廣東省東莞市五校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省東莞市五校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自已的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.第一部分（選擇題共58分）一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)直線的傾斜角為，直線，即為，可知直線的斜率為，所以傾斜角.故選：D.2.若直線是圓的一條對稱軸，則（）A. B. C.1 D.0【答案】A【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€是圓的一條對稱軸，所以直線過點(diǎn)，所以，解得.故選:A.3.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，故，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選:C.4.若空間中三個點(diǎn)，則直線與直線夾角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，記直線與直線的夾角為，則.故選：B5.由直線上的點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，由直線上的點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為A，則.要使切線長最小，則PC最小，此時.所以切線長的最小值為．故選：B.6.已知兩條直線與被圓截得線段長均為2，則圓的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)閮蓷l直線與，所以，所以與間的距離為，所以圓心到直線的距離為1，因?yàn)橹本€被圓截得的弦長為2，所以圓的半徑為，所以圓的面積為.故選：A.7.已知橢圓的右焦點(diǎn)為是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的周長的最大值為（）A. B.14 C. D.【答案】B【解析】由橢圓方程得，，.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，,，則的周長為,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且在的延長線上時取等號.的周長最大值為.故選:B.8.已知是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過的直線與的左?右兩支分別交于兩點(diǎn).若，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，不妨令，，，因?yàn)?，所以，又由雙曲線定義得：，,所以，所以，所以，所以，在直角三角形中，，又，所以，所以雙曲線離心率為.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.過點(diǎn)且與兩點(diǎn)距離相等的直線方程（）A B.C D.【答案】BC【解析】由題意得：滿足條件的直線斜率存在，可設(shè)所求直線方程為，即，因?yàn)榕c點(diǎn)距離相等，則，可得，解得或，所以所求直線方程為或.故選：BC10.已知圓，則下列命題正確的是（）A.圓心坐標(biāo)為2,1B.圓與圓有三條公切線C.直線與圓相交所得的弦長為8D.若圓上恰有三個點(diǎn)到直線的距離為，則或【答案】ACD【解析】對于選項A：由圓，可化為，可得圓心，半徑為，故A正確；對于選項B：由圓，可得圓心，半徑.，且，則.所以圓與圓不可能外切或外離，故兩圓至多有兩條公共切線，故B錯誤；對于選項C：由圓心到直線的距離為，所以相交弦長為，故C正確；對于選項D：由圓上恰有三個點(diǎn)到直線的距離為，則滿足圓心到直線的距離為，即，解得或，故D正確.故選：ACD.11.人教A版選擇性必修第一冊在橢圓章節(jié)的最后《用信息技術(shù)探究點(diǎn)的軌跡：橢圓》中探究得出橢圓（）上動點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離和動點(diǎn)到直線的距離之比是常數(shù).已知橢圓：，為左焦點(diǎn)，直線：與軸相交于點(diǎn)，過的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），分別過點(diǎn)，向作垂線，垂足為，，則（）A. B.C.直線與橢圓相切時， D.【答案】ABD【解析】對A：由條件知：，故，故A正確；對D：作軸于，則，，所以，故D正確；對B：同D知：，因?yàn)?，所以，所以，即平分，由角平分線性質(zhì)知即，故B正確；對C：下面證明當(dāng)且僅當(dāng)時與橢圓相切，因?yàn)?，所以時當(dāng)且僅當(dāng)，此時點(diǎn)是唯一的，故與橢圓相切當(dāng)時，，滿足條件的有兩個，即點(diǎn)有兩個，此時與橢圓相交，故當(dāng)且僅當(dāng)時與橢圓相切，此時，故C錯誤.故選：ABD第二部分（非選擇題共92分）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知雙曲線的一條漸近線方程為，且其右焦點(diǎn)為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.【答案】【解析】由題知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以，即，又，聯(lián)立，求解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：13.已知空間向量，且∥，則__________.【答案】【解析】因?yàn)椤?，且均不是零向量，故存在非零?shí)數(shù)使得，此即.故，所以.故答案為：.14.如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn)．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為,，P為橢圓上不與頂點(diǎn)重合的任一點(diǎn)，I為的內(nèi)心，記直線OP，PI（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為，，若，則橢圓的離心率為__________．【答案】【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在第二象限，的內(nèi)切圓與各邊的切點(diǎn)分別為,設(shè),則，故，，，由于點(diǎn)在第二象限，，所以，故，，因此，，當(dāng)代入得（負(fù)值舍去），故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為.（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的方程.解：（1）由題知，，在直線上，設(shè)，則，解得，即點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）設(shè)，則，解得，即，所以直線的方程為，即.16.如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面是菱形，，在平面中，，且.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）如圖所示，取中點(diǎn)，連接，，由四邊形為菱形，且，得，，又，，，，，又，且，平面，平面，平面，平面平面.（2）如圖所示，過點(diǎn)作，垂足，連接，由（1）得平面平面，平面平面，，平面，∴平面.∵平面,，.又，平面，且，平面.∵平面，平面平面，所以即為直線與平面所成角，又，，，即直線與平面所成角的正弦值為.17.已知，動點(diǎn)滿足到兩點(diǎn)的距離之比為，記動點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）設(shè)Px,y，，由題意可得，兩端同時平方得，故，化簡得.故曲線的方程為：.（2）直線：，即，令，解得，故直線過定點(diǎn).代入點(diǎn)到圓的方程：，故點(diǎn)在圓的內(nèi)部.設(shè)圓心到直線的距離為，又，所以.又因?yàn)?，，所?解得.故的取值范圍為：.18.已知點(diǎn)是離心率為的橢圓：上的一點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，直線和的斜率都存在且不為，試問直線和的斜率之積是否為定值？若是，求此定值；若不是，請說明理由；（3）斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時直線的方程．解：（1），，將代入橢圓方程得，所以橢圓方程為；（2）依題意得在橢圓上，直線和的斜率都存在且不為，設(shè)，所以，，，所以直線和的斜率之積為定值；（3）設(shè)直線的方程為，，由消去，整理得，，則，則，，點(diǎn)到直線的距離為，，當(dāng)，即時面積最大，且最大值為，此時直線的方程為．19.直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點(diǎn)的直線族（不包括直線軸），直線族的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.（1）圓是直線族的包絡(luò)曲線，求滿足的關(guān)系式；（2）若點(diǎn)不在直線族的任意一條直線上，求的取值范圍及直線族的包絡(luò)曲線的方程；（3）在（2）的條件下，過直線上的動點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求原點(diǎn)到直線的距離的最大值.解：（1）由題可得，直線族為圓M的切線，故滿足，所以滿足．（2）將點(diǎn)代入，可得關(guān)于的方程，因?yàn)辄c(diǎn)不在直線族上，故方程無實(shí)數(shù)解，所以，那么，故，因?yàn)閰^(qū)域的邊界為拋物線，下證：是的包絡(luò)曲線．證明：聯(lián)立直線與，可得，所以，故直線族：為拋物線的切線.因此直線族的包絡(luò)曲線的方程為.（3）由（2）得曲線的方程為，設(shè)Px0,則，即.設(shè)Ax易知