三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)-2025年高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第03講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

（6類核心考點精講精練）

IN.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2024年新I卷，第7題,5分正弦函數(shù)圖象的應(yīng)用圖象交點問題

函數(shù)奇偶性的定義與判斷

求余弦（型）函數(shù)的奇偶性

2024年新II卷，第6題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

余弦（型）函數(shù)的圖象及應(yīng)用

根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍

求含sinx（型）函數(shù)的值域和最值

2024年新II卷，第9題,6分求正弦（型）函數(shù)的對稱軸及對稱中心求函數(shù)零點及方程根的個數(shù)

求正弦（型）函數(shù)的最小正周期

2023年新I卷，第15題,5分余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍

正弦定理解三角形

2023年新I卷，第17題,12分用和、差角的正弦公式化簡、求值

三角形面積公式及其應(yīng)用

由正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)確定圖象

2022年新I卷，第6題,5分無

（解析式）

求正弦（型）函數(shù)的對稱軸及對稱中心

求在曲線上一點處的切線方程

2022年新II卷，第9題,5分利用正弦函數(shù)的對稱性求參數(shù)

（斜率）

求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性

2021年新I卷，第4題,5分求situ型三角函數(shù)的單調(diào)性無

2020年新I卷，第10題,5分由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式無

2020年新n卷,第11題,5分由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式無

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低或中等，分值為5-11分

【備考策略】1能用五點作圖法作出正弦、余弦和正切函數(shù)圖象，并掌握圖象及性質(zhì)

2能用五點作圖法作出正弦型、余弦型和正切型函數(shù)圖象，并掌握圖象及性質(zhì)

3理解y=Zsin（a）x+°）+力中/、①、（p、/z的意義，理解2、/、力的變化對圖象的影

響，并能求出參數(shù)及函數(shù)解析式

1

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會綜合考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，需加

強(qiáng)復(fù)習(xí)備考

I商?考點梳理?

知識點1三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

/核心知識點|知識點2三角函數(shù)型函數(shù)的圖矗性質(zhì)

/Y/考點1正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)

角函數(shù)的圖象與性質(zhì)產(chǎn)考點2余弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)

----------------------------------/考點3正切型函數(shù)的圖象與性質(zhì)

核心考點考點4求三角函數(shù)的解析式及函數(shù)值

考點5由三角函數(shù)的圖象求參數(shù)值

考點6三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

知識講解

1.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

y-sinxy=cosxy-tanx

b

yy

圖廠門\挈y*74

象00n(\

定

7711r

義〈XX。k7l-\——，左€Z>

RR[2J

域

值

[-M][-M]R

域

77

當(dāng)x=2k/c+—時，

2當(dāng)x=2k兀時，

最

Jmax=1；當(dāng)X=2左萬+萬既無最大值也無最小值

值Jmax=1；當(dāng)X=2k兀一%

時，Nmin=-L

時，/n=T-

周

期2萬71

性

奇奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

2

偶

性

在2k7i~~,2k7i+—

_22_在\2kjr-肛2左"］上是增函

/X

單.[,n,n\

在kjt，左TTH

上是增函數(shù)；數(shù)；122)

調(diào)

c771237r在［2k兀,2k兀+乃］上是減函

性在2k兀+~H—Q-上是增函數(shù).

數(shù).

上是減函數(shù).

對對稱中心（左肛0）對稱中心［版■+T，o］

對稱中心9

稱

對稱軸X—kjiH—

性2對稱軸x-kn無對稱軸

2.三角函數(shù)型函數(shù)的圖象和性質(zhì)

（1）正弦型函數(shù)、余弦型函數(shù)性質(zhì)

y=Asin（oir+（p）+h,y=Acos（＜wc+（p）+h

Z振幅，決定函數(shù)的值域，值域為［-42］

。決定函數(shù)的周期，T=B

網(wǎng)

0X+Q叫做相位，其中°叫做初相

（2）正切型函數(shù)性質(zhì)

