人教版八年級數(shù)學(xué)上冊期末選填題壓軸題（6種必考題型）

期末選填題壓軸題（考題猜想，6種必考題型）

盛型大裳合

題型一：手拉手的構(gòu)造（共3題）

題型二：角平分線的處理（共2題）

題碼：夾半角與鈕手（W4?）

期末選填題壓軸題

題型四、犍段長與面積（共13題）

題謝二癱度供12題）

題型六：多結(jié)論問題（共7題）

型大通關(guān)

__________________

題型一：手拉手的構(gòu)造（共3題）

1.（2022秋?江漢區(qū)期末）如圖，在AABC中，AB=BC,NABC=tz。，點。為AC邊上一點，將繞點

。順時針旋轉(zhuǎn)。。至即，使E,3在AC異側(cè)，連接CE,若/BCE=0。，則c與月的關(guān)系

是_______________________

2.（2021秋?青山區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD,BC=BD,ZABD=-ZBAC=a,則

2

ZBDC的度數(shù)為.（用a表示）

1

3.（2022?江岸區(qū)校級開學(xué)）如圖，四邊形ABCD中，/BAD=/ABD=/BCD=45。,BC=近,則△ABC的

面積為

題型二：角平分線的處理（共2題）

1.（2023秋?椒江區(qū)校級期中）如圖，點尸為AA5c內(nèi)部一點，使得ZPBC=3O。，NPBA=6。,且

ZPAB=ZPAC=24°,求NAPC的度數(shù)是.

2.（2023秋?東莞市期末）如圖，等腰AA5C,AB^AC,N54c=120。，AD_L8C于點。，點尸是54延

長線上一點，點O是線段AD上一點，OP=OC,下面的結(jié)論：①NATO+NDCO=30。；②BC=2PC；③

ZAPO=ZDCO；@AB^AO+AP.其中正確的是.（填序號）

題型三：夾半角與手拉手（共4題）

1.（2021秋葉6江區(qū)期末）如圖，在AABC中，AB^AC,N54C=90。，直角N￡P(guān)F的頂點P是3c的中點，

兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F,連接EF交⑷3于點G,以下五個結(jié)論：?ZB=ZC=45°；

②AP=EF；③44FP和NA￡P(guān)互補；④AEPF是等腰直角三角形；⑤四邊形?1EPF的面積是AABC面積的

A.①②③B.①②④⑤C.①③④⑤D.①③④

2

2.（槐蔭區(qū)期末）如圖，在等邊三角形A5c中，在AC邊上取兩點Af、N,使/MBN=30。.若=

MN=x>CN=n,則以x,機，〃為邊長的三角形的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.隨x,加，〃的值而定

3.（2023秋?蔡甸區(qū)校級期中）如圖，在某次軍事演習(xí)中，艦艇1號在指揮中心（O處）北偏西30。的A處，

艦艇2號在指揮中心南偏東60。的3處，并且。1=05.接到行動指令后，艦艇1號向正東方向以60海里

/小時的速度前進，艦艇2號沿北偏東60。的方向以海里/小時的速度前進.1.5小時后，指揮中心觀測到

兩艦艇分別到達點E,尸處，若/EOF=75。，EF=210海里，則機的值為.

4.（2021秋?東坡區(qū)期末）如圖，△A5C是邊長為6的等邊三角形，BD=CD,ZBDC=120°,以點。為

頂點作一個60。角，使其兩邊分別交AB于點交AC于點、N,連結(jié)MN,則△AMN的周長是.

題型四：求線段長與面積（共13題）

1.（2023秋?洪山區(qū)期中）如圖，在AABC紙片中，AB=10,BC=8,沿過點區(qū)的直線折疊這個三角形,

使點。落在邊上的點石處，折痕為5。，若NC=2ZBDE,則DE的長為（）

C

245

3

2.（2023秋?安鄉(xiāng)縣期末）如圖，過邊長為2的等邊AA5c的邊上點P作PELAC于E,Q為BC延長

線上一點，當(dāng)P4=C。時，連尸。交AC邊于。，則DE長為.

