人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第十六章 二次根式（知識(shí)歸納+題型突破）（原卷版）

第十六章二次根式(知識(shí)歸納+題型突破)

課標(biāo)要求

1.理解并掌握二次根式、最簡(jiǎn)二次根式、同類二次根式的定義和性質(zhì).

2.熟練掌握二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算.

3.了解代數(shù)式的概念，進(jìn)一步體會(huì)代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用.

基礎(chǔ)知識(shí)歸納

知識(shí)點(diǎn)一、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)

1.二次根式

形如&(a?0)的式子叫做二次根式，如行，而位等式子，都叫做二次根式.

特別說明：二次根式標(biāo)有意義的條件是。之0,即只有被開方數(shù)。之0時(shí)，式子后才是二次根式，&

才有意義.

2.二次根式的性質(zhì)

(1)4a>0(a>0)；(2)(Va)2-a(a>0)；(3)V?=lai=<();

1[-a(a<0)

特別說明：(1)一個(gè)非負(fù)數(shù)?？梢詫懗伤乃阈g(shù)平方根的平方的形式，即a=(&r(?>0),如

2=(0)2；；=(A)2；X=(?)2(%>o).

(2)而中。的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論。取何值，而一定有意義.

(3)化簡(jiǎn)時(shí)，先將它化成時(shí)，再根據(jù)絕對(duì)值的意義來進(jìn)行化簡(jiǎn).

(4)‘屋與(GV的異同

不同點(diǎn)：J戶中?？梢匀∪魏螌?shí)數(shù)，而(、5)2中的。必須取非負(fù)數(shù)；=(8)2=a(?>0).

相同點(diǎn)：被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)。取非負(fù)數(shù)時(shí)，J/=(&)2.

3.最簡(jiǎn)二次根式

(1)被開方數(shù)是整數(shù)或整式；

（2）被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.

滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.如叵而,Jo?+濟(jì)等都是最簡(jiǎn)二次根式.

特別說明：最簡(jiǎn)二次根式有兩個(gè)要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個(gè)因式的指數(shù)都小

于根指數(shù)2.

4.同類二次根式

幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫同類二次根式.

特別說明：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如

也與冊(cè),由于際=20,及與*顯然是同類二次根式.

知識(shí)點(diǎn)二、二次根式的運(yùn)算

1.乘除法

（1）乘除法法則：

類型法則逆用法則

積的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：

二次根式的乘法yfaxV&=s/ab（a>0,￡?>0）

Jab=4ax加（a>0,￡?>0）

商的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式:

二次根式的除法^=K>0,b>0）

[a_4a

(a>0,b>0)

特別說明:

（1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘（或相除）的法則，如a^[b-c4d=acyfbd.

（2）被開方數(shù)a、b一定是非負(fù)數(shù)（在分母上時(shí)只能為正數(shù)）?如&-4）又（—9）豐口又口.

2.加減法

將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類

二次根式.

特別說明：二次根式相加減時(shí)，要先將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再找出同類二次根式，最后合

并同類二次根式.如^2+3>/2—5\/2=（1+3—5）A/2=-正

重要題型

【題型一二次根式的定義】

例題：（2023下?浙江麗水?八年級(jí)期末）下列式子一定不是二次根式的是（）

A.0B.7Z+1C.7（x-l）2D.口

【變式訓(xùn)練】

1.（2023上?四川宜賓?九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列式子是二次根式的是（）

A.口agC.VO2D.7-a2-l

2.下列式子是二次根式的有（）個(gè)

yfa；A/5；A/—3;yjx2—2xy+y2;J—4x（一3）

A.2B.3C.4D.5

3.給出下列各式：①庖；②6；③UH；④d（機(jī)40）；⑤J/+1；⑥班.其中二次根式的個(gè)數(shù)是

（）

A.2B.3C.4D.5

【題型二二次根式有意義的條件】

例題：（2023上?安徽宿州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）二次根式工中。的取值范圍是（）

