人教版八年級數(shù)學常見題型專練：直角三角形全等的判定“斜邊、直角邊”（5種題型）（解析版）

第11講直角三角形全等的判定“斜邊、直角邊”（5種題型）

O【知識梳理】

一.直角三角形全等的判定一一“HL”

1、斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊"或

2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角形又是特殊的三

角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多，

使用時應(yīng)該抓住“直角”這個隱含的已知條件.

二、判定方法的選擇

1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：

已知條件可選擇的判定方法

一邊一角對應(yīng)相等SASAASASA

兩角對應(yīng)相等ASAAAS

兩邊對應(yīng)相等SASSSS

2.如何選擇三角形證全等

（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中,

可以證這兩個三角形全等；

（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；

（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們?nèi)龋?/p>

（4）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.

【考點剖析】

題型一.用“HL”直接證明直角三角形全等

例1.如圖，AB±BD,CD±BD,AD=BC,則能直接判斷RtZ"BD2RtZ\COB的理由是（

B.ASAC.SASD.SSS

【解答】解：'：AB±BD,CD.LBD,

AZABD=ZCDB=90°,

在RtA/lBD和RtACDB中，

(AD=BC

VBD=DB'

：.RtA/4BD^RtACDB(.HL),

故選：A.

【變式1】.如圖，在RtzMBC和RtZ\OEF中，/C=NF=90°,AC^DF,只需補充條件

就可以根據(jù)"HL”得至URtA/lBC^RtADEF.

AD

CKBFKE

【解答】解：補充條件：AB=DE.

在RtA/lBC和RtZXDEF中，

(AB=DE

Ut=DF'

：.RtA/ifiC^RtADEF(HL).

故答案為：AB=DE.

【變式2](2023?浙江?八年級假期作業(yè))如圖，四邊形A3CD中，4=90。，連接對角線AC,且

AC=AD,點E在邊3c上，連接DE,過點A作AF_LOE,垂足為尸，若=

⑴求證：AADF^AACB；

(2)求證：DF=EF+CE.

【詳解】(1)證明：?.?/W_LDE,

:.ZAFD=90°,

■.■ZB=90°,

:.ZAFD=ZB,

在Rt^ADF和RUACB中，

jAD=AC

[AF=AB

:.AADF^ACB.

(2)連接A石，

由(1)證明可得△AD廠也AACB,

:.DF=CB,

在Rt^AEF和RtAA￡B中，

UE=AE

[AF=AB

Rt△A￡F=RtAAEB.

,\EF=EB,

BC=BE+CE=EF+CE,

題型二.用“HL”間接證明直角三角形全等

例2.（2022秋?大豐區(qū)校級月考）如圖，在△/WC中，A。平分/BAC,DE±AB,DF±AC,垂足分別為E、

F,且BD=CD.試說明BE=C尸.

【解答】證明：：/1。平分/BAC,DE1AB,DF±AC,

J.ZEAD^ZFAD,/AFD=90°.

"：AD=AD,

AAED沿AAFD.

：.AE=AF,DE=DF.

"：BD=CD,

.?.△BED名△CF。(HL).

BE=CF.

【變式1](2023春?福建三明?八年級統(tǒng)考期末)如圖，在AABC中，。是8C的中點，DEJ.AB,

DFJ.AC,垂足分別是E、F、且DE=DF.求證：NB=NC.

【詳解】解：證明：是5c邊的中點,

DB—DC,

X'.DE±AB,DFJ.AC,

:.NDEB=NDFC=90°,

又圓DE=DF,

在AD仍和△NC中，

[DE^DF

[DB=DC

RtADEB^RtAOFC(HL).

:.NB=NC.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用全等三角形的判定方法，比較簡

單.

【變式2】根據(jù)題意，先在圖中作出輔助線，再完成下列填空：如圖，△/花中，AD平分/BAC,座所在直

線是8c的垂直平分線，點￡為垂足，過點〃作場工股于四歐L/C交〃的延長線于從求證：BM=CN.

