人教版高一年級上冊數(shù)學期末模擬測試卷B卷（含解析）

高一上學期數(shù)學人教B版(2019)期末模擬測試卷B卷

【滿分：150分】

一、選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.設集合力={小2-8X+15=0},集合8=5麻-1=0},若8口/,則實數(shù)。取值集合的真子

集的個數(shù)為()

A.2B.3C.7D.8

2.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0,+8)上單調遞增，若關于x的不等式

/(力43國的解集為(-叫-2”[2,+動，則不等式/(X)〉；/的解集為()

A.(-℃,-2)U(2,+co)B.(-2,2)

C.(—co,—4)U(4,+CO)D.(-4,4)

(心、

3.已知函數(shù)/(x)=。-2a-x)—,若/(x)W0恒成立，則仍的最大值為()

IJ

1111

A.——B.——C.-D.-

2442

log2(x+l),-l<x<3

4.若函數(shù)/(x)=。.，在(-1,+◎上單調遞增，則。的取值范圍是()

x~\—,x〉3

A.[-3,9]B,[-3,+CO)C.[0,9]D.(-嗎9]

5.已知函數(shù)/(X)的定義域為R,對任意的王，々且再。X2,都有"(西)-/(》2)](m-馬)〉0成

立.若/(x2-3x+a)〉/(x-2/_6a)對任意xeR恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

D.

2

6.“幸福指數(shù)”是某人對自己目前生活狀態(tài)滿意程度的自我評價指標，常用區(qū)間[0,10]內的一

個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意程度越高.現(xiàn)隨機抽取10位市民，他們的幸福感指數(shù)分

別為5,6,7,8,7,9,4,5,8,9,則下列說法錯誤的是()

A.該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7B.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7.5

C.該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為7.5D.該組數(shù)據(jù)的極差為5

7.口袋中有2個紅球和2個白球(形狀和大小完全相同)，從中隨機不放回地依次摸出2個球，

設事件”第1次摸出的是紅球"，B=”第2次摸出的是紅球"，C=”摸出的兩個球均為

紅球"，D=”摸出的兩個球顏色不同”則下列說法正確的是()

A.A與B互斥

B.C與D互為對立

C.BjC

D.A與D相互獨立

8.已知awO,(a+Z))2021+a2021+2a+b=0,則°=()

a

1

A.-2B.-lC.——D.2

2

二、選擇題：本題共3小題.每小題6分.共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全

部選對的得6分.部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.若非空實數(shù)集河滿足任意x/eM,者B有x+yeM,x-y^M,則稱/為“優(yōu)集”.已知Z,B

是優(yōu)集，則下列命題中正確的是()

ANAB是優(yōu)集B.ZU8是優(yōu)集

C.若ZU8是優(yōu)集，則2口8或5口幺D.若ZU8是優(yōu)集，則是優(yōu)集

10.已知函數(shù)/(x)是定義域為R的偶函數(shù)，滿足/(2+x)=/(2-x),當0WxW2時，

f(x)=x2-x,則()

Aj(x)的最小值是-最大值是2Bj(x)的周期為4

4

2027

C.7(2025)=2D.2/(0=1014

1=1

11.已知事，%,…，%,%為1，2,5,6的任意排列，設

X=min^max(x1,x2,x3},max(x4,x5,x6)1,Y=max|min(x1,x2,x3},min(x4,x5,x6)j)

A.任意交換X],馬，%的順序，不影響X的取值

B.滿足的＜X2＜%及％＜毛＜%的排列有20個

C.X=4的概率為(

9

D.x〉y的概率為正

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.某中學高一、高二、高三的學生人數(shù)比例為4:3:3,假設該中學高一、高二、高三的學生閱讀完

《紅樓夢》的概率分別為0.2,0.25,M0(夕＜1)，若從該中學三個年級的學生中隨機選取1

名學生，則這名學生閱讀完《紅樓夢》的概率不大于0.233,已知該中學高三的學生閱讀完《紅

樓夢》的概率不低于高一的學生閱讀完《紅樓夢》的概率，則夕的取值范圍是.

13.已知函數(shù)/(x)=N—1卜/一米(xeR),若恒成立，則實數(shù)左的取值范圍為

14.已知不等式少4，-2，+2〉0對于xe(-嗎0卜恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或者演算步驟.

15.(13分)若函數(shù)/(x)和g(x)的圖象均連續(xù)不斷./(x)和g(x)均在任意的區(qū)間上不恒為0,

/(X)的定義域為小g(x)的定義域為右，存在非空區(qū)間/c(/1n/2)，滿足Vxe/,

/(x)g(x)40則稱區(qū)間/為/(x)和g(x)的“C區(qū)間”.

