柱的軸截面的面積為().

A.2V3B.2

C.V3D.1

2.(2024年新高考全國(guó)〃卷，T7改編)已知在正三棱臺(tái)ABC-ArBiCr中，AB=6,

-1

AiS=3,AiA與平面ABC所成角的正切值為點(diǎn)則三棱臺(tái)ABC-A^Ci的體積為

().

3.(2023年全國(guó)乙卷，理科T8改編)已知圓錐PO的底面半徑為8，O為底面的

圓心，PA,P3為圓錐的母線，NAO3=120。.若△必3的面積為見(jiàn)I,則該圓錐的

4

內(nèi)切球的半徑為（）.

AB3正五Q遮一魚(yú)口限魚(yú)

22,22

4.（2024年全國(guó)甲卷，理科T14改編）已知圓臺(tái)甲、乙的上底面半徑均為ri,下底

面半徑均為r2,母線長(zhǎng)分別為百⑴力），3⑴力）.若曖療=1,則這兩個(gè)圓臺(tái)的體積

之和為.

5.（2023年新高考全國(guó)〃卷，T14改編）底面邊長(zhǎng)為6的正三棱錐被平行于其底面

的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2的正三棱錐，所得棱臺(tái)的體積為26,則原

正三棱錐的高為.

6.（2023年新高考全國(guó)/卷，T14改編）用一個(gè)與正四棱錐P-ABCD的底面平行的

平面去截該棱錐，得到一個(gè)正四棱錐P-AiBiCiDi與一個(gè)正四棱臺(tái)ABCD-

AiBiCiDi,若A3=2,4151=1,AAi=V2,則正四棱錐P-A3CD外接球的表面積

為.

【最新模擬】

（總分：84分單選題每題5分，多選題每題6分，填空題每題5分）

強(qiáng)基訓(xùn)練

1.（改編）已知圓錐的底面半徑為2,其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為與的扇形，則該

圓錐的母線長(zhǎng)為（）.

A.5B.6C.7D.8

2.已知底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為遮的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該

球的體積為（）.

A.—B.471C.27TD.—

33

3.如圖所示，在正方形鐵皮上剪下一個(gè)扇形和一個(gè)直徑為2的圓，使之恰好圍成

一個(gè)圓錐，則圓錐的高為（）.

A.2V3B.V13C.V15D.V17

4.燈籠起源于中國(guó)的西漢時(shí)期，兩千多年來(lái)，每逢春節(jié)人們便會(huì)掛起象征美好團(tuán)

圓意義的紅燈籠，營(yíng)造一種喜慶的氛圍.如圖1,某球形燈籠的輪廓由三部分組成,

上、下兩部分是兩個(gè)相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面的一部分（除去兩個(gè)“球缺”）.

如圖2,“球缺”是指一個(gè)球被平面所截后剩下的部分，截得的圓面叫作“球缺”的

底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫作“球缺”的高.已知“球缺”的體積公式為

%2,其中R是球的半徑，力是“球缺”的高.已知該燈籠的高為40cm,圓

柱的高為4cm,圓柱的底面圓直徑為24cm,則該燈籠的體積約為（）.（取兀=3）

圖2

A.32000cm3B.33664cm3

C.33792cm3D.35456cm3

5.多選題（改編）如圖，已知圓臺(tái)的下底面直徑A3=4,母線3c=2,且ACL3C,

P是下底面圓周上一動(dòng)點(diǎn),

A.圓臺(tái)。。的表面積為11兀

B.圓臺(tái)的體積為8兀

C.三棱錐A-BCP體積的最大值為出

3

D.R1+PC的最大值為6

6.已知棱長(zhǎng)為1的正方體紙盒展開(kāi)后如圖所示，則在原正方體紙盒上,分別將M,

N,C,。四點(diǎn)兩兩相連，構(gòu)成的幾何體的表面積為

7.已知正三棱柱ABC-A^BiCi的體積與以△ABC的外接圓為底面的圓柱的體積相

等，則正三棱柱ABCABCi與圓柱的側(cè)面積的比值為.

