數(shù)學(xué)游戲與數(shù)學(xué)文化課件 -神奇的莫比烏斯帶

小故事聰明的執(zhí)事官

據(jù)說有一個(gè)小偷偷了一位很老實(shí)農(nóng)民的東西，并被當(dāng)場捕獲，將小偷送到縣衙，縣官發(fā)現(xiàn)小偷正是平日受他庇護(hù)的竊賊，原告卻是老實(shí)農(nóng)民。他閉著眼睛聽了一會雙方供詞，又胡亂問了幾句?？h太爺想：如果由我本人宣讀審判結(jié)果，肯定會引起眾怒，他考慮了一會兒，于是在一張紙條的正面寫上：小偷立即放掉，而在紙的反面寫了：農(nóng)民立即關(guān)押?？h官將紙條交給執(zhí)事官，要求嚴(yán)格按紙條的意思去辦理，就匆匆離開了縣衙大堂。執(zhí)事官拿起紙條一看，犯了難：放掉農(nóng)民吧，得罪縣官，自己將來要丟飯碗，放掉小偷吧，自己將被全縣老百姓所唾罵。執(zhí)事官不想誤判此案，但是又不敢得罪縣官，你們猜他怎么做？

執(zhí)事官想了會，將紙條一端扭轉(zhuǎn)180度，將兩端粘在一起。將這個(gè)紙圈放在案牘上,然后向大家宣布：根據(jù)縣太爺?shù)拿顟?yīng)當(dāng)放掉農(nóng)民，立即關(guān)押小偷。過了一會兒，縣官回來，一聽，縣官大怒，責(zé)問執(zhí)事官。執(zhí)事官將紙圈從案牘上拿起給縣官看，指給縣太爺?shù)溃骸袄蠣?，你的紙條上可清楚地寫著——立即關(guān)押小偷立即放掉農(nóng)民，我可是完全按照你的意思辦的，現(xiàn)在全縣老百姓都在說你是個(gè)包青天一樣的好官那”?？h太爺仔細(xì)觀看字跡，確實(shí)沒錯(cuò)，也沒有涂改，縣官不知其中奧秘，只好啞巴吃黃連，自認(rèn)倒霉。

執(zhí)事官并沒有挪動紙條上的字，而是將紙條一端扭轉(zhuǎn)180度，將兩端粘在一起。這時(shí)紙條上的字就形成了多個(gè)循環(huán)字鏈。你來驗(yàn)證一下莫比烏斯帶神奇的莫比烏斯帶神奇的莫比烏斯帶

莫比烏斯帶是德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯在1858年在偶然間發(fā)現(xiàn)的，所以就以他的名字命名叫“莫比烏斯帶”，也有人叫它“莫比烏斯圈”，還有人管他叫“怪圈”。中文名：奧古斯特·費(fèi)迪南德·莫比烏斯（1790-11-17至1868-9-26）國籍：德國出生地：薩克森州職業(yè)：德國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家主要成就：拓?fù)鋵W(xué)的先驅(qū)。最著名的成就是發(fā)現(xiàn)了三維歐幾里德空間中的一種奇特的二維單面環(huán)狀結(jié)構(gòu)——莫比烏斯帶。其他重要成就包括在射影幾何中引進(jìn)齊次坐標(biāo)系、莫比烏斯變換，數(shù)論中的莫比烏斯變換、莫比烏斯函數(shù)、莫比烏斯反演公式等等。

莫比烏斯帶具有單側(cè)性（單側(cè)曲面）

如果拿出一支水彩筆，給莫比烏斯帶著色，色筆始終沿曲面移動，且不越過它的邊界，最后可把莫比烏斯帶兩面均涂上顏色，即區(qū)分不出何是正面，何是反面，里面或者外面。單側(cè)性又稱不可定向性，即莫比烏斯帶是不可定向的，在莫比烏斯帶上誰無法確定哪個(gè)點(diǎn)是起點(diǎn)或者終點(diǎn)，無法確定哪里是莫比烏斯帶前面或者后面。莫比烏斯帶的第一個(gè)奇特性質(zhì)1858年

