福建省莆田一中、龍巖一中、三明二中三校2023屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 附答案

2022-2023學(xué)年莆田一中?龍巖一中?三明二中三校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（考試時間：2022年12月5日下午3：55-5：55）出卷人：莆田一中審卷人：龍巖一中一?單選題（本大題共1小題，共5.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.若集合，則（）A.B.C.D.2.，則（）A.B.C.D.3.在中，點在邊上，.記，則（）A.B.C.D.4.沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為，細沙全部在上部，其高度為圓錐高度的（細管長度忽略不計）.假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下的沙，則該沙漏的一個沙時大約是（）A.1895秒B.1896秒C.1985秒D.2528秒5.某學(xué)習(xí)小組八名學(xué)生在一次物理測驗中的得分（單位：分）如下：，這八人成績的第60百分位數(shù)是.若在該小組隨機選取兩名學(xué)生，則得分都比低的概率為（）A.B.C.D.6.若，則（）A.B.C.D.657.已知，則（）A.B.C.D.8.已知正四棱錐的側(cè)棱長為，則該正四棱錐體積的最大值為（）A.B.C.D.二?多選題（4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，且，下列選項正確的是（）A.B.是遞減數(shù)列C.取得最小值時，或6D.10.拋物線的焦點為為坐標原點，，過點的直線與拋物線交于兩點，過點分別作準線的垂線，垂足分別為，則（）A.拋物線的方程為B.C.的最小值為4D.11.如圖，在邊長為2的正方形中，點分別是的中點，將分別沿折起，使三點重合于點，下列說法正確的是（）A.B.三棱錐的體積為C.點在平面的投影是的內(nèi)心D.設(shè)與平面所成角分別為，則12.已知是定義域為的奇函數(shù)，若的最小正周期為2，則下列說法正確的是（）A.2是的一個周期B.C.D.三，填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知的展開式中的系數(shù)是13，則實數(shù)__________.14.已知圓，若直線與相切，則實數(shù)的值是__________.15.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則滿足圖象的一個解析式為__________.16.已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點，使得由點所作的圓的兩條切線所成的角為，則橢圓的離心率的取值范圍是__________.四?解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.設(shè)數(shù)列的前項和為且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和18.已知中的三個內(nèi)角所對的邊分別為.（1）求角的大小；（2）若為邊上一點，，且，求.19.2022年12月6日中國職業(yè)籃球聯(lián)賽將開始第二階段比賽，某隊為了考察甲球員對籃球隊的貢獻，通過對甲參加的50場比賽和末參加的50場比賽調(diào)查，得到如下等高堆積條形圖：（1）根據(jù)等高堆積條形圖，填寫列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗，分析該球隊勝利與甲球員參賽是否有關(guān)甲參加比賽甲末參加比賽合計球隊勝球隊負合計（2）在訓(xùn)練過程中，甲乙芮三人相互做傳球訓(xùn)練.已知甲控制球時，傳給乙的概率為，傳給丙的概率為；乙控制球時，傳給甲和丙的概率均為；丙控制球時，傳給甲的概率為，傳給乙的概率為.若先由甲控制球，經(jīng)過3次傳球后，球員乙控制球的次數(shù)為，求的分布列與期望.附表及公式：.20.四棱錐平面，底面是菱形，，平面平面.（1）證明：；（2）設(shè)為上的點，求與平面所成角的正弦值的最大值.21.已知雙曲線的左頂點為，點在漸近線上，過點的直線交雙曲線的右支于兩點，直線分別交直線于點.（1）求雙曲線的方程；（2）求證：為的中點.22.已知函數(shù)，其中，曲線在處的切線與坐標軸圍成的面積為.（1）求實數(shù)的值；（2）當(dāng)時，求證：.2022-2023學(xué)年莆田一中?龍巖一中?三明二中三校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷-答案與解析（考試時間：2022年12月5日下午3：55-5：55）出卷人：莆田一中審卷人：龍巖一中一?單選題（本大題共1小題，共5.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.