7F

y=Ztan（ox+/）+/z的周期公式為：T

同

（3）會用五代作圖法及整體代換思想解決三角函數(shù)型函數(shù)的圖象及性質(zhì)

考點一、正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)

典例引領(lǐng)

1.（2024?上海?高考真題）下列函數(shù)/（x）的最小正周期是2兀的是（）

A.sinx+co&xB.sinxcosx

C廠.si?n2x+cos2xDc.sm?2x-cos2x

【答案】A

【分析】根據(jù)輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】對A,sinx+cosx=V2sin|x+周期7=2兀，故A正確；

3

]9IT

對B,sinxcosx=—sin2x,周期7=5=兀，故B錯誤;

22

對于選項C,si/x+cos?無=1,是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯誤;

27r

對于選項D,sin2x-cos2x=-cos2x,周期丁=彳=兀，故D錯誤,

故選：A.

2.(2024?全國?高考真題)函數(shù)〃x)=sinx-VJcosx在［0,兀］上的最大值是

【答案】2

【分析】結(jié)合輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)，再求給定區(qū)間最值即可.

71兀2兀

【詳解】/(x)=sinx一百cosx=2sinx,當(dāng)XE[0,兀]時，X——G

當(dāng)Y=時，即x/時，仆)皿*=2.

故答案為：2

3.(2021?全國?高考真題)下列區(qū)間中，函數(shù)/(x)=7sin單調(diào)遞增的區(qū)間是()

713〃

A.B.2^C.71FD.

【答案】A

【分析】解不等式24萬-5＜》十＜2左乃+^ReZ),利用賦值法可得出結(jié)論.

晟,后》+卜EZ),

【詳解】因為函數(shù)歹=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為2版■-21

兀

對于函數(shù)/(%)=7sin%--,由2左萬---<x-----<2左〃H—(kE.Z),

262

427r

解得2左乃一§<X<2左乃+—eZ),

712"

取無=0,可得函數(shù)/(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為

則吟卜7C2萬

,A選項滿足條件，B不滿足條件;

5乃8冗

取左=1,可得函數(shù)/(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為T5T

3c7124且若5萬8〃/2小5萬8〃

選項均不滿足條件.

PTcZT'T,CD

故選：A.

【點睛】方法點睛：求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成了=/sin(ox+0)形式，再求

y=/sin(ox+9)的單調(diào)區(qū)間，只需把s+。看作一個整體代入y=sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先

把?；癁檎龜?shù).

4

4.(2024?全國?高考真題)(多選)對于函數(shù)/(x)=sin2x和g(無)=sin(2x-；),下列說法中正確的有()

A./⑴與g(x)有相同的零點B.八＞)與g(x)有相同的最大值

C./⑴與gO)有相同的最小正周期D./⑴與g(幻的圖象有相同的對稱軸

【答案】BC

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點，最值，周期公式，對稱軸方程逐一分析每個選項即可.

【詳解】A選項，令〃x)=sin2x=0,解得x=包收eZ,即為了⑴零點，

2

令g(x)=sin(2x-0=0,解得x="+g#eZ,即為g(x)零點，

428

顯然/(x),g(x)零點不同，A選項錯誤；

B選項，顯然/(X)1mx=gC^Om以=1,B選項正確；

C選項，根據(jù)周期公式，/(x),g(x)的周期均為2三兀=兀，C選項正確；

jrTT

D選項，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)"X)的對稱軸滿足2關(guān)=e1+巴ox=J竺rir+巴Z,

224

g(x)的對稱軸滿足2尤-巴=瓶+囚0'=您+次,A:eZ,

4228

顯然〃x),g(x)圖像的對稱軸不同，D選項錯誤.

故選：BC

5.(2022?全國?高考真題)(多選)已知函數(shù)/(x)=sin(2x+e)(0＜"＜7r)的圖像關(guān)于點仁中心對稱，則

()

A."X)在區(qū)間單調(diào)遞減

B./⑴在區(qū)間1*，巖)有兩個極值點

77r

C.直線X是曲線y=〃x)的對稱軸

6

D.直線了="-尤是曲線y=的切線

2

【答案】AD

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷各選項，即可解出.