莫比烏斯帶真是一條邊、一個(gè)面嗎？檢驗(yàn)一下。生活中的莫比烏斯帶生活中的莫比烏斯帶

打印機(jī)的色帶就是莫比烏斯帶。這樣就不會只磨損一面，節(jié)約了材料。莫比烏斯帶的應(yīng)用

傳輸帶、傳動帶設(shè)計(jì)成莫比烏斯帶，就不會只磨損一面，使它們的壽命提高了一倍。傳輸帶傳動帶傳送帶音樂有些過山車的跑道采用的就是莫比烏斯原理莫比烏斯爬梯莫比烏斯帶環(huán)往復(fù)的幾何特征，蘊(yùn)含著永恒、無限的意義垃圾回收標(biāo)志微處理器廠商PowerArchitecture的商標(biāo)莫比烏斯環(huán)餐桌

以2007年世界夏季特殊奧林匹克運(yùn)動會會標(biāo)“眼神”為主題的紀(jì)念雕塑“眼神”代表：期盼、關(guān)愛、關(guān)心理念是：“轉(zhuǎn)換一種方式，你將獲得無限發(fā)展”2007年世界特殊奧林匹克的主火炬上海世博會湖南館哈薩克斯坦新標(biāo)志性建筑：國家圖書館

瑞典1982年發(fā)行的一枚《不可能的圖形》郵票。其實(shí)這是一個(gè)立體化的“莫比烏斯帶”。發(fā)行這枚“不可能的圖形”郵票，意在引導(dǎo)人們關(guān)注科學(xué)，探索宇宙不解之謎。

莫比烏斯帶與藝術(shù)莫比烏斯帶為很多藝術(shù)家提供了靈感，比如美術(shù)家M.C.Escher（摩里茨·科奈里斯·埃舍爾（1898-1972）荷蘭圖形藝術(shù)家，他以其源自數(shù)學(xué)靈感的木刻、版畫等作品而聞名）最著名的作品之一就是《紅蟻》，圖畫中表現(xiàn)一些螞蟻在莫比烏斯帶上面前行。M.C.Escher莫比烏斯帶與藝術(shù)

莫比烏斯帶也經(jīng)常出現(xiàn)在科幻小說里面，比如亞瑟?克拉克的《黑暗之墻》。科幻小說常常想象我們的宇宙就是一個(gè)莫比烏斯帶。由A.J.Deutsch創(chuàng)作的短篇小說《一個(gè)叫莫比烏斯的地鐵站》為波士頓地鐵站創(chuàng)造了一個(gè)新的行駛線路，整個(gè)線路按照莫比烏斯帶方式扭曲，走入這個(gè)線路的火車都消失不見。另外一部小說《星際旅行：下一代》中的情節(jié)“時(shí)間拐彎”中也用到了莫比烏斯帶的概念。“事業(yè)號”飛船進(jìn)入到莫比烏斯帶與藝術(shù)一個(gè)特殊的時(shí)間帶，這個(gè)時(shí)間帶的形狀像莫比烏斯傳送帶一樣，使他們陷入一個(gè)無盡的同樣順序事件的重復(fù)，直至船長發(fā)現(xiàn)一種解答為止。

莫比烏斯帶實(shí)際是拓?fù)鋵W(xué)中的一個(gè)小部分。

拓?fù)鋵W(xué)是19世紀(jì)發(fā)展起來的一個(gè)重要的幾何分支。主要是研究幾何圖形連續(xù)改變形狀時(shí)的一些特征和規(guī)律的，“莫比烏斯帶”是拓?fù)鋵W(xué)中最有趣的單側(cè)面問題之一。