證明：連接龍，DC

,；AD平分/BAGDMLAB,DNLAN

(②)

?.?龐是加的垂直平分線

：.DB^?(④)

[DB=DC

在⑤和⑥中z/八”

--------------[DM=DN

絲⑧（⑨）

：.BM=CN{?）

【答案】①致②角平分線上的點到角兩邊的距離相等；③2a④線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端

點的距離相等；⑤RSBDM；?RtACDN-,⑦RtZ\BDM；⑧RtaBDM；⑨血；⑩全等三角形的對應(yīng)邊相等.

【詳解】證明：（1）連接初，如圖：

證明：連接龍，DC,

■:AD中濟Z.BAC,DMLAB,DNVAN,

：.DM=DN（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），

?.?以是比的垂直平分線，

：.DB=CD（線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等）,

DB=DC

在RtABDM和R&DN中\(zhòng)

DM=DN

J.RtABDl^RtABDM（HL）,

：.BM=CN（全等三角形的對應(yīng)邊相等），

故答案為：①網(wǎng)②角平分線上的點到角兩邊的距離相等；

③2G④線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；

⑤）RSBDM；?RtACDN-,⑦RtMDM；⑧RtaBDM；⑨HL；

⑩全等三角形的對應(yīng)邊相等.

題型三?靈活選用方法證明全等

例3.（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考一模）如圖，在44BC中，AB^AC,。、E是BC邊上的點.請從以下三個

條件：@BD=CE；②ZB=NC；③44D=NC4E中，選擇一個合適的作為已知條件，使得

AD=AE.

⑴你添加的條件是（填序號）；

（2）添加了條件后，請證明=

【詳解】（1）解：可選?、倩颌郏ㄖ贿x一個即可）,

故答案為：①（答案不唯一）；

（2）證明：當選取①時，

vAB=AC,

;.NB=NC,

在△ABO與八4”中，

AB=AC

<NB=NC,

BD=CE

:.^ABD^AACE(SAS),

/.AD=AE；

當選?、蹠r,

???AB=AC,

.\ZB=ZC,

在△AB。與"CE中，

/BAD=/CAE

<AB=AC,

ZB=ZC

:.AABD^AACE(ASA),

AJD=AE.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)并靈活

運用.

【變式工】(2022秋?廣西南寧?八年級?？茧A段練習)如圖，在AABC中，AB^AC,點。是3C的中點，

點E在AD上.找出圖中的全等三角形，并選一對證明它們?nèi)?

【答案】AABDdACD,AABE^AACE,ABDE'CDE,證明見解析

【詳解】解：圖中的全等三角形有：AAEDdACD,AABE/AACE,ABDE沿江DE；

SD是BC的中點，

^BD=DC,

SAB=AC,AD=AD,

0AABZ^AACD(SSS)；

BZBAE=ZCAE,

0AE=AE,Z.BAE=Z.CAE,AB=AC>

0△ABE四△ACE(SAS)；

13BE=CE,

SBE=CE,BD=DC,DE=DE,

0△BDE四△CDE(SSS).

【變式2](2023?浙江?八年級假期作業(yè))如圖，AD=CB,AB=CD,BEYAC,垂足為EDFLAC,垂

(l)AABC^ACDA；

⑵BE=DF.

【詳解】(1)證明：在AABC和△QM中

AD=CB

<AB=CD

AC=CA

團ZWC^ACDA(SSS)

(2)0AABC^AOM,

田NACB=/DAC,

^BE±AC,DFLAC,

⑦NBEC=NDFA=90°,

在△AFD和ACEB+,

ZDEA=ZBEC

<ZDAF=BCE,

DA=BC

團^AFD=^CEB(AAS),

BBE=DF.

