數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)課件：邏輯代數(shù)基礎(chǔ)與邏輯門電路

邏輯代數(shù)基礎(chǔ)與邏輯門電路2.1邏輯代數(shù)的基本概念2.2邏輯代數(shù)的公式和規(guī)則2.3復(fù)合邏輯和復(fù)合邏輯門2.4邏輯函數(shù)表達(dá)式的常用形式2.5邏輯函數(shù)的化簡方法2.1邏輯代數(shù)的基本概念人們在社會(huì)生活中，不僅需要計(jì)算，也需要推理，需要在許多情況下根據(jù)已有的知識(shí)對事情做出判斷和推斷，這就產(chǎn)生了邏輯。邏輯是討論事物的前提（條件）和結(jié)論之間所遵循的關(guān)系，以及如何得到這樣一種關(guān)系。古典邏輯是采用自然語言建立概念、斷言和推理系統(tǒng)。隨著人們對自然現(xiàn)象和社會(huì)事物的認(rèn)識(shí)不斷深化，用自然語言來描述事物有時(shí)就顯得既不嚴(yán)格，也不方便，甚至難以理解。布爾為了使邏輯中的推理能與數(shù)學(xué)計(jì)算一樣地進(jìn)行，將代數(shù)符號(hào)引入邏輯系統(tǒng)，建立了一個(gè)二值運(yùn)算的邏輯代數(shù)系統(tǒng)。這樣，邏輯推理就轉(zhuǎn)化為了一種數(shù)學(xué)計(jì)算。二值邏輯代數(shù)系統(tǒng)是由集合{0，1}和“與”、“或”、“非”三種基本運(yùn)算構(gòu)成。

2.1.1邏輯函數(shù)的概念在邏輯代數(shù)系統(tǒng)中，可以用邏輯變量和邏輯函數(shù)來表示用文字描述的邏輯問題。邏輯變量與普通代數(shù)的變量相似，也用A、B、C，x、y、z等字母來表示。所不同的是，普通代數(shù)中變量的取值可以是任意的，而二值邏輯代數(shù)的變量和常量取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1。必須指出，這里的邏輯0和邏輯1并不表示數(shù)量的大小，而是代表某個(gè)事件的兩種對立狀態(tài)，即兩種對立的邏輯狀態(tài)。例如，它們可以代表事件的真、偽，正、反，開關(guān)的通、斷，電平的高、低等。邏輯函數(shù)與普通代數(shù)中的函數(shù)相似，它是隨著自變量的變化而變化的因變量。因此，如果用自變量和因變量分別表示某一事件發(fā)生的條件和結(jié)果，那么該事件的因果關(guān)系就可以用邏輯函數(shù)來表示。數(shù)字電路是處理輸入變量與輸出之間邏輯關(guān)系的運(yùn)算電路。它可以用邏輯函數(shù)來描述。例如，如圖2-1-1所示，對于某數(shù)字電路，若輸入的三個(gè)邏輯變量A、B、C的取值確定后（如A=1，B=1，C=0），經(jīng)過該數(shù)字電路邏輯運(yùn)算f處理后，其輸出邏輯變量F的值是0或是1也被唯一確定了，則稱F是三個(gè)輸入變量A、B、C的邏輯函數(shù)，并記為F=f(A、B、C)。圖2-1-1具有三個(gè)輸入一個(gè)輸出的數(shù)字電路

2.1.2真值表真值表是一種描述邏輯換算輸入與輸出對應(yīng)關(guān)系的表格，它列出了邏輯函數(shù)所有可能輸入的取值組合及其對應(yīng)的輸出值。真值表可以幫助我們理解和分析邏輯函數(shù)的行為。如圖2-1-1所示，如果該數(shù)字電路f的功能是判斷三個(gè)輸入A、B、C中邏輯“1”的個(gè)數(shù)，當(dāng)三個(gè)輸入邏輯“1”的個(gè)數(shù)等于或超過2個(gè)時(shí)，則讓輸出F為邏輯“1”，否則為邏輯“0”。根據(jù)該功能描述，可以列出圖2-1-1電路所表示的邏輯函數(shù)F=f(A、B、C)中三個(gè)輸入A、B、C的所有可能組合與輸出F取值的對應(yīng)表，如表2-1-1所示，該表即是圖2-1-1電路或其邏輯函數(shù)的真值表。表2-1-1三輸入一輸出數(shù)字電路真值表ABCF00000010010001111000101111011111

從表2-1-1可以看出，真值表以豎線分為左右兩部分，左邊為輸入部分，包括數(shù)字電路的所有輸入變量，右邊為輸出部分，包括所有輸出變量。輸入部分列出了邏輯函數(shù)中所有變量的可能取值組合（三個(gè)變量共有8種組合）。如果邏輯函數(shù)有n個(gè)輸入變量，那么輸入部分將有2n行，每行代表一種輸入組合。輸出部分列出了根據(jù)電路功能描述每個(gè)輸入組合對應(yīng)的邏輯函數(shù)的輸出取值。輸出部分的列數(shù)與電路的輸出個(gè)數(shù)（或邏輯函數(shù)的輸出變量個(gè)數(shù)）相等。由于某些數(shù)字電路可能有多個(gè)輸出，每個(gè)輸出都會(huì)對應(yīng)一個(gè)邏輯函數(shù)。

通過觀察真值表中的輸入和輸出部分，可以分析數(shù)字電路或邏輯函數(shù)的行為和規(guī)律，進(jìn)而推導(dǎo)出邏輯函數(shù)的表達(dá)式，或者驗(yàn)證邏輯函數(shù)的正確性。如從表2-1-1也可以看出該真值表所對應(yīng)的數(shù)字電路功能是，當(dāng)三個(gè)輸入A、B、C中邏輯“1”的個(gè)數(shù)大于等于2個(gè)時(shí)輸出F為“1”，否則F為“0”。因此，真值表是數(shù)字電路設(shè)計(jì)和分析的重要工具。2.1.3邏輯代數(shù)的三種基本運(yùn)算1.邏輯與(AND)