3.（2022春?橫山區(qū)期末）如圖，在AABC中，BH_LAC交AC于點、H,CD平分ZACB交BH于點、D,過

點。作DE_L3c于E,ADCH的面積為"，ABCD的面積為34，CH=3,則3c的長為

2

4.（2022秋?香坊區(qū)期末）在RtAABC中，ZBAC=90°,有一個銳角為60。，3c=6,點P在邊3c上（不

與點3、C重合），NB4P=30。，則CP的長為.

5.如圖，已知AABC是等邊三角形，點E在3c的延長線上，D是射線3c上一點，點G在AS上，若AGDF

是等邊三角形，且B_L3C,已知AC=10,BG=1,則CD的長為.

6.（2023秋?荊門期末）如圖的三角形紙片中，AB=8cm,AC=5cm,沿過點3的直線折疊這個三角形,

使點C落在池邊上的點E處，折痕為3D,若A?的周長為7CM,則3c的長為.

7.（2024春?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，在等邊△ABC中，點。為線段至上一點，BD=4AD,連接8,

點E為線段AC下方一點，連接CE,且CD=CE,NBDC=ZACE,連接BE交AC于點點尸為線段

AC延長線上一點，AD=CF,連接EF.已知AD=2,則CM的長為.

4

B

8.（2020秋?巴彥縣期末）如圖，在等邊AABC中，點。在3c的延長線上，連接AD,點E在線段4）上,

連接跳，交線段AC于點尸，AE=BC,—=BD-CF^—,則線段AF的長度為.

CD33

9.（2021秋?方正縣期末）如圖，在四邊形A3CD中，AC是四邊形的對角線，NCAD=3O。，過點C作CE_LAB

于點E,ZB=2ZBAC,NACO+NE4c=60。，若AB的長度比CD的長度多2,則BE的長為.

C

10.（2024春?興寧市期末）如圖，在AABC中，AD為邊的中線，E為AD上一點，連接5E并延長交

AC于點若NAEF=NFAE,BE=4,EF=L6,則CF的長為.

11.（2023秋?廣水市期末）如圖，在AABC中，AH是高，AE//BC,AB=AE,在鉆邊上取點。，連接

DE,DE=AC,若心曠=5510-BH=],則3C=

5

12.（2024春?福田區(qū)校級期末）如圖RtAACB中，ZACB=90°,AD平分交于。，點E在AB的

延長線上，滿足NADE+NC4B=180。，若AC=6,BE=2,則線段AB的長為

4

13.（2023秋?高青縣期末）添加輔助線是很多同學(xué)感覺比較困難的事情.如圖1,在加△ABC中，ZABC=90°,

2

BD是高,E是△ABC外一點，BE=BA,NE=NC,若DE=—BD,AD=16,BD=2Q,求△5DE的面

5

積.同學(xué)們可以先思考一下…，小穎思考后認(rèn)為可以這樣添加輔助線：在班上截取斯=DE,（如圖2）.同

學(xué)們，根據(jù)小穎的提示，聰明的你可以求得△3DE的面積為.

圖1圖2

題型五：求角度（共12題）

1.（2023秋?納溪區(qū)期末）如圖，點尸是NAQ9內(nèi)任意一點，OP=5a〃，點M和點N分別是射線。4和射

線03上的動點，APMN周長的最小值是5cm,則NAOB的度數(shù)是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

2.（2023秋?廣陵區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，ZBAD=120°,ZB=ZD=90°,在BC、CD上分別找

一點/、N,使A4A4N周長最小時，則NAA4N+N/WM的度數(shù)為（）

6

3.（2023秋?南開區(qū)期末）如圖，AABC中，NC4E=NCB4=48。，點。為AABC內(nèi)一點，ZOAB=12°,

ZOBC=18°,則ZACO=()

C.70°D.65°

4.（2021秋?江漢區(qū)期末）如圖，點。在AABC內(nèi)部，DB=DC,點、E在AB上.,DE垂直平分若

ZACB=75°,^\ZBDE=

5.（2022秋?大足區(qū)期末）如圖，在AABC中，NA=48。，點。為至上一點，連接DC,當(dāng)OC=DB且AACD

三個角與AA5c的三個角分別相等時，NB的度數(shù)為

6.（2024春?普洱期末）如圖，AABC中，AB=AC,NABC=40。，點。在線段3C上運動（點。不與點

B,C重合），連接4）,作Z4DE=40。，DE交線段AC于點E.當(dāng)AADE是等腰三角形時，/BAD的度

數(shù)為

AD,CE為高,兩條高所在的直線相交于“點，若=求

NACB的大小為

8.（2023秋?江門期末）如圖，在四邊形ABCD中，ZA=ZC=90°,ZB=34°,在邊AB,3c上分別找一

點E,F使ADEF的周長最小，此時NEZm=

7

E.