【詳解】由題意得：/^=sin^y+^=O,所以手+0=也，左eZ,

4兀

即夕=一一—+hr,A:GZ,

2兀(2兀

又0＜夕＜兀，所以后=2時，(P=—＞故/(x)=sin[2x+

5

對A,由正弦函數(shù)V=sin"圖象知y=/（尤）在0,二上是單調(diào)遞減;

對B,當(dāng)置|時，2x+^e[p^],由正弦函數(shù)y=sin"圖象知y=〃x）只有1個極值點，由

2x+?=?,解得x=",即x="為函數(shù)的唯一極值點；

Jz1212

對C,當(dāng)》=也時，2》+幺=3兀，/（—）=0,直線尤=&不是對稱軸；

6366

對D,由y'=2cos=T得:

兀

解得2%+胃2=三27r+2也或2工2+7個i=4m+2也水€2,

jr

從而得：X=而或％=§+伍左￡Z,

所以函數(shù)〉="X）在點處的切線斜率為左=y'L,=2cosy=-l,

切線方程為：y-=-（x-0）BP_y=-x-

故選：AD.

即時校（

1.（2021?全國?高考真題）函數(shù)/（x）=sin：+cos!■的最小正周期和最大值分別是（）

A.3兀和亞B.3兀和2C.6幾和aD.6兀和2

【答案】C

【分析】利用輔助角公式化簡/（x）,結(jié)合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和最大值.

【詳解】由題，/（x）=sin^+cos^=V2:y-sin^+^cosl=V2sinf^+^,所以/（x）的最小正周期為

JJ1乙D乙DJ\JIJ

T6〃

1，最大值為VL

3

故選：C.

2.（2024?天津?高考真題）已知函數(shù)〃M=$皿3（8+1（0>0）的最小正周期為兀.則〃尤）在的

I126」

最小值是（）

A.--B.--C.0D.-

222

【答案】A

6

71,,,

【分析】先由誘導(dǎo)公式化簡，結(jié)合周期公式求出。，得/(x)=-sin2x,再整體求出xe-時，2x的

6

范圍，結(jié)合正弦三角函數(shù)圖象特征即可求解.

(71A2冗2

【詳解】/(x)=sin3ox+—=sin(3ox+7i)=—sin3。%,由T=——=兀得0=—,

I3J3G3

BPf(x)=-sin2x,當(dāng)xw時，2xc,

|_126J|_63_

畫出/(%)=-sin2x圖象，如下圖,

由圖可知，/(x)=-sin2x在-展弓上遞減,

所以，當(dāng)％時，/(x).=—sin-=

6，\/min32

3.(2024?全國?高考真題)當(dāng)xi［0,2用時，曲線y=sinx與>=2sin的交點個數(shù)為()

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】畫出兩函數(shù)在［0,2兀］上的圖象，根據(jù)圖象即可求解

【詳解】因為函數(shù)歹=$山天的的最小正周期為？=2兀，

函數(shù)wZsinpx-2的最小正周期為7=與，

所以在xe［0,2兀］上函數(shù)y=2sin,/J有三個周期的圖象,

在坐標(biāo)系中結(jié)合五點法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示:

由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個交點.

故選：C

7

4.（2022?天津?高考真題）已知〃x）=gsin2x,關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法:

①/（x）的最小正周期為2兀；

②“X）在［-苦］上單調(diào)遞增；

③當(dāng)時，/（X）的取值范圍為-；

6344

④/（X）的圖象可由g（x）=Isin（2x的圖象向左平移弓個單位長度得到.

24o

以上四個說法中，正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及變換法則即可判斷各說法的真假.

