三角形（共24題）-2022年江蘇中考數(shù)學(xué)試題分項(xiàng)匯編（解析版）

2022年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（江蘇專(zhuān)用）

專(zhuān)題08三角形

一、單選題

1.（2022?江蘇淮安?中考真題）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是（）

A.3,3,6B.3,5,10C.4,6,9D.4,5,9

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷即可.

【詳解】A.v3+3=6,

長(zhǎng)度為3,3,6的三條線段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；

B,v3+5<10,

長(zhǎng)度為3,5,10的三條線段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；

C.v4+6>9,6—4<9,

???長(zhǎng)度為4,6,9的三條線段能組成三角形，本選項(xiàng)符合題意；

D.-.-4+5=9,

二長(zhǎng)度為4,5,9的三條線段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊、三角形的兩邊差小于第三邊

是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?江蘇淮安?中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC,ABAC的平分線交BC于點(diǎn)。，E為AC的中點(diǎn),

【答案】C

【分析】利用等腰三角形三線合一以及直角三角形斜邊上的中線進(jìn)行求解即可.

【詳解】--^8=AC=10,AD平分NBAC,

：.AD1BC,

.-.Z4DC=90°,

???E為4c的中點(diǎn),

.-.DE=^AC=5,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線.熟練掌握等腰三角形三線合一和直角三

角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?江蘇南通?中考真題）用一根小木棒與兩根長(zhǎng)分別為3cm,6cm的小木棒組成三角形，則這根小木棒

的長(zhǎng)度可以為（）

A.lcmB.2cmC.3cmD.4cm

【答案】D

【分析】設(shè)第三根木棒的長(zhǎng)為xcm,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出x取值范圍即可.

【詳解】解：設(shè)第三根木棒的長(zhǎng)為xcm,則6-3<x<6+3,即3Vx<9.觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)D符合題

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，即三角形任意兩邊之和大于第三邊；任意兩邊之差小于第三

邊.

4.（2022?江蘇南通?中考真題）如圖，a||M3=80°,zl-z2=20°,則N1的度數(shù)是（）

a

b

A.30°B.40°C.50°D.80°

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可得Nl+N2=80。，結(jié)合41-42=20。，兩式相加即可求出

zl.

【詳解】解：如圖，

.-.z4=zl,

.?Z3=N4+N2=N1+N2=80°,

???Z.1-Z2=20°,

.-.2zl=100°,

.-.zl=50°,

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，求出/1+/2=80。是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，點(diǎn)4B、C、。在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，力。與BC相交于點(diǎn)0,〃

【答案】A

【分析】先根據(jù)勾股定理計(jì)算的長(zhǎng)，再根據(jù)A4。2s△OOC,對(duì)應(yīng)邊成比例，從而求出49的長(zhǎng).

【詳解】解：/。732+42=5,AB=2,0）=3,

■■■ABWDC,

■■AAOB-ADOC,

AO_AB_2

"''0D~'CD~3f

??.設(shè)4gx,則。。=3x,

-AO+OD=AD,

.,.2x+3x=5.

解得：x=\,

??.4O=2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì).

6.(2022?江蘇宿遷?中考真題)若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3c%和5c加，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是

()

A.8cmB.13cmC.8c加或13c/wD.11c加或13c%

【答案】D

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為3和5,而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要

應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.

【詳解】解：當(dāng)3是腰時(shí)，

■.-3+3>5,

.?.3,3,5能組成三角形，

此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為3+3+5=11(cm),

當(dāng)5是腰時(shí)，

?.?3+5>5,

5,5,3能夠組成三角形，

此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為5+5+3=13(cm),

則三角形的周長(zhǎng)為llc/n或13cm.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情

況，分類(lèi)進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵.

7.(2022?江蘇揚(yáng)州?中考真題)如圖，小明家仿古家具的一塊三角形形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊.小

明通過(guò)電話給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為△力BC,提供了下列各組元素的數(shù)

據(jù)，配出來(lái)的玻璃不一定符合要求的是()

A.AB,BC,CAB.AB,BC,^BC.AB,AC,^-BD./-A,/-B,BC

【答案】c

【分析】根據(jù)SSS,SAS,ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求.