⑴寫出/(x)=hx和g(x)=2=4在(0,+⑹上的一個“C區(qū)間”(無需證明)；

⑵若/(x)=2-a，g{x}=xi+ax+b,[0,5]是/(x)和g(x)的，“C區(qū)間”，求a的取值

范圍.

2

16.(15分)已知函數(shù)/(x)="5ru，xeR的圖像關于點(0/)中心對稱.

(1)求實數(shù)。的值：

(2)探究/(x)的單調性，并證明你的結論；

(3)解關于x的不等式/(4*)+/(2-3x2”)〉2.

17.(15分)某地區(qū)有小學生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局組織網(wǎng)絡“防

溺水”網(wǎng)絡知識問答，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取220名學生，對其成績進行統(tǒng)計解題思路，

得到如下圖所示的頻率分布直方圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

0.03

0.025

0.015...................

0.01--I—

0.005-.....—-------------1

?！?0506070809016（）成磊/分

⑴根據(jù)頻率分布直方圖，估計該地區(qū)所有學生中知識問答成績的平均數(shù)和眾數(shù)；

⑵成績位列前10%的學生平臺會生成，防溺水達人”優(yōu)秀證書，試估計獲得'防溺水達人”的成績

至少為多少分；

（3）已知落在［60,70）內的平均成績?yōu)?7,方差是9,落在［60,80）內的平均成績是73,方差是

29,求落在［70,80）內的平均成績和方差.

（附：設兩組數(shù)據(jù)的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：m,1,s：；〃，兀，s；.記兩組

數(shù)據(jù)總體的樣本平均數(shù)為高，則總體樣本方差$2=—慢一上+伍―可］+/_卜+伉一可］）

18.（17分）為踐行“綠水青山，就是金山銀山”的理念，我省決定凈化某條河上游水域的水質.

省環(huán)保局于2022年年底在該河上游水域投入一些蒲草，這些蒲草在水中的蔓延速度越來越快,

2023年2月底測得蒲草覆蓋面積為36m2,2023年3月底測得蒲草覆蓋面積為48m2,蒲草覆

蓋面積y（單位：m2）與月份x（單位：月）的關系有兩個函數(shù)模型＞=左優(yōu)（左＞0,。＞1）

與y=mx2+n（m〉0）可供選擇.

（1）分別求出兩個函數(shù)模型的解析式；

（2）若2022年年底測得蒲草覆蓋面積為20m2,從上述兩個函數(shù)模型中選擇更合適的一個模

型，說明理由，并估算至少到哪一年的幾月底蒲草覆蓋面積能達到810m2?（參考數(shù)據(jù)：

lg2?0.30,1g3Mo.48）.

19.（17分）多項選擇題是標準化考試中常見題型，從Z,B,C,。四個選項中選出所有正確

的答案（四個選項中至少有兩個選項是正確的），其評分標準為全部選對的得5分，部分選對

的得2分，有選錯的得0分.

（1）甲同學有一道多項選擇題不會做，他隨機選擇至少兩個選項，求他猜對本題得5分的概率;

(2)現(xiàn)有2道多項選擇題，根據(jù)訓練經驗，每道題乙同學得5分的概率為g,得2分的概率為

7；丙同學得5分的概率為得2分的概率為!.乙、丙二人答題互不影響，且兩題答對與

462

否也互不影響，求這2道多項選擇題乙比丙總分剛好多得5分的概率.

答案以及解析

1.答案：C

解析：由Y—8X+15=0,得(X-3)(x-5)=0,解得x=3或x=5,所以/={3,5}.

當。=0時，B=0,滿足80幺；當時，5=因為所以1=3或1=5,解

Jaa

得a=g或a=g綜上，實數(shù)口取值的集合為卜,5；},所以實數(shù)a取值集合的真子集的個數(shù)為

23—1=7,故選C.

2.答案：B

解析：令g(x)=3|x|為偶函數(shù)，且在(0,+⑹上遞增，g(2)=6,結合題設知/(2)=6,在

(-co,-2)U(2,+00)±g(x)>/(%),在(-2,2)上g(x)</(x),令/Z(X)=QX2為偶函數(shù)，且在(0,+co)

上遞增，〃(2)=g(2)=/(2)=6,若…⑴―8(》)=小2―3田=3|》吟—1),在

(—叫—2)U(2,+s)上y〉0,則有〃(x)〉g(x)〉/(x),在(—2,2)上”0,則有

人(X)<g(x)<fix),

綜上，結合題設/(X)的性質，不等式/(力〉；/的解集為(—2,2).故選：B

3.答案：C

解析：由l—2a—x=0,解得x=l—2a,令=解得x="|,當1—2a〉|?時，—2a；

貝也―2a—x>0,e只—1〉0，不符合題意；當1—2a<g時，xe^l-2a,|^,貝也―2a—x<0,

廣￡1<0,不符合題意；所以1-2a=g,即6=2-4a,貝U

,小，、/1Y11

ab=a\2-4a)-—I+—<—,

當。=!，6=1時等號成立，成的最大值為:故選：C.

