河北省張家口市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省張家口市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在試卷和答題卡指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在軸上，且，所以，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.2.已知空間向量，則與的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)與的夾角為，所以.則與的夾角的余弦值為.故選：A.3.已知直線過(guò)點(diǎn)，將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與軸重合，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】直線過(guò)點(diǎn)，將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與軸重合，所以直線的傾斜角為，所以，直線的方程為：.故選：D.4.已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為，則（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差，前項(xiàng)和為，所以，故選：B.5.已知過(guò)點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積的最小值是（）A.4 B. C.8 D.5【答案】A【解析】直線與軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，可知直線的斜率為負(fù)數(shù)，設(shè)直線，令，得，令，得，可知，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最小值為4.故選：A.6.已知正項(xiàng)數(shù)列中，，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列中，，顯然，所以，所以對(duì)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，可得，所以，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以.故選：C.7.已知分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過(guò)作垂直于軸的直線交于兩點(diǎn)，若直線與直線互相垂直，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令可得，則y2=b21-所以，因?yàn)橹本€與直線互相垂直，所以，所以在中，，所以，所以，所以，所以或（舍去），所以的離心率為.故選：C.8.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為為側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，在對(duì)角線上，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接，易知面，又面，所以，因?yàn)闉閭?cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，，所以，即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓弧上，連接，過(guò)作交于，易知面，因?yàn)?，所以，又，，所以，，故在上，所以?dāng)與重合時(shí)，最小，又，所以最小值為，故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知點(diǎn)，分別以點(diǎn)為圓心，以1，2為半徑作圓．若直線與圓和圓相切，切點(diǎn)分別為，則（）A.若重合，則直線的方程是B.若不重合，則C.若直線的斜率存在，則其斜率為D.若不重合，則四邊形的面積為【答案】ABD【解析】點(diǎn)，分別以點(diǎn)為圓心，以1，2為半徑作圓，所以，，對(duì)于A，因?yàn)椋詧A圓外切，且切點(diǎn)為O0,0，若重合，則即為O0,0，此時(shí)直線的方程是，故A正確；對(duì)于B，如下圖，因?yàn)?，，設(shè)直線與交于點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，，，所以在中，，故B正確；對(duì)于C，在中，，故直線的斜率存在，則其斜率為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若不重合，則四邊形的面積為：，故D正確.故選：ABD.10.圓錐曲線過(guò)焦點(diǎn)的弦稱為焦點(diǎn)弦，垂直于橢圓的長(zhǎng)軸（雙曲線的實(shí)軸，拋物線的對(duì)稱軸）的焦點(diǎn)弦稱為通徑．若點(diǎn)是橢圓，拋物線和雙曲線的焦點(diǎn)，且橢圓，拋物線和雙曲線的通徑長(zhǎng)恰好成等差數(shù)列，則（）A.B.可以是直角三角形三條邊的長(zhǎng)C.雙曲線的離心率D.點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為【答案】ABC【解析】對(duì)于A，由點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，所以F1,0，又因?yàn)閽佄锞€和雙曲線的焦點(diǎn)，所以，，故A正確；對(duì)于B，令可得，所以，所以橢圓的通徑為，所以，令可得，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，令，可得，所以，因?yàn)闄E圓，拋物線和雙曲線的通徑長(zhǎng)恰好成等差數(shù)列，所以，所以，即，，因?yàn)樗钥梢允侵苯侨切稳龡l邊的長(zhǎng)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，又因?yàn)椋?，因?yàn)?，解得：，，故C正確；對(duì)于D，點(diǎn)Fc,0到雙曲線漸近線的距離為，又因?yàn)椋?，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.如圖，球的兩個(gè)截面圓和圓的圓心分別為，半徑均為2，且圓和圓所在平面分別與軸和軸垂直．若動(dòng)點(diǎn)分別在兩個(gè)圓周上勻速運(yùn)動(dòng)，每12秒運(yùn)動(dòng)一周，其中點(diǎn)的起始點(diǎn)分別為，，點(diǎn)按照?qǐng)D中指針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（單位：秒），則（）A.球的表面積為B.當(dāng)時(shí)，C.存在時(shí)刻，使得點(diǎn)在球面上相遇D.