(江蘇專用)高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何課時跟蹤檢測 理

1．直線的傾斜角(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線，把x軸所在的直線繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°.(2)范圍：直線l傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°.2．斜率公式(1)直線l的傾斜角為α≠90°,則斜率k＝tan_α.x1.x1.3．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線截距式a＋b＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線一般式平面內(nèi)所有直線都適用1．若直線l的傾斜角為60°,則該直線的斜率為.解析：因為tan60°=3，所以該直線的斜率為3.答案：32．過點(0,1)，且傾斜角為45°的直線方程是.解析：因為直線的斜率k＝tan45°=1，所以由已知及直線的點斜式方程，得y－1＝x-0，即y＝x＋1.答案：y＝x＋13．已知直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則實數(shù)a＝.22＝－答案：1或－24．已知a≠0，直線ax＋my－5m＝0過點(－2,1)，則此直線的斜率為.解析：因為直線ax＋my－5m＝0過點(－2,1)，所以－2a＋m－＝－以直線方程為－2mx＋my－5m＝0.又a≠0，所以m≠0，所以直線方程－2mx＋my－5m＝0可化為－2x＋y－5＝0，即y＝2x＋5，故此直線的斜率為2.答案：21．利用兩點式計算斜率時易忽視x1＝x2時斜率k不存在的情況.否則會造成失誤.3．直線的截距式中易忽視截距均不為0這一條件，當(dāng)截距為0時可用點斜式.BB1m②直線l的斜率為-;m④直線l過定點(1,0).其中正確的說法是(填序號).＝－其斜率不存在，過點(1,0)．所以①②不正確，④正確．又將點(0,1)代入直線方程得m－1=0，故只有當(dāng)m＝1時直線才會過點(0,1)，即③不正確.答案：④2．過點M(34)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為.4解析：①若直線過原點，則k＝－3，4＝－所以直線的方程為x＋y＋1＝0.答案：4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0考點一直線的傾斜角與斜率基礎(chǔ)送分型考點——自主練透π2答案：2①兩直線的傾斜角相等，它們的斜率也相等；其中正確說法的個數(shù)為.解析：若兩直線的傾斜角均為90°,則它們的斜率都不存在，所以①不正確．直線傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°,所以平行于x軸的直線的傾斜角為0°,不可能是180°,所以②不正確．當(dāng)x1＝x2時，過點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)y2)的直線的斜率才為所以③不正確.答案：0段PQ有交點，則實數(shù)m的取值范圍是.解析：如圖所示，直線l：x＋my＋m＝0過定點A(01)，331＝－＝－∴-m≤-2或－m≥2.答案：求傾斜角的取值范圍的2個步驟及1個注意點②利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象或單位圓數(shù)形結(jié)合，確定傾斜角α的取值范圍.求傾斜角時要注意斜率是否存在.考點二直線方程重點保分型考點——師生共研1(1)求過點A(1,3)，斜率是直線y＝－4x的斜率的3的直線方程.(2)求經(jīng)過點A(－5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程.解：(1)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k＝－4×3＝－3.又直線經(jīng)過點A(1,3)，因此4＝－(2)當(dāng)直線不過原點時，設(shè)所求直線方程為1，將(－5,2)代入所設(shè)方程，解得1=-2，所以直線方程為x＋2y＋1＝0；當(dāng)直線過原點時，設(shè)直線方程為y＝kx，則－5k＝2，＝－＝－故所求直線方程為2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.直線方程求法中2個注意點(1)在求直線方程時，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问剑⒆⒁飧鞣N形式的適用條件.(2)對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運用慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應(yīng)判斷截距是否為零).答案：2x－(m－2)y＋m－6＝0考點三直線方程的綜合應(yīng)用?？汲Ｐ滦涂键c——多角探明直線方程的綜合應(yīng)用是?？純?nèi)容之一，它與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、圓相結(jié)合，命題多為客觀題.(3)與圓相結(jié)合求直線方程問題.角度一：與基本不等式相結(jié)合的最值問題EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up11(x),a)＋EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up11(y),b)＝EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),a)＋EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),b)＝ab+≥2＋2＝4，等號當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取到，故a＋b的最小值為4.b答案：4角度二：與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相結(jié)合的問題傾斜角的取值范圍為，則點P橫坐標(biāo)的取值范圍為.1故－1≤x0≤-2.答案：角度三：與圓相結(jié)合求直線方程問題3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A是半圓O：x2＋y2＝2(x≥0)上一點，直線OA的傾斜角為45°,過點A作x軸的垂線，垂足為H，過H作OA的平行線交半圓于點B，則直線AB解析：直線OA的方程為y＝x，代入半圓方程得A(1,1)，代入半圓方程得所以直線AB的方程為1+3-1＋31+3-12-12-12答案：3x＋y－3－1＝0處理直線方程綜合應(yīng)用的2大策略(1)含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過定點的直線系，即能夠看出“動中有定”.(2)求解與直線方程有關(guān)的最值問題，先求出斜率或設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快解析：由直線的方程得直線的斜率為k3，設(shè)傾斜角為α,則tanα=-3，所6以α=.66答案：62．直線l：xsin30°+ycos150°+1＝0的斜率是.解析：設(shè)直線l的斜率為k，則k=-3333．傾斜角為135°,在y軸上的截距為－1的直線方程是.解析：直線的斜率為k＝tan135°=-1，所以直線方程為y＝－x－1，即x＋y＋1=答案：x＋y＋1＝03∴-3≤k<0或3≤k≤1.3限.答案：三二保高考，全練題型做到高考達標(biāo)1．