人教版八年級數學下冊專項復習：二次根式（單元重點綜合測試）（解析版）

第十六章二次根式（單元重點綜合測試）

班級姓名學號分數

考試范圍：全章的內容；考試時間：120分鐘；總分：120分

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列式子一定是二次根式的是（）

A.y[2xB.也C.Jx+2D.y[-3

【答案】B

【分析】本題考查了二次根式的定義，形如的式子叫二次根式，根據二次根式的定義，逐項判斷

即可求解.

【詳解】解：A、后，x有可能小于0,故不一定是二次根式，不符合題意；

B、6是二次根式，符合題意；

C、+2,若尤<-2時，+2無意義,不符合題意；

D、C被開方數小于0,無意義，不符合題意；

故選：B.

2.使二次根式A/T石有意義的x的值為（）

A.x=0B.x=3C.x=4D.x=6

【答案】D

【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，根據二次根式有意義的條件列出不等式x-520,即可得出

結論.

【詳解】解：由題意得，x-5>0,

解得，%>5,

故x的值可以為6,

故選：D.

3.已知二次根式Jx+1,當x=3時，此二次根式的值為（）

A.2B.±2C.4D.±4

【答案】A

【分析】把x=3代入進行計算即可.

【詳解】解：當x=3時，J尤+1=J3+1=2,

故選A.

【點睛】本題考查的是二次根式的值，熟練代入并求值是解本題的關鍵.

4.下列計算正確的是（）

A.5忘-40=1B.0+百=&C.底3=3D.卜何=2

【答案】D

【分析】本題考查了二次根式的混合運算：根據加減乘除法則逐項分析，即可作答.

【詳解】解：A、50-4立=收，該選項是錯誤的；

B、0與6不是同類項，故選項是錯誤的；

C、底三叵=下,，故選項是錯誤的；

D、卜逝）=2,故選項是正確的；

故選：D

5.已知最簡二次根式7^4與0是同類二次根式，則。的值是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】幾個二次根式化簡成最簡二次根式后，如果被開方數相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式.所

以根據題意得2a-4=2解出a的值即可.

【詳解】解：???最簡二次根式反4與0是同類二次根式，

2a—4=2

.".a=3

故選B.

【點睛】此題考查了同類二次根式的知識，解答本題需要掌握同類二次根式的被開方數相同這個知識點，

屬于基礎題.

6.估計（2后-新卜君的值應在（）

A.4和5之間B.5和6之間C.6和7之間D.7和8之間

【答案】A

【分析】本題考查了無理數的估算，掌握夾逼法，利用二次根式的混合運算將原式化簡，再進行無理數的

估算即可.

【詳解】解：(2后_峋+幣

=(2x2#-㈣+6

=3底+6

=3>/2>

vl6<18<25,

???4<V18<5,即4V30<5，

加■)+6'的值應在4和5之間.

故選：A.

7.下列語句中，正確的是()

A.若。>0,則必=。B.若病=〃，則。>0

C.若。為任意實數，則病=±aD.若a為任意實數，則(77)2=±。

【答案】A

【分析】本題考查了二次根式的性質，后二,上廠巧“，!、，據此即可求解.

【詳解】解：???必=阿，

,若〃>0,則J^"=a，故A正確；

若=a,則14二。,

*'??>0,故B錯誤；

"=問=!"：2；1\,故c錯誤；

[―磯〃工0)

(J/)=(同)2=〃2,故D錯誤；

故選：A

8.若孫<0,則斤化簡后的結果是()

A.xyB.xGC.—Xyf—yD.-x-fy

【答案】D

【分析】根據沖<0,而有意義可得*<0，>>0,進而即可求解.

【詳解】解：；孫<0,必有意義，

x<0,>0,

；?G7T》1打=_尤6，

故選：D.

【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，根據二次根式的性質化簡，得出x<o,y>。是解題的關鍵.