【詳解】因為"x）=：sin2x,所以〃x）的最小正周期為7=?=兀，①不正確；

令t=2xe-封，而>=gsinf在一為上遞增，所以/⑴在［-2手上單調(diào)遞增，②正確；因為

t=2xe，sinte一弓/，所以/（x）e,③不正確；

由于g（x）=〈sin（2x+：）=:sin2G+M,所以/⑴的圖象可由g（x）=，in（2元+?）的圖象向右平移弓個單

24211a力24o

位長度得到，④不正確.

故選：A.

5.（202牛河北唐山二模）函數(shù)/（時出（2—）.苦）在陷上為單調(diào)遞增函數(shù)，則夕的取值范圍為（）

【答案】C

2兀,兀

----（p<—

3?

【分析】由》的取值范圍，求出2%-。，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性得到2,解得即可.

、兀

【詳解】由xw可得2X_Q￡—oj,

又時蕓，則9與-”?，且“X）在（0馬上為單調(diào)遞增函數(shù),

2636kJ

2兀,兀

---（p<—

解得/《夕

所以32,vg,

、兀62

一*一5

8

7T7T

即。的取值范圍為

62

故選：c

考點二、余弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)

典例引領(lǐng)

1.（2023天津?高考真題）己知函數(shù)y二八力的圖象關(guān)于直線x=2對稱，且/（可的一個周期為4,則/（司的

解析式可以是（）

.（71y）

A.sinlyXIB.coslIy"XI

C.smU—xJD.cosU-xJ

【答案】B

【分析】由題意分別考查函數(shù)的最小正周期和函數(shù)在x=2處的函數(shù)值，排除不合題意的選項即可確定滿足

題意的函數(shù)解析式.

【詳解】由函數(shù)的解析式考查函數(shù)的最小周期性：

27r27r

r=__=4T=――=4

A選項中￡,B選項中￡,

II

2乃2%

=—=8=—=8

C選項中生,D選項中7i_,

44

排除選項CD,

對于A選項，當(dāng)x=2時，函數(shù)值sin[^x2]=0,故（2,0）是函數(shù)的一個對稱中心，排除選項A,

對于B選項，當(dāng)x=2時，函數(shù)值cosl,xzjn-l,故x=2是函數(shù)的一條對稱軸，

故選：B.

2.（2022?北京?高考真題）已知函數(shù)/（x）=cos2x-sin2x,則（）

A./（x）在上單調(diào)遞減B./0）在上單調(diào)遞增

C."X）在（（）,?）上單調(diào)遞減D."X）在（5,卷]上單調(diào)遞增

【答案】C

【分析】化簡得出/（x）=cos2x,利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷可得出合適的選項.

【詳角牟】g]/（x）=cos2x-sin2x=cos2x.

9

對于A選項，當(dāng)-時，-萬<2x<-f,則/（尤）在上單調(diào)遞增，A錯；

263\207

對于B選項，當(dāng)時，q<2x4，則/（x）在上不單調(diào)，B錯；

對于C選項，當(dāng)0<x<g時，0<2x<g,則在。？|上單調(diào)遞減，C對；

對于D選項，當(dāng)?<x<修寸，|<2x<^,則〃x）在與旨上不單調(diào)，D錯.

故選：C.

3.（2024?全國?二模）已知函數(shù)?。?3t-2苫），xe-y,y,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間

為_____

2兀71

【答案】T，-6

【分析】利用整體代換法求出余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即可.

【詳解】由題意知,/W=C0S(-y-2x)=COS(2x-,

2兀兀57i

由2kli<2x---W2左兀+匹kGZ,得左兀+―Wx<kTt-\------,kGZ,

336

令k=-L,令無=0,則工

3636

即函數(shù)〃x）的單調(diào)遞減區(qū)間為［-芬,-勺.

36

故答案為：勺

3o

4.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/(%)=2cos12%+看

范圍為（）

5兀5715兀117127157157r

A.B.C.D.一，兀

V2,~6n12T'II12

【答案】A

【分析】借助余弦函數(shù)的單調(diào)性與值域的關(guān)系計算即可得.