【答案】C【解析】因為，所以.故選：.2.【答案】A【解析】.故選：.3.【答案】B【解析】因為點在邊上，，所以，即，所以.故選：.4.【答案】C【解析】本題主要考查的是圓錐的體積及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.結(jié)合圓錐的體積公式依次判斷即可.【解答】解：沙漏中的細沙對應(yīng)的圓錐底面半徑為，高為，所以細沙體積為，所以該沙漏的一個沙時為秒，故正確.故選.5.【答案】C【解析】，故這八人成績的第60百分位數(shù)是從小到大排列的第5個數(shù)，即，在該小組隨機選取兩名學(xué)生共有種情況，其中得分都比低的有6種，所以所求概率故選.6.【答案】D【分析】利用三角恒等變換與同角三角函數(shù)關(guān)系，一步步化簡為只含的式子再代入即可解出答案.【詳解】，，故選：.7.【答案】B【解答】令，令，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，又，所以，又，所以在成立，所以即；令，易得在為減函數(shù)，所以，即，令，易得在為減函數(shù)，所以，即，所以成立，令，則上式變?yōu)椋?，所以，所?故選.8.【答案】D【解析】設(shè)正四棱錐的高為，記，則底面邊長為所以，所以令，則求導(dǎo)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故該正四棱錐體積的最大值為.二?多選題（4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.【答案】AD【解析】本題考查基本量法以及等差數(shù)列前項和性質(zhì)，不妨設(shè)，與聯(lián)立解得，即通項.對于選項，故正確；對于選項是遞增數(shù)列，故錯誤；對于選項存在最小值，且有兩個最小值，即，即，與不符；對于選項，故正確.綜上，答案為10.【答案】AC【解析】依題意得，故正確；由拋物線定義，故錯誤.，故正確，由，故錯誤.綜上，選11.【答案】ABD12.【答案】BCD【解答】的最小正周期為2，則，即，所以的最小正周期為4，故錯誤；是定義域為的奇函數(shù)，且4是的一個周期，所以，所以，從而，故正確；同理，故正確.故選.三，填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.【答案】1【解析】的展開式為：，則的系數(shù)為，解得.14.【答案】或【詳解】圓，動點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，因為與相切，所以，即，解得或15.【答案】如或16.【答案】e【分析】設(shè)過點的兩條直線與圓分別切于點，由兩條切線所成的角為，可知，由題知，解得，又即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)過的兩條直線與圓分別切于點，由兩條切線相互垂直，知：，又在橢圓上存在點，使得由所作的圓的兩條切線所成的角為，所以，即得，所以，所以橢圓的離心率，又，所以.四?解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.解：（1）法一：當(dāng)時，法二：當(dāng)時，.當(dāng)時（2）18.解：因為所以即，所以.又所以.（2）法一：由（1）可知，所以，.根據(jù)正弦定理，在中，，在中，，又，所以，又，所以，所以由余弦定理可得，.則，所以.法二：，，，故，又，解得，.為銳角，從而.法三：由得.因為，所以.即.解得即..所以由余弦定理可得，.則，所以..19.解：（1）列聯(lián)表如下：甲參加比賽甲末參加比賽合計球隊勝453075球隊負52025合計5050100零假設(shè)為：球隊勝利與甲球員參賽無關(guān).根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算得到，依據(jù)的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即該球隊勝利與甲球員參賽有關(guān).（2）由題知的所有可能取值為，；；；所以的分布列為：012.20.解：（1）如圖，過點作，垂足為.平面平面，平面平面，平面.平面..平面平面.又，平面.（2）由已知及（1）得四邊形是正方形，從而兩兩垂直，以為軸正方向如圖建立空間直角坐標系.設(shè)，則設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則即，取，則.即..當(dāng)時，上式最大為，.所有與平面所成角的正弦值的最大值為.21.解：（1）依題意得解得，所以雙曲線的方程為.（2）法1.設(shè)直線，則由得所以且直線，直線.由得，同理可得.要證為的中點，只需證即證..即證.法2.設(shè)直線，則由得所以且直線，直線由由得，同理可得要證為的中點，只需證即證顯然成立其他做法按得分點酌情給分.22.（1）解：，，切點為，曲線在處的切線方程為切線與坐標軸的兩個交點分別為，，（