BFC

9.（2023秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，/BCD是AABC的一個外角，ZB=50°,ZBCD=110°,CE平分NACB,

貝UNBEC=.

10.（2023秋?漢陽區(qū)校級期末）已知等腰AABC中，BD±AC,且5D=^AC,則等腰AABC的頂角度數(shù)

2

為.

11.（2023秋?六盤水期末）如圖，在AABC中，ZACB=2a,CD平分NACB,ZC4D=3O°-rz,Z.BAD30°,

則ZBDC=.（用含a的式子表示）

12.（2023秋?瑤海區(qū)期末）如圖，已知在四邊形ABCD內(nèi)，DB=DC,"04=60。，ZZMC=78°,ZC4B=24°,

貝ijZACB=.

8

題型六：多結(jié)論問題（共7題）

1.（2022秋?應(yīng)城市期末）如圖，在AABC中，AC=BC,ZABC=54°,CE平分ZACB,AD平分NC4B,

CE與AD交于點,F,G為AABC外一點，ZACD^ZFCG,ZCBG=ZCAF,連接。G.下列結(jié)論：①

AACF=ABCG；②NBGC=117。；@S^CE=SACFD+；?AD=DG+BG.其中結(jié)論正確的是

（只需要填寫序號）.

2.（2022秋?道縣期末）如圖，C為線段上一動點（不與點A,E重合），在AE同側(cè)分別作等邊AABC

和等邊ACDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點、Q,連結(jié)尸Q.以下五個結(jié)論：

①AD=BE；②PQHAE；?OP=OQ；④ACPQ為等邊三角形；⑤N4QB=60。.其中正確的

有________________.（注:把你認(rèn)為正確的答案序號都寫上）

3.（2022秋?閩清縣期末）如圖，AB=BE,ZDBC=-ZABE,BD±AC,則下列結(jié)論正確的

2

是：.（填序號）

①BC平分NDCE；

②ZABE+ZECD=180°;

③AC=2BE+CE；

@AC=2CD-CE.

AD

9

4.（2023春?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，在加△ABC中，ZABC=90°,以AC為邊，作△ACD,滿足AO=AC,

點E為3c上一點，連接AE,ZBAE=-ZCAD,連接DE.下列結(jié)論中正確的是.（填

2

序號）

①ACLDE；

②ZADE=ZACB；

③若CD//AB,則/場_LAD；

?DE=CE+2BE.

5.（2022秋?黃島區(qū)校級期末）如圖，ZABC=ZACB,AABC的內(nèi)角NABC的角平分線33與NACB的外

角平分線交于點O,AA5c的外角4/BC的角平分線與CD的反向延長線交于點E,以下結(jié)論:

①AD//BC；②DB'BE；?ZBDC+ZABC=90°；④平分ZADC；⑤ZBAC+2ZBEC=180。.

其中正確的結(jié)論有.（填序號）

6.（2023秋?廣陽區(qū)校級期末）如圖，點P是正方形ABCD的對角線加上一點，PEL3c于點E,PFLCD

于點/，連接E,F.給出下列五個結(jié)論：?AP=EF②PD=EC；③ZPFE=ZBAP；④AAPD一定是

等腰三角形；⑤"，￡F.其中正確結(jié)論的序號是.