【詳解】XW［0M］時，2x+—G—,2tz+—,

66666

由函數(shù)/(x)=2cos2x+在區(qū)間［0，。］上的值域為卜2,6］,

故函數(shù)y=cosx在區(qū)間g,2a+g上的值域為T,丁，

6622

jr117T

貝！］有2a+1Wn，

O~6~即女If*-

10

故選：A.

5.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測）（多選）己知函數(shù)/（X）=2COS21X-E］,貝?。荩ǎ?/p>

A./（X）最小正周期為2兀

B.尤=9是/（x）圖象的一條對稱軸

C.是/（X）圖象的一個對稱中心

D.“X）在'上單調(diào)

【答案】BC

【分析】利用二倍角公式化簡函數(shù)，根據(jù)？=畀求出最小正周期判斷A；利用余弦函數(shù)的對稱軸方程和對

稱中心可判斷BC；由余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.

【詳解】/（尤）=2cos②=cos12x-：j+l,

對于A：的最小正周期為三=兀，錯誤；

jrjr

對于B：令2x%-§=而化eZ）可得左=0,

所以＞=/（力的圖象關(guān)于直線x==對稱，正確；

6

對于C：令2x"一：=加+：（笈eZ）可得無=0,且

"L乙D乙\A乙J

所以y=的圖象關(guān)于點對稱，正確；

ITL.、t/兀兀、LLii/c兀1A5兀兀、

對于D：因為所以

由了=cosx在（_葛,0）上單調(diào)遞增，［0,巳］上單調(diào)遞減可知，

〃x）在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，錯誤；

故選：BC.

即時檢測

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）函數(shù)/'（x）=-3cos2x+弓的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

7兀7兀7Tr71.2兀7?

A.ku-----,kuH—.kGZJB.E+一,左兀H-----，左￡Z

3663

11

771.571

c.kTi--,kTt--，左cZD.KTl------------,ATIH---------k---eZ

12121212

【答案】D

【分析】整體法得到不等式，求出單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】/(x)=-3cos［2x+弓］,令2版W2x+￡W2版+71,左eZ,

7兀//75兀7?

/.左兀---WxVkit---，左￡Z,

1212

TT57r

故函數(shù)“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為kn-—,kTt+—，左eZ.

故選：D.

2.(2021?北京?高考真題)函數(shù)/(x)=cosx-cos2x是

A.奇函數(shù)，且最大值為2B.偶函數(shù)，且最大值為2

99

C.奇函數(shù)，且最大值為3D.偶函數(shù)，且最大值為3

88

【答案】D

【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可

判斷最大值.

【詳解】由題意，/(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=/(x),所以該函數(shù)為偶函數(shù)，

又/(x)=cosx-cos2x--2cos2x+cosx+1=-2lcosx-—I+—,

10

所以當(dāng)cosx=:時，/(X)取最大值g.

48

故選：D.

3.(2024?福建漳州?一模)已知函數(shù)〃x)=2cos3x+宗在上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的最大值為()

6

2兀4兀3兀

A.B.—CD.

T3-T~2

【答案】C

【分析】以3X+B為整體，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)分析求解.

6

?、An.I_I、rEtc兀?！ㄘ?/p>

【詳解】因為XG0,—,貝［］3'+二￡—,—+—,

66626

由題意可得$jr<￡/7+7^74兀，解得0<a5V7r?,即實數(shù)。的最大值為597r.

62633

故選：C.

4.(2024?浙江?模擬預(yù)測)(多選)已知函數(shù)/(x)=sin(2x+；j+2岳os21x+：］,則以下結(jié)論正確的為()

A.“X)的最小正周期為兀

12

B.〃x)圖象關(guān)于點

4兀3兀

C.〃x）在

T,T上單調(diào)遞減

D.將/(x)圖象向左平移1簽1JT個單位后，得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)

【答案】ABD

35兀

【分析】利用三角恒等變換公式化簡，由周期公式可判斷A；代入驗證可判斷B；取戶五可判斷函數(shù)圖

象關(guān)于％=三對稱，可判斷C;利用平移變換求出平移后的解析式，即可判斷D.