8.（改編）如圖1所示，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，E,RM分別為3C,CD,

BE的中點(diǎn)，分別沿AE,AR及所在直線把△AE5,△ARD和△ERC折起，

使3,C,。三點(diǎn)重合于點(diǎn)P,得到三棱錐尸-AER如圖2所示，則三棱錐P-AER

的外接球的體積是;過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐P-AEF的外接球所得截面

的面積的取值范圍是.

能力提升

9.已知分別以銳角三角形A3C的邊A3,BC,AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾

何體體積之比為舊；V6：2,則cosZABC=（）.

A5^3B5^2c3V2DV6

*12*128*12

10.已知某圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為廠1,廠2,且/■znZri,若半徑為2的球與圓

臺(tái)的上、下底面及側(cè)面均相切，則該圓臺(tái)的體積為（）.

A28n?40n-5611—112TC

A.——B.—C.—D.------

3333

11.多選題（改編汝口圖，在矩形A3CD中，AB=2AD=2,E是邊AB的中點(diǎn)，將

△ADE沿直線DE翻折成△AiDE（點(diǎn)4不落在底面BCDE內(nèi)），連接AxB,AiC.

若M為線段AC的中點(diǎn)，則在AADE的翻折過(guò)程中，下列結(jié)論正確的是（）.

A.BM〃平面AiDE恒成立

B.存在某個(gè)位置，使DEL4C

C.線段3M的長(zhǎng)為定值在

2

DM/1DE：%-BCDE=1：3

12.如圖，這是為球形物品設(shè)計(jì)制作的正四面體、正六面體、正八面體形狀的包裝

盒，最少用料分別記為Si,S2,S3,則它們的大小關(guān)系為（）.

A.S1<S2Vs3B.S3Vs2<S1

C.S3<S1<S2D.S2Vs3Vsi

13.多選題已知圓錐SO的側(cè)面積為3兀，母線SA=l,底面半徑為廠，點(diǎn)P滿足

AP=2PS，則（）.

A.當(dāng)廠=1時(shí)，圓錐S。的體積為出

3

B.當(dāng)廠=|時(shí)，過(guò)頂點(diǎn)S和兩母線的截面三角形的最大面積為西

Z4

C.當(dāng)r=l時(shí)，從點(diǎn)A繞圓錐SO一周到達(dá)點(diǎn)P的最短距離為舊

D.當(dāng)1=3時(shí)，棱長(zhǎng)為魚(yú)的正四面體在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)

14.已知矩形A3CD,其中A3=8,AD=4,將點(diǎn)。沿著對(duì)角線AC進(jìn)行翻折，形

成三棱錐D-A3C,如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是.（填序號(hào)）

①點(diǎn)D在翻折過(guò)程中存在BD'±AC的情況；②三棱錐D'-ABC可以四個(gè)面都是

直角三角形；③點(diǎn)。在翻折過(guò)程中，三棱錐D-A3C的表面積不變；④點(diǎn)。在翻

折過(guò)程中，三棱錐的外接球的體積不變.

創(chuàng)新思維

15.多選題（人教A版必修第二冊(cè)P152練習(xí)T2改編）在《九章算術(shù)》中，將底面

為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形

的四面體稱為鱉席.如圖，在陽(yáng)馬P-ABCD中，側(cè)棱底面ABCD,

CD=2PD=2AD=2,則下列結(jié)論正確的有（）.

A.四面體R4CD是鱉席

B.陽(yáng)馬P-ABCD的體積為|

C.點(diǎn)D到平面PAC的距離為|

D.陽(yáng)馬P-ABCD的外接球的表面積為6兀

16.（原倉(cāng)U）在正四棱臺(tái)ABCD-AbBiGDi中，AB=3AbBi=3,AAi=2,P為棱35上

的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），給出下列結(jié)論：04P+PC的最小值為3g；②4P+PG的最小

值為舊.下列判斷正確的是（）.

A.①與②t勻錯(cuò)誤

B.①正確，②錯(cuò)誤

C.2錯(cuò)誤，②正確

D.①與②k勻正確

參考答案

專題六空間幾何體

分類突破題型分析

題型1空間幾何體的最短距離問(wèn)題

例］V19

【解析】如圖1，將三棱柱ABC-AiBiCi的側(cè)面BBiCiC和側(cè)面CCiAjA沿CCi展

開(kāi)在同一平面內(nèi)，連接MBi.