44

4.答案：A

解柝當-1<X<3時，y=log2(x+l)單調遞增且值域為(-吟2],而/(X)在(-1,+8)上單調遞增，

則〉=X+0在(3,+8)上單調遞增，>3+->2^?>-3,當一3Wa<0時，>q在(3,+s)

x3x

上單調遞增，滿足題設；當。>0時，y=x+3在(?,+00)上單調遞增，此時只需右W3,即

X

0<a<9；

綜上，—3<。<9.故選：A

5.答案：C

解析：不妨設石<々，又"&)—/(%)](石—馬)〉。，所以/(xj—/(%)<0，即

/(x1)</(x2),所以“X)在R上單調遞增，所以/卜2一3%+4〉/卜-2/一6耳對任意工€11

恒成立，即％?-3X+Q>x-2a2-6a,即x2-4x+2/+7a〉0對任意xeR恒成立，所以

A=(-4)2-4(2a2+7?)<0,解得a<—4或a〉；，所以實數(shù)a的取值范圍是

故選：C.

6.答案：B

解析：首先對10位市民的幸福感指數(shù)按從小到大的順序進行排序：4,5,5,6,7,7,8,8,

9,9,

該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為第五個和第六個數(shù)據(jù)的平均值7,因此A說法正確；

該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4+5+5+6+7[；7+8+8+9+9=6.8,因此B說法不正確；

7IQ

又10x60%=6,因此該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為亍=7.5,因此C說法正確；

又該組數(shù)據(jù)最大為9,最小為4,因此極差為9-4=5,因此D說法正確；故選：B.

7.答案：D

解析：令2個紅球和2個白球分別為氏1,氏2,沙1,少2從中隨機不放回地依次摸出2個球有：

(RI,R2),(R1,FF1),(7?1,W2),(R2,R1),(R2,W1),(R2,W2),(W1,R2),(W\,W2),

(W2,R1),(W2,R2),(W2,WI),共12種，

事件/對應事件為(M,R2),(R1,孫),(M"2),(R2,M),(R2,町),(7?2尸2),有6種,

事件B對應事件為(7?1,7?2),(7?2,21),(叫,及1),(叫,7?2),(力2,7?1),(印2,7?2),有6種,

事件。對應事件為(M,H2),(&2,R1),有2種，

事件。對應事件為(M,Wl),(RI,W2),(R2,叫),(R2,R1),(W1,R2),(W2,R1),(印件R2),有

12

8種，綜上，Z與8不互斥，C與?；コ獾粚α?，CjB,且尸(/)=5，P(。)=§,

事件/。對應事件為(R1"1),(R1"2),(R2"1),(R2"2),有4種故尸(2。)=；,所以

P(Z)P(Q)=尸(ZD)故A、B、C錯,D對故選：D

8.答案：A

解析：設2=左，則6="，所以由(。+6)2021+。2必+2。+6=0,得

a

(a+ak)2021+a1021+2a+ak=Q,BPa2021[(k+1)2021+1]+a(2+^)=0,亦即

/。2。[(左+1)2以+1]+(2+左)=0.當(左+1)2。21+1=0且2+左=0,即左=—2時，等式顯然成立.當

(左+1嚴】+170時，則有片°2°=_(左於I+].因為aW0,所以片。2。=一(k+：2+]〉0.當

2+左<0時，有(左+1)2021+1>0,即(左+1)2021>(-1)2。21因為函數(shù)y=X2021是實數(shù)集上的增函數(shù),

所以由(左+1)M〉(—1)202、得左+1>—1,則左+2>0.這與2+比<0矛盾,所以(左+1)2°21+1>0

不成立.當2+左>0時,有(左+1產+1<0,即(左+1產<(—1)2管因為函數(shù)尸媳21是實數(shù)集上

的增函數(shù)，所以由(左+1)皿<(-1)2。21得上+1<—1,則左+2<0,這與2+Q0矛盾，所以

(k+1)2021+1<0不成立.綜上可知，左=-2.故選A.