【詳解】A.AB,BC,CA.根據(jù)SSS一定符合要求;

B.AB,BC/B.根據(jù)SAS一定符合要求;

C.AB,AC,/-B.不一定符合要求;

D.乙A,乙B,BC.根據(jù)ASA一定符合要求.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握判定三角形全等的SSS,SAS,ASA

三個(gè)判定定理.

8.（2022?江蘇揚(yáng)州?中考真題）如圖，在A48C中，AB<AC,將△4BC以點(diǎn)4為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

△ADE,點(diǎn)。在BC邊上，DE交力C于點(diǎn)F.下歹I）結(jié)論①△AFE?△DFC；②。力平分NBDE；③4CDF=KBAD,

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

C.①③D.①②③

【答案】D

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷即可求解.

【詳解】解：???將△ABC以點(diǎn)4為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△4DE,

AADE=AABC,

Z-E—Z.C,

vZ.AFE=乙DFC,

AAFE-ADFC,故①正確;

??AADE=AABCf

???AB=AD,

???Z-ABD=乙ADB,

vZ.ADE=Z.ABC,

???Z-ADB=Z.ADE,

???平分NBDE,故②正確;

???AADE=AABCf

???Z-BAC=Z-DAE,

???Z.BAD=Z-CAE,

???4AFE?ADFC,

???Z.CAE=Z.CDF,

???乙CDF=乙BAD,

故③正確

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查了性質(zhì)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，相似三角形的性質(zhì)判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，掌握

以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

9.（2022?江蘇宿遷?中考真題）如圖，點(diǎn)/在反比例函數(shù)y=：（久＞0）的圖像上，以。4為一邊作等腰直角三

角形OAB,其中N04B=9O。，AO=AB,則線段。8長(zhǎng)的最小值是（）

A.1B.V2C.2V2D.4

【答案】C

【分析】如圖，過(guò)4作4Mllx軸，交y軸于過(guò)B作BDlx軸，垂足為。，交MA于H,貝U

NOAM==90。，證明△40M三△84H,可得OM=AH,AM=BH,設(shè)從科5），則4M=ni,OM=5

,MH=m+^BD=~m,可得+再利用勾股定理建立函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合完全平方公式的變

形可得答案.

【詳解】解:如圖，過(guò)4作4M||x軸，交y軸于"，過(guò)B作8D_Lx軸，垂足為。，交MA于H,貝U

AOMA=UHB=90°,

???/.MOA+^.MAO=90°,

???AO=AB,AO1AB,

/.MAO+乙BAH=90。,

???^MOA=乙BAH,

???△AOMzABAH,

??.OM=AH,AM=BHf

設(shè)相9貝|J/M=m,OM=%MH=m+/D=~m,

???B(M+

0B=4m+"+(>j=12m2+*

??,m>0,而當(dāng)a>0,b>0時(shí)，則a+6>2Vab,

???2/+黑2氏五$=8,

?,?2m2+9的最小值是8,

.?.。8的最小值是V§=2&.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，完全平方

公式的變形應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，掌握“。2+房222的變形公式”是解本題的關(guān)鍵.

10.（2022?江蘇蘇州?中考真題）如圖，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（0,2）,點(diǎn)3是x軸正半軸上的一點(diǎn)，將線段N2繞點(diǎn)/

按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到線段NC.若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（犯3），則加的值為（）

2vHC,也D.返

■3

【答案】c

【分析】過(guò)C作CD1X軸于D,CEly軸于瓦根據(jù)將線段繞點(diǎn)/按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到線段/C,

可得A48C是等邊三角形，又4(0,2),C(m,3),即得4c=7m2+1=BC=可得8。=:蹈―亦

2222

=Vm-8,OB=y/AB-OA=Vm-3,從而，加一？+V7Tl2-8=m，即可解得小=竽.