(2019·常州一中月考)已知直線l的斜率為k，傾斜角為θ,若30實數(shù)k的取值范圍是.33答案：解析：依題意，直線的斜率因此其傾斜角的取值范圍是答案：3．若k∈R，直線kx－y－2k－1＝0恒過一個定點，則這個定點的坐標(biāo)為.解析：y＋1＝k(x－2)是直線的點斜式方程，故它所經(jīng)過的定點為(21).因為直線l0：x－2y－2＝0的斜率為2，則tan1所以直線l的斜率k＝tan2α=4答案：4x－3y－4＝0=1，即m2－5m＋6＝0，解得m＝2或3(m＝2不合題意，舍去)，故m＝3.答案：3l－2x＋y＋6＝0，13則這條直線的一般式方程是.13即斜率k＝tan60°=3.又該直線過點A(23)，軸上的截距之和的最小值是.解析：由直線l1(a>0，b>0)可知直線在x軸上的截距為a，直線在y軸上的截距為b.求直線在x軸和y軸上的截距之和的最小值，即求a＋b的最小值．由直線經(jīng)過點(1,2)答案：3＋229．已知A(12)，B(5,6)，直線l經(jīng)過AB的中點M，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，解：法一：設(shè)直線l在x軸，y軸上的截距均為a.22法二：由題意知M(3,2)，所求直線l的斜率k存在且k≠0，則直線l的方程為y－2＝222210．過點A(1,4)引一條直線l，它與x軸，y軸的正半軸解：法一：由題意，設(shè)直線l：y－4＝k(x－1)，由于k<0，44＝－＝－當(dāng)且僅當(dāng)b＝a時，即b＝2a時，取“＝”，即a＝3，b＝6.＝－三上臺階，自主選做志在沖刺名校1．已知曲線則曲線的切線中斜率最小的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為．xxEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),e)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),e)xx2x取等號)．所以當(dāng)x＝0時，曲線的切線斜率取得最小值，此時切點的坐標(biāo)為切線的方程為y－2＝－4(x－0)，即x＋4y－2＝0.該切線在x軸上的截距為2，在y軸上的截距為，所以該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積122點(－2,1)．第二節(jié)兩直線的位置關(guān)系1．兩條直線平行與垂直的判定①對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l1⊥l2.2．兩條直線的交點的求法{3．距離－y1|=2－y1|=2離離1．已知過點A(－2，m)和B(m,4)的直線與斜率為－2的直線平行，則實數(shù)m的值是 .解析：由題意可知2，所以m8.答案82．已知直線l：y＝3x＋3，那么直線x－y－2＝0關(guān)于直線l對稱的直線方程為 .7x＋y＋22＝0.答案：7x＋y＋22＝03．與直線y＝－3x＋1平行，且在x軸上的截距為－3的直線l的方程為.解析：由題意，知直線l的斜率為－3，且在x軸上的截距為－3，所以直線l的方程為＝－答案：3x＋y＋9＝01．在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，易忽視斜率是否存在，兩條直線都有斜率可根據(jù)條件進行判斷，若無斜率，要單獨考慮.2．運用兩平行直線間的距離公式時易忽視兩方程中的x，y的系數(shù)分別相等這一條件盲目套用公式導(dǎo)致出錯.的條件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”).解析：由于直線l1：x－y－1＝0與直線l2：x＋ay－2＝0平答案：充要11123的方程為x=,232553＝－3②當(dāng)l1，l2的斜率都存在時，直線l1的斜率k1直線l2的斜率k2=-2，∴k1答案1或1考點一兩條直線的位置關(guān)系(基礎(chǔ)送分型考點——自主練透)＝－答案2 條件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”).解析：由直線ax－y＝0與x－ay＝1平行得a2＝1，即a=±1，所以“直線ax－y＝0與x－ay＝1平行”是“a＝1”的必要不充分條件.答案：必要不充分列條件的a，b的值.1過點(1,1)；2在第一象限內(nèi)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2.1過點(1,1)，＝－當(dāng)a＝0，b＝0時不合題意，舍去.＝－，∴a－b(a－1)＝0，③由題意，知a>0，b>0，直線l2與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)分別為由③④,得由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),1)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),1)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),2)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),2)直線方程 1＝1 1＝1＝1在判斷兩直線位置關(guān)系時，比例式1與1多用比例式來解答.考點二距離問題重點保分型考點——師生共研已知A(43)，B(21)和直線l：4x＋3y－2＝0，在坐標(biāo)平面內(nèi)求一點P，使|PA|解：設(shè)點P的坐標(biāo)為(a，b).∵A(43)，B(21)，∴線段AB的中點M的坐標(biāo)為(32).而AB的斜率1，=2，即4a＋3b－2=±10，②處理距離問題的2大策略(2)動點到兩定點距離相等，一般不直接利用兩點間距離公式處理，而是轉(zhuǎn)化為動點在于同一點P.(2)求過點(－2,3)且與點P的距離為25的直線方程.解：(1)由{解得{解：(1)由{解得{l4x－3y－5＝0，ly＝1，所以點P的坐標(biāo)為(2,1).將點P的坐標(biāo)(2,1)代入直線ax＋y－3a＋1＝0，可得a＝－考點三對稱問題?？汲Ｐ滦涂键c——多角探明對稱問題是高考?？純?nèi)容之一，也是考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力的一種常見題型.(4)對稱問題的應(yīng)用.角度一：點關(guān)于點的對稱問題∴M(－1,6).角度二：點關(guān)于線的對稱問題解析：設(shè)A′(x，y)，答案角度三：線關(guān)于線的對稱問題3．直線2x－y＋3＝0關(guān)于直線x－y＋2＝0對稱的直線方程是.答案：x－2y＋3＝0角度四：對稱問題的應(yīng)用射光線經(jīng)過點N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為.所以解得a＝1，b＝0.又反射光線經(jīng)過點N(2,6)，所以所求直線的方程為答案：6x－y－6＝01．中心對稱問題的2個類型及求解方法EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up14(x),y)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up14(2a),2b)EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up14(x),y)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(1),1)求解.①在已知直線上取兩點，利用中點坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標(biāo)，再由②求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程.2．