:M是AC的中點(diǎn)，AABC和是等邊三角形，.：CM=1AC=V3>

BM=CM+BC=3y/3.

在中，由勾股定理，得BiMfBM2+BB廣尼.

如圖2,將三棱柱ABC-AiBiCi的上底面ABC和側(cè)面BB^A沿AB展開(kāi)在同一平

面內(nèi)，連接“51,過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)R交A3于點(diǎn)E易知四邊形AERli

是矩形，ME1AB.

在Rt^AME中，ZMAE=60°,.".ME=AMsin60°=1,AiF=AE=AM-cos60°=—,

22

/.MF=ME+EF=^-,31尸=431-4尸=迪.在RtAMFBi中，由勾股定理，得

22

+FM2=V19.

如圖3,將三棱柱ABCAIiCi的下底面A131G和側(cè)面A41GC沿4G展開(kāi)在同

一平面內(nèi)，連接Bi",交4G于點(diǎn)N,則BiMLAC,JBlN，AlCl.在Rt△AlNBl

中，N7VAbBi=60°,.：3iN=AbB「sin60°=3,/.BiM=BiN+MN=5.

：,V19<5<V3T，.:小蟲(chóng)爬行的最短路程為舊.

圖2圖3

c

【解析】沿側(cè)棱VA把正三棱錐V-ABC展開(kāi)在同一個(gè)平面內(nèi)，如圖所示，

則44,即為△AER的周長(zhǎng)的最小值，又因?yàn)?4丫3=/4▽。=/3丫。=30。，所以

NAVA'=3x30°=90°.

在中，儂=%，=8,由勾股定理，MAA'=y/VA2+VA-2=V82+82=8V2.

題型2空間幾何體的表面積和體積問(wèn)題

例2ABD

【解析】由題意可知，四邊形A3CD是等腰梯形，AB=AD=BC=2,8=4,則等

腰梯形A3CD的高就是圓臺(tái)的高，設(shè)其為力，則//斗吸(粵軍=逐

對(duì)于A,在等腰梯形ABCD中，AC=J九2+g—弩與2=25故A正確；

對(duì)于B,圓臺(tái)的表面積S=7ix了+兀x22+7l(1+2)x2=1171,故B正確；

對(duì)于C,圓臺(tái)的體積丫=)(12+1*2+22?8=竽，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,將圓臺(tái)一半的側(cè)面展開(kāi)，如圖所示，且E為AD的中點(diǎn)，而圓臺(tái)對(duì)應(yīng)的

圓錐半側(cè)面展開(kāi)圖形為扇形C。。且。C=4,又NCOD=§4，在Rtz\COE中，

CE=V4^=5,斜邊CE上的高為鬻#>2,即CE與弧口相離，所以CE

在圓臺(tái)表面，所以點(diǎn)C到AD中點(diǎn)的最短距離為5,故D正確.故選ABD.

跟蹤訓(xùn)練B

【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為「，則圓錐的母線長(zhǎng)為正F，

因?yàn)樗鼈兊膫?cè)面積相等，所以2jirxV3=Jir-VT+72,即2g解得r=3,

故圓錐的體積為宗x9xb=3百兀.故選B.

題型3球的相關(guān)問(wèn)題

例33671

【解析】

如圖，連接3D,分別取EEBD,AD的中點(diǎn)G,H,I,連接GH,HI,E/.由底

面ABCD是正方形，ER〃平面ABCD,AADE和△3CR均為等邊三角形，得

EG//1H,底面A3CD又ER=2A3=6,所以EG=AD=AB=3,則E/哼4。=耍

汨=|鉆=|,故GH=J(苧)2⑶|)2=孚設(shè)“羨除”—ER的外接球的球心為

0,由“為底面正方形的中心，HGLIH,得“羨除23CDER外接球的球心。在

直線GH上，連接01,OE,0A,設(shè)“羨除23CDER的外接球的半徑為r,OH=a,

則OA=OE=r.

因?yàn)榈酌鍭BCD,ADu平面A3CD,所以GH,AD又田，IH,GHu

平面IOH,所以AD,平面IOH.又/Ou平面IOH,所以AD±IO,所以102=^-

"=E(|)2.

又/。2=。小由2=層+(|)2,所以凡(|)2=/+(|)2,即產(chǎn)=層+.