邏輯與（AND）運(yùn)算的定義：只有當(dāng)決定一事件結(jié)果的所有條件同時(shí)具備時(shí)，結(jié)果才發(fā)生。例如在圖2-1-2所示的串聯(lián)開關(guān)電路示意圖中，只有在開關(guān)A和B都閉合的條件下，燈F才亮，這種燈亮與開關(guān)閉合的關(guān)系就稱為邏輯與。如果設(shè)開關(guān)A、B閉合為1，斷開為0，設(shè)燈F亮為1，滅為0，則F與A、B的“邏輯與”關(guān)系可以用表2-1-2所示的真值表來描述。

邏輯代數(shù)的三種基本運(yùn)算包括：邏輯與（AND）、邏輯或（OR）、邏輯非（NOT），它們可以由相應(yīng)的單元電路來實(shí)現(xiàn)，這樣的單元電路稱為邏輯門。圖2-1-2邏輯與的示意圖表2-1-2邏輯與（AND）真值表

AB

F000110110001與邏輯可以用邏輯表達(dá)式表示為F=A·B

在邏輯代數(shù)中，將與邏輯稱為與運(yùn)算或邏輯乘。符號(hào)“·”表示邏輯乘，在不致混淆的情況下，常省去符號(hào)“·”。在有些文獻(xiàn)中，也采用∧、∩及&等符號(hào)來表示邏輯乘。實(shí)現(xiàn)邏輯與的單元電路稱為與門，其邏輯符號(hào)如圖2-1-3所示。其中圖2-1-3（a）為特定外形符號(hào)，圖2-1-3（b）為矩形輪廓符號(hào)。這兩種符號(hào)都是IEEE/ANSI（電氣與電子工程師協(xié)會(huì)/美國國家標(biāo)準(zhǔn)協(xié)會(huì)）認(rèn)定的圖形符號(hào)，且與IEC（國際電工協(xié)會(huì)）標(biāo)準(zhǔn)相兼容。其中圖2-1-3（a）表示的特定外型符號(hào)被普遍使用，也是國際通用符號(hào)。（a）特定外形符號(hào)

（b）矩形輪廓符號(hào)圖2-1-3與門邏輯符號(hào)對于兩個(gè)邏輯變量的邏輯與運(yùn)算表達(dá)式F=AB，如果已知輸入變量A和B的波形，則可以根據(jù)邏輯與運(yùn)算的邏輯功能畫出表達(dá)式輸出變量F（兩輸入與門的輸出端）的波形，如圖2-1-4所示。邏輯波形中，邏輯“1”用高電平表示，邏輯“0”用低電平表示。圖2-1-4兩變量邏輯與運(yùn)算波形圖2.邏輯或(OR)圖2-1-5或邏輯示意圖

邏輯或（OR）運(yùn)算的定義：決定事件結(jié)果的所有條件中，只要有一個(gè)條件滿足，結(jié)果就會(huì)發(fā)生。例如，圖2-1-5所示的并聯(lián)開關(guān)電路中，只要開關(guān)A、B中有一個(gè)閉合，燈F就亮，這種燈亮與開關(guān)閉合的關(guān)系稱為邏輯或。F與A、B的邏輯或關(guān)系可以用表2-1-3所示的真值表來描述。表2-1-3或邏輯真值表

AB

F000110110111或邏輯可以用邏輯表達(dá)式表示為F=A+B

或邏輯也稱為或運(yùn)算或邏輯加。符號(hào)“+”表示邏輯加。有些文獻(xiàn)中也采用∨、∪等符號(hào)來表示邏輯加。

實(shí)現(xiàn)邏輯或的單元電路稱為或門，其邏輯符號(hào)如圖2-1-6所示，其中圖（a）為特定外形符號(hào)，也是國際通用符號(hào)，圖（b）為矩形輪廓符號(hào)。(a)特定外形符號(hào)

（b）矩形輪廓符號(hào)

圖2-1-6或門邏輯符號(hào)對于兩個(gè)邏輯變量的邏輯或運(yùn)算表達(dá)式F=A+B，如果已知輸入變量A和B的波形，則可以根據(jù)邏輯或運(yùn)算的邏輯功能畫出表達(dá)式輸出變量F（兩輸入或門的輸出端）的波形，如圖2-1-7所示。圖2-1-7兩變量邏輯或運(yùn)算波形圖3.邏輯非(NOT)

非運(yùn)算(邏輯反)是邏輯的否定：當(dāng)條件具備時(shí)，結(jié)果不會(huì)發(fā)生；而條件不具備時(shí)，結(jié)果一定會(huì)發(fā)生。例如，在圖2-1-8所示的開關(guān)電路中，只有當(dāng)開關(guān)A斷開時(shí)，燈F才亮，當(dāng)開關(guān)A閉合時(shí)，燈F反而熄滅。燈F的狀態(tài)總是與開關(guān)A的狀態(tài)相反。這種結(jié)果總是同條件相反的邏輯關(guān)系稱為非邏輯。非邏輯的真值表如表2-3所示，其邏輯表達(dá)式為通常稱A為原變量，A為反變量。

圖2-1-8非邏輯示意圖AF0110表2-1-4非邏輯運(yùn)算真值表

實(shí)現(xiàn)邏輯非的單元電路稱為非門（或反相器），其邏輯符號(hào)如圖2-1-9所示。其中圖（a）為特定外形符號(hào)，也是國際通用符號(hào)，圖（b）為矩形輪廓符號(hào)。(a)特定外形符號(hào)