A.a>2B.QW2C.a>2D.a>0

【變式訓(xùn)練】

1.（2023上?河北石家莊?八年級(jí)?？计谥校┮苟胃饺f二有意義，貝”的值可以?。ǎ?/p>

A.5B.4C.3D.2

（上?四川成都?八年級(jí)校聯(lián)考期中）如果二次根式——有意義，那么的取值范圍是（）

2.2023x

V3-x

A.x>-3B.x>3C.x<—3D.x<3

3.（2023?廣東云浮?統(tǒng)考二模）若式子式1有意義，則尤的取值范圍是（）

x-2

A,x>lB.x〉l且%。2C.且xw2D.xw2

【題型三求二次根式的值】

例題：（2023下?浙江麗水?八年級(jí)校聯(lián)考期中）當(dāng)x=-6時(shí)，的值為.

【變式訓(xùn)練】

1.當(dāng)x=2時(shí)，二次根式j(luò)2+7x的值是.

2.（2023下?浙江溫州?八年級(jí)?？计谥校┊?dāng)x=l時(shí)，二次根式j(luò)7-3x的值是

3.已知沖=3,則yJj+乂

【題型四求二次根式中的參數(shù)】

例題：如果同是一個(gè)整數(shù)，那么最小正整數(shù)。=.

【變式訓(xùn)練】

1.已知有理數(shù)滿足5-6a=2b+2g-a,則a+6的值是.

2.已知"是亞擎黎，石是擎算，則滿足條件的所有〃的值為.

【題型五利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】

例題：計(jì)算：J（l-V3）2=.

【變式訓(xùn)練】

1.化簡(jiǎn)：^/18=,，50〃2/?（〃<0）=.

2.化簡(jiǎn)：

⑴島?⑵q⑶8

【題型六二次根式的乘除運(yùn)算】

例題：（2023上?四川樂山?九年級(jí)樂山市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┯?jì)算：3.2|U.1

32V5

【變式訓(xùn)練】

1.（2023上?上海浦東新?八年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：3舊4><后

2.（2023上?上海閔行?八年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：3VE25^-j2-x2V18

4V2

3.（2023上?陜西西安?八年級(jí)西安市第二十六中學(xué)校考階段練習(xí)）計(jì)算：72x76+vlx

4.（2023上?上海閔行?八年級(jí)校聯(lián)考期中）計(jì)算：3斤x/杵+無>0,y>0）

5.（2023上?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算:

⑴澗

【題型七最簡(jiǎn)二次根式的判斷】

例題：下面是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

1

A.712

B-\c.3D.75

【變式訓(xùn)練】

1.下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.V053.、c.712?D.V17

JI中，最簡(jiǎn)二次根式的個(gè)數(shù)是（

2.在二次根式在、727、yf\A、6、）個(gè)

2

A.2B.3C.4D.5

【題型八同類二次根式】

例題：下列二次根式中與0是同類二次根式的是（）.

A./B.75C.瓜D.V10

【變式訓(xùn)練】

1.下列二次根式中，能與百合并的是（）

A.J艮京C.后

D.V18

2.下列各組的兩個(gè)根式，是同類二次根式的是（）

A.WP—

B.瘋涼和C.而和-^/5^D.y/a和4ab

\xy\2xy

【題型九已知同類二次根式求參數(shù)】

例題：最簡(jiǎn)二次根式向T能與百進(jìn)行合并，則機(jī)=.

【變式訓(xùn)練】

1.若最簡(jiǎn)二次根式反萬與也是同類二次根式，則。的值為.

2.若最簡(jiǎn)二次根式2。4加-1與J2+3"是同類二次根式,則機(jī)=

【題型十二次根式混合運(yùn)算】

例題：計(jì)算：

(1)748-A/27+拒.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023上?河南焦作?八年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算

廊x屈

拘((

⑴^r-(2)(1-22—2-6)2+/)

2.（2023下?北京海淀?八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）計(jì)算下列各題:

⑵與巨_氐

(1)A/-27+^——y/s+1—

(4)13M+1同-4

(3)3而-1。

3.（2023上?山東青島?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算題:

(2)(3A/48-2A/27)^V3

A/5(4)^27-|l-2V2|+

II+2XT

⑸2-丁