9.在長方形ABCD中無重疊地放入面積分別為16cm2和12cm2的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積

為（）

1216

A.^-12+8A/3jcm2B.^16-8A/3jcm2

C.（8-4A/3jcm2D.（4-2Gknf

【答案】A

【分析】本題主要考查二次根式的應用，算術平方根的實際應用，根據正方形的面積求出兩個正方形的邊

長即可得出結果.

【詳解】解：：兩張正方形紙片面積分別為16cm2和12cm，

它們的邊長分別為a%=4,g=26,

AB=4cm,BC=[2y/3+4jcm,

.?.空白部分的面積=僅括+4）x4-12-16

=86+16-12-16

=（873-12）cm2

故選：A.

10.若4=2020X2022—2020x202l,b=12023?—4x2022,c=12021?+1，貝Umb,c的大小關系是（）

A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】A

【分析】分別將。、仄c平方，利用完全平方公式和二次根式的性質化簡后對平方進行比較得出結論.

【詳解】解：'-'a=2020x2022-2020x2021=2020x（2022-2021）=2020,

cr=20202，

：［=420232-4x2022,c=y/202^-1>

：.b1=20232-4x2022=（2022+l）2-4x2022=（2022-1）2=20212,

c2=20212+l,

202（）2<202f<20212+1,BPc2>b2>a2>

b、c都是大于0的實數，

''ob>a,

故選：A.

【點睛】本題考查了完全平方公式、二次根式大小的比較等知識點，利用完全平方公式計算出值，是解決

本題的關鍵.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.計算：2舟4而=.

【答案】240

【分析】本題考查二次根式的乘法，根據G-禽20,620）計算，再利用二次根式的性質化簡即可.

【詳解】解：2舟4娓=8屈=24叵,

故答案為：2472.

12.若GT是最簡二次根式，則X的值可以是.（寫出一個即可）

【答案】3（答案不唯一）

【分析】最簡二次根式的概念：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.

【詳解】解：當x=3時，行萬=企是最簡二次根式，

故答案為：3（答案不唯一）.

【點睛】本題考查最簡二次根式，解題的關鍵是正確理解最簡二次根式的定義.

13.比較大?。?下5A/6（填或“<”）.

【答案】>

【分析】本題考查了算術平方根和二次根式的大小比較，能選擇適當的方法比較兩個數的大小是解此題的

關鍵.

先把根號外的因式移入根號內，再比較即可.

【詳解】解：6A/5=^/62x5=^/180，5A/6=7？x6=7150，

V180>150,

7180>V150，

???6書>5底,

故答案為：>.

14.若工+J3-2X有意義,則實數x的取值范圍是.

x—1

3

【答案】且無wl

【分析】本題考查了分式有意義的條件和二次根式有意義的條件.根據分式有意義的條件“分母不為0”以及

二次根式有意義的條件“被開方數不小于0”列不等式組，求解即可.

fx—lwO

【詳解】解：由題意得，'。、八，

p-2x>0

3

解得：xW］且尤wl,

故答案為：且

15.定義關于“軟'的新運算：當時，a^）b=a+b-當〃VZ?時，a（8）b=a-b,其他運算符號的意義不變.按

上述定義，計算：（右（8）1）-（省?2）=.

【答案】3

【分析】利用題中的新定義化簡，計算即可.

【詳解】解「?厲>1,

???A2,

百③2=君-2,

則原式=>/3+1—\/3+2=3,

故答案為：3.

【點睛】此題考查了實數的運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵.

16.我國南宋著名的數學家秦九韶，曾提出利用三角形的三邊求面積的“秦九臨公式”：如果一個三角形的三

邊長分別為。力<，則三角形的面積S=；方—廣；rI依據上述公式，若一個三角形的三邊長

分別是5,6,7,則這個三角形的面積等于

【答案】6A/6

【分析】本題考查了代數式求值，二次根式的應用，理解題意將邊長代入正確求值是解答本題的關鍵.根

據題中給出的“秦九臨公式”，把三邊長直接帶入進行求解即可.