軸對稱問題的2個類型及求解方法2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，由方程組可得到點P1關(guān)于l對稱的點P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2).一般轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快解析：因為直線2x＋y－4＝0的斜率為－2，故由條件得k＝2.2答案：22．已知點A(－34)，B(6,3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實數(shù)a的值為 .：－解析：因為直線3x＋4y－3＝0與直線6x＋my＋14＝0平行，所以3m－24＝0，解得m=2.答案：24．(2019·宿遷模擬)直線x－2y＋1＝0關(guān)于直線x＝1對稱的直線方程是.解析：設(shè)所求直線上任一點(x，y)，則它關(guān)于直線x＝1的對稱點(2－x，y)在直線x-2y＋1＝0上，即2－x－2y＋1＝0，化簡得x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝0解析：由題意得，點P到直線的距離為又即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范圍是[0,10].二保高考，全練題型做到高考達標(biāo)解析：由題意可得a≠-5，所以，解得a7答案7一點，則PQ的最小值為.解析：因為6＝8≠-5，所以兩直線平行，根據(jù)平面幾何的知識，得PQ的最小值為這兩條平行直線間的距離．在直線3x＋4y－12＝0上取一點(4,0)，此點到另一直線6x＋8y+EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(29),10)答案：解析：由2×a＋(3－a)×(－1)＝0，解得a＝1.答案：1的交點(1,0)在l2上．又易知(02)為l1上一點，設(shè)它關(guān)于l的對稱點為(x，y)，則解得答案：x－2y－1＝05．已知定點A(1,0)，點B在直線x－y＝0上運動，當(dāng)線段AB最短時，點B的坐標(biāo)是 .解析：因為定點A(1,0)，點B在直線x－y＝0上運動，所以當(dāng)線段AB最短時，直線AB和直線x－y＝0垂直，AB的方程為y＋x－1＝0，它與x－y＝0聯(lián)立解得x＝2，y＝答案：解析：依題意，設(shè)直線l：y－4＝k(x－3)，2323答案：2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝07.設(shè)A，B是x軸上的兩點，點P的橫坐標(biāo)為3，且|PA|＝|PB|，若直線PA的方程為x-y＋1＝0，則直線PB的方程是.為x－y＋1＝0，得P(3，4)．直線PA，PB關(guān)于直線x＝3對稱，直線PA上的點(0,1)關(guān)于直答案：x＋y－7＝02x＋4y的最小值為.3232答案：429．已知光線從點A(－42)射出，到直線y＝x上的B點后被直線y＝x反射到y(tǒng)軸上的C點，又被y軸反射，這時反射光線恰好過點D(－1,6)，求BC所在的直線方程.則易得A′(－24)，D′(1,6).由入射角等于反射角可得A′D′所在直線經(jīng)過點B與C.故BC所在的直線方程為(1)證明直線l過某定點，并求該定點的坐標(biāo).＝－得{〔2x＋y+〔2x＋y+=0，∴直線l恒過定點(－2,3).大．又直線PA的斜率＝－＝－三上臺階，自主選做志在沖刺名校8b是方程x2＋x＋c＝0的兩個實根，且0≤c≤,則這兩條直線之間的距離的最大值和最小8值分別是.解析：依題意得|a－b|＝a＋b2－4ab＝1－4c，當(dāng)0≤c≤8時，2≤|a－b|=1－421—21—2221一21一2該直線為“切割型直線”．下列直線中是“切割型直線”的是(填序號).4①y＝x＋1；②y＝2；③y＝3x；④y＝2x＋1.4解析：設(shè)點M到所給直線的距離為d，①d＝12故直線上不存在點P到點M的距離等于4，不是“切割型直線”；②d＝2<4，所以在直線上可以找到兩個不同的點P，使之到點M的距離等于4，是“切割型直線＝|4×5－0|＝4，所以直3-2＋423線上存在一點P，使之到點M的距離等于4，是“切割型直線”；④d=5答案：②③＝－2＋1)＝－a4－a2＝－|＝－2＋1)＝－a4－a2＝－|2因為a2≥0，所以b≤0.又因為a2＋1≠3，所以b≠-6.故b的取值范圍是(-∞,-6)∪(－6,0].＋EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),a)，EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(1),a)當(dāng)且僅當(dāng)a=±1時等號成立，因此|ab|的最小值為2.1．圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程一般方程＋E2－4F＞0)12半徑：D2＋E2－4F22.點與圓的位置關(guān)系解析：由(x－2)2＋(y＋3)2＝13，知圓心坐標(biāo)為(23).2．圓心在y軸上且通過點(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是.答案：x2＋y2－10y＝0+1＝0上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.4．若點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是.解析：因為點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4.2＜1，故－1＜a＜1.1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓的充要條件是.1解析：由(4m)2＋4－4×5m＞0，得m＜4或m＞1.答案＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的圖形是半徑為r(r>0)的圓，則該圓圓心位于第象限.＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的圖形是半徑為r的圓，所以a2＋(-＝－答案：四考點一圓的方程基礎(chǔ)送分型考點——自主練透-2＋b－2＝2，解得b=±3，從而圓C的方程為(x－2)2＋(y±3)2＝4.210標(biāo)準(zhǔn)方程為.解析：因為點C與點(2,0)關(guān)于點(1,0)對稱，故由中點坐標(biāo)公式可得C(0,0)，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝1.的圓心到原點的距離為.解析：設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則，解得∴△ABC外接圓的圓心為，故△ABC外接圓的圓心到原點的距離為331．求圓的方程的2種方法(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進而寫出方程.①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值.2．確定圓心位置的3種方法(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上.(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上，如“題組練透”第1題.(3)兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線.[提醒]解答圓的有關(guān)問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運用圓的幾何性質(zhì).考點二與圓有關(guān)的最值問題?？