又b。2=3=(苧一。)2+32=內(nèi)3近。+券，所以內(nèi)3/行當(dāng)=4+：解得苧，

故/=層+[=2+2=9,即r=3,則這個(gè)幾何體的外接球的表面積5=4兀戶=36兀

跟蹤訓(xùn)練49

【解析】

R

如圖，將第1個(gè)實(shí)心球。1靠近該圓柱形容器側(cè)面放置，球。1上的點(diǎn)到該圓柱形

容器下底面的最大距離為2世.將第2個(gè)實(shí)心球Q也靠近該圓柱形容器側(cè)面放

置，過(guò)點(diǎn)Q作。缶垂直于該圓柱形容器的母線，垂足為A,過(guò)點(diǎn)。2作垂

直于該圓柱形容器的下底面,垂足為A設(shè)。3八。23=。,易得AC=BC=&,C0i=2,

則。。2=瘋夠三=2,球。2上的點(diǎn)到該圓柱形容器下底面的最大距離為2+2魚(yú).

同理可得球Q上的點(diǎn)到該圓柱形容器下底面的最大距離為4+2魚(yú).由此規(guī)律可

得，每多放一個(gè)球，最上面的球上的點(diǎn)到該圓柱形容器下底面的最大距離都加2.

因?yàn)?8x2+2V2<100<49x2+2V2,所以該圓柱形容器內(nèi)最多可以放入49個(gè)這種

實(shí)心球.

分類突破真題改編

1.B

【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為廣，高為h,因?yàn)閳A錐的軸截面為邊長(zhǎng)為2的正三

角形，所以圓錐的底面半徑為1,圓錐的高為百，則圓錐的母線長(zhǎng)為2,所以圓

錐的側(cè)面積為2兀，則2nrh=2n,解得rh=l,所以圓柱的軸截面的面積為2rli=2.

故選B.

2.C

【解析】將正三棱臺(tái)ABC-AiBrCi補(bǔ)成正三棱錐P-ABC,如圖所示，

則AiA與平面ABC所成的角就是PA與平面A3C所成的角.

因?yàn)榭?嚕鳥(niǎo)，所以鏟&[，所以以

PAAB2Vp8-111o

設(shè)正三棱錐P-ABC的高為d,則Vp4BC=[gx6x6x畀3gd.

設(shè)底面ABC的中心為。，連接尸。，A0,則P。，底面A3C,且A0=2g,所以

PA與平面ABC所成角的正切值為tanZPAO=^-=L

所以尸。=乂。=出，即1=「。=迪，

333

所以匕1BC4B1C1VP-ABC=（X3百d=（x3gx號(hào)!=?故選C.

3.B

【解析】

如圖1,在AAOB中，ZAOB=120°,而。4=03=遮，取A3的中點(diǎn)為C,連接

OC,PC,易得。SAB,PC±AB.

又NA3O=30°,所以0C=mBC=iA3=3.由底加=%,得卜3xPC=%,解

22424

2

得尸。=要，于是po=y/PC.0CV6,

如圖2,設(shè)圓錐的內(nèi)切球的半徑為r,由相似三角形的性質(zhì)可得春=當(dāng)三所以

r--3V2=—V6.

2

故選B.

4班71

【解析】由題意知，圓臺(tái)甲、乙的上底面和下底面的面積分別相等.

設(shè)圓臺(tái)甲、乙的上、下底面的面積分別為S1,S2,由題意可得兩個(gè)圓臺(tái)的高分別

為力q［遮（72一町2_（"1）2=V2(n-ri),

h乙力[3(72-71)]2.(丁2-71)2=2近32一n),

所以V,+VL=/S2+S1+7^）/Z甲+#S2+S1+7^）/Z乙=率（行+廳+廠1/2）（廠2-

廠1）+等％^+廳+廠1廠2）（廠2-廠1）=/兀（母-療）.

因?yàn)槟?存=1,所以V甲+V乙=魚(yú)兀

5.3遮

【解析】設(shè)棱臺(tái)的高為力，原正三棱錐的高為力，

由題意知棱臺(tái)的上底面面積為梟2乂2*字=存下底面面積為Jx6x6x半=9百，棱

乙N乙Z

臺(tái)的體積為*x（g+9/+Jbx9g）=26,解得A=2V3.