10

7.（2022秋?東西湖區(qū)校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC.若的角平分線AE交CD于

E,連接BE,且3E邊平分NABC,得到如下結(jié)論：①NAEB=90。；?BC+AD=AB；③BE=；CD；④

BC=CE；⑤若AB=x,則3E的取值范圍為0<3E<x,那么以上結(jié)論正確的是.（填序

號）

11

期末選填題壓軸題（考題猜想，6種必考題型）

盛型大裳合

題型一：手拉手的構(gòu)造（共3題）

題型二：角平分線的處理（共2題）

題碼：夾半角與鈕手（W4?）

期末選填題壓軸題

題型四、犍段長與面積（共13題）

題謝二癱度供12題）

題型六：多結(jié)論問題（共7題）

題型一：手拉手的構(gòu)造（共3題）

1.（2022秋?江漢區(qū)期末）如圖，在AABC中，AB=BC,NABC=cz。，點。為AC邊上一點，將繞點

。順時針旋轉(zhuǎn)。。至即，使E,3在AC異側(cè)，連接CE,若NBCE=0°,則c與尸的關(guān)系

是.

【分析】如圖所示，將ADCE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)得到ADFB使得/史與重合，連接CF,證明

ZFCD=ZBCD,推出F、B、C三點共線，得到NE+NDBC=180。，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理得到

ZBDE+ZBCE^180°,即a+￡=180.

【解答】解：如圖所示，

將ADCE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到ADFB使得DE與DB重合，連接CF,

12

,\ZCDF=ZBDE=a°fCD=FD,ZE=ZDBF,

1800—NCD/Cr

ZFCD=ZCFD==90?！?/p>

22

\AB=BC,ZABC=a0,

ry

=90°——

22

:.AFCD=ZBCD,

?:F、3在AC的同一側(cè),

:.F,B、C三點共線，

:.ZDBF+ZDBC=180°,

ZE+ZDBC=180°,

ZBDE+ZBCE^180°,即a+#=180,

故答案為：a+￡=180.

【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊對等角，四邊形內(nèi)角和定理，正確作出輔助

線是解題的關(guān)鍵.

2.（2021秋?青山區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD,BC=BD,ZABD=-ZBAC=a,則

2

ZBDC的度數(shù)為.（用a表示）

［分析】作ZMBA=ZDBA,交CA延長線于M.由等腰三角形的性質(zhì)得出ZABD=ZADB=a,ABAC=2a,

證出NS4M=NS4D,證明ABAM=AR4D(ASA),得出NM=NADB=a,3河=3￡>=3。，得出=,

ZACB^ZM=a,因止匕ZABM=ZM^a,設(shè)ZACD=x,貝UZBDC=x+a,由八字形得出

x+(x+a)=a+a+a,解得x=a,即可得出答案.

【解答】解：作NMBA=NDBA,交C4延長線于如圖所示：

13

???AB=AD,ZABD=-ZBAC=a,

2

/.AABD—ZADB=a,ZBAC=2a,

:.ZCAD=1800-4af

.?.44M=180。—2a,44/)=180。—2cr,

:.ZBAM=ZBAD,

在AS4M和AR4D中，

ZMBA=/DBA

vAB=AB,

ZBAM=/BAD

ABAM=ABAD(ASA),

:.ZM=ZADB=a,BM=BD=BC,

AB—AM,XACB==oc,

:.ZABM=ZM=a,

???BC=BD,

:.ZBCD=ZBDC,

設(shè)NACD=x,則ZBDC=x+tz,

由八字形得：ZACD+Z.BDC^ZM+ZDBM,

即x+(x+a)=a+a+a,

:.x=a,

/.ZBDC—2a；

故答案為：2a.

?、

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識；熟練

14

掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?江岸區(qū)校級開學(xué))如圖，四邊形ABCD中，NBAD=NABD=NBCD=45。,BC=近,則△ABC的

面積為

【分析】過。作DG_LCD交CB延長線于點G,連接AG,證△=￡>3C(SAS),得出AG=3C=夜,

再證Z4GC=90。，最后根據(jù)二角形的面積公式求得結(jié)果便可.

【解答】解：過。作￡>G_LCD交CB延長線于點G,連接AG,

?.■ZBAD=ZABD^45°,

:.AD=BD,ZADB=90°,

ZBCD=45°,DG±CD,

.?.NCDG=90。，DG=DC,

ZADG=ZBDC=90°-ZBAG,

在△D4G和△DBC中，

AD=BD

<ZADG=ZBDC,

DG=CD

:./\DAG=^DBC(SAS),

；.AG=BC=&,ZDGA=ZDCB=45°,

...ZAGC=90°,

SARr」BC-AG=_x^x0=l

A/IDL22

15

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積公式，等腰直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)

造全等三角形解決問題.