【詳解】解：過(guò)。作CDLx軸于。，CEly軸于E,如圖所示：

???CDlx軸，CEly軸，

???乙CDO=cCEO=^DOE=90°,

???四邊形EODC是矩形，

???將線段48繞點(diǎn)4按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到線段4C,

?9-AB=AC,Z.BAC=60o,

??.A4BC是等邊三角形，

：-AB=AC—BC,

-A(0,2),C(m,3),

：.CE=m=OD,CD=3,OA=2,

，AE=OE-OA=CD-OA—1,

-'-AC=^AE2+CE2=Vm2+1=BC=AB,

在RtZi3CD中，BD=y/BC2-CD2=Vm2-8,

在RtA^OB中，OB=7AB2_0"=7&3,

■：OB+BD=OD=m,

???Vm2-3+Vm2-8=m,

化簡(jiǎn)變形得：3根4-22加2-25=0,

解得：爪=竽或巾=一苧(舍去)，

.vm=苧，故C正確.

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用勾股定理，用含〃，的代數(shù)式表示相關(guān)

線段的長(zhǎng)度.

11.（2022?江蘇無(wú)錫?中考真題）如圖，在口中，AD=BD,"DC=105°,點(diǎn)E在4D上，4EBA=

60°,則巖的值是（）

【答案】D

【分析】過(guò)點(diǎn)8作2EL/O于R由平行四邊形性質(zhì)求得乙4=75。，從而求得乙4即=180。-乙4-乙48￡=45。，則

△8￡尸是等腰直角三角形，即8尸=￡尸，設(shè)BF=EF=x,則8D=2x,DF=Mx,DE=DF-EF=（V3-1）x,

AF=AD-DF=BD-DF=（2-V3）x,繼而求得/不力產(chǎn)⑦尸2=（2一百）2/+臬=（8-4百）N,從而求得啜=烏

AD2

再由45=CD,即可求得答案.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)8作于R

??,□ABCD,

：.CD=AB,CDUB,

-.^ADC+2LBAD=1S0O,

-Z.ADC=105°

山=75。，

Z-ABE=60°,

???UEB=1S0°-^A-^ABE=45°,

?"FD=90。，

：?^EBF=UEB=45。,

：,BF=FE,

,：AD=BD,

???乙4雙)=乙4=75。，

.4Z)5=30。，

設(shè)BF=EF=*,則&)=2x,由勾股定理，得DF母x,

；.DE=DF-EF=(V3-1)x,AF=AD-DF=BD-DF=(2-V3)x,

由勾股定理，得/5=/尸+5乃=(2-V3)2x2+x2=(8-4V3)%2,

DE2_(q-1).，_1

''AB2~(8-4V3)x2-2

,￡￡_V2

ZB-2'

,:AB=CD,

.￡￡_V2

?'CD-2'

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)5作5FL4D

于尸，構(gòu)建直角三角形與等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

12.(2022?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)一副三角板如圖放置，乙4=45。，ZE=30°,DE\\AC,則N1=

【答案】105

【分析】根據(jù)平行性的性質(zhì)可得42=45。，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖,

■■DEWAC,

/.Z.2=Z.A=45°,

vzE=30°,zF=90°,

：?乙D=60°,

zl=z2+z￡>=45°+60°=105°,

故答案為：105.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，掌握以上知識(shí)是解題

的關(guān)鍵.

13.（2022?江蘇常州?中考真題）如圖，在四邊形4BCD中，AA=^ABC=90°,DB平分乙4DC.若4。=1,

CD=3,貝㈣nN4BD=.

【答案】4

6

【分析】過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線交于E,證明出四邊形力BED為矩形，△BCD為等腰三角形，由勾股定理算出

DE=GBD=&,即可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作BC的垂線交于E,

Z.DEB=90°

vZ-A—Z-ABC=90°,

???四邊形/BE。為矩形，

:,DE//ABAD=BE=\,

???Z-ABD=(BDE,

???BO平分乙/OC,

???乙

ADB=Z.CDBf

???AD//BE,

??Z-ADB=乙CBD,

:.乙CDB=(CBD

CD=CB=3,

vAD=BE=1,

CE=2,

；?DE=7DC2—CE?=V9-4=V5?