汲Ｐ滦涂键c——多角探明與圓有關(guān)的最值問題也是命題的熱點內(nèi)容，它著重考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想.(4)建立目標(biāo)函數(shù)求最值問題.角度一：斜率型最值問題EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up12(y),x)值.解：原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，3為半徑的圓.yyx的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，xEQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up12(y),x)解得k=±3.所以EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up12(y),x)的最大值為3，最小值為－3.角度二：截距型最值問題2．在[角度一]條件下求y－x的最大值和最小值.解：y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，如圖所示，當(dāng)直2角度三：距離型最值問題3．在[角度一]條件下求x2＋y2的最大值和最小值.解：如圖所示，x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值.又圓心到原點的距離為-22＝2，2000角度四：建立目標(biāo)函數(shù)求最值問題4．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點A(－m,0),B(m,0)(m＞0)．若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°,則m的最大值為.EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up14(x),y)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(0),0)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up13(3),4)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up13(co),si)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up13(θ),θ)∵∠APB＝90°,即AP·BP＝0，EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)＝xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)＋yEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)＝26＋6cosθ+8sinθ答案：6求解與圓有關(guān)的最值問題的2大規(guī)律(1)借助幾何性質(zhì)求最值處理與圓有關(guān)的最值問題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解.(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，利用基本不等式求最值是比較常用的.考點三與圓有關(guān)的軌跡問題重點保分型考點——師生共研2222－x0=±1，即y0＝x0±1.EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)與圓有關(guān)的軌跡問題的4種求法(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程.(3)幾何法：利用圓與圓的幾何性質(zhì)列方程.(4)代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等.則kOPEQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up15(y),x)kAP＝xEQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up15(y),－)4.AP1，即1，化簡，得x2＋y2－4x＝0.①∴弦BC的中點P的軌跡方程為(x－2)21由圓的定義，知點P的軌跡方程是(x－2)2＋y2＝4(0≤x<1).一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快圓外”).解析：把點(1,2)代入圓的方程左邊等于5，所以點在圓上.答案：點在圓上2．已知點A(－45)，B(61)，則以線段AB為直徑的圓的方程是.AB1+21＋2=6+21＋2=64529，所以所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋3)2＝29.3．圓(x＋2)2＋y2＝5關(guān)于原點P(0,0)對稱的圓的方程為.4．圓x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圓心到直線x－y＝1的距離為.解析：已知圓的圓心是(12)，到直線x－y＝1的距離是答案：2＝－解析：由題意知解析：由題意知x－y＝0和x－y－4＝0之間的距離為=22，所以r＝2；又因2為y＝－x與x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－(0,0)，由yx和x－y－4＝0聯(lián)立得交點坐標(biāo)為(22)，所以圓心坐標(biāo)為(11)，二保高考，全練題型做到高考達標(biāo)=πr2＝4π.答案：4π2．以點(21)為圓心且與直線3x－4y＋5＝0相切的圓的方程為.存在兩點P，Q關(guān)于直線l對稱，則m的值為.解析：因為曲線x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圓(x＋1)2＋(y－3)2＝9，若圓(x＋1)2＋(y-+3m＋4＝0，解得m1.答案1=0對稱，則圓C2的方程為.解得所以圓C2的方程為(x－2)2＋(y＋2)2=5．若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有兩個點到直線4x－3y＝2的距離等于1，則半徑r的取值范圍是.解析：易求圓心(35)到直線4x－3y＝2的距離為5.令r＝4，可知圓上只有一點到已知直線的距離為1；令r＝6，可知圓上有三點到已知直線的距離為1，所以半徑r取值范圍在(4,6)之間符合題意.6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.解析：因為直線mx－y－2m－1＝0恒過定點(21)，所以圓心(1,0)到直線mx－y-210所以半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝2.解析：由{得{＝－解析：由{得{＝－答案8．設(shè)P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動點，Q是直線x＝－3上的動點，則|PQ|的最解析：如圖所示，圓心M(3，－1)與定直線x＝－3的最短距離為|MQ|＝3－(－3)＝6，又圓的半徑為2，故所求最短距離為6－2＝4.答案：49．已知以點P為圓心的圓經(jīng)過點A(－1，0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P解：(1)由題意知，直線AB的斜率k＝1，中點坐標(biāo)為(1,2)．則直線CD的方程為y－2=-(x－1)，即x＋y－3＝0.2由①②解得{或{＝－由①②解得{或{＝－+2)2＝40.在直線l：x－y＋1＝0上.方程.＝－所以直線m的方程為x－3y－3＝0.lx－y＋1＝0，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，三上臺階，自主選做志在沖刺名校1．