題型二：角平分線的處理（共2題）

1.（2023秋?椒江區(qū)校級期中）如圖，點P為AABC內(nèi)部一點，使得NPBC=30。，ZPBA=6°,且

ZPAB=ZPAC^24°,求NAPC的度數(shù)是.

【分析】作輔助線，在AC的延長線上截取=連BF,PF,延長40交3c于D,交BF于E,則

可證得AAPB三AAPF,則"為加'的垂直平分線，結(jié)合NPR4=6。，可得NCBF=30。=NCBP,

ZBFP=60°=ZBPF,可得3c平分尸尸，進一步可求出NAPC的度數(shù).

【解答】解：在AC的延長線上截取"'=AB,連BF,PF,延長"交3c于。，交所于E,

ZBPE=ZBAP+ZABP=24°+6°=30°=ZPBC,

在AABP和AAFP中，

AB=AF

<ZPAB=ZPAC,

AP=AP

則AAPB=/\APF(SAS),

.〔AF垂直平分班ZAFP=ZABP=6°,

:.ZFPE=NBPE=30P,

ZCBF=30°=ZCBP,ZBFP=6O°=ZBPF,

.?.BC垂直平分PF,

:.NCPF=NCFP=6。,

ZDPC=36°,

.?.ZAPC=180°-36o=144°.

故答案為：144。.

16

A

【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線,

構(gòu)造全等三角形.

2.（2023秋?東莞市期末）如圖，等腰A4BC,AB=AC,ZBAC=120°,AD_L3c于點。，點尸是54延

長線上一點，點O是線段AD上一點，OP=OC,下面的結(jié)論：①NAPO+NDCO=30。；②BC=2PC；③

ZAPO=ZDCO；?AB^AO+AP.其中正確的是.（填序號）

等邊對等角，可得ZAPO=ZABO、ZDCO=ZDBO,則

ZAPO+ZDCO=ZABO+ZDBO=ZABD,據(jù)此可求解；②可先求證AOPC是等邊三角形，再根據(jù)三角形的

三邊關(guān)系判斷即可；③因為點O是線段AD上一點，所以30不一定是N的的角平分線，據(jù)此可求解；④

先證明△OR4=ACPE,則AO=CE,AB=AC=AE+CE=AO+AP.

【解答】解:

-.-AB=AC,AD±BC,

?;BD=CD,ABAD=-Z.BAC=-xl20°=60°,

22

:.OB=OC,ZABC=90°-ZBAD=30°,

:OP=OC,

17

：.OB=OC=OP,

:.ZAPO=ZABO.ZDCO=ZDBO,

ZAPO+ZDCO=ZABO+ZDBO=ZABD=30。，

故①正確；

②???ZAPC+ZDCP+=180。，

/.ZAPC+ZDCP=150。，

???ZAPO+NDCO=30。，

/.NOPC+NOCP=120°,

.\ZPOC=60°,

?.,OP=OC,

「.AOPC是等邊三角形，

:.OC=PC,

???OCwCD,貝iJPCwCD,BC=2CD,

:.BC乎2PC,

故②不正確；

③由①知：ZAPO=ZABO,NDCO=NDBO,

,??點O是線段AD上一點，

「.NABO與NDBO不一定相等，NAPO與NDCO不一定相等,

故③不正確；

④如圖2,在AC上截取連接PE,

???ZPAE=180°-ZBAC=60°,

.?.A4PE是等邊三角形，

:.ZPEA=ZAPE=60°,PE=PA,

..ZAPO-i-ZOPE=60°f

???ZCPE+ZOPE=ZCPO=60°,

:.ZAPO=ZCPE,

.\AOPA=ACPE(A4S),

:.AO=CE,

:.AB=AC=AE+CE=AP+AO,

18

故④正確.

故答案為：①④.