【詳解】解：根據S'」-c],的三邊長分別為5,6,7,

\42

勺+62_72丫

52X62-[2J=6-76

故答案為：6庭■

三、(本大題共4小題，每小題6分，共24分)

17.將下列二次根式化成最簡二次根式：

(1)712;

⑵也可(y>0);

(3)427a3b2cs(a<0,b<0,c<。).

【答案】(1)2百

(2)2xy\[x

(3)3”而J3ac

【分析】(1)利用二次根式的性質化簡求解;

(2)利用二次根式的性質化簡求解；

(3)利用二次根式的性質化簡求解.

【詳解】(1)解:A/12=2A/3;

(2)解：-J4x3y2=2xy4x;

（3）解：=3abc2^/3^.

【點睛】本題主要考查利用二次根式的性質進行化簡，理解最簡二次根式并正確求解是關鍵.

18.計算：

(1)A/27—+5/3

【答案】(1)1叵

3

(2)276

【分析】本題考查了二次根式的混合運算.

（1）先化簡各二次根式，然后再進行合并即可;

（2）先計算二次根式的乘法和除法，再算加法即可.

【詳解】（1）解：V27-

(2)解：義下1+[+J24―+2A/^—.

V2

19.已知^/^TT是最簡二次根式，且與Jl■可以合并.

⑴求X的值；

⑵求six+1與j|的乘積.

【答案】⑴9；

(2)5.

【分析】（1）根據最簡根式和同類二次根式的定義可得x+（D=?，解方程即可得到答案;

（2）根據（1）所求利用二次根式的乘法計算法則求解即可.

【詳解】（D解：,W是最簡二次根式’且與J：-；而可以合并'

???x+l=10,

解得x=9；

(2)解：當x=9時，y/x+1x^|=V9+1x=^10xI=5.

【點睛】本題主要考查了最簡二次根式和同類二次根式的定義，二次根式的乘法等等，熟知二次根式的相

關知識是解題的關鍵.

20.已知a=J7+2,b=幣-2,求下列各式的值.

(I)a2—2ab+b2-

⑵J—

【答案】⑴16

⑵8萬

【分析】(1)直接利用已知得出a+b,a-6的值，進而結合完全平方公式計算得出答案；

(2)結合平方差公式計算得出答案.

【詳解】(1)解：a=5/7+2,b=A/7—2,

，。+8=近+2+近-2=2"

"6=(近+2卜(近_2)=4,

a2-2ab+b2=(a-6y=42=16；

(2)a2-b2={a+b)[a-b)=2>/7x4=8A/7.

【點睛】本題考查二次根式的化簡求值，完全平方公式，平方差公式，求代數式的值，運用了整體代入的

思想.正確運用乘法公式進行因式分解是解題關鍵.

四、(本大題共3小題，每小題8分，共24分)

21.定義：若兩個二次根式a,b滿足a-6=c,且c是有理數，則稱。與6是關于。的共軌二次根式.

(1)若。與0是關于4的共輾二次根式，求。的值；

(2)若2+有與4+6根是關于2的共軌二次根式，求機的值.

【答案】⑴2&

⑵-2

【分析】(1)根據共軌二次根式的定義建立等式，即可得到答案；

(2)根據共朝二次根式的定義建立等式，即可得到答案.

【詳解】(1);a與0是關于4的共輾二次根式，

\/2a=4?

(2)：2+/與4+且機是關于2的共軌二次根式,

.?.(2+@.(4+鬲)=2.

r22(2一百)

4+v3m=『=7-----------K=4-2V3.

2+V3(2+A/3)(2-A/3)

??in——2.

【點睛】此題主要考查了新定義共輾二次根式的理解和應用，并會利用二次根式的性質進行計算.