（b）矩形輪廓符號(hào)圖2-1-9非門邏輯符號(hào)根據(jù)邏輯非運(yùn)算表達(dá)式，如果已知輸入變量A的波形，則可以畫出F（非門的輸出端）的波形，如圖2-1-10所示。圖2-1-10邏輯非運(yùn)算波形圖2.2邏輯代數(shù)的公式和規(guī)則2.2.1邏輯代數(shù)基本公式

1.變量和常量公式

邏輯變量的取值只有0和1，根據(jù)三種基本運(yùn)算的定義，可推得以下關(guān)系式。0-1律：A·0=0A+1=1自等律：A·1=AA+0=A重疊律：A·A=AA+A=A互補(bǔ)律：A·A=0A+A=12.與普通代數(shù)相似的定律

交換律A·B=B·AA+B=B+A結(jié)合律(A·B)·C=A·(B·C)(A+B)+C=A+(B+C)分配律A·(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)

以上定律可以用真值表證明，也可以用公式證明。例如，證明加對乘的分配律A+BC=(A+B)(A+C)。證：(A+B)(A+C)=A·A+A·B+A·C+B·C=A+AB+AC+BC=A(1+B+C)+BC=A+BC因此有A+BC=(A+B)(A+C)3.邏輯代數(shù)中的特殊公式

反演律(DeMorgan定律)：還原律：表2-2-1反演公式證明真值表AB0001101111101110100010002.2.2化簡公式1.合并公式

公式1：公式2：

A+AB=AA(A+B)=A

證： A+AB=A(1+B)=A·1=A

該公式說明，在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果某一乘積項(xiàng)的部分因子(如AB項(xiàng)中的A)恰好等于另一乘積項(xiàng)(如A)的全部，則該乘積項(xiàng)(AB)是多余的。

證：公式1-1：公式1-2：公式2-1：公式1-2：2.吸收公式

該公式說明，在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果一個(gè)乘積項(xiàng)(如A)取反后是另一個(gè)乘積項(xiàng)(如的因子，則此因子是多余的。

證：推論：

該公式及推論說明，在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果兩個(gè)乘積項(xiàng)中的部分因子互補(bǔ)(如AB項(xiàng)和AC項(xiàng)中的A和A)，而這兩個(gè)乘積項(xiàng)中的其余因子(如B和C)都是第三個(gè)乘積項(xiàng)中的因子，則這個(gè)第三項(xiàng)是多余的。表2-2-2邏輯代數(shù)的基本公式和化簡公式列表

2.2.3三個(gè)重要規(guī)則

1.代入規(guī)則任何一個(gè)邏輯等式，如果將等式兩邊所出現(xiàn)的某一變量都代之以同一邏輯函數(shù)，則等式仍然成立，這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則。由于邏輯函數(shù)與邏輯變量一樣，只有0、1兩種取值，所以代入規(guī)則的正確性不難理解。運(yùn)用代入規(guī)則可以擴(kuò)大基本定律的運(yùn)用范圍。例如，已知A+B=A·B(反演律)，若用F=B+C代替等式中的B，則可以得到適用于多變量的反演律，即2.反演規(guī)則

對于任意一個(gè)邏輯函數(shù)式F，如果將其表達(dá)式中所有的算符“·”換成“+”，“+”換成“·”，常量“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則所得到的結(jié)果就是。稱為原函數(shù)F的反函數(shù)，或稱為補(bǔ)函數(shù)。反演規(guī)則是反演律的推廣，運(yùn)用它可以簡便地求出一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)。例如：若則若則

運(yùn)用反演規(guī)則時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：①不能破壞原式的運(yùn)算順序——先算括號(hào)里的，然后按“先與后或”的原則運(yùn)算。②不屬于單變量上的非號(hào)應(yīng)保留不變。

3.對偶規(guī)則

對于任何一個(gè)邏輯函數(shù)，如果將其表達(dá)式F中所有的算符“·”換成“+”,“+”換成“·”，常量“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則得出的邏輯函數(shù)式就是F的對偶式，記為Fd(或F*)。例如：以上各例中F′是F的對偶式。不難證明F也是F′對偶式。即F與F′互為對偶式。

任何邏輯函數(shù)式都存在著對偶式。若原等式成立，則對偶式也一定成立。即，如果F=G,則F*=G*。這種邏輯推理叫做對偶原理，或?qū)ε家?guī)則。必須注意，由原式求對偶式時(shí)，運(yùn)算的優(yōu)先順序不能改變，且式中的非號(hào)也保持不變。觀察前面邏輯代數(shù)基本定律和公式，不難看出它們都是成對出現(xiàn)的，而且都是互為對偶的對偶式。例如，已知乘對加的分配律成立，即A(B+C)=AB+AC，根據(jù)對偶規(guī)則有，A+BC=(A+B)(A+C)，即加對乘的分配律也成立。2.3復(fù)合邏輯和復(fù)合邏輯門2.3.1常用復(fù)合邏輯運(yùn)算和復(fù)合邏輯門1.與非邏輯(NAND)

與非邏輯運(yùn)算是與運(yùn)算和非運(yùn)算的組合，即(a)2輸入與非門(b)3輸入與非門圖2-3-1與非門的邏輯符號(hào)或非邏輯運(yùn)算是或運(yùn)算和非運(yùn)算的組合，即

與或非邏輯運(yùn)算是與、或、非三種運(yùn)算的組合，即2.或非邏輯(NOR)3.與或非邏輯(AND-OR-NOT)(a)或非門符號(hào)(b)與或非門符號(hào)圖2-3-2或非門和與或非門的邏輯符號(hào)