【點評】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)

的知識點，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

題型三：夾半角與手拉手（共4題）

1.（2021秋?邛江區(qū)期末）如圖，在AABC中，AB=AC,NB4c=90。，直角NEPF的頂點P是3C的中點，

兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F,連接EF交AP于點G,以下五個結(jié)論：?ZB=ZC=45°；

②AP=EF；③N4FP和互補；④AEPF是等腰直角三角形；⑤四邊形的面積是AABC面積的

其中正確的結(jié)論是（）

A.①②③B.①②④⑤C.①③④⑤D.①③④

【分析】利用AS4證明AA￡P(guān)=AC77,得PE=PF,則AE尸尸是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形

的性質(zhì)可對結(jié)論逐一進行判斷.

【解答】解：?.,AB=AC,440=90。，

.-.ZB=ZC=45°,

故①正確；

?.?點。為的中點，44C=90。，AB=AC,

:,AP=CP,ZAPC=90°,ZBAP=ZC=45°,

?.?NEPF=ZAPC,

:.ZAPE=ZFPC,

在AAEP和ACF尸中，

ZEAP=ZC

<AP=PC,

ZAPE=ZCPF

AAEP=ACFP(ASA),

:.PE=PF,

19

」.AEPF是等腰直角三角形，

四邊形酒町的面積為^4即+5以勿=邑"'=：S⑷c，

故④正確，⑤不正確；

?.?ZBAC=ZEPF=90°,

;.N4￡P(guān)和NAEP互補，

故③正確；

?.?PE不是定長，故②不正確.

,正確的有：①③④，

故選：D.

【點評】本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明

AAEP=ACFP是解題的關(guān)鍵.

2.（槐蔭區(qū)期末）如圖，在等邊三角形ABC中，在AC邊上取兩點A/、N,使NMBN=30。.若40=〃工,

MN-x,CN-n,則以x,m，〃為邊長的三角形的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.隨x,機，”的值而定

【分析】將繞點3順時針旋轉(zhuǎn)60。得到ACBH.連接HN.想辦法證明NWCN=120。，HN=MN=x

即可解決問題;

【解答】解：將繞點3順時針旋轉(zhuǎn)60。得到ACB”.連接HN.

AABC是等邊二角形，

20

:.ZABC=ZACB=ZA=60°,

-.?ZMBN=30°,

ZABM+ZCBN=3Q0,

ZNBH=ZCBH+/CBN=30°,

:.ZNBM=ZNBH,

?;BM=BH,BN=BN,

,\ANBM=ANBHf

：.MN=NH=x,

?;NBCH=ZA=60。，CH=AM=m,

:.ZNCH=120°,

AX,m,〃為邊長的三角形A/VCH是鈍角三角形，

故選：C.

【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用

旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

3.（2023秋?蔡甸區(qū)校級期中）如圖，在某次軍事演習(xí)中，艦艇1號在指揮中心（O處）北偏西30。的A處，

艦艇2號在指揮中心南偏東60。的5處，并且。4=03.接到行動指令后，艦艇1號向正東方向以60海里

/小時的速度前進，艦艇2號沿北偏東60。的方向以加海里/小時的速度前進.1.5小時后，指揮中心觀測到

兩艦艇分別到達點石，F(xiàn)處,若NEOF=75。，￡F=210海里，則用的值為.

【分析】延長AE、防相交于點C,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解答即可.

21

???ZAOB=30°+90°+(90°-70°)=150°,/EOF=75°,

:.ZEOF=-ZAOB,

2

JL-：OA=OB,ZOAC+NOBC=(90°-30°)+(60°+60°)=180°,

:.EF=AE+BF,

BP￡F=1.5X(60+/M)=210.

解得加=80.

故答案為：80.

【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，方向角，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵.

4.(2021秋?東坡區(qū)期末)如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，BD=CD,ZBDC=nO°,以點。為

頂點作一個60。角，使其兩邊分別交回于點交AC于點N,連結(jié)則的周長是.

【分析】要求△40N的周長，根據(jù)題目已知條件無法求出三條邊的長，只能把三條邊長用其它已知邊長來

表示，所以需要作輔助線，延長？15至歹，使BF=OV,連接DF,通過證明△BDF三△QVD,及三

4DMF,從而得出=的周長等于AB+AC的長.