22.若x<3,化簡&-6x+9+|x-3|,某同學的解答過程如下圖.

解：原式=』(x-3)2+|x-3|第一步

=x—3+3—x第二步

=2第三步

(1)該同學的解答從第步開始出現錯誤，錯誤的原因是用錯了性質：當。20時，病=

當。<0時，而=

(2)寫出原題正確的解答過程；

(3)若實數a,》在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡：后-后+/a+b『.

ab

1I.I111

-3-2-1012345

【答案】(1)二，a,-a

(2)見解析

⑶。

【分析】(1)根據二次根式的性質即可求解；

(2)根據二次根式的性質，絕對值的性質即可求解；

(3)根據數軸的特點判定a,6的符號、大小，再結合二次根式的性質化簡即可求解.

【詳解】(1)解：該同學的解答從第二步開始出現錯誤，

二次根式的性質為=M

故答案為：二，a,-a.

(2)解：Vx<3,

A/X2—6x+9+|x—3|=J(x-3)2+|x—3|=3-x+3-x=6-2x.

(3)解：由數軸可得，-2<a<-l,2<b<3,a+/?>0,

d人—y/b2++/?)=—a—b+a+b=0.

【點睛】本題主要考查二次根式的性質化簡，掌握"二卜=【"'""'是解題的關鍵.

[-a,a<0

23.觀察下列等式：

第一個等式：a+1=13+20；

第二個等式：6+&=，5+2?；

第三個等式：2+石=，7+40；

根據上述規(guī)律解決下列問題：

(1)寫出第四個等式：；

(2)寫出你猜想的第"個等式(用含"的式子表示)，并給出證明.

【答案】(1)不+2=小9+4有

⑵-Jn+l+G—也、+1+2/〃2+；，證明見解析

【分析】(1)由前三個等式得出規(guī)律，即可得出結果；

(2)由規(guī)律得出答案，再驗證即可.

【詳解】(1)解：由題意可得：第四個等式為：1+2=,9+46,

故答案為：石+2=,9+4&'；

(2)猜想的第咒個等式為：yjn+1+Jn=+1+2Vn2+n，

驗證：&n+l+2而不

=yjn+1+yjn

所寫等式正確.

【點睛】本題主要考查數式的變化規(guī)律，二次根式的化簡，歸納推理等知識，根據題意得出規(guī)律是解決問

題的關鍵.

五、(本大題共2小題，每小題12分，共24分)

24.像，旃二B……這樣的根式叫做復合二次根式.有一些復合二次根式可以借助構造兩數

和(差)的平方公式進行化簡：

如：“一24=13一2百+1=“國一2x君+1=’(6力=73-1；

再如：45+2屈=，3+2?+2=J(可+2+n+(何=?布+用=昌0.

請用上述方法探索并解決下列問題：

(1)請你嘗試化簡：,7+4百；

(2)若〃2+=+,且。，6,切均為正整數，則的值為.

【答案】⑴G+2

(2)6或9

【分析】本題考查二次根式的化簡，將二次根式的被開方數變?yōu)橥耆椒绞绞乔蠼獗绢}的關鍵.

(1)將被開方數寫成完全平方式，再化簡；

(2)變形已知等式得〃?+4&=/+20出7+262，建立。，6,加的方程組求解.

【詳解】(1)解：小+4#)

=73+2x2^4-4

=+2x2百+2?

=A/3+2；

(2)Vm+4V2=(a+,

即：m+442=a1+2y[2ab+2b2，

.J/+2b2=m

9\ab=2,

'.F,b,加均為正整數,

\a=\

.,.當c時，〃?=/+2/=12+2*22=9；

[b=2

[a=2

當｛,，時，m=a2+2b2=22+2x]2=6;

[b=l

故答案為：6或9.

25.觀察下列計算：-^—=-廠-=^2-1

V2+1(V2+1)(72-1)

1=