題型四.全等三角形綜合應(yīng)用

例4.如圖，已知正方形A5CD邊長為4cm,動點〃從點C出發(fā)，沿著射線8的方向運動，動點尸從點6出

發(fā)，沿著射線5C的方向運動，連結(jié)9心分，

(1)若動點〃和戶都以每秒2cm的速度運動，問［為何值時△DPC和ABCM全等？

(2)若動點戶的速度是每秒女m,動點〃的速度是每秒1.5cm問力為何值時△可(?和全等？

QQ

【答案】(1)夕1；(2)或

【詳解】解：(1)要使△叱與△比腸全等，

貝ljPOCM,

由題意得：2c4-2方，

解得：￡1;

(2)當點〃在點。左側(cè)時，

則^戊注△比紜

C.POCM,

/.4-351,

解得：片、；

當點刀在點。右側(cè)時，

則△比冷△形瓶

:.CkCM,

???3廣4=1.53

解得：,

QQ

綜上：當t=§或仁g時，叢DCP與叢BCM全等.

【變式】在AABC中，AB=BC,4=90。，點2為直線6c上的一個動點(不與6、，重合)，連結(jié)力〃將

線段/。繞點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,使點/旋轉(zhuǎn)到點￡,連結(jié)員.

(1)如果點2在線段6c上運動，如圖1：求證：ZBAD=ZEDC

(2)如果點2在線段6c上運動，請寫出NC與CE的位置關(guān)系.通過觀察、交流，小明形成了以下的解題思

路：過點后作竹，3c交直線8c于尸，如圖2所示，通過證明△DEF四△ABD,可推證△CEF等腰直角三

角形，從而得出〃'與"的位置關(guān)系，請你寫出證明過程.

（3）如果點2在線段位的延長線上運動，利用圖3畫圖分析，（2）中的結(jié)論是否仍然成若成立，請證明；

若不成立，請說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）垂直，理由見解析；（3）成立，證明見解析

【詳解】解：（1）證明：?；/fi=90°

ZBDA+ZBAD=90°

'：NADE=90°

NBDA+NEDC=90。

：.NBAD=NEDC

圖1

（2）垂直

圖2

,?EF1BC

：.NEFD=90°

4=90。

:?ZEFD=ZB

在△AB。和△DFE中

ABAD=ZFDE

<ZB=ZDFE

AD=DE

：.AABD^ADFE(AAS)

：.AB=DF,BD=EF

,:AB=BC

：.BC=DF,

：.BC-DC=DF-DC

即HD=C尸.

:.EF=CF

又?；ZEFC=90。

：.ZECF=45°f且ZACB=45。

，ZACE=180°-90°=90°

即AC.LCE.

(3)(2)中的結(jié)論仍然成立

如圖3所示，過點￡作跖，。。于尸

ZABD=90°

：.ZEDF=ZDAB=900-ZADB

在△ABD和△OFE中

ZDAB二ZEDF

<ZABD=ZDFE

AD=DE

：.AABD^ADFE(AAS)

：.DB=EF,AB=DF=BC

：.BC-BF=DF-BF

即尸C=

FC=EF

：.NDCE=45。

：.ZACE=ZDCE+ZACB=90°

Z.AC±EC.

題型五：尺規(guī)作圖一作直角三角形

例5.尺規(guī)作圖題

已知：如圖，線段。，c(a<c),直角a.

求作：RtAABC,使/C=Na,BC=a,AB=c.

(注：不寫作法，保留作圖痕跡)

【詳解】解：先作回ECF=/a,在射線CF上截取點B,使3C=q,以B為圓心，c的長為半徑作弧，交射

線CE于點A,連接AB,如圖所示，即為所求.

【變式】作圖題

（1）如圖，已知線段m,n.求作M8C,請在右面的空白處作EABC,作0AC8=9O。，AC=m,AB=n（尺規(guī)

作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

m

（2）婷婷將（1）中自己畫的0ABe剪下來，放在同桌悅悅所畫的0ABe上，發(fā)現(xiàn)兩三角形完全重合，這一

過程驗證了三角形全等的哪一種判定定理：_（直接寫出答案，不寫過程）.