同或邏輯與異或邏輯相反，它表示當(dāng)兩個(gè)輸入變量相同時(shí)輸出為1；相異時(shí)輸出為0?！咽峭蜻\(yùn)算的符號(hào)。

異或門符號(hào)(b)同或門符號(hào)圖2-3-3異或門和同或門的邏輯符號(hào)表2-3-1異或邏輯和同或邏輯真值表由定義和真值表可見，異或邏輯與同或邏輯互為反函數(shù)，即

不僅如此，它們還互為對偶式。如果，G=A⊙B，不難證明F*=G,G*=F。因此可以將“

”作為“⊙”的對偶符號(hào)，反之亦然。由以上分析可以看出，兩變量的異或函數(shù)和同或函數(shù)既互補(bǔ)又對偶，這是一對特殊函數(shù)。

表2-3-2異或、同或運(yùn)算常用公式此外，(A的個(gè)數(shù)為偶數(shù))(A的個(gè)數(shù)為奇數(shù))在實(shí)際應(yīng)用中，基本邏輯門電路（與、或、非、與非、或非）除了使用標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)之外，還經(jīng)常使用與其邏輯功能相同的等效邏輯符號(hào)，這種方法可以用來對邏輯電路進(jìn)行變換或化簡。前面所學(xué)的反演公式（即德?摩根定理）提供了一種變換邏輯運(yùn)算符號(hào)的方法，利用該定理可以將任何與(AND)形式的邏輯門和或（OR）形式的邏輯門互換。2.3.2常用邏輯門的等效符號(hào)

將圖2-3-5（b）中的非門用小圓圈表示，則可畫出與非門等效符號(hào)如圖2-3-4(c)所示，其輸入端的小圓圈表示非運(yùn)算。

(a)標(biāo)準(zhǔn)與非門

(b)與非門等效電路

(c)標(biāo)準(zhǔn)與非門等效符號(hào)圖2-3-5與非門及其等效符號(hào)

同理，在其它邏輯門標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)的基礎(chǔ)上，只要利用德?摩根定理改變其運(yùn)算符號(hào)（或變與，與變或，反相器除外），并用小圓圈表示非運(yùn)算，就可得到相應(yīng)的等效符號(hào)。圖2-3-6列出了各種邏輯門和反相器的標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)和等效符號(hào)。圖2-3-6各種邏輯門和反相器的標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)和等效符號(hào)由于與門、或門、非門、與非門、或非門、與或非門、異或門和同或門這八種邏輯門的輸出端僅有兩種狀態(tài)，邏輯1（高定平），邏輯0（低電平），在實(shí)際使用時(shí)，應(yīng)注意它們的輸出端都不能直接連接在一起。如圖2-3-7所示的兩個(gè)與非門的輸出端連接在一起的方式是很危險(xiǎn)的，在加電后非常容易出現(xiàn)邏輯門的損壞。但是，本節(jié)介紹的集電極開路門和三態(tài)門在一定條件下的輸出端則可以連接在一起。2.3.3集電極開路門和三態(tài)門圖2-3-7輸出端錯(cuò)誤連接圖1.集電極開路門（OC門）

集電極開路門又稱OC(OpenCollector)門，如圖2-3-8（a）所示為OC與非門邏輯符號(hào)，符號(hào)中的菱形記號(hào)表示是OC輸出結(jié)構(gòu)的邏輯門。該邏輯門的內(nèi)部電路輸出端晶體管的集電極與電源之間是開路的，因此，在使用時(shí)需要外接合適的電阻RL到電源上（稱為上拉電阻），以保證在輸出為高電平時(shí)，輸出端能夠穩(wěn)定為邏輯高電壓。多個(gè)OC門的輸出端才可以直接連接，并且可以共享外接的上拉電阻RL，如圖2-3-8（b）是兩個(gè)OC與非門輸出端連接的應(yīng)用。(a)OC與非門的邏輯符號(hào)(b)兩個(gè)OC與非門輸出端并接圖2-3-8OC與非門的邏輯符號(hào)及應(yīng)用

圖2-3-8（b）中只要有一個(gè)門的輸出為低電平，則F輸出為低，只有所有門的輸出為高電平，F(xiàn)輸出才為高，因此相當(dāng)于在輸出端實(shí)現(xiàn)了“線與”(Wired-AND)的邏輯功能，輸出表達(dá)式為2.三態(tài)門三態(tài)（Three-State）門，簡稱TS門。普通邏輯門的輸出只有兩種狀態(tài)，即邏輯0和邏輯1，這兩種狀態(tài)都是低阻輸出。三態(tài)門除了上述兩種狀態(tài)以外，還有第三種狀態(tài)——高阻態(tài)（High-impedanceState，HI-Z），這時(shí)輸出端相當(dāng)于懸空。三態(tài)緩沖門的邏輯符號(hào)如圖2-3-9所示，符號(hào)中的倒三角“▽”記號(hào)表示邏輯門是三態(tài)輸出，EN為使能控制端，EN輸入端有小圓圈表示低電平有效（若沒有小圓圈則表示高電平有效）。(a)低電平使能三態(tài)緩沖門

(b)高電平使能三態(tài)緩沖門圖2-3-9兩種控制模式的三態(tài)緩沖門符號(hào)

由于三態(tài)門有使能控制端，所以其功能描述與普通邏輯門也不相同。圖2-3-9（a）三態(tài)緩沖門的真值表如表2-3-3所示，表中的“X”表示輸入變量為“0”或“1”中的任意邏輯值都可以，即輸入為任意值。其輸出函數(shù)表達(dá)式可寫成