?-.BD=JDE2+BE2=V5+1=V6

???siMBDE=霽=?=T

???sinZ.ABD=—.

6

故答案為：咚

O

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造

直角三角形求解.

14.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，在△4BC和△4BD中，乙4cB=4WB=90。，E、F、G分別為AB、

AC,BC的中點(diǎn)，若DE=1,貝l」FG=

【分析】由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出NB=2DE,再由三角形中位線的性質(zhì)可得尸G的長(zhǎng);

【詳解】解：???RtA4BC中，點(diǎn)E是N2的中點(diǎn)，DE=1,

:?AB=2DE=2,

??,點(diǎn)尸、G分別是“C、8c中點(diǎn),

.-.FG=^AB=1,

故答案為：1

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握中位線定理是解題的關(guān)

鍵.

15.（2022?江蘇徐州?中考真題）如圖，將矩形紙片/BCD沿CE折疊，使點(diǎn)3落在邊AD上的點(diǎn)尸處.若

點(diǎn)￡在邊48上，/8=3,BC=5,則N￡=.

【答案】抑,

【分析】由折疊性質(zhì)可得CF=3C=5,BE=EF,由矩形性質(zhì)有CD=N8=3,BC=AD=5,勾股定理求得。R

AF.設(shè)BE=EF=x,則在直角三角形4EF中，根據(jù)勾股定理，建立方程，解方程即可求解.

【詳解】解：由折疊性質(zhì)可得CF=8C=5,BE=EF,

由矩形性質(zhì)有CD=AB=3,BC=AD=5,

-.?zZ）=90o,

■-DF=y/CF2-CD2-4,

所以4F=AD-DF=5-4=1,

所以BE=EF=x,貝ij在直角三角形NEF中：

AE2+AF2=EF2,

???（3-X）2+12=X2,

解得v，

???4E=3-|/

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，在直角三角形AEF中運(yùn)用勾股定理建立方

程求解是關(guān)鍵.

16.（2022?江蘇淮安?中考真題）如圖，在CL4BCD中，CALAB,若NB=50。，則46泊。的度數(shù)是.

AD

【答案】40。##40度

【分析】根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行可得/。1出口利用平行線的性質(zhì)可得乙乙40二乙4CB,因此利用直角三角

形兩個(gè)銳角互余求出乙4cB即可.

【詳解】解：???四邊形ZBCD是平行四邊形，

：.AD\\BCf

：.Z-CAD=乙ACB,

\'CA1AB,

?"ZC=90。，

vZB=50°,

.?.Zi4CB=90°-z5=40°,

.?ZCAD=AACB=40°,

故答案為：40°.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，難度較小，解題的關(guān)鍵是能夠

綜合運(yùn)用上述知識(shí).

17.（2022?江蘇淮安?中考真題）如圖，在Rt^ABC中，zC=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)。是4c邊上的一點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)。作0FII4B,交BC于點(diǎn)F,作NBAC的平分線交DF于點(diǎn)E,連接BE.若△ABE的面積是2,則會(huì)的值是

【答案】|

【分析】先根據(jù)勾股定理得出力B=5,根據(jù)△4BE的面積是2,求出點(diǎn)E到的距離為右根據(jù)RSABC的

面積，求出點(diǎn)C到的距離為陪=?,即可得出點(diǎn)C到DF的距離為《，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，得

ADbb

出當(dāng)"=警，求出CD=2,DF=J根據(jù)等角對(duì)等邊求出￡M=DE=1,即可求出EF=DF-DE=與一1

L/lJ/it）oJ

5,即可得出最后結(jié)果.