【詳解】（1）如圖，

步驟①用直尺任意畫一條線，用圓規(guī)的兩腳量取等于機長度的線段，交直線與A、C兩點；②以C為圓

心，任意長半徑作圓；③分別以圓與直線的交點為圓心，畫兩個等圓，連接兩個等圓的交點，可作出直線

的垂線；④以A為圓心，線段〃長為半徑作圓，交垂線于點B；⑤連接AB即可

（2）VZACB=90°,

:在中,直角邊AC=m,斜邊=〃

，在兩個直角三角形中，斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等

，可用證明兩個三角形全等

【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.（2023春?廣東深圳,八年級統(tǒng)考期末）在課堂上，陳老師發(fā)給每人一張印有Rt^ABC（如圖1）的卡

片，然后要求同學們畫一個RtAA'8'C',使得R3A'3'C'ZRtA4BC.小趙和小劉同學先畫出了

NMB'N=90。之后,后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示.

對這兩種畫法的描述中正確的是（）

A.小趙同學作圖判定RtAA,B,C,/RtzXABC的依據(jù)是HL

B.小趙同學第二步作圖時，用圓規(guī)截取的長度是線段的長

C.小劉同學作圖判定RgAB'C/RtA4BC的依據(jù)是ASA

D.小劉同學第一步作圖時，用圓規(guī)截取的長度是線段AC的長

【答案】A

【分析】根據(jù)演示確定作圖的具體步驟，結(jié)合全等的判定方法判斷.

【詳解】由圖示知，小趙第一步為截取線段3'C'=3C,第二步為作線段C'A=C4,判定方法為HL；小

劉第一步為截取線段=第二步為作線段？C'=BC,判定方法為SAS.

故選：A.

【點睛】本題考查尺規(guī)作圖，三角全等的判定，掌握一般三角全等、直角三角形全等的判定方法是解題的

關(guān)鍵.

2.（2023春?廣東云浮?八年級?？计谥校┤鐖D，在AABC中，AB=AC,ADI3c于點。，點、E,尸在BC

上，且3E=CF,則圖中共有全等三角形（）

A.2對B.3對C.4對D.5對

【答案】C

【分析】根據(jù)題中條件即可證明RtA4D3名RtA4DC（HL）、△ABE蕓A4B（SAS）、

RtAA￡>E^RtAA￡>F（HL）,AABF^AACE（SSS）.

【詳解】解：=AD=AD,AD1BC,

0RtAADB^RtAADC(HL)；

團AB-AC,

^\ZABE=ZACF,

團BE=CF,

[?]AABE^AACF(SAS)；

^\AE=AF,

團AD=AD,AD1BC,

[?]RtAA￡)E^RtAA￡>F(HL)；

團AE=AF,AB=AC,BE=CF,

⑦BE+EF=CF+EF,

團BF=CE,

團△ABE四△ACE(SSS)；

團全等三角形共有4對，

故選：C.

【點睛】本題考查全等三角形的判定，仔細找出全等三角形有幾對，并加以證明是關(guān)鍵.

3.(2023春?廣東佛山?八年級校考期中)如圖，在AABC和△DBC中，NA=ND=90。，AC=BD,則證

明AABC全等于△￡>3c的方法是()

A.AASB.SASC.ASAD.HL

【答案】D

【分析】由于公共邊BC為兩直角三角形的斜邊，于是根據(jù)"用/可判斷RtAMC0Rt^OCB.

【詳解】解：?.?NA=ND=90。，

.-.AABC和△OC8都為直角三角形，

在RtAABC和RtADCB中，

\BC^CB

[AC=DB'

.-.RtAABC絲RtAjDCB（HL）.

故選：D.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵；選用哪

一種方法，取決于題目中的已知條件.