24

［詳解］/(x)=sin+；］+G+VJcos^2x+：］=2sin+V3

—2cos(2x+j+-y/s,

對于A,7=三=兀，A正確；

對于B,因為/［1^］=2cos［2x|^+t［+^=百，

所以點［碧,百］是函數(shù)/(X)的對稱中心，B正確；

對于C,因為等］=2cos(2x答+.］+6=-2+6,

I24JI2412)

所以函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于％=簽對稱，

又，所以/(x)在彳上不單倜，C錯陜；

11

對于D,將/卜)圖象向左平移魯7r個單位后，得

/=2cos?+樞=2cos疝+4-2cos2+6,

顯然為偶函數(shù)，D正確.

故選：ABD

考點三、正切型函數(shù)的圖象與性質(zhì)

典例引領(lǐng)

L(2024?上海?三模)函數(shù)7=tan(-x+今的最小正周期為______

6

13

【答案】兀

【分析】利用函數(shù)〉=1211（0工+9）的最小正周期計算公式即可求解.

【詳解】因為＞=tanx的最小正周期為兀，

所以函數(shù)了=12!1（0匹+夕）的最小正周期為^--

所以函數(shù)）=1&11（-工+￡）的最小正周期為一\=兀，

6|-1|

故答案為：兀.

2.（2024?安徽?三模）"夕=-：+feaeZ"是"函數(shù)y=tan（x+9）的圖象關(guān)于［,（）］對稱"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】若函數(shù)y=tan（x+°）的圖象關(guān)于（：,（））對稱，根據(jù)正切函數(shù)的對稱性可得夕=-：+［#eZ,再

根據(jù)充分、必要條件結(jié)合包含關(guān)系分析求解.

【詳解】若函數(shù)y=tan（x+e）的圖象關(guān)于［：,0卜寸稱，

EI兀左兀,r.7-,/口71左兀Jr

則:+9=77,左cZ，斛得9=—■［+

4242

因為［如夕=_：+E,左eZ,是［如夕=+的真子集，

所以"0=-：+也,丘2"是"函數(shù)了=1211（工+0）的圖象關(guān)于1,01寸稱"的充分不必要條件.

故選：A.

貝

3.（多選）若函數(shù)/（"=tan[2x—~j+3,5j()

A.的最小正周期為兀

B.7（x）的定義域為［x|xR|^+g,左eZ

C.〃x）在修上單調(diào)遞增

D.〃無）的圖象關(guān)于點信,01對稱

【答案】BC

兀

【分析】A選項，由T=E求出最小正周期；B選項，整體法得到（左eZ）,求出定義域；C

印|o2

選項，得到2喂《0,"得到〃x）在后髭上單調(diào)遞增;

D選項，整體法求解出函數(shù)的對稱中心.

14

/、__兀7T

【詳解】A選項，/(%)的最小正周期為7=同=萬，A錯誤；

B選項，由2x—工w4+左兀(左￡Z),得xw2+如(左wZ),B正確；

82162

C選項,由xe仔，號得2x-ge?,因為y=sinz在ze(0,f］上單調(diào)遞增,

［1616)814)I4J

所以〃x)在(我,［J上單調(diào)遞增，C正確；

D選項，由2*-火=@■(左eZ),得》=馬+如(左eZ),當(dāng)左=0時，x=—,

82'，164'’16

所以/(x)的圖象關(guān)于點心3>寸稱，D錯誤.

故選：BC

4.關(guān)于函數(shù)了=/(無)，其中/(x)=tank|+(anx|有下述四個結(jié)論：

①/(尤)是偶函數(shù)；②/(x)在區(qū)間(0，"上是嚴(yán)格增函數(shù)；

③〃x)在［-私兀］有3個零點；④的最小正周期為兀.

其中所有正確結(jié)論的編號是().