【詳解】解：在RtaaBC中，由勾股定理得，AB=5,

???△4BE的面積是2,

.??點(diǎn)E到4B的距離為:

在RtaABC中，點(diǎn)C到48的距離為喑=￡,

/iDb

???點(diǎn)C到。尸的距離為I，

-DF||AB,

??.△CDF-△CAB,

CD_2_DF

''~CA~3~~AB'

10

:CD=2,DF=y,

???/E平分乙C/8,

：.Z-BAE=Z-CAE,

-DF||AB,

：.Z.AED=Z.BAE,

：.Z.DAE=Z.DEA,

.,.DA=DE=1,

107

：.EF=DF-DE=

DE3

：'~EF-79

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形高的有關(guān)計(jì)算，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的

判定，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)E到4B的距離為，點(diǎn)C到。尸的距離為:

三、解答題

18.（2022?江蘇淮安?中考真題）己知：如圖，點(diǎn)4、D、C、尸在一條直線上，且AD=CF,AB=DE,

乙BAC=AEDF.求證：NB=NE.

BE

【答案】見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)SAS證明三△DEF,即可得出答案.

【詳解】證明：???/O=CF,

：.AD+CD=CF+CD,

.,.AC=DF,

(AB=DE

???在△ABC^\△OEF中｛4Z=Z,EDF,

(AC=DF

AABC=△OEF(SAS)，

：/B—Z-E,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，熟練掌握三角形全等的判定方法，是解題的關(guān)鍵.

19.(2022?江蘇常州?中考真題)如圖，點(diǎn)2在射線0X上，0A=a.如果。4繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

九。(0<nW360)到。4,那么點(diǎn)4的位置可以用(a,71。)表示.

(1)按上述表示方法，若a=3,n=37,則點(diǎn)4的位置可以表示為；

(2)在(1)的條件下，已知點(diǎn)B的位置用(3,74。)表示，連接44、A'B.求證：A'A=A'B.

【答案】⑴(3,37。)

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)的位置定義，即可得出答案；

(2)畫(huà)出圖形，證明A4O4三△504(SAS),即可由全等三角形的性質(zhì)，得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：由題意，得?(a,〃。)，

???a=3,幾=37,

???A'（3,37。）,

故答案為：(3,37。)；

(2)證明：如圖，

???4(3,37。)，8(3,74°),

'=37°,Zyl(95=74°,OA=OB=3,

：.AA'OB=/-AOB-/-AOA'=1^°-?>T=?>T,

■：OA'=OA',

：.AAOA'^BOA'(SAS),

：.A'A=A'B.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，新定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

20.(2022?江蘇常州?中考真題)在四邊形4BCD中，。是邊BC上的一點(diǎn).若△。48三△OCD,則點(diǎn)。叫做該

四邊形的“等形點(diǎn)”.

(1)正方形“等形點(diǎn)”(填“存在”或“不存在”);

(2)如圖，在四邊形力BCD中，邊BC上的點(diǎn)。是四邊形2BCD的“等形點(diǎn)”.已知CD=4五，0/1=5,BC=12,

連接4C,求力C的長(zhǎng)；

(3)在四邊形EFGH中，EH//FG.若邊FG上的點(diǎn)。是四邊形EFGH的“等形點(diǎn)”，求案的值.

【答案】(1)不存在，理由見(jiàn)詳解

(2)475

(3)1

【分析】⑴根據(jù)“等形點(diǎn)”的概念，采用反證法即可判斷;

(2)過(guò)/點(diǎn)作于點(diǎn)跖根據(jù)“等形點(diǎn)”的性質(zhì)可得N8=CD=4&,OA=OC=5,OB=1=OD,設(shè)

MO=a,則8〃=8O-MO=7-a,在比A45/和比△NfW中，利用勾股定理即可求出NW,則在吊△NMC中利

用勾股定理即可求出NC；

(3)根據(jù)“等形點(diǎn)”的性質(zhì)可得。尸=。兄OE=OG,AEOF=AGOH,再根據(jù)EH||FG,可得乙EOF=4JEH,

AGOH=^EHO,即有OE=OH,可得OF=OG,則問(wèn)題得解.