由題意知"l=g

A6

解得"=3g.

u32n

6~

【解析】設(shè)。為正四棱錐PABCD底面的中心，因?yàn)锳iB：AB=1：2,所以正

四棱錐RAHGA與正四棱臺(tái)ABCD-AiBGDi的高相等.因?yàn)锳C=2VL4G=奩,

AAi=V2,所以正四棱錐P-ABCD的高P0=2J（/）2_（魚(yú)果2=再

設(shè)正四棱錐P-ABCD外接球的球心為。'，半徑為R,由正棱錐的性質(zhì)知點(diǎn)。在

P。上，所以仍。-7?）2+。3=0。=火2,gp（V6-7?）2+（V2）2=7?2,解得R=網(wǎng)，則正四

棱錐P-ABCD外接球的表面積為4兀x（孚尸=率.

分類突破最新模擬

1.D

【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,由題意，可得女=2/2,解得/=8.故所求圓錐的母

線長(zhǎng)為8.

2.D

【解析】設(shè)球的半徑為凡由題意可知，正四棱柱的體對(duì)角線就是外接球的直徑，

故2尺=小2+12+（伺2=2,解得R=1.故該球的體積V=^nR3=y.

故選D.

3.C

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,由題圖可知，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底

面圓的周長(zhǎng)，圓錐的底面半徑為r=1.

設(shè)扇形的半徑為七則有次=2口=2兀，解得R=4,所以圓錐的母線長(zhǎng)為R=4,

故所求圓錐的高h(yuǎn)=V/?2.r2=V16-1=V15.

故選C.

4.B

【解析】該燈籠去掉圓柱部分的高為40-8=32(cm),則R-/i=￥=16(cm),

由圓柱的底面直徑為24cm,得(Rd)2+122=R2,

BP162+122=1?2,可得R=20cm,則人=4cm,

故該燈籠的體積V=2V圓柱+V球-2V球缺=2x兀*122*4+〈*兀*203-2*三乂(3*20-4)*42^3

456+32000-1792=33664(cm3).

故選B.

5.ACD

【解析】如圖所示，在圓臺(tái)中，作圓。'過(guò)點(diǎn)C的直徑CD,則四邊形A3CD

是等腰梯形，作CELA3于點(diǎn)E.

在△ABC中，由A3=4,BC=2,AC±BC,得NA3C=60。，CE=43,BE=1,則

CD=AB-2BE=2,AE=AB-BE=3.

對(duì)于A,圓臺(tái)的表面積S=7ixl2+兀X22+7TX(1+2)X2=11TI,A正確；對(duì)于B,

圓臺(tái)。。的體積V=1x(12+ix2+22)xg=雪，B錯(cuò)誤；對(duì)于C,由尸是下底面

圓周上一動(dòng)點(diǎn)，得點(diǎn)P到直線A3距離的最大值為2,則AAPB面積的最大值為

|x2x4=4,三棱錐A-3CP體積的最大值為梟4乂百=竽，C正確；對(duì)于D,連接

PE,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A,8都不重合時(shí),設(shè)NB43=e(0°<e<90°),尸cosee(0,1),

則B4=4cos0=4t,在^AEP中，由余弦定理，得P￡c=32+(4r)2-2x3x4/cos6=9-8祥,

于是PC=^CE2+PE2=V12-8t2(^fif)=PA+PC=4t+y/12-8t2,求導(dǎo)得/V)=4-

4t44[(13-2產(chǎn))2/_

j3-2t2(j3-2t2+t)J?—2*/—2產(chǎn)+。，因?yàn)?e(O,l),

所以/V)>0,所以函數(shù)人f)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以加)勺(1)=6,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)A

重合時(shí)，PA+PC=AC=2y/3,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，PA+PC=BA+BC=6,因此

必+PC的最大值為6,D正確.

6.2遮

【解析】

在原正方體紙盒上，分別將M,N,C,。四點(diǎn)兩兩相連，如圖所示，因?yàn)镸N,

MC,MD,ND,NC,CD為正方體的面對(duì)角線，所以

MN=MC=MD=ND=NC=CD=42,所以三棱錐D-MNC為正四面體，所以其表面

積為fx(V/x4=2痣

4

7.2

【解析】設(shè)正三棱柱A3C4B1G的底面邊長(zhǎng)為跖高為人，

則正三棱柱ABC-AiBiCi的體積為42sin60。由=當(dāng)％.