已知平面區(qū)域{y≥0，恰好被面積最小的圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其內(nèi)部所覆蓋，則圓C的方程為.解析：由題意知，此平面區(qū)域表示的是以O(shè)(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部，所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓.∴圓心為斜邊PQ的中點，半徑r=大時，圓心坐標(biāo)為.3．已知點P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標(biāo)原點.所以圓心為C(0,4)，半徑為4.故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ON⊥PM.3所以直線l的斜率為-,3EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(16),5)1．直線與圓的位置關(guān)系(半徑1．直線與圓的位置關(guān)系(半徑r，圓心到直線的距離為d)相離相切ΔΔ＜0Δ=0觀點觀點相交相交ΔΔ>0解析：∵直線y＝ax＋1恒過定點(0,1)，又點(0,1)在圓(x－1)2＋y2＝4的內(nèi)部，故直線與圓相交.答案：相交2．(教材習(xí)題改編)已知過點M(－33)的直線l被圓x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦答案：x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝03．圓x2＋y2－4x＝0在點P(1，3)處的切線方程為.解析：由題意，知圓心為(2,0)，圓心與點P連線的斜率為－3，所以所求切線的斜率3為3，則在點(1，3)處的切線方程為x－3y＋2＝0.答案：x－3y＋2＝031．對于圓的切線問題，尤其是圓外一點引圓的切線，易忽視切線斜率k不存在的情形.2．兩圓相切問題易忽視分兩圓內(nèi)切與外切兩種情形.1．已知直線l與直線y＝x＋1垂直，且與圓x2＋y2＝1相切，切點位于第一象限，則直解析：由題意設(shè)直線l的方程為x＋y＋c＝0(c<0)．圓心(0,0)到直線x＋y＋c＝0的距答案：x＋y－2＝02．過點(2,3)與圓(x－1)2＋y2＝1相切的直線的方程為.解析：設(shè)圓的切線方程為y＝k(x－2)＋3，4所以切線方程為4x－3y＋1＝0，4所以直線方程為4x－3y＋1＝0或x＝2.答案：x＝2或4x－3y＋1＝0考點一直線與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)送分型考點——自主練透33=0，圓心(－3,0)到直線l的距離因此該直線與圓相切.答案：相切2．(易錯題)(2019·蘇北四市調(diào)研)直線(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)與圓x2＋y2-2x＋2y－7＝0的位置關(guān)系是.解析：法一：x2＋y2－2x＋2y－7＝0化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝9，故圓心坐標(biāo)為(11)，半徑r＝3，圓心到直線的距離再根據(jù)r2－d2＝9而7a2－4a＋7＝0的判別式Δ=16－196=-法二：由(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)整理得x－y＋a(x＋y＋2)＝0，則由{解得x1，y1，即直線(a＋1)x＋(a－1)y＋2lx＋y＋2＝0，11)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－75＜0，則點(－11)在圓x2+=0相交.答案：相交3．圓x2＋y2＝1與直線y＝kx＋2沒有公共點的充要條件是解析：法一：將直線方程代入圓方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直線與圓沒有公共點的充要條件是Δ=16k2－12(k2＋1)＜0，解得k∈(－3，3).2法二：圓心(0,0)到直線y＝kx＋2的距離d=2EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up13(2),2)判斷直線與圓的位置關(guān)系的2大策略(1)若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾何法.盡量不用代數(shù)法．如“題組練透”第2題、第3題.考點二切線、弦長問題重點保分型考點——師生共研1．平行于直線2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程是.解析：∵所求直線與直線2x＋y＋1＝0平行，∴設(shè)所求的直線方程為2x＋y＋m＝0.∵答案：2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0立，可得a2＋ay－6＝0，即公共弦所在的直線方程為a2＋ay－6＝0，原點O到直線a2＋ay-6＝0的距離為EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(6),a)－a，根據(jù)勾股定理可得a2＝3＋解得a=±2.答案：±21．圓的切線方程的2種求法(1)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ=0進而求得k.(2)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切[提醒]若點M(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2上，則過M點的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.2．弦長的2種求法(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個一元二次方程．在判別式Δ>0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長公式求弦長.[提醒]代數(shù)法計算量較大，我們一般選用幾何法.則|AB|取得最小值時l的方程為答案：x－y＋5＝02．圓x2＋y2－2x＋4y－20＝0截直線5x－12y＋c＝0所得的弦長為8，則c的值是.________∵圓心坐標(biāo)為(12)，＝－答案：10或－68考點三圓與圓的位置關(guān)系題點多變型考點——縱引橫聯(lián)根據(jù)基本不等式可知94當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，故ab94944解決圓與圓位置關(guān)系問題的2大通法(1)處理兩圓位置關(guān)系多用圓心距與半徑和或差的關(guān)系判斷，一般不采用代數(shù)法.(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差得到.又由基本不等式92＋b2≥,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時“＝”成立.929292求解本題最小值的關(guān)鍵是掌握基本不等式[變式2]母題條件中“外切”變?yōu)椤皟?nèi)切”，則ab的最大值為.24當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，故ab的最大值為.414答案：4[變式3]母題條件“外切”變?yōu)椤跋嘟弧?，則公共弦所在的直線方程為.解析：由題意得，把圓C1，圓C2的方程都化為一般方程.＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，②由②-①得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，即所求公共弦所在直線方程為(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0.[變式4]母題條件“外切”變?yōu)椤叭魞蓤A有四條公切線”，則直線x＋y－1＝0與圓解析：由兩圓存在四條切線，知兩圓外離，22＞9.即a＋b＞3或a＋b3.>1，又圓心(a，b)到直線x＋y－1＝0>1，2答案：相離本題的關(guān)鍵是由兩圓公切線條數(shù)來確定兩圓的位置關(guān)系.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快解析：由兩圓心距離d2＋12＝17，22答案：相交(c≠0)，則直線ax＋by＋c＝0被圓x2＋y2＝1所截得的弦長為.據(jù)直角三角形的關(guān)系，弦長的一半就等于所以弦長為2.答案：2解析：設(shè)直線的斜率為k，又弦AB的中點為(－2,3)，所以直線l的方程為答案：x－y＋5＝044解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋y2＝圓心到直線y1的距離-(－1)|，解得m=±3，因為圓心在y軸的左側(cè)，所以m＝3.答案：35．已知點P是圓C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0上的一點，直線l：3x－4y－5＝0.若點P解析：由題意知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－3)2＝42，有2個.答案：2二保高考，全練題型做到高考達標(biāo)置關(guān)系是.解析：直線y＝kx－1恒經(jīng)過點A(01)，圓x2＋y2－2x－2＝0的圓心為C(1,0)，半徑為3，而|AC|＝2＜3，故直線y＝kx－1與圓x2＋y2－2x－2＝0相交.答案：相交＋y2＋2y－3＝0被直線x＋y－k＝0分成兩段圓弧，且較短弧長與較長弧長之比解析：由題意知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋1)2＝4.較短弧所對圓周角是90°,所以圓心(01)到直線x＋y－k＝0的距離為.即，解得k＝1或－3.答案：1或－3解析：法一：聯(lián)立{解析：法一：聯(lián)立{lx－a2+y-3=0，則由題意可得Δ=[－(2a－2)]2－4×2×(a2－7)＝0，整理可得a2＋2a－15＝0，解得a＝3或－5.法二：因為(x－a)2＋(y－3)2＝8的圓心為(a,3)=x＋4與圓(x－a)2＋(y－3)2＝822=22，即|a＋1|＝4，解得a＝3或－5.答案：3或－54．在圓x2＋y2＋2x－4y＝0內(nèi)，過點(0,1)的最短弦所在直線的傾斜角是.解析：由題意知，圓心為(－1,2)，過點(0,1)的最長弦(直徑)斜率為－1，且最長弦與π最短弦垂直，∴過點(0,1)的最短弦所在直線的斜率為1，即傾斜角是4.4答案：44，a)作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|＝.解析：由于直線x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸，∴圓心C(2,1)∴2＋a－1＝0，∴a1，∴A(－41).答案：66．直線y＝2x＋3被圓x2＋y2－6x－8y＝ .解析：圓的方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝25，故圓心為(3,4)，半徑r＝5.又直線方程為2x－y＋3＝0，所以圓心到直線的距離為所以弦長為2r2－d2=答案：45∠ACB最小時，直線l的方程是.解析：依題意得知，當(dāng)∠ACB最小時，圓心C到直線l的距離達到最大，此時直線l與直線CM垂直，又直線CM的斜率為1，因此所求的直線l的方程是y－2(x－1)，即x+y－3＝0.答案：x＋y－3＝0作圓O的一條切線，切點為A，則|PA|的最小值為.答案：2心為(0,4)，半徑為2.(1)若直線l與圓C相切，則有＝2，解得a=-(2)過圓心C作CD⊥AB，則根據(jù)題意和圓的性質(zhì)，故所求直線方程為7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.10.如圖，已知以點A(－1,2)為圓心的圓與直線=0相切．過點B(－2,0)的動直線l與圓A相交于M，＝－②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x+2).則由|AQ|＝＝1，得k=＝－三上臺階，自主選做志在沖刺名校=0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則a2＋b2的最小值為所以圓C1與圓C2相內(nèi)切，所以－2a－o2＋o－b2＝2－1，得4a2＋b2＝1，所以a2+EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up11(b2),a2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(4a),b2)答案：9B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長為.55答案：43．已知圓心為C的圓，滿足下列條件：圓心C位于x軸正半軸上，與直線3x－4y＋7=0相切，且被y軸截得的弦長為23，圓C的面積小于13.形OADB.是否存在這樣的直線l，使得直線OD與MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，請說明理由.2＋3＝r，8又S=πr2＜13，∴a＝1，r＝2，又l與圓消去y得(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6∴Δ=(6k－2)2－24(1＋k2)＝12k2－24k－20＞0，＋x2，y1＋y2)，MC＝(13)，假設(shè)OD∥MC，則－3(x1＋x2)＝y(tǒng)1＋y2，解得假設(shè)不成立，命題點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系命題點一直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系難度：低命題指數(shù)：☆☆☆1．(2019·山東高考改編)一條光線從點(－23)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2+(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為.解析：由已知，得點(－23)關(guān)于y軸的對稱點為(23)，由入射光線與反射光線的對稱性，知反射光線一定過點(23)．設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光線與圓相切，則有d==1，解得k或k=-答案或-=0垂直，則l的方程是.x－y＋3＝0.答案：x－y＋3＝0ax－y＋1＝0垂直，則a＝.解析：由切線與直線ax－y＋1＝0垂直，得過點P(2,2)與圓心(1,0)的直線與直線ax-y＋1＝0平行，所以＝a，解得a＝2.答案：2命題點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系命題點二圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系難度：中命題指數(shù)：☆☆☆☆☆解析：圓的半徑r22＝2，圓心坐標(biāo)為(1,1)，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方解析：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，＝－則{4D＋2E＋F＋20＝0，解得{E＝4，lD－7E＋F＋50＝0.lF＝－20.