4.（2023春?廣東茂名?八年級?？计谥校┫铝袟l件，不能判定兩個直角三角形全等的是（）

A.兩個銳角對應(yīng)相等B.斜邊和一直角邊分別對應(yīng)相等

C.兩條直角邊分別對應(yīng)相等D.一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線對應(yīng)相等

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、

HL,逐條排除即可.

【詳解】解：A.兩銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形，不能判定全等，故此選項符合題意；

B.斜邊和一直角邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形，根據(jù)HL能判定全等，故此選項不符合題意；

C.兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形，根據(jù)SAS能判定全等，故此選項不符合題意；

D.一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線對應(yīng)相等，先根據(jù)HL,再用SAS可判定全等，故此選項不符

合題意.

故選：A.

【點睛】本題考查直角三角形全等的判定方法，掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?湖南永州?統(tǒng)考三模）判定三角形全等的方法有（）

①SAS；②ASA；③AAS；④HL；⑤SSA

A.①②③④B.①②③⑤C.①②④⑤D.①③④⑤

【答案】A

【分析】根據(jù)判定三角形全等的方法分析即可求解.

【詳解】解：判定三角形全等的方法有①SAS；②ASA；③AAS；④HL,

故選：A.

【點睛】本題考查了判定三角形全等的方法，熟練掌握判定三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵.

6.（2022春?七年級單元測試）下列說法中，不正確的個數(shù)有（）

①有一條直角邊和斜邊上的高對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；②有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的

兩個三角形全等；③有兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等；④斜邊和斜邊上的中線對應(yīng)相

等的兩個直角三角形全等.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，逐一進行判斷，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：①有一條直角邊和斜邊上的高對應(yīng)相等的兩個直角三角形，根據(jù)HL即可得到兩個直角三角

形全等，故①正確；

②有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形，SSA不能得到兩個三角形全等，故②錯誤；

③有兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個二角形不一定相等，如：“WC和AACD,的邊

AC=AC,BC=CD,^AE=AE,但和AACD不全等，故③錯誤；

④斜邊和斜邊上的中線對應(yīng)相等，只要斜邊相等，斜邊上的中線必然相等，故一組斜邊相等，一組直角相

等，兩個條件不能判定全等，故④錯誤；

綜上：不正確的有3個；

故選C.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握全等三角形的判定方法，是解題的關(guān)鍵.

7.（2023春?山東泰安?七年級東平縣實驗中學?？茧A段練習）如圖，在AABC中，

NC=90O,BC=BD,DELAB^^D,若AC=9cm,則AE+OE等于（）

A.4cmB.5cmC.8cmD.9cm

【答案】D

【分析】由條件可證明RtACB岸RtADBE,則可求得DE=EC,可求得答案.

【詳解】解：-.-DElAB,

:.NC=NBDE,

在RtZXCB石和RtA^BE中，

（BE=BE

[BC=BDf

RtACBE^RtADBE（HL）,

CE=DE,

/.AE+DE=AE+CE=AC=9cm,

故選：D.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，證得RtZ^CBE之RtZkDBE得到CE=DE是解題的關(guān)鍵.

8.（2023?全國?八年級假期作業(yè)）在RtZXABC中，ZACB=90°,E是AB上的一點，且BE=BC,過E作

DE上AB交AC于D,如果AC=4cm,則AD+DE1等于（）

【答案】A

【分析】利用"HL"得到Rt△班7注Rt/GD,利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到。C=DE,最后根據(jù)

AD+DC=AC,等量代換即可確定出AD+DE的長.

【詳解】^DE±AB,

0ZDE'B=90°=ZC,

[BD=BD

在RtABED和RUBCD中，＜°廣”，

\BE=BC

[?]RtABEr）^RtABCr＞（HL）,

團DC=DE,

團AD+OE=AD+CD=AC=4cm.

故選A.

【點睛】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì).熟練掌握三角形全等的判定定理及性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.