設(shè)AABC的外接圓半徑為七則2火=薪，解得氏=等.

設(shè)圓柱的高為機(jī)，則圓柱的體積為兀7?2加=52機(jī)

由題意得宜。2〃=白2機(jī)，解得e=空1上

因?yàn)檎庵鵄BC-A\B\C\的側(cè)面積為3ah,圓柱的側(cè)面積為2nR-m=^-Kam,

3a八qh

所以正三棱柱ABCAiBiG與圓柱的側(cè)面積的比值為說(shuō)—=-^—=2.

-n-Tiam2V3mH

8.8連兀[兀，6n]

【解析】由題意，將三棱錐P-AER補(bǔ)形為長(zhǎng)、寬、高分別為2,2,4的長(zhǎng)方體,

如圖所示.

三棱錐PAER的外接球就是補(bǔ)形后長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為凡圓心

為0,則（2秒=22+22+42=24,解得R=b，所以三棱錐P-AER的外接球的體積

丫=京必=8赤兀.過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐P-AEF的外接球所得截面為圓，其中最大

截面為過(guò)球心。的圓，此時(shí)截面圓的面積為兀KFX（遍尸=6兀，最小截面為過(guò)點(diǎn)

M垂直于球心。與M連線的圓，此時(shí)截面圓的半徑

『迎20M2=JR2_（竽）2=而==1（其中MN的長(zhǎng)度等于長(zhǎng)方體左、右側(cè)面的

面對(duì)角線長(zhǎng)度），截面圓的面積為兀*=兀，所以過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐P-AER的

外接球所得截面的面積的取值范圍為[兀，671].

能力提升

9.C

【解析】設(shè)A3邊上的高為CD=x,以邊A3,BC,AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周后得到

的幾何體體積分別為%,”,上，

則《C4CBsinNAC3=%Bx,可得『空塔學(xué)蝮，

22AB

所以V]=471%2.AD+JBBD二口”2.毋.sjH/ACB同理,可二W4B2.AC土sj/zBAC,

333AB3BC

匕二n"評(píng)班?《MNABC

’3AC

由題意可得，

TIC42cB2.《124ACB?TMF.ACN.NMZLBAC??rz??

3AB'3BC'3AC'

整理得4。=爭(zhēng)3,BC*AB,

所以cosZABC^2^2-^2^—.

2ABBC8

故選C.

10.C

【解析】如圖，設(shè)圓臺(tái)上、下底面的圓心分別為。1,。2,則圓臺(tái)內(nèi)切球的球心。

一定在。1。2的中點(diǎn)處，

設(shè)球。與母線A3相切于M點(diǎn)，所以。MLA3,所以0M=。。1=。。2=2,

所以△AOO\=AAOM,所以AM二片.同理BM=r2,所以48=〃+〃2=3n.

過(guò)點(diǎn)A作AGL5Q,垂足為G,貝（15G=止n二門(mén),AG=OiO2=4.

因?yàn)樗?6=（3川2_斤=8格所以力二/，所以廠2=2近,

所以該圓臺(tái)的體積為梟（2兀+8兀+4兀）x4=竽故選C.