9.答案：ACD

解析：對于A中，任取xeZn^,,因為集合Z,8是優(yōu)集，則x+yeN,

x+yeB,貝lJx+yeZn8,x-yeA,x-yeB,則x—yeZnB,所以A正確；

對于B中，取Z={x|x=2k,k&ZJ},B={x\x=3m,機eZ},則ZU8={x|x=2左或x=3k,k&Z},

令x=3,y=2,則x+y=5gNU5,所以B不正確；

對于C中，任取xe/,y&B,可得xjeNUB,因為NllB是優(yōu)集，則x+ye/U8,

x-y&A\jB,若x+ye5,則x=(x+.v)—ye8,止匕時AjB；若x+yeN,則

y=(x+y)-x&A,止匕時8口幺，所以C正確；

對于D中，ZU8是優(yōu)集，可得ZqB,則Zn5=Z為優(yōu)集；或則Zn8=3為優(yōu)集,

所以zn5是優(yōu)集，所以D正確.故選：ACD.

10.答案：ABD

解柝由于/(2+x)=/(2-x),所以/(x)的圖象關于直線x=2對稱，由于/(x)是定義在R上

的偶函數(shù)，所以/(x)的圖象關于y軸對稱，所以/(x)是周期為4的周期函數(shù)，故B正確.當

0<x<2Ht,/(x)=/-x的圖象開口向上，對稱軸為直線x=；,/(0)=0,/(2)=2,

/(￡]=-：，所以此時〃X)max=/(2)=2,AX).=/[]=-；,根據(jù)/⑴的周期性、圖象

的對稱性可知，/(X)的最小值是-最大值是2,故A正確.

4

/(2025)=/(506x4+1)=/(I)=I2-1=0,故C錯誤.因為/⑴=0,/(2)=2,

/(3)=/(-1)=/(1)=0,/(4)=/(0)=0,所以〃1)+/(2)+/(3)+/(4)=2,所以

國

￡/(0=2—02—4><2+/(1)+/(2)+/(3)=1012+0+2+0=1014,故D正確.故選ABD.

z=i4

11.答案：ABD

解析：對于A,注意到當占，x2,占被確定后，%，/，4的取值也被固定，因此滿足條件

的條件組數(shù)即滿足條件的為，馬，退的組數(shù)，即從1，2,…，5,6中任選3個數(shù)的數(shù)目，即

C：=20.注意到任意交換再，x21%的順序，不影響x，y的取值，任意交換?，不，%的順

序，不影響x,y的取值，A正確，B正確；因此不妨設再<工2<遍及甚</<X6.

注意到，整體交換占,馬,七和工4，毛，也不影響X，y的取值，因此不妨設再<》4,即y=》4，

X=min{x3,x6},將滿足以上條件的排列列舉如下：

再，入2，%,%,招，X5，

XYXy,"^29"^3XY

%3%6%6

1234563413524652

1243564313624552

1253465314523652

1263455314623552

1342564215623442

193

總情況數(shù)共io種，除第一種外均滿足x〉y.因此尸（x〉y）=i-m，p（x=4）=—

12.答案：@2,0.26］

解析：若從該中學三個年級的學生中隨機選取1名學生，則這名學生閱讀完《紅樓夢》的概率

433

為0.2x---------+0.25x----------+px----------=0.155+0.3^<0.233,解得p<0.26.因為該中學

4+3+34+3+34+3+3

高三的學生閱讀完《紅樓夢》的概率不低于高一的學生閱讀完《紅樓夢》的概率，所以

PN0.2.故p的取值范圍是［020.26］.

13.答案：［-1』

解析：由題意得/（"J：，或xW1,當xzi時，由/（x）=212—日―1?0恒成立,

得左W2x-L因為y=2x-工在［1,+co）上單調遞增，所以2x-工21,解得左W1；當xW-1時，

XXX

由/（力=2》2_丘_1之0恒成立，得左32x-L因為歹=2x-工在上單調遞增，所以

XX

1/\［/（-1）>0%+120

2x-<-l,解得左2—1；當—1<X<1時,由/x?0恒成立，得二，八,即,八八，

所以-1W左WL綜上，實數(shù)上的取值范圍是［-U］.故答案為：

14.答案：（-1,+刃）

解析：不等式。⑷-2。2〉0對于8⑼恒成立，即不等式“2。2-2工+2〉0對于

xe（-8期恒成立,令/=2工，則徐（0』，所以不等式m2T+2>0對于/（0內恒成立,

所以a〉/=-2：］+；對于J（0』恒成立，令機=；,則加e［l,+co）,函數(shù)

y=-2m2+m=-2f?-在［1,+°°）上單調遞減，所以（-2毋+加）=一］，即

-2弓]+；=T，所以。>-l，即實數(shù)。的取值范圍是(T，+s).故答案為：(T+s

-」max

15.答案：⑴[1,2](答案不唯一，是[1,2]的子集即可)