9.（2022秋?安徽六安?八年級統(tǒng)考期末）如圖，AC=BC,AE=CD,/場，。石于點石，BDLCD于點

D,AE=Q,BD=2,則。石的長是（）

c

D

A.2B.5C.7D.9

【答案】B

【分析】根據(jù)垂直的定義得到NAEC="=90。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：?.?AELCE于點E,BDLCD于點D,

:.ZAEC=ZD=90°,

在RtAAEC與RtACDB中，

jAC=BC

[AE=CD，

RtAAEC^RtACZ）B（HL）,

:.CE=BD=2,CD=AE=1,

:.DE=CD-CE=7-2=5,

故選：B.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判定三角形的全等.

10.（2022秋?河北秦皇島?八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在AABC中，已知AB=AC,求證：

ZB=ZC.分析問題可知：需添加如圖所示輔助線A。，進而證明△相^^△ACD.下列證明過程中：①

取8C的中點。，連接AD,證明的依據(jù)是SSS；②作AABC的角平分線AD,證明

四△ACD的依據(jù)是SAS；③過點A作A。13c于點。，證明的依據(jù)是SAS.其中

正確的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【分析】利用全等三角形的判定SSS,SAS及兩直角三角形全等的判定HL,即可得到答案.

【詳解】解：①取BC的中點。，連接AD,

SAB=AC,

團BD=CD,

在△ABD與A4CD中

AB=AC

AD=AD

BD=CD

團AABr>^AACD（SSS）,

團N5=NC,故①正確；

②作AABC的角平分線AD,

國AB=AC,

^ZBAD=ZCADf

在△ABD與“6中

AB=AC

^\<ZBAD=ZCAD

AD=AD

[?]△ABD^AACD（SAS）,

團N5=NC,故②正確；

③過點A作AD15C于點D,

^ZADB=ZADC=90°,

在RQADB與R於ADC中

[AB=AC

[AD=AD

團RjABD之Rt&4CD（HL）,

團4=NC,故③錯誤.

故選：A.

【點睛】此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵，本題為基

礎(chǔ)題.

二、填空題

11.(2023秋,八年級課時練習)如圖，已知NA="=90。，要使用"HL"證明△ABC四△OCB,應(yīng)添加條

件：_______________;要使用“AAS”證明△ABC四△DCB,應(yīng)添加條件：.

【答案】AB=DC(或AC=O3)ZACB=ADBC(或ZABC=NDCB)

【分析】根據(jù)：斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，使已知

ZA=ZD=90°,BC=BC,添加的條件是直角邊相等即可；要使用"AAS",需要添加角相等即可.

【詳解】解：已知NA="=90。，BC=BC,

要使用"HL”,添加的條件是直角邊相等，

故答案為：AB=DC(或AC=r>3)；

要使用“AAS",需要添加角相等，添加的條件為：

ZACB=ZDBC(或NABC=4>CB).

故答案為：ZACB=ZDBC(或/ABC=/OCB).

【點睛】本題考查了全等三角形的判定.本題的關(guān)鍵是，全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方

法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，

則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一

組對應(yīng)鄰邊.

12.(2022春?七年級單元測試)如圖，已知AD13C,若用HL判定四△ACD,只需添加的一個條

件是.

【答案】AB=AC

【分析】根據(jù)題意可得，在△ABD和AACD中，NADB=NADC=90。，AD為公共邊，則只需要添加

AB=AC,即可根據(jù)HL判定全等.

【詳解】解：添加的條件為：AB=AC,

SADJ.BC,

EINADB=NADC=90。，

在RtAABD和RtAACD中，

(AB=AC

\AD=AD'

0Rt△ABD^RtAACD(HL),

故答案為：AB=AC.

【點睛】本題主要考查了根據(jù)HL判定三角形全等，解題的關(guān)鍵是掌握一條直角邊和一條斜邊相等的兩個

直角三角形全等.