莫比烏斯帶常被認(rèn)為是無窮大符號“∞”的創(chuàng)意來源，

因?yàn)槿绻硞€(gè)人站在一個(gè)巨大的莫比烏斯帶的表面上沿著他能看到的“路”一直走下去，他就永遠(yuǎn)不會停下來。探尋莫比烏斯帶性質(zhì)1、從認(rèn)識普通環(huán)開始

將長方形紙帶一端分別扭轉(zhuǎn)00,3600,7200

后將兩頭粘在一起，猜一猜：

⑴將紙條沿平行于邊線的一條直線剪開，結(jié)果會怎樣？

⑵將紙條沿平行于邊線的兩條直線剪開，如三等分線剪開，結(jié)果會怎樣？

驗(yàn)證你的猜想，這些環(huán)各有幾個(gè)面，幾條邊？探尋莫比烏斯帶性質(zhì)2、走進(jìn)“魔帶”

將一張長方形紙條畫上二等分線（即中線），然后動手做成莫比烏斯帶。探尋莫比烏斯帶性質(zhì)猜一猜：⑴將莫比烏斯帶沿二等分線（中線）剪開，剪開后結(jié)果會怎樣？是一個(gè)圈還是兩個(gè)圈，或是更多？⑵將上述沿帶子中線剪開得到的圈兒繼續(xù)沿中線剪開，結(jié)果怎樣？動手驗(yàn)證一下探尋莫比烏斯帶性質(zhì)將一張長方形紙條畫上三等分線，然后動手做成莫比烏斯帶。猜一猜：

將莫比烏斯帶沿三等分線剪開，剪開后結(jié)果會怎樣？是一個(gè)大圈？還是三個(gè)圈兒？驗(yàn)證一下二、探尋莫比烏斯帶性質(zhì)將紙條四等分、五等分……，做成莫比烏斯帶，沿線剪開，會出現(xiàn)什么結(jié)果？試試看，找找規(guī)律。將莫比烏斯帶剪的結(jié)果填在下表中：

（設(shè)原莫比烏斯帶周長為L，寬度為a）序號剪法得到的結(jié)果結(jié)果中圈的特點(diǎn)（周長、寬度、圈的扭法）1沿中線剪開2將上得到的大圈兒繼續(xù)沿中線剪開3沿三等分線剪開4沿四等分線剪開５

沿五等分線剪開

６

找規(guī)律莫比烏斯帶的第二個(gè)特性當(dāng)我們沿莫比烏斯帶中心線剪開，我們得到一個(gè)周長是原周長2倍，表面寬度是原寬度一半的普通環(huán)圈。（端頭扭轉(zhuǎn)了四個(gè)半圈再結(jié)合的帶）將已經(jīng)沿莫比烏斯帶中心線剪開的莫比烏斯帶繼續(xù)沿其中線剪開，我們得到兩個(gè)周長是原莫比烏斯帶周長2倍，表面寬度是原莫比烏斯帶寬度四分之一，且互相套在一起的普通環(huán)圈。沿莫比烏斯帶三等分劃線剪開，將得到兩個(gè)不同大小且相互套在一起的環(huán)圈，其中一條是周長等于原周長，表面寬度是原寬度三分之一的莫比烏斯帶，另一個(gè)是周長為原來的莫比烏斯帶2倍，表面寬度是原寬度三分之一的普通環(huán)圈。沿莫比烏斯帶三等分劃線剪開沿莫比烏斯帶四等分劃線剪開沿莫比烏斯帶四等分劃線剪開，得到二條比原來的莫比烏斯帶空間大一倍的圈，二條圈套在一起。哪個(gè)是普通圈，哪個(gè)是莫比烏斯帶？沿莫比烏斯帶五等分劃線剪開沿劃線剪開，得到二條周長為原來的莫比烏斯帶2倍的圈和一條與原來同大小的圈，三條圈套在一起。哪個(gè)是普通圈，哪個(gè)是莫比烏斯帶？