11.ACD

【解析】

對(duì)于A,如圖所示，設(shè)CD的中點(diǎn)為F,連接FM,FB,由M為線段AiC的中

點(diǎn)，得FM〃AQ,而RM,平面AtDE,ALDU平面AQE,則〃平面ALDE,

在矩形A3CD中，A3=2ADE是邊A3的中點(diǎn)，則FB//DE,又用，平面AXDE,

DEu平面ALDE,所以用〃平面ALDE,FB^FM=F,FB,RAfu平面

因此，平面AiDE〃平面BMF,又3MU平面BMF,所以〃平面A\DE恒成

立，A正確；

對(duì)于B,設(shè)點(diǎn)4在底面3CDE的射影為點(diǎn)。，連接0E,0D,0C,CE,在矩形

A3C。中，AB=2AD,E是邊A3的中點(diǎn)，所以ALD=4E,CD^CE,

由^AiOD^AAiOE,得OD=OE,顯然0c與DE不垂直(點(diǎn)C不在線段DE的

中垂線上)，

假設(shè)存在某個(gè)位置，使DE±ArC,由Ai。，平面ABCD,DEu平面ABCD,得

AiO.LDE,

而DE±AiC,AiCnAiO=Ai,AiC,AiOu平面AiCO,貝|DE，平面AiCO,又OCu

平面AC。，則有DELOC,與。。與DE不垂直矛盾，所以不存在某個(gè)位置，

{JDE±AiC,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,在矩形A5CD中，AB=2AD,E是邊A3的中點(diǎn)，則N4DE=45。，由

MF//AxD,FB//DE,得NMFB=NAiDE=45。,MF=^,BF=在△MFB中，

2

由余弦定理，BN^=(1)2+(V2)-2x|xV2所以哼C正確；

對(duì)于D，%/1DE-BCDE=*-ADE：5-BCDE=(黑10.SAADE)(1-A]O-S^i^BCDE

)=1：3,D正確.故選ACD.

12.

【解析】由題意知包裝盒的最少用料為球形物品的外切多面體，下面求正四面體、

正六面體、正八面體形狀的包裝盒的內(nèi)切球的半徑與其表面積的關(guān)系.設(shè)球形物

品的半徑為七則正六面體的棱長(zhǎng)為2R,表面積S2=6x(2R)2=24R2.設(shè)正四面體的

棱長(zhǎng)為a,則正四面體的表面積51=4*半層=百層,如圖1,在正四面體A3CD中，

由正四面體的對(duì)稱性與球的對(duì)稱性可知內(nèi)切球的球心。在正四面體A3CD的高

AG上，所以O(shè)G=R,底面等邊三角形BCD的高CE=帝，外接圓半徑

CG=5x2^a=^a,正四面體ABC7)的IWJAG='ac2_cG2=Ja2(12)2=孚。，

A

F

圖2

所以正四面體A3CD的體積vJx4Px名.又N=百。2,所以。=2代R,所

3433

以正四面體A3CD的表面積5i=V3a2=24V37?2.

設(shè)正八面體的棱長(zhǎng)為。，如圖2,連接ARDB,CE,可得AR,DB,CE互相垂

直且平分，四邊形BCDE為正方形，OD="D=0b,在RtAAOD中，

，2

AO=y/AD2_QD2=lb2_^^-b)2二苧°，

123

=2XX6XV26=V2力

則該正八面體的體積3-23該正八面體的表面積

S3=Sx—b2=2^j3b2.

4

11

為

解得

所以

即

因X2b.2=V263=

3-S^R=V,3-V33V6

S3=28層=2百X(V67?)2=12V3/?2,

所以S3Vs2<S1.

13.AC

【解析】

由已知得兀?7=3兀,則rl=3.

當(dāng)r=l時(shí)，/=3,此時(shí)圓錐SO的高/?=陀產(chǎn)=2/，此時(shí)圓錐SO的體積

丫=，17/?=空空，A正確.

設(shè)圓錐的軸截面為△SAB,如圖1所示，

當(dāng)廠=|時(shí)，1=2,即SA=S3=2,A3=3.因?yàn)镾A2+S32-AB2=-1<O,所以NAS3為鈍

角，

AI

S

圖2

1

S=nT-C2

故截面三角形的最大面積為2-si2=1X2X1=2,B錯(cuò)誤.

當(dāng)r=1時(shí)，1=3,側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為2兀，沿SA將圓錐S。的側(cè)面展開(kāi)，得扇形

SAiA,如圖2所示，所以扇形S4A的圓心角為ZAiSP=y.又方=2PS，所以SP=1,

在△AiSP中，由余弦定理，得AiP2=452+sp2_2Als-SPcos等13,所以AiP=g,

C正確.

如圖3所示，將正四面體放到正方體內(nèi)，則正四面體的外接球與正方體的外接球

相同，若正四面體的棱長(zhǎng)為迎，則正方體的棱長(zhǎng)為1,且外接球的半徑為

22

如圖4所示，當(dāng)圓錐S。的母線SA=/=3時(shí)，r=l,則圓錐的高S0=5口=2/,

設(shè)圓錐SO的內(nèi)切球半徑為R,球