＝－＝－∴M(02＋26)，N(02－26)或M(02－26)，N(02＋26)，∴|MN|=46.答案：46-1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.解析：直線mx－y－2m－1＝0經(jīng)過定點(21).當(dāng)圓與直線相切于點(21)時，圓的半徑最大，此時半徑r滿足r2＝(1－2)2＋(0+32故PA·PB＝3×3×cos60°=.2答案：方程為.22＝－答案：x＋2y－5＝0解析：依題意，設(shè)圓心的坐標(biāo)為(2b，b)(其中b＞0)，+(y－1)2＝4...(2)過點A任作一條直線與圓O：x2＋y2＝1相交于M，N兩點，下列三個結(jié)論：其中正確結(jié)論的序號是．(寫出所有正確結(jié)論的序號)則2＋12＝2，解得r=2－2－b2=2＋2-===2－1.所以，①正確；=2，②正確；-1＝2，③正確.綜上，正確結(jié)論的序號是①②③.(2)設(shè)O為原點，若點A在橢圓C上，點B在直線y＝2上，且OA⊥OB，試判斷直線AB與圓x2＋y2＝2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.2故橢圓C的離心率EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(2y),x)02故直線AB的方程為x=±2.2≠t時，直線AB的方程為y－2=EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(2y),x)0EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up12(2y2),x0)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(＋),x)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up14(2),0)0xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up2147483646(2),0)＋yEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up2147483646(2),0)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up7(4y2),x20)4xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up8(4),0)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(8),2)16=1交于M，N兩點.整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.+k7+k7＋y1y2=(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋14k＋k=1＋k2＋8.所以|MN|＝2.第五節(jié)橢圓1．橢圓的定義平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做a，c為常數(shù).2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)-b≤x≤b-a≤x≤a范圍－-b≤y≤b對稱性頂點離心率－b2對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點c2+|PF2|等于.答案：102．設(shè)e是橢圓4＋k＝1的離心率，且e＝3，則實數(shù)k3．(教材習(xí)題改編)焦距是8，離心率等于0.8222．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時易忽視判斷焦點的位置，而直接設(shè)方程為22．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時易忽視判斷焦點的位置，而直接設(shè)方程為21．若直線x－2y＋2＝0經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.________________由題意知當(dāng)焦點在x軸上時，c＝2，b＝1，2．已知橢圓的離心率為EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(4),5)，則k的值為∴=,解得k＝∴=,解得k＝.＜－＝－∴=,解得k∴=,解得k＝－21，所以k的值為或－21.考點一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程基礎(chǔ)送分型考點——自主練透1．過橢圓4x2＋y2＝1的一個焦點F1的直線與橢圓交于A，B兩點，則A與B和橢圓的另一個焦點F2構(gòu)成的△ABF2的周長為所以a＝1.根據(jù)橢圓的定義，知△的周長為=4a＝4.答案：42．若方程表示一個橢圓，則實數(shù)m的取值范圍為.解析：由題意，得{6－m>0，lm－2≠6－m，EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up11(PF),PF)17答案：7(1)2個求法：定義法、待定系數(shù)法.(2)1個注意點：利用橢圓的定義定形狀時，一定要注意常數(shù)2a＞|F1F2|這2．橢圓中焦點三角形的5個常用結(jié)論當(dāng)y=±b，即P為短軸端點時，S有最大值為bc.0PFF(5)焦點三角形的周長為2(a＋c).考點二橢圓的幾何性質(zhì)題點多變型考點——縱引橫聯(lián)2分別是橢圓C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，點P在橢圓C上，若線段PF1的中點在y軸上，∠PF1F2＝30°,則橢圓的離心率為.2|＝3|PF2|，即c=2則e2=323應(yīng)用橢圓幾何性質(zhì)的2個技巧與1種方法(1)與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進行分析，即使畫不出圖形，思考時也要聯(lián)想到一個圖形．在求橢圓的相關(guān)量的范圍時，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系．(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解．的方程(或不等式)求解．535＝”，則橢圓的離心率為．5577解決與焦點三角形有關(guān)的離心率問題的關(guān)鍵是利用正弦定理與比例性質(zhì)．即變形結(jié)合定義求解．范圍.根據(jù)橢圓定義可知3k＝2a，又結(jié)合橢圓的性質(zhì)可知，橢圓上的點到兩個焦點距離之差的最大值為2c，即k≤2c，3333故橢圓的離心率的取值范圍為[變式3]母題條件中方程變?yōu)椤皒2＋2y2＝2”，P是該橢圓上的一個動點．求|PF+122解：將方程變形為＋y2＝1，則2則PF＝(－1－xy)，PFP＝(1－xy)，PPF2＝(－2x02y0)，=2－yEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)＋2，EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)本題解決的關(guān)鍵是建立目標(biāo)函數(shù)后，充分利用橢圓上動點滿足的范圍確定定義域，這一點易忽視.考點三直線與橢圓的位置關(guān)系重點保分型考點——師生共研226點為D，O為坐標(biāo)原點，直線OD交橢圓于M，N兩點.62故橢圓C的方程為6＋2＝1.由{62得(1＋3k2)x2ly＝kx-2所以x1＋x2=因此直線OD的方程為x＋3ky＝0(k≠0).