圖2-3-9（b）三態(tài)緩沖門的真值表如表2-3-4所示，其輸出表達(dá)式可寫成表2-3-3低電平使能三態(tài)緩沖門真值表表2-3-4高電平使能三態(tài)緩沖門真值表ENA

F00011X01Z（高阻）ENA

F10110X01Z（高阻）多個(gè)三態(tài)門的輸出端可以直接連接，圖2-3-10是兩個(gè)三態(tài)緩沖門輸出端連接的應(yīng)用。圖中當(dāng)EN=0時(shí)，低電平使能的三態(tài)門工作輸出為A，高電平使能的三態(tài)門不工作輸出懸空，則F輸出為。當(dāng)EN=1時(shí)，低電平使能的三態(tài)門不工作輸出懸空，高電平使能的三態(tài)門工作輸出為B，則F輸出為。因此相當(dāng)于在輸出端實(shí)現(xiàn)了“線或”(Wired-OR)的邏輯功能，輸出表達(dá)式為圖2-3-10兩種三態(tài)緩沖門的應(yīng)用另外，圖2-3-9所示的三態(tài)門電路可以實(shí)現(xiàn)在同一個(gè)公用通道上輪流傳送2個(gè)不同的信息，當(dāng)該電路擴(kuò)展到n個(gè)三態(tài)門時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)在同一個(gè)公用通道上輪流傳送n個(gè)不同的信息。普通邏輯門的輸出端串接上三態(tài)緩沖門，同樣可以實(shí)現(xiàn)“線或”運(yùn)算。如圖2-3-11所示，將兩個(gè)串接了三態(tài)緩沖門的與門輸出端直接相連，輸出表達(dá)式為圖2-3-11兩個(gè)串接了三態(tài)緩沖門的與門輸出端直接相連2.4邏輯函數(shù)表達(dá)式的常用形式

邏輯門是實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)的基本單元器件，如果選擇實(shí)際器件的功能和型號(hào)不同，則邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式也不相同，因此必須將邏輯函數(shù)式變換成符合相應(yīng)邏輯門的形式。在邏輯代數(shù)中，與、或、非是三種最基本的邏輯運(yùn)算，用與、或、非三種運(yùn)算符和邏輯變量可以構(gòu)成任何邏輯函數(shù)，因此稱與、或、非邏輯運(yùn)算符是一組完備集。但是與、或、非三種運(yùn)算符并不是最好的完備集，因?yàn)橛盟鼘?shí)現(xiàn)一個(gè)函數(shù)時(shí)需要用三種不同規(guī)格的邏輯門。實(shí)際上從德?摩根定律可見，有了“與”和“非”便可得到“或”，有了“或”和“非”便可得到“與”，因此“與非”、“或非”、“與或非”運(yùn)算中的任何一種都能單獨(dú)實(shí)現(xiàn)“與、或、非”運(yùn)算。這三種復(fù)合運(yùn)算的每一種都是完備集，而且實(shí)現(xiàn)函數(shù)只需要一種規(guī)格的邏輯門，這會(huì)給設(shè)計(jì)帶來許多方便。2.4.1邏輯運(yùn)算的完備性例2-4-1僅用“與非”門分別實(shí)現(xiàn)與、或、非三種基本運(yùn)算，并分別畫出實(shí)現(xiàn)的連接圖。例2-4-1僅用“與非”門分別實(shí)現(xiàn)與、或、非三種基本運(yùn)算，并分別畫出實(shí)現(xiàn)的連接圖。任何一個(gè)邏輯函數(shù)式都可以通過邏輯變換寫成以下五種形式：與或式或與式與非與非式或非或非式與或非式2.4.2邏輯函數(shù)表達(dá)式的常用形式圖2-4-3邏輯函數(shù)的五種電路形式(a)與或式(b)或與式(c)與非—與非式(d)或非—或非式(e)與或非式2.4.3邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式

n個(gè)變量的最小項(xiàng)是n個(gè)變量的“與項(xiàng)”，其中每個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。兩個(gè)變量A、B可以構(gòu)成四個(gè)最小項(xiàng)——

，三個(gè)變量A、B、C可以構(gòu)成八個(gè)最小項(xiàng)——

，可見n個(gè)變量的最小項(xiàng)共有2n個(gè)。

任何一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式有多種，但標(biāo)準(zhǔn)形式只有兩種，即標(biāo)準(zhǔn)與或式和標(biāo)準(zhǔn)或與式，并且這兩種標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式都是唯一的，它們和邏輯函數(shù)真值表有著嚴(yán)格的對應(yīng)關(guān)系。1.最小項(xiàng)表2-4-1三變量邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)最小項(xiàng)具有以下性質(zhì)：①n變量的全部最小項(xiàng)的邏輯和恒為1，即②任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)的邏輯乘恒為0，即③n變量的每一個(gè)最小項(xiàng)有n個(gè)相鄰項(xiàng)。例如，三變量的某一最小項(xiàng)有三個(gè)相鄰項(xiàng)：。這種相鄰關(guān)系對于邏輯函數(shù)化簡十分重要。2.標(biāo)準(zhǔn)與或式——最小項(xiàng)表達(dá)式如果在一個(gè)與或表達(dá)式中，所有與項(xiàng)均為最小項(xiàng)，則稱這種表達(dá)式為最小項(xiàng)表達(dá)式，或稱為標(biāo)準(zhǔn)與或式、標(biāo)準(zhǔn)積之和式。例如：是一個(gè)三變量的最小項(xiàng)表達(dá)式，它也可以簡寫為

