人教版八年級數(shù)學上冊 第十二章 全等三角形（知識歸納+題型突破）（原卷版）

第十二章全等三角形（知識歸納+題型突破）

課標要求

1.了解全等圖形與全等三角形的概念與性質(zhì).

2.掌握三角形全等的判定方法.

3.掌握角平分線的性質(zhì)與判定.

基礎(chǔ)知識歸納

一全等圖形

概念：形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.

全等圖形特征：

①形狀相同.②大小相等.③對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等.

小結(jié)：一個圖形經(jīng)過平移,翻折,旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但大小和形狀都沒有改變,即平移,翻折,旋轉(zhuǎn)前后的圖

形全等.

二全等三角形

概念：兩個能完全重合的三角形叫做全等三角形.

記作：MBC之B'C讀作：全等于ATB'C

對應(yīng)頂點：A和A'、2和B'、C和C';對應(yīng)邊：和A'B'、和2'C'、AC和A'C;

對應(yīng)角：/A和/A'、和/正、NC和/C'

對應(yīng)元素的規(guī)律：

（1）有公共邊的，公共邊是對應(yīng)邊；（2）有公共角的，公共角是對應(yīng)角；（3）有對頂角的，對頂角是對應(yīng)角;

三、全等三角形的判定（重點）

一般三角形直角三角形

邊角邊（SAS）、角邊角（ASA）具備一般三角形的判定方法

判定

角角邊（AAS）、邊邊邊（SSS）斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等（也）

對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等

性質(zhì)

對應(yīng)中線相等，對應(yīng)高相等，對應(yīng)角平分線相等

備注：1.判定兩個三角形全等必須有一組邊對應(yīng)相等.

2.全等三角形周長、面積相等.

四、證題的思路（難點）

城夾角（SAS）

已知兩邊；找直角（也）

:找第三邊（SSS）

’若邊為角的對邊，則找任意角（A4S）

找已知角的另一邊（SAS）

已知一邊一角

邊為角的鄰邊‘找已知邊的對角（A4S）

［找夾已知邊的另一角（ASA）

:找兩角的夾邊（4S/1）

’已知兩角二

:找任意一邊（AAS）

五、角平分線的性質(zhì)與判定

概念：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平

分線.

角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；

數(shù)學語言：,/ZMOP=ZNOP,PALOMPBLON

：.PA=PB

判定定理：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.

數(shù)學語言：-；PA±OMPB±ONPA=PB

：.ZMOP=ZNOP

六、角平分線常考四種輔助線：

1.圖中有角平分線，可向兩邊作垂線.2.角平分線加垂線，三線合一試試看.

3.角平分線平行線，等腰三角形來添.4.也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系出現(xiàn).

重要題型

題型一全等圖形識別

例題：（2023春?全國?七年級專題練習）下列各組中的兩個圖形屬于全等圖形的是（）

【鞏固訓練】

1.（2023春?廣東深圳?七年級北大附中深圳南山分校?？计谥校┫铝兴膫€選項中,

2.（2023?江蘇?八年級假期作業(yè)）請觀察下圖中的6組圖案，其中是全等形的是

3.（2023春?七年級課時練習）如圖，四邊形ABCZJg四邊形A5C。，若NA=110。，ZC=60°,ZD'=105°,

則.

DD'

題型二全等三角形的概念和性質(zhì)

例題：（2023春?江蘇鹽城?七年級校考期中）下列說法中，正確的有（）

①形狀相同的兩個圖形是全等形②面積相等的兩個圖形是全等形③全等三角形的周長相等，面積相等④

若八ABC沿ADEF,貝=AB=EF

A.1個B.2個C.3個D4個

【鞏固訓練】

1.（2023?全國?八年級假期作業(yè)）已知△ABC2△DEF,且NA與—D是對應(yīng)角，和NE是對應(yīng)角，則

下列說法中正確的是（）

A.AC與。尸是對應(yīng)邊B.AC與DE是對應(yīng)邊

C.AC與所是對應(yīng)邊D.不能確定AC的對應(yīng)邊

2.（2023秋?八年級課時練習）如圖，△ABCZZXADE,且AE,3。，4豆汨=25。，則，BAC的度數(shù)為.

3.（2023?江蘇?八年級假期作業(yè)）如圖，AABC^^ADE,且NC4D=10。，NB=ND=25。,ZEAB=120°,

求ZDFB^nZDGB的度數(shù).

題型三添一個條件使兩三角形全等

例題：（2023春?山西臨汾?七年級統(tǒng)考期末）如圖，B,F,E,。四點共線，BE=DF,N4=NC.若要使

△ABFKCDE,則需要添加的條件是（只需添加一個你認為合適的條件即可）.

【鞏固訓練】

1.（2023春?廣東?七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知/A￡>C=/3Z）C,要判定△AC。四△BCD,則需要補充的

一個條件為（只需補充一個）.

D

2.（2023春?廣東茂名?七年級統(tǒng)考期末）如圖，點Q,E分別在線段AB,AC上，BE,CD相交于點。，AB=AC,

要使ABE^ACD,需添加一個條件是（只需填一個即可）.

3.（2023秋?八年級課時練習）如圖，已知NA="=90。，要使用“HL”證明△ABC之△DCB,應(yīng)添加條件:

；要使用“AAS”證明△ABC也應(yīng)添加條件：.