解得，x33ky3.ee所以FM·FN＝0，3－2y3)＝0，所以所以解得EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up2(2),3)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up2(2),3)k=±.故直線l1．直線與橢圓位置關(guān)系判斷的3步驟(1)聯(lián)立直線方程與橢圓方程.(2)消元得出關(guān)于x(或y)的一元二次方程.(3)當(dāng)Δ>0時，直線與橢圓相交；當(dāng)Δ=0時，直線與橢圓相切；當(dāng)Δ＜0時，直線與橢圓相離.2．直線與橢圓相交時的常見問題的處理方法涉及問題中點弦或弦的中點處理方法根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式點差法(結(jié)果要檢驗)的中點，若|AB|＝22，OC的斜率為22，求橢圓的方程.解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么A，B的EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),1)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),1)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),2)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),2)＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0，因為1，所以，即，所以b=再由方程組消去y得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，解得由①②解得a故所求的橢圓的方程為一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快21．已知橢圓1上的一點P到橢圓一焦點的距離為3，則P到另一焦點距離為 解析：a2＝25，a＝5,2a＝10，即P到兩答案：72．若橢圓C：EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up12(x2),a2)＋EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up12(y2),b2)＝1(a>b>0)經(jīng)過點P(0，3)，且橢圓的長軸長是焦距的兩倍，則2解析：由橢圓C：a2＋b2＝1(a>b>0)經(jīng)過點P(0，3)，即b＝2答案：2123．已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于，則橢圓C的方程是2 .解析：依題意，所求橢圓的焦點位于x軸上，且c＝1，e=→a＝2，b2＝a2－c2＝3，2224．橢圓16＋7＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1作x軸的垂線交橢圓于AEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),2)2答案：222的兩條互相垂直的直線l1，l2的交點在橢圓上，則此橢圓的離心率的取值范圍是.等號，即4a2≤2(4c2)，所以a≤2c，所以≥,即e≥答案：二保高考，全練題型做到高考達標(biāo)1．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，焦距為4.若P為橢圓C上一點，且△PF1F2的周長解析：因為焦距為4，所以c＝2.因為P為橢圓C上一點，且△PF1F2的周長為14，所以25答案：52點，若△PF1F2是直角三角形，則△PF1F2的面積為.解析：由題意可得該橢圓短軸頂點與兩焦點的連線的夾角是60°,所以該點P不可能是直角頂點，則只能是焦點為直角頂點，此時△PF1F2的面積為2×2c×2答案：222=2|PF2|，則此橢圓的離心率為.所以2，所以e=55322橢圓的一個交點為M，若MF1垂直于MF2，則橢圓的離心率為.EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up12(c),a)2＞b＞0)，若圓C1，C22解析：圓C1，C2都在橢圓內(nèi)等價于圓C2的右頂點(2c,0)，上頂點(c，c)在EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(c2),a2)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(c2),b2)即橢圓離心率的取值范圍是答案：6．若橢圓的方程為且此橢圓的焦距為4，則實數(shù)a＝.解析：①當(dāng)焦點在x軸上時，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4.②當(dāng)焦點在y軸上時，a-2－(10－a)＝22，解得a＝8.27．點P是橢圓1上一點，1188答案：32222答案1222(2)動點(x，y)在曲線4＋b2＝1(b>0)上222((y2)4(b2)b2EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(b2),4)22在橢圓上.Q兩點，求證：△PF2Q的周長是定值.根據(jù)已知，橢圓的左右焦點分別是在橢圓上，2故橢圓的方程是1.2EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),1)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),1)三上臺階，自主選做志在沖刺名校+3上移動，橢圓C以A，B為焦點且經(jīng)過點P，則橢圓C的離心率的最大值為.＝－22．已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為，它的長軸長等于圓C：x2＋y2－2x－15＝02的半徑，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.2答案122＝－請說明理由.則FP＝(3＋c,1)，F(xiàn)P＝(3－c,1)，故FP·FP＝(3＋c)(3－c)＋1＝10－c2＝－6，可得c＝4， =+2＋122＋12＝62，34342gu則FM＝(9，m)，F(xiàn)N＝(1，n)，又FM⊥FN，可得FM·FN＝9＋mn＝0，即mn＝－9，也就是(x－5)2＋y2－(m＋n)y－9＝0.故圓C必過定點(8,0)和(2,0).1．雙曲線的定義滿足以下三個條件的點的軌跡是雙曲線：2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)22標(biāo)準(zhǔn)方程x≤-a或x≥a，y∈Ry≤-a或y≥a，x∈R對稱軸：坐標(biāo)軸對稱性對稱中心：原點頂點漸近線離心率頂點漸近線離心率y=±axy=±bxcc＋b2a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長解析：由題意知y2－x2＝1，y=±答案：y=±xEQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up12(y),9)3．方程的曲線是焦點在y軸上的雙曲線，則m的取值范圍是.解析：依題意可得{答案：(-∞,0)點的兩條射線，若2a＞|F1F2|，則軌跡不存在.b的要求相同.3．注意區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓中的a，b，c關(guān)系，在橢圓中a2＝b2+c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2.aa當(dāng)焦點在y軸上，漸近線斜率為±b.2答案：172．已知點M(－2,0)，N(2,0)，動點P滿足條件|PM|－|PN|＝22，則動點P的軌跡方程為.：，2(x≥2).3．若方程表示雙曲線，則實數(shù)k的取值范