任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示為最小項(xiàng)之和的形式：只要將真值表中使函數(shù)值為1的各個(gè)最小項(xiàng)相或，便可得出該函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。由于任何一個(gè)函數(shù)的真值表是惟一的，因此其最小項(xiàng)表達(dá)式也是惟一的。表2-4-2真值表ABCF00000101001110010111011101101011

從真值表可知，當(dāng)A、B、C取值分別為001、010、100、111時(shí)，F(xiàn)為1，因此最小項(xiàng)表達(dá)式由這四種組合所對應(yīng)的最小項(xiàng)進(jìn)行相或構(gòu)成，即表2-4-3三變量邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)與最大項(xiàng)3.最大項(xiàng)

n個(gè)變量的最大項(xiàng)是n個(gè)變量的“或項(xiàng)”，其中每一個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。

n個(gè)變量可以構(gòu)成2n個(gè)最大項(xiàng)。最大項(xiàng)用符號(hào)Mi表示(見表2-10)。與最小項(xiàng)恰好相反，對于任何一個(gè)最大項(xiàng)，只有一組變量取值使它為0，而變量的其余取值均使它為1。例如，或項(xiàng)僅和變量取值101對應(yīng)，故用M5表示。最大項(xiàng)具有以下性質(zhì)：①n變量的全部最大項(xiàng)的邏輯乘恒為0，即②n變量的任意兩個(gè)不同的最大項(xiàng)的邏輯和必等于1，即③n變量的每個(gè)最大項(xiàng)有n個(gè)相鄰項(xiàng)。例如，三變量的某一最大項(xiàng)有三個(gè)相鄰項(xiàng)：

變量數(shù)相同，編號(hào)相同的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)之間存在互補(bǔ)關(guān)系，即例如：4.標(biāo)準(zhǔn)或與式——最大項(xiàng)表達(dá)式在一個(gè)或與式中，如果所有的或項(xiàng)均為最大項(xiàng)，則稱這種表達(dá)式為最大項(xiàng)表達(dá)式，或稱為標(biāo)準(zhǔn)或與式、標(biāo)準(zhǔn)和之積表達(dá)式。如果一個(gè)邏輯函數(shù)的真值表已給出，要寫出該函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式，可以先求出該函數(shù)的反函數(shù)，并寫出的最小項(xiàng)表達(dá)式，然后將再求反，利用mi和Mi的互補(bǔ)關(guān)系便得到最大項(xiàng)表達(dá)式。例如，已知表2-4-4的真值表，可得表2-4-4函數(shù)F真值表ABCFF0000010100111001011101111010010110100101可見，最大項(xiàng)表達(dá)式是真值表中使函數(shù)值為0的各個(gè)最大項(xiàng)相與。

得出結(jié)論：任何一個(gè)邏輯函數(shù)既可以用最小項(xiàng)表達(dá)式表示，也可以用最大項(xiàng)表達(dá)式表示。如果將一個(gè)n變量函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式改為最大項(xiàng)表達(dá)式時(shí)，其最大項(xiàng)的編號(hào)必定都不是最小項(xiàng)的編號(hào)，而且這些最小項(xiàng)的個(gè)數(shù)和最大項(xiàng)的個(gè)數(shù)之和為2n。2.5邏輯函數(shù)的化簡方法1.并項(xiàng)法利用公式AB+AB=A將兩項(xiàng)合并成一項(xiàng)，并消去互補(bǔ)因子。如：2.5.1代數(shù)化簡法2.吸收法利用吸收律

A+AB=A、和吸收(消去)多余的乘積項(xiàng)或多余的因子。如：3.配項(xiàng)法利用重疊律A+A=A、互補(bǔ)律A+A=1和吸收律AB+AC+BC=AB+AC先配項(xiàng)或添加多余項(xiàng)，然后再逐步化簡。如：(添多余項(xiàng)AB)(去掉多余項(xiàng)AB)2.5.2卡諾圖化簡法

在邏輯函數(shù)的真值表中，輸入變量的每一種組合都和一個(gè)最小項(xiàng)相對應(yīng)，這種真值表也稱最小項(xiàng)真值表?？ㄖZ圖就是根據(jù)最小項(xiàng)真值表按一定規(guī)則排列的方格圖。

表2-5-1三變量最小項(xiàng)1.卡諾圖的構(gòu)成圖2-5-2四變量、五變量K圖圖2-5-1三變量K圖

由圖2-5-2可以看出，K圖具有如下特點(diǎn)：①

n變量的卡諾圖有2n個(gè)方格，對應(yīng)表示2n個(gè)最小項(xiàng)。每當(dāng)變量數(shù)增加一個(gè)，卡諾圖的方格數(shù)就擴(kuò)大一倍。②卡諾圖中任何幾何位置相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)，在邏輯上都是相鄰的。由于變量取值的順序按格雷碼排列，保證了各相鄰行(列)之間只有一個(gè)變量取值不同，從而保證畫出來的最小項(xiàng)方格圖具有這一重要特點(diǎn)。所謂幾何相鄰，一是相接，即緊挨著；二是相對，即任意一行或一列的兩頭；三是相重，即對折起來位置重合。所謂邏輯相鄰，是指除了一個(gè)變量不同外其余變量都相同的兩個(gè)與項(xiàng)。

例如圖2-5-2(b)五變量K圖中，m5在幾何位置上與m4、m7、m1、m13、m21相鄰，因此與相鄰，此外還與和 分別相鄰，即m5有五個(gè)相鄰項(xiàng)?？梢娍ㄖZ圖也反映了n變量的任何一個(gè)最小項(xiàng)有n個(gè)相鄰項(xiàng)這一特點(diǎn)?？ㄖZ圖的主要缺點(diǎn)是隨著輸入變量的增加圖形迅速復(fù)雜，相鄰項(xiàng)不那么直觀，因此它只適于用來表示6個(gè)以下變量的邏輯函數(shù)。2.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法(1)給出邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式（與或標(biāo)準(zhǔn)式）