13.(2023?全國?八年級假期作業(yè))如圖，在Rt/VIBC中，ZC=90°,AC=12,BC=6,PQ=AB,P、Q

兩點分別在AC和過點A且垂直于AC的射線AX上運動，要使AABC和△口□!全等，則”=.

【答案】6或12/12或6

【分析】分情況討論：①RtAABC^RtAe^l(HL),此時AP=BC=6,可據(jù)此求出P的位置；②

RtA0/U=RJB4c(HL),止匕時AP=AC=12,點尸與點C重合.

【詳解】解：①當AP=CB時，

E]NC=NQA尸=90°,

在RtAASC與RtAQPA中,

(AP=CB

\AB=QP

0RtZWC^RtAeR4（HL）,

0AP=BC=6；

②當尸運動到與C點重合時，AP=AC,

在RtAQPA與RtAABC中，

UP^AC

[QP^AB

0RtAgB4^RtABAC（HL）,

0AP=AC=12,

團當點尸與點C重合時，RtaABC才能和RtAQPA全等，

綜上所述，AP=6或12,

故答案為：6或12.

【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握兩個三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵，當題

中沒有明確全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角時，要分情況討論，以免漏解.

14.（2023秋?八年級單元測試）如圖，ZD=ZC=90°,請你再添加一個條件，使△ABD三AABC,你添

加的條件是.

【答案】ZCAB=ZDABZCBA=ZDBA^,AC=AD^BC=BD（選其中一個條件即可）.本題答案不唯

【分析】已知NO=NC=90。，圖形條件AB=AB,可以從角，邊兩方面添加條件.

【詳解】添加的條件：ZCAB=ZDAB或ZCBA=/DBA,此時△ABD^AABC（AAS）；

添加的條件：AC^AD^BC^BD,此時△ABD三A4BC（HL）；

故答案為：ZCAB=ZDAB^ACBA=ZDBA^AC=AD^BC=BD（選其中一個條件即可）.本題答案不

唯一.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定.關(guān)鍵是根據(jù)題目的已知條件，圖形條件，合理地選擇判定方法.

15.（2023?全國?八年級假期作業(yè)）如圖，于點。，于點尸，且CZ）=EF.若要根據(jù)乩

證明RtAACZ涇Rt，則還應(yīng)添加的條件是

【答案】AC=BE

【分析】根據(jù)證明RtAACC^RtABEF,只需要添加斜邊相等，即可求解.

【詳解】根據(jù)證明RtAAC￡^RtABEF,只需要添加斜邊相等，

團需要添加的條件是AC=BE,

故答案為：AC=BE.

【點睛】本題考查直角三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形全等判定的方法，"印」指的是

一直角邊一斜邊.

16.（2023春?山西臨汾?七年級統(tǒng)考期末）如圖，在AABC中，BDLAC,垂足為。，E為AABC外一點,

連接BE,CE,且=Z.BAD+ZBEC=180°.若CD=4,CE=3,則AC的長為.

【分析】如圖，過5作3F_LCE的延長線于歹，證明則AD=EF,BD=BF,證

明RtABCE^RtA3cp(HL),則CF=CD=4,EF=CF-CE=1,AD=1,根據(jù)AC=AD+CD,計算求解

即可.

【詳解】解：如圖，過8作B尸，CE的延長線于尸,

F

國NBAD=NBEF,

BZBAD=ZBEF,ZADB=ZEFB=90°,AB=BE,

團小ABD'EBF(AAS),

國AD=EF,BD=BF,

⑦BD=BF,BC=BC,

[?]RuBCD^RIABCF(HL),

團CF=CD=4,

^EF=CF-CE=\,AD=1,

團AC=AD+CD=5,

故答案為：5.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于明確線段之間的數(shù)量關(guān)系.

17.(2023春?甘肅酒泉?八年級校聯(lián)考期中)如圖，點。，A,E在直線/上，AB=AC,于點。,

CELL于點E,^BD=AE.若BD=3,CE=5,則D￡=.