【解答】解：是等腰三角形，且N3Z)C=120。，

:.ZBCD=NDBC=30。,

?.?△ABC是邊長為6的等邊二角形，

ZABC=ABAC=ZBCA=60°,

:.ZDBA=ZDCA^9O°,

延長AB至P,使BF=CN,連接。尸，

在△8QF和△QVD中，

BF=CN

<ZFBD=ZDCN,

DB=DC

△BDF=△CND(SAS),

:.ZBDF=ZCDN,DF=DN,

22

,.?ZMDN=3,

:.ZBDM+NCDN=60。,

二ZBDM+ZBDF=60。,

在△DMN和△OWF中，

MD=MD

<ZFDM=ZMDN,

DF=DN

△DMN=△DMF(SAS),

:.MN=MF,

「.△AAZ2V的周長是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC^6+6=12.

【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)；主要利用等邊三角形和等腰三角形的性

質(zhì)來證明三角形全等，構(gòu)造另一個三角形是解題的關(guān)鍵.

題型四：求線段長與面積（共13題）

1.（2023秋?洪山區(qū)期中）如圖，在AABC紙片中，AB=10,BC=8,沿過點3的直線折疊這個三角形,

使點C落在池邊上的點E處，折痕為若NC=2ZBDE,則DE的長為（）

C

245

【分析】由折疊的性質(zhì)可得：ZABD=ZCBD,BC=BE=8,ZC=ZDEB,進而證得/4Z）E=N4ED,得

到4）=他，由面積法可求解.

【解答】解：由折疊的性質(zhì)可得：ZABD=NCBD,BC=BE=8,NC=NDEB,ZBDE^ZBDC,CD=DE,

如圖，過點。作。于點/，作DV_L3C于點N,則

23

*,?—2，^^ADB-SABCD=1°：8=5：4，

?/ZBCD=2ZBDE,

:.ZEDC=ZBED,

:.ZADE=ZAED,

.'.AD=AE=2,

?,2?MQ05,2?2WCD--J5?r?4',

AD:CD=5:4,

Q

,\CD=-=DE.

5

故選：C.

【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)等面積法求高，解題的關(guān)鍵是作出常用輔助線及熟練掌握折疊的性質(zhì).

2.（2023秋?安鄉(xiāng)縣期末）如圖，過邊長為2的等邊AABC的邊AB上點P作尸石_LAC于石，。為5C延長

線上一點，當(dāng)D4=C。時，連PQ交AC邊于O,則DE長為.

【分析】過尸做的平行線至AC于尸，通過求證AP/Z）和AQCD全等，推出FD=CD,再通過證明AAP尸

是等邊三角形和PEJ_AC,推出即可推出AE+OC=EF+ED,可得EO=工AC,即可推出即

2

的長度.

【解答】解：過P做BC的平行線至AC于尸，

ZQ=NFPD,

等邊AABC,

.1ZAP尸=NB=60°,ZAFP^ZACB^60°,

」.AAPF是等邊三角形，:.AP=PF,AP=CQ,

■.■AP=CQ,

24

:.PF=CQ,

?.?在APED和AQCD中,

ZFPD=ZQ

，/PDF=ZQDC,

PF=CQ

:.APFD=AQCD(AAS),

:.FD=CD,,.?尸石_14。于￡1,AAPF是等邊三角形，:.AE=EF,

:.AE+DC=EF+FD,

:.ED^-AC,-：AC=2,

2

:.DE=\.

故答案為1.

【點評】本題主要考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵在于正確

地作出輔助線，熟練運用相關(guān)的性質(zhì)、定理，認(rèn)真地進行計算.

3.（2022春?橫山區(qū)期末）如圖，在AABC中，AC交AC于點X,CD平分ZACB交BH于點、D,過

點。作。E_L3C于E,ADCH的面積為'G,ABCD的面積為八萬，CH=3,則3c的長為

2

【分析】根據(jù)垂直的定義得到NCHD=90。，根據(jù)三角形的面積求得D"=有，過。作OEL3C于E,根

據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DH=^3,于是得到結(jié)論.