(1)

不存在，

理由如下：

假設(shè)正方形ABCD存在“等形點(diǎn)”點(diǎn)。，即存在△0/3三△OCD,

???在正方形/8CD中，點(diǎn)。在邊上，

■.^480=90°,

■■■AOAB=AOCD,

；.乙4BO=KCDO=90°,

■■■CD1DO,

"CD1BC,

：.D0\\BC,

???。點(diǎn)在2C上，

..DO與BC交于點(diǎn)O,

???假設(shè)不成立，

故正方形不存在“等形點(diǎn)”；

(2)

如圖，過(guò)/點(diǎn)作于點(diǎn)如圖，

■■0點(diǎn)是四邊形/BCD的“等形點(diǎn)”,

:心OABdOCD,

：.AB=CD,OA=OC,OB=OD,乙4OB=MOD,

,-CD=4V2，OA=5fBC=12,

：,AB=CD=4五,OA=OC=5,

??.OB=BC-OC=12-5=l=OD,

??,AMIBC,

.-.Z,AMO=900=/-AMB,

?,?設(shè)則BM=BO-MO=7?a,

???在RtAABM和RtAAOM中，AM2=AB2-BM2=AO2-MO2,

：.AB2-BM2=AO2-MO2,即(4&)2-(7—Q)2=52-a2,

解得：a=3,即M0=3,

-'-MC=MO+OC=3+5=8,AM=y/AO2—MO2=V52-32=4

???在RtAAMC中，AC—Vi4M2+MC2=V42+82—4V5，

即AC的長(zhǎng)為4旗；

(3)

如圖，

-O點(diǎn)是四邊形EFGH的“等形點(diǎn)”，

:△OEF^AOGH,

：.OF=OH,OE=OG,/-EOF=Z.GOH,

-EHWFG,

:,乙EOF=(OEH,Z.GOH=Z.EHO,

???根據(jù)乙有乙OEH=(OHE,

：,OE=OH,

?：OF=OH,OE=OG,

：.OF=OG,

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)、平行的性質(zhì)等知識(shí)，充分利用全等三

角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

21.(2022?江蘇徐州?中考真題)如圖，在中，4B/C=90。，AB=AC=12,點(diǎn)尸在邊N2上，D、E

分別為8C、尸C的中點(diǎn)，連接過(guò)點(diǎn)E作3c的垂線，與BC、NC分別交于尸、G兩點(diǎn).連接DG,交

PC于點(diǎn)H.

DF

備用圖

(l)NEDC的度數(shù)為；

(2)連接尸G,求A4PG的面積的最大值；

(3)P￡與DG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由;

(4)求篙的最大值.

【答案】(1)45。

⑵9

@PE=DG,理由見(jiàn)解析

【分析】(1)先說(shuō)明乙8=45。，再說(shuō)明DE是aCB尸的中位線可得。EgP,然后由平行線的性質(zhì)即可解答；

(2)先說(shuō)明△￡￡＞尸和△GPC是等腰直角三角形可得、GF=CF聾CG；設(shè)NP=x,則

BP=12-x,BP=n-x=WE,然后通過(guò)三角形中位線、勾股定理、線段的和差用x表示出NG,再根據(jù)三角形

的面積公式列出表達(dá)式，最后運(yùn)用二次函數(shù)求最值即可；

(3)先證明△GEO三△CFE,可得DG=CE,進(jìn)而可得尸E=DG；由△GFD三△CF￡可得尸=NDGR進(jìn)而

得到NG〃E=NCEE=90。，即可說(shuō)明。G、PE的位置關(guān)系；

(4)先說(shuō)明△CEP-MZW得到等=若，進(jìn)而得到黑=筌，然后將已經(jīng)求得的量代入可得等==

C.ULnCcCcCc

X+12+&_24,然后根據(jù)a+!=(&+J)2-222求最值即可.

【詳解】(1)解：?.?在zMBC中，N8NC=90。，AB=AC=12

.?.乙8=乙4cB=45。

D、E分別為2C、PC的中點(diǎn)

1

：.DE\\BPfDE=-BP

：/EDC=^B=45。.