A.①②B.②④C,①④D.①③

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、零點、周期性定知識確定正確答案.

【詳解】〃x)=tan|x|+|tanx|的定義域為卜|XR左兀+會左ez1,

/(-X)=tan|-x|+|tan(-x)|=tan|x|+|tanx|=/(x),所以/(%)是偶函數(shù)，①正確.

當(dāng)0<x<5時，/(x)=tanx+tanx=2tanx是嚴(yán)格增函數(shù)，②正確.

當(dāng)'<%<兀時，/(x)=tanx-tanx=0,

所以/⑺在gj有無數(shù)個零點，則③錯誤.

/(-：］=tanf+tanf=2j［—}d=/(T=tan*tan^-th0,

所以兀不是〃x)的最小正周期，④錯誤.

綜上所述，正確的為①②.

故選：A

5.函數(shù)/(x)=tan(siiu：+cosx),則下列說法正確的是()

A.“X)的定義域為RB./(x)是奇函數(shù)

15

c./(X)是周期函數(shù)D.〃x)既有最大值又有最小值

【答案】ACD

【分析】利用奇函數(shù)和周期函數(shù)的定義可判斷BC的正誤，利用正切函數(shù)的定義域可得A的正誤，利用正切

函數(shù)的單調(diào)性可判斷D的正誤.

【詳解】對于A,sinx+cosx=V2sinx+-\^\-y[2,^l\,

因為所以對于任意實數(shù)x,“X)都有意義，所以A正確;

對于B,/(-x)=tan(-sinx+COSJC),不與/(x)恒等，所以B錯誤；

對于C,/(x+2n)=tan(sinx+cosx)=/(x),所以C正確；

對于D,sinx+cosx=拒sine[-V2,V2],尸tanx在卜亞，回單調(diào)遞增,

3兀

所以/(x)max=/,所以D正確.

故選：ACD.

即時檢測

1.(2024?湖北荊州?三模)函數(shù)/⑴一嶺+學(xué)的最小正周期為()

71兀

A.兀B.—C.—D.

23

【答案】B

【分析】根據(jù)條件，利用三角函數(shù)的周期公式，即可求出結(jié)果

故選：B

2.(2023?河南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=tan[2x+]],則下列說法正確的是()

IT77r

A./(x)為奇函數(shù)/(X)在區(qū)間泉段上單調(diào)遞增

C.〃x)圖象的一個對稱中心為[J,。]D.〃尤)的最小正周期為n

【答案】C

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義域、對稱中心、周期、單調(diào)性逐項判斷即可得解.

【詳解】因為/(x)=tan[2x+f],所以2x+gw船+],解得》吟+工，keZ

即函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，所以/(X)不是奇函數(shù)，故A錯誤；

16

當(dāng)x4時，2x+^=p此時無意義，故"X)在區(qū)間專偌上單調(diào)遞增不正確，故B錯誤；

當(dāng)苫=/?時，2x+^=|,正切函數(shù)無意義，故，1,0)為函數(shù)的一個對稱中心，故C正確；

JT7rTTJT(7T?TT

因為/(x+R=tan2(x+-)+--tan(2x+-+7t)=tan2x+-kf(x),故是函數(shù)的一個周期，故D錯誤.

故選：C

3.(多選)已知函數(shù)/(x)=tanl^x+1,貝!J()

A.〃x)的一個周期為2B.〃x)的定義域是+左，左eZ：

C.7(x)的圖象關(guān)于點對稱D.〃x)在區(qū)間[L2]上單調(diào)遞增

【答案】ACD

【分析】

利用正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)一一判定選項即可.

【詳解】對于A,由/(x)=tang+j|+l可知其最小正周期7=1=2,故A正確；

.丁、(7171|,717T711_

對于B,由/(x)=tan[5X+]J+l可知5、+]。5+左T兀nxw2tT火T￡Z,

故B錯誤；

對于C,由/(%)=tan[Vx+?]+l可知％=，=>4%+四