猜猜看：沿莫比烏斯帶9等分線、10等分線剪開，結(jié)果是什么，道理何在？想想看

設(shè)莫比烏斯帶寬度為a,沿平行于邊線且與邊線距離為d(即平行于莫比烏斯帶中心線且與中心線距離相等）的對稱線剪開，結(jié)果是什么？莫比烏斯帶的第三個(gè)特性當(dāng)我們沿與莫比烏斯帶中心線距離相等的對稱線剪開，我們得到兩個(gè)從外觀形狀到存在方式及稱謂上都完全不同的兩個(gè)環(huán)圈，其中一個(gè)是莫比烏斯帶，另一個(gè)是普通環(huán)圈。

由莫比烏斯帶的第三個(gè)特性，我們也可以認(rèn)為當(dāng)我們沿莫比烏斯圈中心線剪開，我們得到一個(gè)普通環(huán)圈和一個(gè)處于虛擬狀態(tài)的莫比烏斯帶。這樣莫比烏斯帶里永遠(yuǎn)存在兩個(gè)環(huán)圈，一個(gè)是莫比烏斯帶，另一個(gè)是普通環(huán)圈。

這個(gè)特性的哲學(xué)意義是：和諧，包容，合二為一，對立統(tǒng)一。

一般地，如果把莫比烏斯帶的紙面寬n等分，并沿著n等分線剪開，將會得到：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，得到n/2個(gè)普通環(huán)圈；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，得到(n-1)/2個(gè)普通環(huán)圈和一個(gè)莫比烏斯帶。

思考并自由剪：

當(dāng)紙帶的一頭扭轉(zhuǎn)后將兩頭粘在一起時(shí)，按前面方式剪開，結(jié)果會怎樣？拓展學(xué)習(xí)一、探究“雙層”莫比烏斯帶

取兩張疊在一起的紙條，把它們同時(shí)扭轉(zhuǎn)半圈，然后把端頭膠結(jié)在一起．這就做成了一個(gè)“雙層”的莫比烏斯帶．整個(gè)看起來像是兩條緊貼在一起的莫比烏斯帶．果真是這樣嗎？檢驗(yàn)一下：把你的手指放進(jìn)兩條帶的中間隔層并讓它移動，看會發(fā)生什么情形？如果你試著不讓它們緊貼，又會發(fā)生什么呢？拓展學(xué)習(xí)一你能把松開后的“它”擺弄回去，繼續(xù)變成一個(gè)“雙層”莫比烏斯帶嗎？如果同時(shí)沿兩者（“雙層”莫比烏斯帶）的中間線剪下，你會得到什么結(jié)果？結(jié)果提示：并非緊偎在一起的“雙層”圈！你會發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)扭轉(zhuǎn)了四個(gè)半圈的環(huán)（普通環(huán)）．它與沿著中線剪開一個(gè)莫比烏斯帶后得到的圖形是拓?fù)涞葍r(jià)的。若同時(shí)沿兩者的中間線剪下，結(jié)果你會得到兩個(gè)連著的環(huán)．一、探究“雙層”莫比烏斯帶

把三條帶合在一起，同時(shí)扭轉(zhuǎn)半圈，然后把它們的端頭依次膠接在一起，一個(gè)三層的莫比烏斯帶便做成了．

猜一猜：當(dāng)該模型松開時(shí)，其結(jié)果是什么？二、探究“三層”莫比烏斯帶結(jié)果提示：當(dāng)該模型松開時(shí)，你會得到兩個(gè)環(huán)，一個(gè)是窄一些的莫比烏斯帶，另一個(gè)則是四次扭轉(zhuǎn)半圈后接合起來的普通環(huán)圈。它與把莫比烏斯帶的紙面寬3等分，并沿著3等分線剪開后得到的圖形是拓?fù)涞葍r(jià)的。二、探究“三層”莫比烏斯帶

如果是4層、5層、…、n層的呢?大家不妨先猜猜，然后動手試試，再觀察各個(gè)結(jié)果,看看有什么規(guī)律?拓展學(xué)習(xí)二有趣的克萊因瓶