(2)解：如圖：連接尸G

“EDC=，4CB=45。,GFLDC

:.AEDF和△G/C是等腰直角三角形

:.DF=EF也DE,GF=CF=^CG,

22

設(shè)4尸=x,貝IJ5Q12-X,BP=12-x=2DE

12—x12—x

?.?DEFEF』

??,RtAAPC,

:?PC=NAP2+=7工2+144

???C￡=|V%24-144

-RtAEFC

.,.FC=FG=yJCE2-EF2=(|Vx2+144)

???CG=&C2等

12+Y12—JC

-.AG=12-CG=12--=^-

12%-/_一(0一6)2+36

：^SAAPG^AP?/G=*當(dāng)

44

所以當(dāng)x=6時(shí)，S/PG有最大值9.

(3)解：DG=PE,DGA.PE,理由如下:

-DF=EF,乙CFE=(GFD,GF=CF

??.△GFZ)三△CFF(SAS)

：.DG=CE

???E是PC的中點(diǎn)

：.PE=CE

；.PE=DG；

-AGFD=ACFE

：/ECF=3GF

???乙CEF=CPEG

，乙GHE=^EFC=9V,BPDG1PE.

(4)解：-AGFD=ACFE

，乙CEF=^CDH

又,：5CF=5CH

:?△CEFMCDH

rprp

^CE-CH=CF-CF

C*DC*ri

.CH_CFCD

''~CE~CE2

12+xIi----------------1i------------------.—

,：FCh^,CE=-^/x2+144,CD=-BC=V122+122=6五

.里=2五______T_12y_X+12__----------------------

CE2

"(1Vx+144)X2+144X+12+--24

12_12_1_2V2+2_V2+1

-2V288-2424?242魚(yú)-242

???號(hào)的最大值為

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線、平行線的性質(zhì)、二次函數(shù)求最值、全等三角形的判定與性質(zhì)、相

似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵.

22.(2022?江蘇無(wú)錫?中考真題)如圖，△NBC為銳角三角形.

AA

(1)請(qǐng)?jiān)趫D1中用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在/C右上方確定點(diǎn)。，使ZZMC=ZJC2,且CO14。；(不寫(xiě)

作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下，若NB=60°,AB=2,BC=3,則四邊形48。的面積為.(如需畫(huà)草圖，

請(qǐng)使用試卷中的圖2)

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2浮

【分析】(1)先作乙D4C=4C3,再利用垂直平分線的性質(zhì)作CD14。，即可找出點(diǎn)。；

(2)由題意可知四邊形/BCD是梯形，利用直角三角形的性質(zhì)求出/￡、BE、CE、的長(zhǎng)，求出梯形的

面積即可.

(1)

解：如圖，

???點(diǎn)D為所求點(diǎn).

(2)

解：過(guò)點(diǎn)/作/￡垂直于BC,垂足為E,

BEC

..28=60。,44EB=90。,

.4/￡=90。-60。=30。，

-AB=2,

：.BE=^AB=1,CE=BC-BE=2,

--AE=7AB2-BE2=V22-l2=S，

?：3AC=UCB,

-t-AD||BC,四邊形45CD是梯形，

；/D=乙ECD=90°,

???四邊形4ECD是矩形，

：.CE=AD=2,

???四邊形ABCD的面積為外。+BC)?力E=3X(2+3)X百=苧，

故答案為：苧.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖，作相等的角，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)做垂線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及勾股定理

求線段的長(zhǎng)，正確作出圖形是解答本題的關(guān)鍵.

23.(2022?江蘇揚(yáng)州?中考真題)如圖1,在A4BC中，NB4C=90。/。=60。，點(diǎn)。在BC邊上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)

動(dòng)(不與點(diǎn)B、。重合)，過(guò)點(diǎn)。作DE14D,交射線力B于點(diǎn)E.

(1)分別探索以下兩種特殊情形時(shí)線段4E與BE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

①點(diǎn)E在線段4B的延長(zhǎng)線上且BE=BD；

②點(diǎn)E在線段AB上且EB=ED.

(2)若4B=6.

①當(dāng)器=學(xué)時(shí)，求力E的長(zhǎng)；

②直接寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段力E長(zhǎng)度的最小值.