只要將構(gòu)成邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)在卡諾圖上相應(yīng)的方格中填1，其余的方格填0(或不填)，則可以得到該函數(shù)的卡諾圖。也就是說，任何一個(gè)邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖上填1的那些最小項(xiàng)之和。

圖2-5-3F1的卡諾圖(2)邏輯函數(shù)為一般與或式將一般與或式中每個(gè)與項(xiàng)在卡諾圖上所覆蓋的最小項(xiàng)都填1，其余的填0（或不填），就可以得到該函數(shù)的卡諾圖。例如，用卡諾圖表示函數(shù)時(shí)，先確定使每個(gè)與項(xiàng)為1的輸入變量取值，然后在該輸入變量取值所對應(yīng)的方格內(nèi)填1。F2表達(dá)式中有四個(gè)與項(xiàng)，分別為當(dāng)ABCD取值為100x時(shí)，與D無關(guān)，=1，使得F2=1，因此在對應(yīng)ABCD為1000和1001的方格m8，m9處填1；當(dāng)ABCD取值為00x1時(shí)，與C無關(guān)，=1，使得F2=1，因此在對應(yīng)ABCD為0001和0011的方格處填1；BC：當(dāng)ABCD=×11×?xí)r，與A、D無關(guān)，BC=1，使得F2=1，對應(yīng)的四個(gè)方格(m6、m7、m14、m15)處填1；D：當(dāng)ABCD=×××1時(shí)該與項(xiàng)為1，對應(yīng)八個(gè)方格(m1、m3、m5、m7、

m9、m11、m13、m15)處填1。

F2的k圖如圖2-5-4所示。由于F2不一定是最簡式，因此按照每個(gè)與項(xiàng)為1分別填對應(yīng)的方格時(shí)，可能會(huì)有重復(fù)的方格。另外，畫一般與或式邏輯函數(shù)的卡諾圖，也可以先通過代數(shù)法將表達(dá)式變?yōu)樽钚№?xiàng)表達(dá)式，利用最小項(xiàng)表達(dá)式畫卡諾圖；或者先畫出一般與或式表達(dá)式的真值表，再由真值表畫卡諾圖。圖2-5-4F2的卡諾圖(3)邏輯函數(shù)為最大項(xiàng)表達(dá)式（或與標(biāo)準(zhǔn)式）只要將構(gòu)成邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)在卡諾圖相應(yīng)的方格中填0，其余的方格填1即可。也就是說，任何一個(gè)邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖上填0的那些最大項(xiàng)之積。例如，函數(shù)只需在三變量卡諾圖中將M0、M2、M4、M7對應(yīng)的方格處填0，F(xiàn)3的卡諾圖如圖2-5-5所示。注意：在卡諾圖中最大項(xiàng)的編號(hào)與最小項(xiàng)編號(hào)一致，但對于輸入變量的取值是相反的。另外，也可以由最大項(xiàng)表達(dá)式先寫出最小項(xiàng)表達(dá)式，再由最小項(xiàng)表達(dá)式畫函數(shù)的卡諾圖。圖2-5-5F3的卡諾圖圖2-5-6F4的卡諾圖(4)邏輯函數(shù)的一般或與式將一般或與式中每個(gè)或項(xiàng)在卡諾圖上所覆蓋的最大項(xiàng)處都填0，其余的填1即可。例如，將函數(shù)填入卡諾圖時(shí)，先確定使每個(gè)或項(xiàng)為0時(shí)輸入變量的取值，然后在該取值所對應(yīng)的方格內(nèi)填0。當(dāng)ABC=10×?xí)r，該或項(xiàng)為0，對應(yīng)兩個(gè)方格(M4、M5)處填0。當(dāng)ABC=×00時(shí)，該或項(xiàng)為0，對應(yīng)兩個(gè)方格(M0、M4)處填0。F4的K圖如圖2-5-6所示。3.卡諾圖合并規(guī)律

在卡諾圖中，凡是幾何位置相鄰的最小項(xiàng)均可以合并。兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并為一項(xiàng)，消去一個(gè)互補(bǔ)變量。在卡諾圖上該合并圈稱為單元圈，它所對應(yīng)的與項(xiàng)由圈內(nèi)沒有變化的那些變量組成，可以直接從卡諾圖中讀出。例如，圖2-5-7(a)中m1、m3合并為，圖2-5-7(b)中m0、m4合并為。任何兩個(gè)相鄰的單元K圈也是相鄰項(xiàng)，仍然可以合并，消去互補(bǔ)變量。因此，如果K圈越大，消去的變量數(shù)就越多。

圖2-5-7(c)、(d)表示四個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并為一項(xiàng)，消去了兩個(gè)變量，合并后積項(xiàng)由K圈對應(yīng)的沒有變化的那些變量組成。圖2-5-7(c)中m0、m1、m4、m5合并為，圖2-5-7(d)中m0、m2、m8、m10合并為，m5、m7、m13、m15合并為BD，m12、m13、m15、m14合并為AB。圖2-5-7(e)表示八個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并為一項(xiàng)，消去了三個(gè)變量，即

（6）每一個(gè)圈1的卡諾圈合并，可以根據(jù)圈內(nèi)沒有變化的變量寫出對應(yīng)的與項(xiàng)。取值為1在與項(xiàng)中用原變量表示，取值為0在與項(xiàng)中用反變量表示。