【分析】用HL證明得到A￡)=CE=5,AE=BD=3,則。石=AD+AE=8.

【詳解】解：MBD1Z,CE1Z,

團NBDA=NAEC=90。，

在RtAABD和RtAC4E中,

\AB=CA

\BD=AE9

[SRtAAB￡>^RtAC4E（HL）,

團AD=CE=5,AE=BD=3f

團DE=AD+AE=8,

故答案為：8.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知直角三角形全等的判定條件是解題的關(guān)鍵.

18.（2023?全國?八年級假期作業(yè)）如圖，點。在8c上，DEJ.AB于點、E,。方，交AC于點尸，

BD=CF,BE=CD.若ZAFO=145。，則/方CF=.

【答案】55。/55度

【分析】利用HL證明Rt△班Z徑RtZkCD尸得到N5=NC,利用三角形外角的性質(zhì)求出/C的度數(shù)，再利

用三角形的外角的性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】解：回。尸±BC,DE±AB,

@/BED=NCDF,

在RtABED和RtACDF中，

jBD=CF

[BE=CD"

[?]RtAB￡D^RtACDF（HL）,

團N5=NC,NBDE=NCFD,

團ZAFD=145。=NC+NCD方，

^ZC=ZAFD-ZCDF=55°f

團ZB=NC=55。，

團ZBDE+AEDF=ZFDB=ZC+ZDFC,

團NED尸=NC=55。；

故答案為：55°.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，證明Rt43即/RtZiCD尸得到

NB=NC,N3/M=NCFD是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

19.（2021秋?廣東河源,八年級校考期末）尺規(guī)作圖：如圖，作一個直角三角形ABC,使其兩條直角邊分別

等于已知線段m,n.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析

【分析】在直角邊上分別截取CA=n,CB=m,連接AB,回ABC即為所求.

【詳解】解：如圖,Rt回ABC即為所求,

【點睛】本題考查尺規(guī)作圖畫三角形，關(guān)鍵在于熟練掌握使用方法.

20.（2023?全國?八年級假期作業(yè)）如圖，四邊形A3co中，BC=CD,AC=DE,AB//CD,

ZB=ZDCE=90°,AC與DE相交于點F.

⑴求證：AABC=AECD

（2）判斷線段AC與DE的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】⑴見解析

(2)AC±DE,理由見解析

【分析】(1)根據(jù)HL即可證明△ABC且△ECD.

(2)根據(jù)△ABC沿八ECD得到ZBCA=NCDE,結(jié)合NB=ZDCE=90°得到ZDFC=90°,即可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：

[AC=DE

在RtAABC和RtAECD中<…

[AB=EC

國AABC冬AECD.

(2)解：AC1DE.理由如下：

團/XABC烏\ECD,

B1ZBCA=ZCDE,

SZB=ZDCE=90°,

0ZBG4+ZAC￡>=9O°,

0ZCDE+ZACD=90°,

aZDFC=180°-(ZC￡>￡+ZACD)=90°,

SACIDE.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，常用的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL等，熟

練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

21.(2023?福建福州?福建省福州第一中學校考模擬預(yù)測)如圖，B、B\C、C'四點共線，BB=CC,

AB^AB,ZA=ZA=90°,求證：AC=Ac'.

【答案】見解析

【分析】先利用線段和差得到8C=EC',然后利用HL證明三角形全等即可解題.

【詳解】解：=CC,

^BC=B'C,

又團N4=NA'=90°,AB=AZ',

,,,

0RtAABC^RtAABC,

SAC=AC'.

【點睛】本題考查斜邊直角邊定理證明三角形全等，掌握三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵.

22.（2022秋?八年級單元測試）有一塊等腰三角形木板，其中AB=AC（如圖），王師傅準備把它分成全

等的兩部分，

小明和小剛分別設(shè)計了兩種方案：

（1）小