(2)(-<?,-6]

解析：⑴令/(x)=lnx>0,解得x>l,

故當x>l時，/(%)>0,當x=l時，/(%)=0,當0<x<l時，/(x)<0；

令g(x)=2-4>0,解得x>2,

故當x>2時，g(x)>0,當x=2時，g(x)=0,當0<x<2時，g(x)<0；

若/(x)g(x)W0,解得l4x<2,

故/(》應(040的解集為8=[1,2],

不妨取Z=[l,2],則2口8符合題意，

故/(x)=Iwc和g(x)=2*-4在(0,+oo)上的一個Q區(qū)間”為[1,2]；

3

(2)對/(%)=2、—2一”—2,當0?再</<5時，則0<2西<2*2,

可得二BP?

2項2*22陽Y1

1313

故2』--巳<2'2----

2列22

.??/⑺=2工—2-工一：在［0,5］上單調遞增，</(1)=2-2-1-1=0,

故當xw［0,1)時，/(x)<0,當x=l時，則/(x)=0,當xe(l,5］時，/(x)>0,

由題意可得：當xe[0,1)時，g(x)>0,當xe(l,5]時，g(x)<0,

g(l)=\+a+b=0

注意到g(x)=Y+ax+Z>開口向上，由二次函數(shù)性質可得,g⑼=此0

g(5)=25+5<7+6<0

-?-1>0

由"-"1消去6可得解得。工一6,

25+5。一。一1V0

故a的取值范圍為(-

16.答案：（1）a=2

（2）增函數(shù)，證明見解析

（3）（-oo,0）U（l,+co）

2

解析：（1）因為函數(shù)/（司=。-瓦力，xeR的圖像關于點（0』）中心對稱,

所以該函數(shù)向下平行一個單位，得到的函數(shù)的圖像關于點（0,0）中心對稱，

即函數(shù)g（x）="Fq-1的圖像關于點（0,0）中心對稱，

2

因此函數(shù)g（x）=a-彳q-l是奇函數(shù)，

2?

于是有g@="幣T=0na=2,即g（x）=l-^口，

rm/\/\222x2X+2八

因為g（-x）+g（x）=l-Ky+1-獷1=2--—=0,

所以g（x）=l-fq是奇函數(shù)，因此a=2符合題意；

2

（2）因為a=2,所以/（x）=2—^p

設X],馬是任意兩個實數(shù)，且西＜》2，

/㈤一〃4）=2—2&+,2+2工2+]=口/+1）（2為+1），

因為西＜%,所以2』＜2%，因此/（匹）—/（》2）＜0=/（匹）＜/（12），

2

所以函數(shù)/（X）=2-亍節(jié)是增函數(shù)；

2

（3）因為函數(shù)/（x）=。-亍有，xeR的圖像關于點（0』）中心對稱，

所以/（x）+/（—x）=2,BP/（-X）=2-/（X）,

所以由/（4，）+/（2—3義2工）〉2=/（4'）〉2—/（2—3x2"）=/[—（2—3x2'）],

因為函數(shù)/（X）=2-5節(jié)是增函數(shù)，

所以平〉一（2—3x2"）n（2'—l）（2X—2）〉0n2，〉2,或2，＜1，

解得x＞1,或x＜0,

因此原不等式的解集為（-8,0）U（l,+8）.

17.答案：（1）平均數(shù)為71,眾數(shù)為75；

（2）88；

（3）平均數(shù)為76,方差為12.

解析：（1）一至六組的頻率分別為0.10,0.15,0.15,0.30,0.25,0.05,

平均數(shù)=45x0.10+55x0.15+65x0.15+75x0.30+85x0.25+95x0.05=71.由圖可知，眾數(shù)為

75.

以樣本估計總體，該地區(qū)所有學生中知識問答成績的平均數(shù)為71分，眾數(shù)為75分.

（2）前4組的頻率之和為0.10+0.15+0.15+0.30=0.70＜0.90,

前5組的頻率之和為0.70+0.25=0.95＞0,90,

第90%分位數(shù)落在第5組，設為x,貝IJ0.70+（x-80）x0.025=0.90,解得x=88.

“防溺水達人”的成績至少為88分.

（3）[60,70）的頻率為0.15,[70,80）的頻率為0.30,

所以[60,70）的頻率與[60,80）的頻率之比為:,[70,80）的頻率與[60,80）的頻率之

比為一—=-

0.15+0.303

設[70,80）內的平均成績和方差分別為兀，只，

12——

依題意有73=§x67+§xx