的最大值為，且同一個(gè)周期內(nèi)取得最大值的時(shí)間差為8秒【答案】ABD【解析】對(duì)于A，設(shè)球O的半徑為，由題意到圓面和圓面的距離為，所以，所以球的表面積為，故A正確；對(duì)于B，由題意，，，，，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)分別在兩個(gè)圓周上勻速運(yùn)動(dòng)，每12秒運(yùn)動(dòng)一周，設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度為，所以，解得：，所以兩點(diǎn)分別從同時(shí)出發(fā)，按箭頭方向沿圓周以每秒弧度角速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)秒后，，，，，當(dāng)時(shí)，，所以，故B正確；對(duì)于C，令，所以，則，當(dāng)時(shí)，，所以不存在時(shí)刻，使得點(diǎn)在球面上相遇，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，或，，兩個(gè)時(shí)刻的時(shí)間差為8秒，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)的乘積為，若，則__________．【答案】【解析】由可得：，所以，又因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，所以,所以.故答案為：.13.已知直線，若為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________．【答案】【解析】因?yàn)闉閽佄锞€上的動(dòng)點(diǎn)，所以可設(shè)，則到的距離為：，則時(shí)，，此時(shí)，故答案為：.14.如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為為的中點(diǎn)，若，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】因?yàn)檎庵牡酌孢呴L(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，所以，過(guò)點(diǎn)作軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，，因?yàn)椋O(shè)，，，所以，所以，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)時(shí)，有最大值，所以的取值范圍是.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知的圓心分別為，半徑分別為，的圓心為點(diǎn)，半徑為．（1）寫(xiě)出的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷其位置關(guān)系；（2）若與外切且與內(nèi)切，求圓心的軌跡方程．解：（1）的圓心分別為，半徑分別為，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為；的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得，可知，所以內(nèi)切.（2）因?yàn)閯?dòng)圓P的半徑為，因?yàn)閯?dòng)圓P與與外切且與內(nèi)切，則，且，由橢圓的定義可知，動(dòng)點(diǎn)P在以為焦點(diǎn)，8為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓上，設(shè)橢圓的方程為，半焦距為c，則，，則，又因?yàn)閮?nèi)切，則點(diǎn)P不能在切點(diǎn)處，即橢圓應(yīng)去掉點(diǎn)，所以動(dòng)圓的圓心P的軌跡方程為．16.已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位，，且，其中是的共軛復(fù)數(shù)，．（1）證明：數(shù)列和均為等比數(shù)列．（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．解：（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)是虛數(shù)單位，，且，，所以，所以，所以，又可得,所以，所以：數(shù)列和均是等比數(shù)列.（2）因?yàn)?，所以，所以?17.如圖，已知在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2菱形，其中是等腰直角三角形，，點(diǎn)在棱上，且三棱錐的體積為，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．（1）判斷是否為棱的中點(diǎn)，并說(shuō)明理由；（2）求平面與底面所成角的余弦值．解：（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，所以，?又因?yàn)槭橇庑?，，所以，，因?yàn)?，所以，平面，所以平面，因?yàn)?，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，所以.因?yàn)?，所以點(diǎn)M到平面PBC的距離是點(diǎn)D到平面PBC的距離的，所以，所以為棱的中點(diǎn).（2）因?yàn)槠矫妫矫鍭BCD，所以，，又，如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，P0,0,1，所以，，，，底面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，，得.設(shè)平面與底面所成角為，所以，平面與底面所成角的余弦值為.18.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線分別為，其斜率分別為，交點(diǎn)為．（1）當(dāng)直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，證明：互相垂直．（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)弦的中點(diǎn)為．①點(diǎn)是否在一條定直線上？若是，求出該直線的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．②求的最大值．解：（1）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2聯(lián)立，消去得，，且，則設(shè)，，則過(guò)點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立方程組，得。則，解得，同理，，所以互相垂直．（2）①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，，且，則直線與交于點(diǎn)，設(shè)，拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為，即，同理，在點(diǎn)B處的切線方程為.聯(lián)立，解得，將式代入化簡(jiǎn)得，則點(diǎn)在定直線上.②線段AB的中點(diǎn)為，由（1）可得，，，則.，又將式代入得，，則，由，則.的取值范圍為.19.將向量組成的系列稱為向量列，記作．已知向量列滿足，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）設(shè)，且．①數(shù)列中是否存在最小項(xiàng)？若存在，求出最小項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．②