2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章隨機(jī)變量及其分布2.1離散型隨機(jī)變量及其分布列2.1.2離散型隨機(jī)變量的分布列課后課時(shí)精練新人教A版選修2-3

PAGE1-2.1.2離散型隨機(jī)變量的分布列A級(jí)：基礎(chǔ)鞏固練一、選擇題1．設(shè)隨機(jī)變量的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(c,kk＋1)(k＝1,2,3,4)，其中c為常數(shù)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(5,2)))等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,6)答案D解析∵P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝1，可得c＝eq\f(5,4).Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(5,2)))＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(c,2)＋eq\f(c,6)＝eq\f(2,3)×eq\f(5,4)＝eq\f(5,6).2．設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的勝利率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量ξ去描述1次試驗(yàn)的勝利次數(shù)，則P(ξ＝0)等于()A．0B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案C解析ξ的分布列為ξ01Pp2p即“ξ＝0”表示試驗(yàn)失敗，“ξ＝1”表示試驗(yàn)勝利，設(shè)失敗率為p，則勝利率為2p，由p＋2p＝1，得p＝eq\f(1,3)，∴P(ξ＝0)＝eq\f(1,3).3．一批產(chǎn)品共10件，次品率為20%，從中任取2件，則恰好取到1件次品的概率為()A.eq\f(28,45)B.eq\f(16,45)C.eq\f(11,45)D.eq\f(17,45)答案B解析由題意知10件產(chǎn)品中有2件次品，故所求概率為P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,8),C\o\al(2,10))＝eq\f(16,45).4．盒中有10個(gè)螺絲釘，其中有3個(gè)是壞的，現(xiàn)從盒中隨機(jī)抽取4個(gè)，那么eq\f(3,10)等于()A．恰有1個(gè)是壞的的概率B．恰有2個(gè)是好的的概率C．4個(gè)全是好的的概率D．至多有2個(gè)是壞的的概率答案B解析A中“恰有1個(gè)是壞的的概率”為P1＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,7),C\o\al(4,10))＝eq\f(105,210)＝eq\f(1,2)；B中“恰有2個(gè)是好的的概率”為P2＝eq\f(C\o\al(2,7)C\o\al(2,3),C\o\al(4,10))＝eq\f(3,10)；C中“4個(gè)全是好的的概率”為P3＝eq\f(C\o\al(4,7),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,6)；D中“至多有2個(gè)是壞的的概率”為P4＝P1＋P2＋P3＝eq\f(29,30).故選B.5．從只有3張中獎(jiǎng)的10張彩票中不放回隨機(jī)逐張抽取，設(shè)X表示直至抽到中獎(jiǎng)彩票時(shí)的次數(shù)，則P(X＝3)等于()A.eq\f(3,10)B.eq\f(7,10)C.eq\f(21,40)D.eq\f(7,40)答案D解析“X＝3”表示前2次未抽到中獎(jiǎng)彩票，第3次抽到中獎(jiǎng)彩票，故P(X＝3)＝eq\f(A\o\al(2,7)C\o\al(1,3),A\o\al(3,10))＝eq\f(7×6×3,10×9×8)＝eq\f(7,40).選D.二、填空題6．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ－2－10123Peq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,12)設(shè)η＝ξ2－2ξ，則P(η＝3)＝________.答案eq\f(1,3)解析由題意，可知P(η＝3)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝3)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,3).7．將3個(gè)小球隨意地放入4個(gè)大的玻璃杯中去，杯子中球的最多個(gè)數(shù)記為X，則X的分布列為________．答案X123Peq\f(3,8)eq\f(9,16)eq\f(1,16)解析依題意可知，杯子中球的最多個(gè)數(shù)X的全部可能值為1,2,3.當(dāng)X＝1時(shí)，對(duì)應(yīng)于四個(gè)杯子中恰有三個(gè)杯子各放一球的情形；當(dāng)X＝2時(shí)，對(duì)應(yīng)于四個(gè)杯子中恰有一個(gè)杯子放兩球的情形；當(dāng)X＝3時(shí)，對(duì)應(yīng)于四個(gè)杯子中恰有一個(gè)杯子放三球的情形．當(dāng)X＝1時(shí)，P(X＝1)＝eq\f(A\o\al(3,4),43)＝eq\f(3,8)；當(dāng)X＝2時(shí)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)·C\o\al(1,4)·C\o\al(1,3),43)＝eq\f(9,16)；當(dāng)X＝3時(shí)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,4),43)＝eq\f(1,16).可得X的分布列如表：X123Peq\f(3,8)eq\f(9,16)eq\f(1,16)8．袋中裝有5只紅球和4只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得3分，取到1只黑球得1分，設(shè)得分為隨機(jī)變量ξ，則ξ≥8的概率P(ξ≥8)＝________.答案eq\f(5,6)解析由題意知P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝6)－P(ξ＝4)＝1－eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(3,4),C\o\al(4,9))－eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,9))＝eq\f(5,6).三、解答題9．老師要從10篇課文中隨機(jī)抽取3篇讓學(xué)生背誦，規(guī)定至少要背出其中的2篇才能及格．某同學(xué)只能背誦其中的6篇，試求：(1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量的概率分布列(可用算式表示)；(2)他能及格的概率．解(1)設(shè)抽到他能背誦的課文的數(shù)量為X，則X為隨機(jī)變量，且X聽從參數(shù)N＝10，n＝3，M＝6的超幾何分布，它的可能取值為0,1,2,3，則可得其概率分布列為X0123Peq\f(C\o\al(0,6)C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,4),C\o\al(3,10))eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(0,4),C\o\al(3,10))(2)他能及格的概率為P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))＋eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(0,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(15×4,120)＋eq\f(20,120)＝eq\f(80,120)＝eq\f(2,3).B級(jí)：實(shí)力提升練10．在心理學(xué)探討中，常采納對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理示意對(duì)人的影響，詳細(xì)方法如下：將參與試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理示意，另一組接受乙種心理示意，通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理示意后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理示意的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理示意，另5人接受乙種心理示意．(1)求接受甲種心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理示意的女志愿者人數(shù)，求X的分布列．解(1)記接受甲種心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的事務(wù)為M，則P(M)＝eq\f(C\o\al(4,8),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,18).(2)由題意知X可取的值為0,1,2,3,4，則P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(5,6),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(2,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(10,21)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,