【解答】解：?.?皿，AC,

:.NCHD=90°,

?.?ADCH的面積為之叵，CH=3,

2

DH=6

25

過。作。E_L3c于E,

,;CD平分NACB交BH千點D

DE=DH=小,

???ABCD的面積為8,

-E>E-BC=-XA/3BC=3A/3,

22

/.BC=6,

故答案為：6.

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?香坊區(qū)期末）在RtAABC中，ZBAC=90°,有一個銳角為60。，3c=6,點P在邊3c上（不

與點3、C重合），NB4P=30。，則CP的長為.

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分2種情況進行討論，利用直角三角形的性質(zhì)解答.

【解答】解:如圖1,若4=60。,

AB

圖1

則NC=30。，

,;BC=6,

:.AB=-BC=3,

2

■.■ZBAP=30°,

:.ZAPB=90°,

26

1Q

則BP=—A5=?，

22

39

CP=BC-PB=6一一=-；

22

如圖2,若NC=60。，

則NB=30。，

AC=-BC=3,

2

vZfiAP=ZB=30°,

ZAPC=ZC=60°,

「.AACP為等邊三角形，

..PC=AC=3；

綜上，CP的長為3或2.

2

故答案為：3或？.

2

【點評】本題考查了解直角三角形，熟悉特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，已知AABC是等邊三角形，點E在BC的延長線上，。是射線3c上一點，點G在他上，若AGDF

是等邊三角形，且已知AC=10,BG=1,則CD的長為.

【分析】過。作于推出ZGMD=ZDCF=90°,由等邊三角形的性質(zhì)得到NB=NG?尸=60。，

DG=DF,BC=AC=10,由三角形外角的性質(zhì)推出NEDC=NMGD,即可證明ADCF三AMGQ(A4S),得

至|JCD=MG,令CD=x,得至l」KB=7—x,BD=10-x,由直角三角形的性質(zhì)得至UND=2?W=14—2x,因

止匕10—x=14—2x,求出x=4,

27

即可得到CD=4.

【解答】解：過。作于M,

vFC±BC,

Z.GMD=ZDCF=90°,

?.?AABC、ADPG是等邊三角形，

.\ZB=ZGDF=6O°,DG=DF,BC=AC=10,

??,ZGDF+ZFDC=ZB+ZMGD,

:.ZFDC=ZMGD,

ADCF=AMGD(AAS),

:.CD=MG,

令CD=x,

:.MB=BG-MG=l-x,BD=CB-CD=10-xf

???N5=60。，ZBMD=90°,

:.BD=2BM=2(7-x)=U-2x,

10—x—14—2x,

/.x=4,

.?.8=4.

故答案為：4.

【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是證明ADCF=AMGD(A4S).

6.(2023秋?荊門期末)如圖的三角形紙片中，AB^cm,AC5cm,沿過點3的直線折疊這個三角形,

使點C落在四邊上的點E處，折痕為若AAED的周長為7cm,則3c的長為.

28

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和三角形的周長公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：?.?沿過點3的直線折疊這個三角形，使點C落在4?邊上的點E處，

/.BE=BC,CD=DE,

7.AC=AD+CD=AD+￡）￡*=5cm,

???AAED的周長為7cm,

/.AD+DE+AE-1cm,

AE=2cm,

BC=BE=AB—AE=6（cm）.

故答案為：6.

【點評】本題考查了翻折變換（折疊問題），熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2024春?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，在等邊△ABC中，點。為線段Afi上一點，BD=4AD,連接CD,

點E為線段AC下方一點，連接CE,且CD=CE,NBDC=ZACE,連接3E交AC于點點尸為線段

AC延長線上一點，AD=CF,連接EF.已知AD=2,則CM的長為.

E

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得AC=AB=5AD=1O,則A產(chǎn)=12,可證明△ADC三△RIE,得NA=Nb,

AC=FE=AB,再證明AF=FM=-AF=6,則CM=4,于是得到問題的答案.

2

【解答】解：ABC是等邊三角形，BD=4AD,AD=CF=2,

：.AC=AB=AD+4AD=5AD=5x2=10,

:.AF=AC+CF=10+2=12,

29

ZADC+ZBDC=180°,ZFCE+ZACE=18Q°,S.ZBDC=ZACE,

:.ZADC=ZFCE,

在△ADC和中