對最小項(xiàng)圈卡諾圖寫出的最簡與或式就是所有卡諾圈所對應(yīng)的與項(xiàng)相或，如圖2-5-7（d）卡諾圖化簡后的最簡與或式為。圖2-5-7最小項(xiàng)合并規(guī)律4.卡諾圖法化簡邏輯函數(shù)

（1）得到最簡與或式在卡諾圖上以最少的卡諾圈數(shù)和盡可能大的卡諾圈覆蓋所有填1的方格，即滿足最小覆蓋，就可以求得邏輯函數(shù)的最簡與或式?；喌囊话悴襟E是：①畫出邏輯函數(shù)的K圖。②先從只有一種圈法的最小項(xiàng)開始圈起，K圈的數(shù)目應(yīng)最少(與項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)最少)，K圈應(yīng)盡量大(對應(yīng)與項(xiàng)中變量數(shù)最少)。③將每個(gè)K圈寫成相應(yīng)的與項(xiàng)，并將它們相或，便得到最簡與或式。圈Ｋ圈時(shí)應(yīng)注意，根據(jù)重疊律(A+A=A)，任何一個(gè)1格可以多次被圈用，但如果在某個(gè)K圈中所有的1格均已被別的K圈圈過，則該圈為多余圈。為了避免出現(xiàn)多余圈，應(yīng)保證每個(gè)K圈內(nèi)至少有一個(gè)1格只被圈一次?！纠?-5-5】求F=∑m(1,3,4,5,8,10,11,12,13)的最簡與或式。解：

①畫出F的卡諾圖。如圖2-5-8（a）所示，變量按照ABCD順序排列。

(a)(b)

圖2-5-8例2-5-5的卡諾圖②圈卡諾圈。用卡諾圈覆蓋所有1格后的卡諾圖如圖2-5-8(b)所示。根據(jù)化簡原則，首先選擇圈四個(gè)1格m4,m5,m12,m13的卡諾圈，該圈的與項(xiàng)為，然后用最少的卡諾圈覆蓋剩下的4個(gè)1格，圈2個(gè)1格m1,m3的卡諾圈的與項(xiàng)為、圈2個(gè)1格m8,m10的卡諾圈的與項(xiàng)為?？梢娨还仓灰萌齻€(gè)卡諾圈即可覆蓋全部的1格。③寫出最簡式?！纠?-5-6】

求的最簡與或式。

解：①畫出F的K圖。給出的F為一般與或式，將每個(gè)與項(xiàng)所覆蓋的最小項(xiàng)都填1，K圖如圖2-5-9所示。圖2-5-9例2-5-6的卡諾圖(a)(b)(c)②畫K圈化簡函數(shù)。③寫出最簡與或式。本例有兩種圈法，都可以得到最簡式。按圖2-5-9(b)圈法：按2-5-9(c)圈法：該例說明，邏輯函數(shù)的最簡式不是唯一的。

（2）得到最簡或與式

任何一個(gè)邏輯函數(shù)既可以等于其卡諾圖上填1的那些最小項(xiàng)之和，也可以等于其卡諾圖上填0的那些最大項(xiàng)之積，因此，如果要求出某函數(shù)的最簡或與式，可以在該函數(shù)的卡諾圖上合并那些填0的相鄰項(xiàng)。這種方法簡稱為圈0合并，其化簡步驟及化簡原則與圈1合并類同，只要按圈逐一寫出或項(xiàng)，然后將所得的或項(xiàng)相與即可。但需注意，或項(xiàng)由K圈對應(yīng)的沒有變化的那些變量組成，當(dāng)變量取值為0時(shí)寫原變量，取值為1時(shí)寫反變量?！纠?-5-7】求的最簡或與式。

解：

①畫出F的卡諾圖，如圖2-5-11所示。②圈卡諾圈，合并0格。其規(guī)律與圈1相同，即滿足卡諾圈的數(shù)目應(yīng)最少，卡諾圈應(yīng)盡可能大。本例用三個(gè)卡諾圈覆蓋了所有0格。③寫出最簡或與式。圖2-5-11例2-5-7的卡諾圖為了避免圈0的卡諾圈寫或項(xiàng)的時(shí)候出錯(cuò)，可以采用下面的步驟利用卡諾圖化簡得到函數(shù)的最簡或與式：（1）畫出原函數(shù)反函數(shù)的卡諾圖。在原函數(shù)卡諾圖中填1的方格，在反函數(shù)的卡諾圖中填0或不填；在原函數(shù)卡諾圖中填0的方格，在反函數(shù)卡諾圖中填1;（2）在反函數(shù)卡諾圖中對1格圈卡諾圈，得到反函數(shù)的最簡與或式;（3）反函數(shù)最簡與或式再取反，即可得到原函數(shù)的最簡或與式。【例2-5-8】利用上述方法重做例2-5-7。解：①畫出F的反函數(shù)的卡諾圖。原函數(shù)F的卡諾圖如圖2-5-11所示，反函數(shù)的卡諾圖如圖2-5-12所示。

圖2-5-12例2-5-7反函數(shù)

2.5.3具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡1.具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)

邏輯問題分為完全描述和非完全描述兩種。如果對于輸入變量的每一組取值，邏輯函數(shù)都有確定的值，則稱這類函數(shù)為完全描述邏輯函數(shù)。如果對于輸入變量的某些取值組合邏輯函數(shù)值不確定，即函數(shù)值可以為0，也可以為1(通常將函數(shù)值記為?或×)，那么這類函數(shù)稱為非完全描述的邏輯函數(shù)。

無關(guān)項(xiàng)發(fā)生在以下兩種情況：①由于某種條件的限制(或約束)使得輸入變量的某些組合不可能出現(xiàn)，因而在這些取值下對應(yīng)的函數(shù)值是“無關(guān)”緊要的，它可以為1，也可以為0。