題型四三角形全等的判定方法

例題：（2023?云南玉溪?統(tǒng)考三模）如圖，點8E,C,尸在一條直線上，AB=DF,AC=DE,BE=CF,

求證：AABC冬/\DFC.

【鞏固訓練】

1.（2023春?全國?七年級專題練習）如圖，已知4=/產(chǎn)=90。，點BC分別在AE,AF±,AB=AC,

BD=CD.

F

D

(1)求證：△ABD注△AGO；

(2)求證：DE=DF.

2.（2023春?全國?七年級期末）如圖,在、ABC中，。是8c延長線上一點,滿足CD=B4,過點C作CE〃AB,

且CE=3C,連接DE并延長，分別交AC,45于點RG.

(1)求證：ABC=DCE；

⑵若BD=12,AB=2CE,求BC的長度.

3.（2023?浙江溫州溫州市第八中學?？既＃┤鐖D，在，ABC和ECD中，ZABC=NEDC=90。，點、B為

CE中點，BC=CD.

⑴求證：AABC名AECD.

⑵若8=2,求AC的長.

4.（2023秋?八年級課時練習）如圖，已知點C是線段A3上一點，ZDCE=ZA=ZB,CD=CE.

(1)求證：AACD^ABEC；

(2)求證：AB^AD+BE.

5.（2023春?七年級單元測試）如圖，已知AD、3c相交于點。，AB=CD,4"，8。于點〃，DNLBC于

點N,BN=CM.

（1）求證：AABMdDCN；

（2）試猜想Q4與0。的大小關(guān)系，并說明理由.

題型五角平分線的性質(zhì)與判定定理

例題：（2022秋?河南開封?八年級?？茧A段練習）如圖，Rt^ABC中，NC=9。。，/ABC的平分線3。交AC

于點。，若CD=3cm,則點。到AB的距離是cm.

4

【鞏固訓練】

1.（2023春?貴州?七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知ABCD,射線AE平分/54C,過點E作￡W_LAC于點X,

作所，AB于點F,并延長FE交CD于點G,連接CE.若/AEC=90。，團=1則FG的長為

2.（2023秋?全國?八年級專題練習）如圖，已知?！晟弦拼棺銥楹?，。尸工47垂足為尸，比）=。￡）,班=5.

（1）求證：平分NBAC；

（2）丁丁同學觀察圖形后得出結(jié)論：AB+AC=2AE,請你幫他寫出證明過程.

3.（2023秋?浙江?八年級專題練習）已知：如圖，在用ABC中，NC=90,。是AC上一點，DE_LAB干

E,S.DE^DC.

BC

⑴求證：3。平分/ABC；

⑵若ZA=36，求/D3C的度數(shù).

4.（2023春?廣西北海?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在ABC中，/ABC的平分線與NACB的外角平分線交于

點尸，PD_LAC于點。，PH1BA于點、H.

（1）若尸"=8cm,求點尸到直線3C的距離;

（2）求證：點P在/"4C的平分線上.

題型六幾何動點中求使三角形全等的值

例題：（2023春.新疆烏魯木齊.八年級烏市八中?？奸_學考試）如圖，在aABC中，ZACB=90°,AC=3,

BC=4,點C在直線/上?點P從點A出發(fā)，在三角形邊上沿AfCf3的路徑向終點8運動；點。從B點

出發(fā)，在三角形邊上沿3-CfA的路徑向終點A運動.點尸和。分別以1單位/秒和2單位/秒的速度同時

開始運動，在運動過程中，若有一點先到達終點時，該點停止運動，另一個點要繼續(xù)運動，直到兩點都到

達相應(yīng)的終點時整個運動才能停止.在某時刻，分別過尸和。作PE_L/于點E,Q尸，/于點尸，則點尸的

運動時間等于秒時，―尸EC與-C42全等.

【鞏固訓練】

1.（2023秋?八年級單元測試）如圖，已知線段AB=20m,于點A,MA=6m,射線皮于

2,尸點從B點向A運動,每秒走l"z,Q點從B點向。運動，每秒走3〃z,P,Q同時從8出發(fā)，則出發(fā).

秒后，在線段上有一點C,使11aLp與，PB。全等.

2.（2023春?上海虹口?七年級上外附中?？计谀┤鐖D，AB=8,3c=10,8為射線，NB=NC,點、P

從點8出發(fā)沿BC向點C運動，速度為1個單位/秒，點。從點C出發(fā)沿射線8運動，速度為x個單位/秒;

若在某時刻，一能與二CPQ全等，則％=

3.（2023春?陜西西安?七年級西安市第二十六中學?？茧A段練習）如圖1,在長方形A8C。中，AB=CD

設(shè)點P的運動時間為ts,且t<5

（1）PC=_cm（用含f的代數(shù)式表示）

（2）如圖2,當點尸從點2開始運動時，點。從點C出發(fā)，以"cm/s的速度沿C。向點。運動，是否存在

這樣的v值,使得以A、B、尸為頂點的三角形與以P、。、C為頂點的三角形全等？若存在，請求出v的值;

若不存在，請說明理由.

題型七三角形全等判定與性質(zhì)綜合問題

例題：（2020秋?廣東東莞?八年級?？茧A段練習）如圖，在，ABC中，NC=90。,ZCAD=ABAD,OE，A3于￡,

點尸在邊AC上，連接DR.

A

\\\E

CDB

(1)求證：DC=DE.

(2)若AC=8,AB=