【答案】(1)①4E=2BE②AE=2BE

⑵碇②4

【分析】(1)①算出△4BD各個(gè)內(nèi)角，發(fā)現(xiàn)其是等腰三角形即可推出；

②算出△力DE各內(nèi)角發(fā)現(xiàn)其是30。的直角三角形即可推出；

(2)①分別過(guò)點(diǎn)/,E作2C的垂線，得到一線三垂直的相似，即△EGOsaD/M,設(shè)DE=V5a,

AD=2a,利用30。直角三角形的三邊關(guān)系，分別表示出ED,AD,EG,DH,列式求解a即可；

②分別過(guò)點(diǎn)a￡作BC的垂線，相交于點(diǎn)G,H,證明△EHDsaDGA可得益=需然后利用完全平方

公式變形得出4E23+EH,求出/￡的取值范圍即可.

【詳解】(1)①?在A4BC中，NB4c=90°,ZC=60°

??/ABC=30°

,:BE=BD

1

"BDE=^ABC=15°,4BDA=90°-^BDE=90°-15°=75°

在△ABD^,^BAD=180°-^LABD-^BDA=180°-30°-75°=75°

：,/.BAD=乙BDA=75°

.t.AB=BD=BE

.-.AE=2BE；

②如圖：

'.'BE=DE

：.Z.EBD=ZEDB=30°,^AED=60°

???在Rg/OE中，AEAD=30°

：,AE=2ED

ME=2BE；

(2)①分別過(guò)點(diǎn)aE作8c的垂線，相交于點(diǎn);7,G,則NEG￡>=NDH4=90。,

E

:/GED+上GDE=90°,

?；AHDA+乙GDE=90°,

；.乙GED=LHDA,

.?.△EGDsADHA,

設(shè)OE=V§<2,AD=2a,則AE=7DE2+力￡)2=夜"BE=6-y/7a,

在RgaBC中，/.ABC^30°,AB=6

則47=而=2?BC=2AC=4V3

在RtZ\BEG中，NEBG=30°,BE=6—近a

貝UEG省=3-務(wù)

在RtZXAHC中，ZC=60°,AC=2而

:?DH=7AD2-AH2=14a2_9

由△EGD，O/M得病

V4a2—9

解得：ai=|V7,做=一377（舍）

21

故ZE=y/ya=—；

②分別過(guò)點(diǎn)4,E作5C的垂線，相交于點(diǎn)G,H,則乙陽(yáng)E>=乙4GZ）=90。,

A

E

/HDG

"08=900,

：?乙EDH=900-&DG=CDAG,

??2EHD=UGD=90。,

???4EHD~ADGA,

AG_DG

：''DH~'EHf

；.AG?EH=DH,DG,

??ZB/C=9O。,ZC=6O°,

?4=30。，

：.AG=^AB=3,EH=^BE=^(6-AF),

:.DHDG=3EH,

：.AE2=AD2+DE2=AG2+DG2+DH2+EH2=9+DG2+DH2+EH2,

--DG2+DH2>2DG-DH

：.AE2>9+2DG-DH+EH2,

：.AE2>9+6EH+EH2>(3+EH}2,

■.■AE>0,DH>0,

.-.AE>3+EH,

1

-EH=-(6?/E),

MEN3+*6-/E),

：.AE>4,

故4E的最小值為4.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，一線三垂直相似

模型，垂線段最短，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，一線三垂直模型，垂線段最短原理是解題的關(guān)鍵.

24.(2022?江蘇連云港?中考真題)【問(wèn)題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小昕同學(xué)將一大一小兩個(gè)三角

板按照如圖1所示的方式擺放.其中N2C8=NDEB=90。，AB=30。，BE=AC=3.

【問(wèn)題探究】小昕同學(xué)將三角板DEB繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).

(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E落在邊48上時(shí)，延長(zhǎng)DE交BC于點(diǎn)尸，求BF的長(zhǎng).

(2)若點(diǎn)C、E、。在同一條直線上，求點(diǎn)D到直線BC的距離.

(3)連接DC,取DC的中點(diǎn)G,三角板由初始位置(圖1),旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C、B、。首次在同一條直線上(如圖

3),求點(diǎn)G所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

(4)如圖4,G為DC的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)